清單05四邊形（16個考點梳理+22題型解讀）清單01平行四邊形的性質（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．（2）平行四邊形的性質：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．（3）平行線間的距離處處相等．（4）平行四邊形的面積：①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等．清單02平行四邊形的判定（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四邊行ABCD是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四邊行ABCD是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．符號語言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四邊行ABCD是平行四邊形．清單03平行四邊形的判定與性質平行四邊形的判定與性質的作用平行四邊形對應邊相等，對應角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或對角的位置上，通過證明四邊形是平行四邊形達到上述目的．運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應直接運用平行四邊形的性質和判定去解決問題．清單04三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE＝BC．清單05矩形的性質（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．（2）矩形的性質①平行四邊形的性質矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等；⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點．（3）由矩形的性質，可以得到直角三角形的一個重要性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．清單06矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）（2）①證明一個四邊形是矩形，若題設條件與這個四邊形的對角線有關，通常證這個四邊形的對角線相等．②題設中出現多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形．清單07矩形的判定與性質（1）關于矩形，應從平行四邊形的內角的變化上認識其特殊性：一個內角是直角的平行四邊形，進一步研究其特有的性質：是軸對稱圖形、內角都是直角、對角線相等．同時平行四邊形的性質矩形也都具有．在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質，則可以簡捷地解決與角、線段等有關的問題．（2）下面的結論對于證題也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③點O到三個頂點的距離都相等．清單08菱形的性質（1）菱形的性質①菱形具有平行四邊形的一切性質；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線．（2）菱形的面積計算①利用平行四邊形的面積公式．②菱形面積＝ab．（a、b是兩條對角線的長度）清單09菱形的判定①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形清單10菱形的判定與性質（1）依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形．不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點四邊形的形狀始終是平行四邊形．（2）菱形的中點四邊形是矩形（對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形定為矩形，對角線相等的四邊形的中點四邊形定為菱形．）（3）菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質和不同于平行四邊形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是正方形．清單11正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．清單12正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．清單13正方形的判定與性質（1）正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質．（2）正方形的判定正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．清單14多邊形（1）多邊形的概念：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（3）正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所在的直線整個多邊形都在此直線的同一側．②每個內角的度數均小于180°，通常所說的多邊形指凸多邊形．（5）重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩狀態，此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心．常見圖形的重心（1）線段：中點（2）平行四邊形：對角線的交點（3）三角形：三邊中線的交點（4）任意多邊形．清單15多邊形的對角線（1）多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．（2）n邊形從一個頂點出發可引出（n﹣3）條對角線．從n個頂點出發引出（n﹣3）條，而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數）（3）對多邊形對角線條數公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連成對角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個頂點，應為n（n﹣3）條，這樣算出的數，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對角線條數時，直接代入邊數n的值計算，而計算邊數時，需利用方程思想，解方程求n．清單16多邊形內角與外角（1）多邊形內角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數）此公式推導的基本方法是從n邊形的一個頂點出發引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內角之和正好是n邊形的內角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．（2）多邊形的外角和等于360°．①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數是幾，其外角和永遠為360°．②借助內角和和鄰補角概念共同推出以下結論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．【考點題型一】利用平行四邊形的性質求解（）【例1】．（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】利用平行四邊形的性質求解【分析】本題考查了平行四邊形的性質，根據邊形是平行四邊形，得，再結合兩直線平行，同旁內角互補，得，即可作答．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，故選：D【變式1-1】（23-24八年級下·河北保定·期末）如圖，平移圖形，與圖形可以拼成一個平行四邊形，則圖中．【答案】【知識點】多邊形內角和問題、利用平行四邊形的性質求解【分析】本題考查了平行四邊形的性質，四邊形的內角和，如圖，把拼在一起，得到平行四邊形，則，由平行四邊形的性質得，進而四邊形的內角和為得到，據此解答即可求解，掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，把拼在一起，得到平行四邊形，則，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵四邊形的內角和為，∴，∴，故答案為：．【變式1-2】（22-23八年級下·河北滄州·期末）如圖，已知平行四邊形，軸，，點A的坐標為，點D的坐標為，點B在第四象限，點P是平行四邊形邊上的一個動點．

(1)點B的坐標為_________；點C的坐標為________；(2)點G是與y軸的交點，求點G的坐標；(3)若點P在上，點P關于坐標軸對稱的點Q落在直線上，求點P的坐標；(4)若點在折線上，過點作軸的平行線，過點作軸的平行線，它們交于點，將沿直線翻折，點的對應點恰好落在坐標軸上，直接寫出此時點的坐標．【答案】(1)，(2)(3)或(4)或【知識點】一次函數與幾何綜合、已知兩點坐標求兩點距離、利用平行四邊形的性質求解、坐標與圖形變化——軸對稱【分析】本題主要考查了一次函數與幾何綜合，平行四邊形的性質，正方形的性質與判定，折疊的性質，等腰直角三角形的性質與判定，坐標與圖形變化—軸對稱等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．（1）利用平行四邊形的性質對邊平行且相等進行求解即可；（2）利用待定系數法求出直線的解析式，進而求出點D的坐標即可；（3）設出點P的坐標，然后分P、Q關于x軸對稱和關于y軸對稱兩種情況，分別求出點Q的坐標，再根據點Q在直線進行求解即可；（4）分兩種情況討論：當點P在上時，由折疊的性質可得，，證明是等腰直角三角形，進而證明四邊形是正方形，從而得到三點共線，則，即可求出．當點P在上時，證明，再利用兩點距離公式求出點M坐標即可解題．【詳解】（1）解：∵軸，，點A的坐標為，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴軸，∵D的坐標為，∴，故答案為：，；（2）解：設直線的解析式為，把，帶入中得，解得，∴直線的解析式為，在中，當時，，∴點G的坐標為；（3）解：設，且，若點P關于x軸的對稱點在直線上，∴，解得，此時．若點P關于y軸的對稱點在直線上時，∴，解得，此時綜上所述，點P的坐標為或．（4）解：當點P在AB上時，如解圖1由折疊的性質可得，，∵軸，軸，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴四邊形是正方形，∴，即軸，∴三點共線，∴，∴．當點在上時，設直線的解析式為與x軸交點為，則，如解圖2，點落在軸上，由折疊的性質可得，，∵軸，∴∴，∴，設點且，則，∵，，∴，解得：，∴點綜上所述：點的坐標或【考點題型二】利用平行四邊形的性質證明（）【例2】．（23-24八年級下·河北衡水·期中）如圖，在平行四邊形中，，，，則與間的距離為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【知識點】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質證明【分析】本題考查了平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解答本題的關鍵．先求出，利用30度角的性質求出，然后利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故選C．【變式2-1】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，點是平行四邊形對角線上一點，點在延長線上，且，與交于點．(1)求證：；(2)若垂直平分，，求的長．【答案】(1)見解析(2)3【知識點】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質證明、與三角形中位線有關的證明【分析】本題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定與性質等知識，熟練掌握平行四邊形的性質和三角形中位線定理是解題的關鍵．（1）連接，交于點，證出是的中位線，得，即；（2）求出，，則，，得，，再求出的長，然后由勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：連接，交于點，如圖所示：四邊形是平行四邊形，，，是的中位線，，即；（2）解：，，，四邊形是平行四邊形，，，，垂直平分，，，，，，，，，，，，，．【考點題型三】證明四邊形是平行四邊形（）【例3】．（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，在四邊形中作標注（角的標記中弧線數量相同的表示角相等），下列判斷正確的是（

）

A．只有圖1中的四邊形一定是平行四邊形B．只有圖2中的四邊形一定是平行四邊形C．圖1、圖2中的四邊形都一定是平行四邊形D．圖1、圖2中的四邊形都一定不是平行四邊形【答案】A【知識點】證明四邊形是平行四邊形【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定，根據平行四邊形的判定方法進行判斷即可．【詳解】解：圖1中，，，

∵，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形；圖中，，∴，只有一組對邊平行，不能判定四邊形為平行四邊形．

綜上分析可知：只有圖1中的四邊形一定是平行四邊形，故選：A．【變式3-1】（23-24八年級下·河北衡水·期中）若在四邊形中，的長度之比是，則四邊形是平行四邊形，判定的依據是．【答案】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【知識點】證明四邊形是平行四邊形【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解答本題的關鍵．根據兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形可得答案．【詳解】解：∵四邊形中，的長度之比是，∴，∴四邊形是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．故答案為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【變式3-2】（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，在平行四邊形中，對角線，交于點O，過A，C兩點作，，垂足分別為M，N，且分別交，于點G，H．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求的長及的周長．【答案】(1)見解析(2)11.5【知識點】利用平行四邊形的性質求解、證明四邊形是平行四邊形【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的判定和性質．（1）根據垂線的定義得，，得，再根據平行四邊形的性質證明即可；（2）由（1）中結果得出，根據平行四邊形的性質得，即可解答；根據平行四邊形的性質得，，即可解答．【詳解】（1）證明：，，，，．∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，．，；O為，的中點，，，的周長為．【考點題型四】利用平行四邊形的判定與性質求解（）【例4】．（22-23八年級下·河北保定·期中）如圖，在中，，，，將沿方向向右平移得到．若平移距離是3，則四邊形的面積為（）

A．12 B．24 C．4 D．8【答案】A【知識點】含30度角的直角三角形、利用平行四邊形的判定與性質求解、利用平移的性質求解【分析】先根據含30度的直角三角形三邊的關系得到，再根據平移的性質得，，于是可判斷四邊形為平行四邊形，則根據平行四邊形的面積公式得到即可．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∵沿向右平移得到，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查了平移的性質：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點．連接各組對應點的線段平行且相等．也考查了平行四邊形的判定與性質．【變式4-1】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，是的邊上的點，是中點，連接并延長交于點，連接與相交于點，若，則陰影部分的面積為．【答案】17【知識點】線段中點的有關計算、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、利用平行四邊形的判定與性質求解【分析】本題考查平行四邊形，三角形的知識，解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，連接，根據平行四邊形的性質，則，，根據點是的中點，則，根據全等三角形的判定和性質，則，，再根據平行四邊形的判定和性質，則四邊形是平行四邊形，得到，再根據平行四邊形的判定和性質，則四邊形是平行四邊形，，根據陰影部分的面積為：，即可．【詳解】解：連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵點是的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴陰影部分的面積為：．故答案為：．【變式4-2】（23-24八年級下·河北廊坊·期末）如圖，在中，G，H分別是的三等分點，交于點E，交于點F．(1)求證：；(2)若，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的判定與性質求解【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，含30度角直角三角形的性質等．（1）根據三等分點可得，依據平行線的性質可得，，即可證明全等；（2）證明四邊形為平行四邊形，得到，過點E作于點M，根據含30度角直角三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵G，H分別是的三等分點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，且，∴，∴，∴，∴（2）由（1）知，且，四邊形為平行四邊形，，，過點E作于點M，，，，，又G，H分別是的三等分點，【考點題型五】利用平行四邊形性質和判定證明（）【例5】（23-24八年級下·河北保定·期中）如圖，平行四邊形的對角線交于點過點且分別交于點，在上找點（點在點下方），使以點為頂點的四邊形為平行四邊形，在甲、乙、丙三個方案中，正確的方案是（

）A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙【答案】A【知識點】全等三角形綜合問題、利用平行四邊形性質和判定證明【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，涉及三角形全等的判定與性質，結合題中所給方案，分情況，依照平行四邊形的判定與性質即可得證．熟練掌握平行四邊形的判定與性質、三角形全等的判定與性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：甲方案：如圖所示：在平行四邊形中，，，，在和中，，，，，在四邊形中，由對角線相互平分可知，四邊形為平行四邊形；乙方案：如圖所示：在平行四邊形中，，，，在和中，，，，，則，在和中，，，在四邊形中，由一組對邊平行且相等可知，四邊形為平行四邊形；丙方案：如圖所示：在平行四邊形中，，，，，在和中，，，平分；平分；，在和中，，，在四邊形中，由對角線相互平分可知，，四邊形為平行四邊形；綜上所述，甲、乙、丙三種方案均可使以點為頂點的四邊形為平行四邊形，故選：A．【變式5-1】（八年級下·河北邢臺·期末）將兩塊相同的含有30°角的三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，則四邊形ABCD為平行四邊形，請你寫出判斷的依據．【答案】兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【知識點】利用平行四邊形性質和判定證明【分析】根據平行四邊形的判定方法即可求解.【詳解】解：∵兩塊相同的含有30°角的三角尺∴AD＝BC，AB＝CD，∠ADB＝∠DBC＝90°，∠ABD＝∠BDC＝30°∴AB∥CD，AD∥BC∴四邊形ABCD是平行四邊形依據為：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（寫出一種即可）故答案為兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（寫出一種即可）【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟知平行四邊形的判定定理.【變式5-2】（23-24八年級下·河北保定·期末）在探索命題“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”時，嘉琪按照以下步驟用尺規作出了如圖所示的四邊形．步驟如下：已知直線l及線段，點B在直線l上，點A在直線l外．如圖，①在直線l上取一點C（不與點B重合），連接；②以點A為圓心，長為半徑作弧，以點B為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點D（與點C位于直線異側）；③連接交于點O，連接．(1)根據以上作圖過程及所作圖形，寫出已知和求證．（完成填空）已知：，．求證：四邊形是．(2)請你替嘉琪寫出完整的證明過程．(3)在下列結論①；②；③中，一定正確的結論為．（填序號）【答案】(1)；；平行四邊形(2)見解析(3)①②【知識點】作線段(尺規作圖)、利用平行四邊形性質和判定證明【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，尺規作圖：（1）由作法可得：，，即可解答；（2）證明，可得，從而得到，即可；（3）根據平行四邊形的性質即可解答．【詳解】（1）解：已知：，．求證：四邊形是平行四邊形．故答案為：；；平行四邊形（2）證明：在和中，∵，，，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形．（3）解：∵四邊形是平行四邊形，∴；，故①②正確；但無法確定的大小關系，∴無法確定和的大小關系，故③錯誤；故答案為：①②【考點題型六】與三角形中位線有關的求解問題（）【例6】．（2025·河北邯鄲·一模）如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點分別是線段的中點．若，的周長是，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】利用平行四邊形的性質求解、與三角形中位線有關的求解問題【分析】此題考查了平行四邊形的性質，三角形中位線的性質，熟記平行四邊形的性質是解題的關鍵．根據平行四邊形的性質得到，求出的值，由的周長求出，根據三角形中位線的性質求出的長．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，，，∵的周長是，，，∵點分別是線段的中點，，故選：C．【變式6-1】（24-25八年級下·河北保定·期中）在中，，分別為，的中點，若，則的長是．【答案】28【知識點】與三角形中位線有關的求解問題【分析】本題考查的是三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．根據三角形中位線定理解答．【詳解】解：∵，分別為，的中點，∴，故答案為：28．【變式6-2】（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，在中，，點，，分別是邊，，的中點．若，求的長．【答案】【知識點】與三角形中位線有關的求解問題、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．【詳解】解：∵點，分別是邊，的中點，，∴，∵中，，是邊的中點，∴．【考點題型七】與三角形中位線有關的證明（）【例7】（22-23八年級下·河北滄州·階段練習）如圖，在中，D，E，F分別是邊，，的中點，若要使，下列添加條件正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【知識點】利用平行四邊形性質和判定證明、與三角形中位線有關的證明、斜邊的中線等于斜邊的一半【分析】根據三角形的中位線性質、平行四邊形的判定與性質，結合直角三角形斜邊中線性質證明即可求解．【詳解】解：∵D，E，F分別是邊，，的中點，∴，，，，，∴四邊形是平行四邊形，若，則，即，不能得到，故A、D不符合題意；若，則，不能證明，故B不符合題意；若，則，即，故C符合題意，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的中位線性質、平行四邊形的判定、直角三角形斜邊中線性質，熟練掌握三角形的中位線性質和直角三角形斜邊中線性質是解答的關鍵．【變式7-1】.（八年級下·河北石家莊·期末）如圖，在四邊形ABCD中，P是對角線BD的中點，E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC，∠EPF=147°，則∠PFE的度數是．【答案】16.5°【知識點】等邊對等角、與三角形中位線有關的證明【分析】根據三角形中位線定理得到PE=AD，PF=BC，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算即可．【詳解】解：∵P是BD的中點，E是AB的中點，∴PE=AD，同理，PF=BC，∵AD=BC，∴PE=PF，∴∠PFE=×（180°-∠EPF）=16.5°，故答案為16.5°．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質、三角形內角和定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．【變式7-2】.（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點在線段上，連接，點G、F分別為的中點．(1)求證：四邊形為平行四邊形(2)若，求線段的長度．【答案】(1)見解析(2)【知識點】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質求解、證明四邊形是平行四邊形、與三角形中位線有關的證明【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，勾股定理，三角形中位線定理：（1）由三角形中位線定理得到，，得到，即可證明四邊形為平行四邊形；（2）由四邊形為平行四邊形得到，由得到，由勾股定理即可得到線段的長度．【詳解】（1）證明：∵點D、E分別為的中點，∴，∵點G、F分別為、的中點．∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∵，∴．【考點題型八】三角形中位線的實際應用（）【例8】（23-24八年級下·河北·期中）如圖，為了測量池塘邊A，B兩地之間的距離，在的同側取一點，連接并延長至點，連接并延長至點，使得，．連接DE，若測得m，則A，B之間的距離是（

）A．7m B．11m C．14m D．13m【答案】C【知識點】三角形中位線的實際應用【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”．根據三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：，，分別是的中點，是的中位線，，故選：C．【變式8-1】（23-24八年級下·河北保定·期中）如圖，某小區要在一塊空地上圍一個四邊形花壇，，分別是邊，的中點，且米，則的長為米．【答案】【知識點】三角形中位線的實際應用【分析】本題考查三角形中位線的定理，解題的關鍵是掌握三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．根據三角形中位線的長度關系可得結論．【詳解】解：∵，分別是邊，的中點，米，∴（米），∴的長為米．故答案為：．【變式8-2】（八年級下·河北張家口·期末）如圖，點E在□ABCD外，連接BE，DE，延長AC交DE于F，F為DE的中點．求證：AFBE；【答案】見解析．【知識點】三角形中位線的實際應用【分析】連接BD交AC于點O，證明OF是△DBE的中位線，故可求解．【詳解】證明：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴點O是BD的中點，∵F為DE的中點，∴OF是△DBE的中位線，∴OFBE，∴AFBE．【點睛】此題主要考查平行線的判定，解題的關鍵是熟知平行四邊形的性質及中位線的判定定理．【考點題型九】矩形性質理解（）【例9】（23-24八年級下·河北張家口·期中）如圖，在矩形中，對角線，交于點，以下說法中錯誤的是（

）A． B．C．若，則是等邊三角形 D．【答案】D【知識點】等邊三角形的判定、矩形性質理解【分析】本題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定，矩形的四個角都是直角，對邊平行且相等，對角線互相平分且相等，根據矩形的性質和等邊三角形的判定，進行逐一判斷即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，故A、B說法正確，不符合題意，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，故C正確，不符合題意；根據現有條件無法證明，故D說法錯誤，符合題意．故選：D．【變式9-1】（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點，直線軸，交y軸于點，點在直線l上，將矩形繞點O按順時針方向旋轉度，得到矩形，此時直線、分別與直線l相交于點P、Q．(1)當時，點的坐標為______；(2)如圖2，當點落在l上時，點P的坐標為______；(3)如圖3，當矩形的頂點落在l上時，①求的長度；②求．【答案】(1)(2)(3)①；②【知識點】坐標與圖形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、矩形性質理解、根據旋轉的性質求解【分析】本題主要考查一次函數與幾何綜合、一次函數的圖像與性質、全等三角形的判定與性質等知識點，掌握數形結合思想成為解題的關鍵．（1）根據旋轉的得到的坐標即可；（2）根據在，然后利用勾股定理即可解答；（3）①根據已知條件得到，設，則，在中，利用，即即可求出x的值，即可求解；②根據即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴．由旋轉的性質，可知：，∴當時，點的坐標為．故答案為．（2）解：在中，，∴，∴當點落在l上時，點P的坐標為．故答案為．（3）解：①當四邊形的頂點落在l上時，在和中，，∴，∴．設，則．在中，，∴，即，解得：，∴；②∵，∴．故答案為．【考點題型十】根據矩形的性質求線段長（）【例10】（24-25八年級下·河北唐山·期中）如圖，矩形的兩條對角線、相交于點，，則矩形的對角線的長是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【知識點】根據矩形的性質求線段長【分析】本題考查了矩形的性質，根據矩形的對角線相等且互相平分，即可求解．【詳解】解：∵矩形的兩條對角線、相交于點，，∴故選：C．【變式10-1】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，矩形中，，延長交于點M，延長交于點F，過點E作，交的延長線于點N，，，則．【答案】/【知識點】含30度角的直角三角形、等邊三角形的判定和性質、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質求線段長【分析】設交于點K，通過四邊形是矩形以及，得到是等邊三角形，根據含直角三角形的性質以及勾股定理得到，，的值，進而得到的值，再利用直角三角形的性質及勾股定理得到，即可．【詳解】解：如圖，設交于點K，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，，∴在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形，等邊三角形的性質，以及含直角三角形的性質與勾股定理的應用，解題的關鍵是靈活運用直角三角形的性質．【變式10-2】（23-24八年級下·河北保定·期中）如圖，已知矩形的對角線交于點分別為線段的中點．(1)若，，求的周長；(2)若為邊的中點，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】(1)22(2)證明見解析【知識點】證明四邊形是平行四邊形、與三角形中位線有關的證明、根據矩形的性質求線段長【分析】（1）由題意，根據三角形中位線的判定與性質得到長，再由矩形性質結合三角形周長求解即可得到答案；（2）根據三角形中位線的判定與性質，結合平行四邊形的判定即可得到答案．【詳解】（1）解：∵分別為線段的中點，∴，，即為的中位線，∴，∵四邊形為矩形，∴，，，∴，∴，∴的周長為；（2）證明：由（1）可知，，且，∵矩形的對角線交于點，∴點為的中點，又∵為邊的中點，∴為的中位線，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查平行四邊形綜合，涉及三角形中位線的判定與性質、矩形的性質、三角形周長定義、平行四邊形的判定等知識，熟練掌握三角形中位線的判定與性質是解決問題的關鍵．【考點題型十一】矩形與折疊問題（）【例11】（23-24八年級下·河北保定·期末）如果將長為，寬為的矩形折疊一次，則這條折痕的長不可能是（）A． B． C． D．【答案】C【知識點】實數的大小比較、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題【分析】本題考查了折疊問題，勾股定理，矩形的性質．根據題意得：最長折痕為矩形對角線的長，再根據勾股定理計算出最長折痕即可作出判斷．【詳解】解：根據題意得：最長折痕為矩形對角線的長，根據勾股定理得：矩形的對角線長為：，∵，，，，故折痕長不可能為．故選：C．【變式11-1】（23-24八年級下·河北承德·期中）實驗探究：如圖所示，對折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經過點，得到折痕，同時得到線段，．請你觀察如圖，猜想等于．【答案】/30度【知識點】等邊三角形的判定和性質、矩形與折疊問題【分析】本題考查了折疊的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先證明是等邊三角形，再根據折疊的性質求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意得，直線是的垂直平分線，，由折疊可知，，，是等邊三角形，，．故答案為：．【變式11-2】（23-24八年級下·河北邯鄲·階段練習）已知長方形，，，Q為射線上的一個動點，將沿直線翻折至的位置（點B落在點處）．(1)如圖1，連接，當點落在上時，______；(2)如圖2，當點Q與點A重合時，與交于點E，求重疊部分（陰影）的面積；(3)當直線經過點D時，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為2或8【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題【分析】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理等知識點，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．（1）由勾股定理可求的長，由折疊的性質可得，即可求解；（2）由平行線的性質和折疊的性質可證，由勾股定理可求的長，即可求解；（3）分在線段上和點D在線段上兩種情況討論，由折疊的性質可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的長．【詳解】（1）解：，，，∵將沿直線翻折至的位置（點B落在點處）．，，故答案為：；（2）解：，，∵將沿直線翻折至的位置（點B落在點處）．，，，，，，∴重疊部分陰影的面積；（3）解：當在線段上時，將沿直線翻折至的位置，，，，，，，即：，解得：；當點D在線段上時，∵將沿直線翻折至的位置，，，，，，，，；綜上所述：的長為2或8．【考點題型十二】證明四邊形是矩形（）【例12】（23-24八年級下·河北張家口·期中）如圖，在中，過點D作于點E，點F在邊上，，連接．則四邊形一定是（

）A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．無法確定【答案】C【知識點】利用平行四邊形的性質證明、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定．根據平行四邊形的性質，可得與的關系，根據平行四邊形的判定，可得是平行四邊形，再根據矩形的判定，可得答案．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴，四邊形是平行四邊形，∵，∴，四邊形是矩形．故選：C．【變式12-1】（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，是等腰直角三角形，，，點P是上的一個動點（點P與點A、B不重合），過點P分別作于點E，于點F，連接．（1）四邊形的形狀是．（2）線段的最小值為．【答案】矩形【知識點】垂線段最短、用勾股定理解三角形、根據矩形的性質求線段長、證明四邊形是矩形【分析】本題主要考查了矩形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、垂線段最短的性質、勾股定理等知識點；判斷出當時，線段的值最小是解題的關鍵．（1）先證，再由即可解答；（2）連接，由勾股定理可求得，再由矩形的性質可得，然后根據垂線段最短可得時，線段的值最小，最后由三角形的等面積求解即可解答．【詳解】解：（1）∵于點，于點，∴又∵，∴四邊形是矩形；（2）如圖，連接，∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時，，即，∴，∴長的最小值為，故答案為：矩形，．【變式12-2】（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，在四邊形中，，，，，若動點從點出發，以的速度沿線段向點運動；動點從點出發，以的速度沿向點運動，當點到達點時，動點，同時停止運動．已知點，同時出發，運動時間為．(1)當取何值時，四邊形為平行四邊形？(2)當取何值時，四邊形為矩形？【答案】(1)(2)【知識點】幾何問題(一元一次方程的應用)、證明四邊形是平行四邊形、證明四邊形是矩形【分析】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定等知識，此題難度適中，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．（1）當時，四邊形為平行四邊形，根據列出關于t的方程，解方程即可；（2）當時，四邊形為矩形，根據列出關于t的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：如圖，，當時，四邊形為平行四邊形．根據題意，，，，解得，當時，四邊形為平行四邊形．（2）解：如圖，，，當時，四邊形為矩形．根據題意，，，，解得，當時，四邊形為矩形．【考點題型十三】利用菱形的性質求角度（）【例13】（23-24八年級下·河北唐山·期末）如圖，在菱形中，M，N分別在，上，且，與交于點O，連接，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、三線合一、利用菱形的性質求角度【分析】本題考查了菱形的性質，三角形全等的性質與判定，等腰三角形的性質，掌握以上性質定理是解題的關鍵．根據菱形的性質以及，利用可得，可得，然后可得，繼而可求得的度數．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故選B．【變式13-1】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，菱形中，連接，若，則的度數為．

【答案】/70度【知識點】利用菱形的性質求角度【分析】本題考查了菱形的性質，根據菱形的性質可得，，從而得到，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，∴．故答案為：【變式13-2】（24-25八年級下·河北保定·期中）如圖，在菱形中，過點作于點，作于點．(1)求證：．(2)若，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【知識點】利用菱形的性質求角度、利用菱形的性質證明【分析】本題考查菱形的性質以及利用菱形的性質證明，解題的關鍵是利用菱形性質證明以及利用菱形內角的關系進行角度計算．（1）利用四邊形是平分，有因為，，得出；（2）先根據菱形鄰角互補求出，再求出，進而得出的度數，最后根據求出結果．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，平分，，，．（2）四邊形是菱形，，．，，．，．【考點題型十四】利用菱形的性質求面積（）【例14】（24-25八年級下·河北保定·期中）在菱形中，，，則菱形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】利用菱形的性質求面積【分析】本題考查了菱形的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．根據菱形的性質，菱形的面積等于對角線長乘積的一半，解答即可．【詳解】解：∵菱形中，對角線，，∴菱形的面積為：，故選B．【變式14-1】（24-25八年級下·河北唐山·期中）菱形的對角線相交于O，若，則菱形的面積=．【答案】【知識點】用勾股定理解三角形、利用菱形的性質求線段長、利用菱形的性質求面積【分析】本題考查了菱形的性質，勾股定理，先根據四邊形是菱形，得，，再根據勾股定理算出，結合菱形的面積等于對角線的乘積的一半，即可作答．【詳解】解：如圖：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴，，∴∴．故答案為：．【變式14-2】（23-24八年級下·河北廊坊·期中）如圖，一張矩形硬紙片寬，長，現將沿折疊（點N在邊上），點C的對應點F剛好落在邊上，過點F作，交于點G，連接．

(1)下列說法正確的是（

）A．四邊形是非特殊四邊形

B．四邊形是非特殊平行四邊形C．四邊形是菱形

D．四邊形是長方形(2)試證明你在（1）中所選的結論；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)C(2)見解析(3)【知識點】用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、利用菱形的性質求面積、證明四邊形是菱形【分析】本題考查了矩形的折疊問題，菱形的判定，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握相關性質定理．（1）根據矩形的性質易得，則，根據折疊的性質得出，，則，進而得出，即可得出結論；（2）根據矩形的性質易得，則，根據折疊的性質得出，，則，進而得出，即可得出結論；（3）根據折疊的性質得出，根據勾股定理可得，則，設，則，根據勾股定理可得：，列出方程求出，最后根據四邊形的面積即可解答．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，即，∴，∵沿折疊得到，∴，，∴，∴，∴四邊形是菱形；故選：C；（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，即，∴，∵沿折疊得到，∴，，∴，∴，∴四邊形是菱形；（3）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵沿折疊得到，∴，根據勾股定理可得：，∴，設，則，根據勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴四邊形的面積．【考點題型十五】利用菱形的性質證明（）【例15】（23-24八年級下·河北滄州·期末）菱形具有而矩形不一定具有的性質是（

）A．鄰邊相等 B．對邊相等C．對角相等 D．是中心對稱圖形【答案】A【知識點】矩形性質理解、利用菱形的性質證明【分析】本題考查了菱形和四邊形，熟練掌握菱形的性質和四邊形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：菱形的四條邊都相等，而矩形的鄰邊不一定相等，故選：A．【變式15-1】（24-25八年級下·河北唐山·期中）在手工課上老師讓大家制作菱形風箏．如圖，嘉嘉制作的菱形風箏框架中，點在對角線上，且，現需連接、進行加固．(1)請你幫忙證明：；(2)若用于固定的材料和長度均為，則這個菱形風箏框架的邊長是_________．【答案】(1)見解析(2)【知識點】全等的性質和SAS綜合（SAS）、等邊對等角、用勾股定理解三角形、利用菱形的性質證明【分析】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵．（1）由菱形的性質可得，，由可證，可得結論；（2）連接交于，由菱形的性質可得，，，，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理可求，利用直角三角形的性質可求解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是菱形，，，又，，；（2）如圖，連接交于，四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，在中，菱形的邊長為．故答案為：．【變式15-2】（23-24八年級下·河北保定·期末）定義：若四邊形中某個頂點與其他三個頂點的距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．(1)判斷：如圖①，一個內角為的菱形等距四邊形．（填“是”或“不是”）并說明為什么？(2)如圖②，在的網格圖（每個小正方形的邊長為）中有兩點，請在給出的兩個網格圖上各找出兩個格點，使得以為頂點的四邊形是以點為等距點的“等距四邊形”，畫出相應的“等距四邊形”（互不全等），并求出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．【答案】(1)是，證明見解析；(2)畫圖見解析，非等距點的對角線長或．【知識點】等邊三角形的判定和性質、勾股定理與網格問題、利用菱形的性質證明【分析】（）根據等距四邊形的定義判斷即可求解；（）根據等距四邊形的定義作出圖形，再利用勾股定理求出非等距點的對角線長即可；本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，理解等距四邊形是解題的關鍵．【詳解】（1）解：是．證明：連接，∵菱形，∴，當時，是等邊三角形，，，一個內角為的菱形是等距四邊形；故答案為：是；（2）解：如圖，，，端點均為非等距點的對角線長；如圖，，，端點均為非等距點的對角線長為．（答案不唯一，合理即可）【考點題型十六】根據菱形的性質與判定求線段長（）【例16】（23-24八年級下·河北保定·期末）如圖，矩形紙片，，，點M、N分別在矩形的邊上，將矩形紙片沿直線折疊，使點C落在矩形的邊上，記為點P，點D落在點G處，連接，交于點Q，連接．給出下列結論：①當點G落在矩形外時，；②四邊形是菱形；③點P與點A重合時，；④的面積S的取值范圍是．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【知識點】全等三角形綜合問題、用勾股定理解三角形、矩形與折疊問題、根據菱形的性質與判定求線段長【分析】根據折疊和矩形的性質即可證明，即可判斷①；先判斷四邊形是平行四邊形，再根據判斷四邊形是菱形，即可判斷②；點與點重臺時設，表示出，利用勾股定理解出，進而求出即可判斷③；當過點時，求出四邊形面積的最小值，當與重臺時，求出四邊形面積的最大值，即可判斷④．【詳解】解：①∵四邊形是矩形，∴，根據折疊可得，∵，∴，故①正確；，，根據折疊得，，，，，∴四邊形為平行四邊形，，∴平行四邊形為菱形，故②正確，符合題意；當點與重合時，如圖所示設，則．在中，，即，解得：．，，又∵四邊形為菱形，，，故③錯誤，不符合題意；當過點時，如圖所示：此時，最短，四邊形的面積最小，則最小為，當點與點重合時，最長，四邊形的面積最大，則最大為，∴，故④正確，符合題意．故正確的是①②④，故選：B．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質和判定，翻折問題，三角形的面積，矩形、菱形及平行四邊形的性質等知識點，熟練應用矩形、菱形、平行四邊形的性質及翻折的性質是解題的關鍵．【變式16-1】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）如圖，在平行四邊形中，以點A為圓心長為半徑作弧交于點F，分別以點B、F為圓心，大于的長度為半徑作弧，交于點G，連接并延長交于點E，若，，則的長為．【答案】【知識點】等腰三角形的性質和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的性質求解、根據菱形的性質與判定求線段長【分析】本題考查平行四邊形的性質和角平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．如圖所示：連接，交于于點，首先證明四邊形是菱形，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖所示：連接，交于于點，由題中作圖可知：，平分，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，在中，，，，故答案為：．【變式16-2】（23-24八年級下·河北衡水·階段練習）如圖，在平行四邊形中，E，F分別為的中點，平分．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)求證：；(3)若，求點A到邊的距離．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)【知識點】根據等角對等邊證明邊相等、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形性質和判定證明、根據菱形的性質與判定求線段長【分析】本題主要考查了菱形的性質與判定，勾股定理，等角對等邊，平行四邊形的性質與判定：（1）先由平行四邊形的性質得到，再由線段中點的定義可得，據此可證明四邊形為平行四邊形；（2）先由角平分線的定義得到，再由平行四邊形的性質得到，進而證明，得到，由線段中點的定義得到，則；（3）先證明四邊形為菱形，得到，，由勾股定理得到，則．設點F到的距離為h，根據的面積，可得，據此可得答案．【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，，∵E，F分別為的中點，∴，∴四邊形為平行四邊形；（2）證明：∵平分，∴．∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴．∵E是的中點，∴，∴；（3）解：連接，交于點O，∵四邊形為平行四邊形，，∴四邊形為菱形，∴，且互相平分．∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴點F到的距離即為點A到的距離，設點F到的距離為h根據的面積，可得，，∴點F到的距離為，即點A到邊的距離為．【考點題型十七】正方形性質理解（）【例17】（22-23八年級下·河北保定·期中）將一正方形分割成個小正方形，則在下列數據中，不可能取的數是（

）A．4 B．5 C．9 D．16【答案】B【知識點】正方形性質理解【分析】設大正方形的邊長為a，分割成的小正方形的邊長為b，根據題意得到，進而求解即可．【詳解】設大正方形的邊長為a，分割成的小正方形的邊長為b，∴根據題意可得，，∴，∴n是個平方數，∴不可能取的數是5．故選：B．【點睛】此題考查了正方形的性質，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質．【變式17-1】（23-24八年級下·河北保定·期末）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是正方形，點B的坐標為．（1）若直線恰好經過點B，則；（2）若直線將正方形分成面積相等的兩部分，則．【答案】2【知識點】一次函數與幾何綜合、正方形性質理解【分析】本題主要考查了一次函數的性質、正方形的性質等知識點，掌握將正方形分成面積相等的兩部分的直線必過正方形中心成為解題的關鍵．（1）直接將點B的坐標為代入求得m的值即可；（2）由直線將正方形分成面積相等的兩部分，則該直線過正方形中心，然后代入求得m的值即可．【詳解】解：（1）接將點B的坐標為代入得：，解得：．故答案為：．（2）∵直線恰好把正方形分成面積相等的兩部分，

∴直線必經過正方形的中心，

∵點B的坐標為，

∴正方形中心的坐標為，代入直線中，得：，解得：．故答案為：2．【變式17-2】（23-24八年級下·河北秦皇島·期中）如圖①，在正方形中，點以的速度從點出發按箭頭方向在正方形的邊上運動，到達點后停止，的面積與運動時間之間的函數關系如圖②所示．（規定：點在點、時，）(1)______，當時，______；(2)當點在線段______上運動時，的值保持不變；(3)求當及時，與之間的函數關系式；(4)當的值為多少時，的值等于？【答案】(1)；(2)(3)當時，；當時，(4)或【知識點】函數解析式、動點問題的函數圖象、一次函數與幾何綜合、正方形性質理解【分析】本題是四邊形綜合題，考查的是動點問題，列函數關系式，運用了分類討論的思想，（1）從圖2中看到剛好時最大，得到點在上運動的時間，從而得到，時，點在邊上，且，即可得解；（2）由圖2知面積沒變的是中間一段，從而得到點在上時，值不變；（3）先判斷點在那段線段上運動，用三角形的面積公式計算即可；（4）是時，得到點在和這兩段線段上，所以直接代入函數關系式中即可；解題的關鍵是從圖中找到對應的量．【詳解】（1）解：由圖2，得到點在上運動時間為，∵點以的速度運動，∴，∵四邊形是正方形，∴，當時，，∴點在線段上，∴，故答案為：；；（2）∵的邊是定值，∴點到的距離不變時，的面積不變，即的值保持不變，∴此時點在上，故答案為：；（3）當時，點在線段上，，∴；當時，點在線段上，點到的距離為，∴；當時，點在線段上，，∴；∴當時，；當時，；當時，（4）∵的值等于，當點在線段上時，得：，解得：；當點在線段上時，得：，解得：，∴當或時，的值等于．【考點題型十八】根據正方形的性質證明（）【例18】（23-24八年級下·河北石家莊·期中）如圖將正方形B的一個頂點與正方形A的對角線交點重合放置，已知正方形A的邊長為4，正方形B的邊長為3，則陰影部分面積是（

）A．3 B． C．4 D．8【答案】C【知識點】全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據正方形的性質證明【分析】根據正方形的性質可得，，，再利用等量代換可得，從而可證，可得，再由求解即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形A、B是正方形，∴，，，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故選：C．【變式18-1】（22-23八年級下·河北秦皇島·期末）在平面直角坐標系中，正方形的頂點．則點的坐標為．

【答案】【知識點】坐標與圖形、全等的性質和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、根據正方形的性質證明【分析】過點作軸于點，結合易知；證明，由全等三角形的性質可得，即可獲得答案．【詳解】解：過點作軸于點，如下圖，

∵，∴，∵軸，∴，∴∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、坐標與圖形、全等三角形的判定和性質等知識，解題關鍵是正確添加輔助線構造三角形．【變式18-2】（24-25八年級下·河北保定·期中）綜合與探究如圖，在正方形中，點（不與點，重合）在對角線所在的直線上，連接．過點作，交直線于點．(1)如圖1，當點在對角線上時，求證：．(2)如圖2，當點在的延長線上時，（1）中的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)若正方形的邊長為5，，直接寫出由，，，四點構成的四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析；(3)21或121．【知識點】全等三角形綜合問題、角平分線的性質定理、根據矩形的性質與判定求線段長、根據正方形的性質證明【分析】（1）過點作于點，作于點．通過正方形的性質以及角平分線的性質得出四邊形是矩形，由矩形的性質進一步證明，由全等三角形的性質得出．（2）過點作于點，作于點．四邊形是矩形，由矩形的性質進一步證明，由全等三角形的性質得出．（3）由正方形的性質得出，分兩種情況討論：當點在的延長線上時和當點在的延長線上時，結合（1）（2）的解題過程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，過點作于點，作于點．∵為正方形對角線上的點，∴平分，，∴．∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．在和中，∴，∴．（2）成立證明如下：證明：如圖2，過點作于點，作于點．∵為正方形對角線上的點，∴平分，∴．∵，∴四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．在和中，∴，∴．（3）解：∵正方形的邊長為5，∴．分兩種情況討論：①如圖3，當點在的延長線上時，過點作于點，作于點．∵，∴，∴，在中，．由（2）可知是等腰直角三角形，∴；②如圖4，當點在的延長線上時，過點作于點，作于點．∵，，∴．由（1）（2），可知四邊形是正方形，，∴，，∴．綜上所述，由，，，四點構成的四邊形的面積為21或121．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的綜合問題，角平分線的性質定理，以及等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理等知識，掌握這些知識作出輔助線是解題的關鍵．【考點題型十九】多邊形對角線的條數問題（）【例19】（23-24八年級上·河北滄州·期中）琪琪在操作課上將三角形剪掉一個角后得到四邊形，則下列判斷錯誤的是（

）

A．變成四邊形后對角線增加了兩條B．變成四邊形后內角和增加了C．外角和沒有發生變化D．若剪掉的角的度數是，則【答案】B【知識點】多邊形對角線的條數問題、多邊形截角后的內角和問題、多邊形內角和與外角和綜合【分析】本題考查了多邊形的對角線，內角和與外角和，三角形內角和定理，解題的關鍵是【詳解】解：A、三角形沒有對角線，變成四邊形后對角線為兩條，即增加了兩條，故正確，不合題意；B、三角形內角和為，變成四邊形后內角和為，增加了，故錯誤，不合題意；C、任意多邊形的外角和是，故正確，不合題意；D、若剪掉的角的度數是，則，則，故正確，不合題意；故選：B．【變式19-1】（23-24八年級上·河北保定·期中）若從n邊形的一個頂點出發，可以畫出4條對角線，則n的值是．【答案】7【知識點】多邊形對角線的條數問題【分析】本題考查了多邊形的對角線．根據邊形從一個頂點出發可引出條對角線，可得，求出的值．【詳解】解：設多邊形有條邊，則，解得，故答案為：7．【變式19-2】．（24-25八年級上·河北廊坊·階段練習）已知一個邊形的每一個外角都等于．(1)該邊形______________是正邊形（填“一定”或“不一定”）；(2)求這個邊形的內角和；(3)從這個邊形的一個頂點出發，可以畫出______________條對角線．【答案】(1)不一定(2)這個邊形的內角和為；(3)3【知識點】多邊形的概念與分類、多邊形對角線的條數問題、多邊形內角和與外角和綜合【分析】本題考查正多邊形的定義，多邊形的內角與外角，多邊形的對角線，（1）根據各邊都相等，各角都相等的多邊形是正多邊形判斷即可；（2）先求出這個多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可；（3）根據從邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，據此列式解答即可．【詳解】（1）解：∵一個邊形的每一個外角都等于，∴該邊形的每一個內角都等于：，但該n邊形的各邊不一定都相等，故該邊形不一定是正邊形，故答案為：不一定；（2）解：∵多邊形的外角和是，∴，∴內角和是：，∴這個邊形的內角和為；（3）解：從邊形的一個頂點出發，可以畫出條對角線，∵，∴，∴從這個邊形的一個頂點出發，可以畫出3條對角線．故答案為：．【考點題型二十】多邊形內角和問題（）【例20】（23-24八年級下·河北石家莊·期末）正十二邊形的內角和為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】多邊形內角和問題【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理，根據n邊形的內角和為進行求解即可．【詳解】解：，∴正十二邊形的內角和為，故選：A．【變式20-1】（八年級下·河北滄州·期末）求下列多邊形的邊數，若一個邊形的內角和是外角和的倍，則．【答案】8【知識點】多邊形內角和問題、正多邊形的外角問題【分析】設這個正多邊形的邊數為，則內角和為，再根據外角和等于列方程解答即可．【詳解】解：設這個正多邊形的邊數為，由題意得：，解得．故答案為：．【點睛】此題主要考查了多邊形的內角和和外角和，關鍵是掌握多邊形內角和定理：且為