特殊三角形（易錯必刷150題19種題型專項訓練）一、等腰三角形的定義（共5小題）1．一個等腰三角形的兩邊長分別為，，則該等腰三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．2．如果一個等腰三角形的一個內角為，那么它的一個底角為度．3．已知，，是的三邊長，且滿足，判斷此三角形的形狀．4．已知等腰三角形的周長是．(1)若其中一邊長為，求另外兩邊的長；(2)若頂角是，求底角的度數．5．解答：(1)在等腰中，一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成和兩部分，求等腰三角形的底邊長．(2)已知在等腰中，的外角為，求的頂角度數．二、應用等邊對等角解決問題（共8小題）6．如圖，將繞點A逆時針旋轉得到，若點恰好落到邊上，則的度數為（

）A． B． C． D．7．如圖，，則等于（

）A． B． C． D．8．如圖，在射線上分別截取，連接，在上分別截取，連接…按此規律作下去，若，則（

）A． B． C． D．9．已知：如圖，在中，是中線，且，試判斷是什么形狀，并說明理由．10．如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點，，．(1)說明的理由；(2)若，求的度數．11．證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：在中，，和是的角平分線．求證：______．（請根據題意將題目補充完整，并完成證明．）12．以下是小林同學在自己的錯題集中整理的一道錯題．題目：在中，，求證：．圖形錯誤摘錄：，，，，即，，．錯因分析：正確的證明：(1)請你幫他完成梳理，寫出錯誤原因，并寫出正確的證明過程．(2)請判斷與的位置關系，并說明理由．13．如圖，已知中，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點A向點C以的速度運動．若P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發，其中一點到達終點，另一點隨之停止運動．回答下列問題：

(1)經過后，此時__________，__________（用含t的代數式表示）；(2)當t為多少秒時，是以為底的等腰三角形？(3)當t為多少秒時，使得與全等？三、三線合一的應用（共8小題）14．如圖，等腰中，，，，下列結論：①；②；③；④垂直平分；正確的個數是（

）A．個 B．個 C．個 D．個15．如圖，中，，，是的角平分線，是上的動點，是邊上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．如圖，在中，，，是的平分線，則．17．如圖，在等腰中，平分，點C在的垂直平分線上．若的周長為，則DE的長為．18．如圖，在中，，是中線，，是邊上一點，，求的度數．19．如圖，在中，點、在邊上，，．求證：．20．在中，，平分，于，，點是邊的中點，連接，交于點，連接．(1)求證：；(2)求的度數．21．在中，，，于點，點是射線上一點，連接，過點作于點，且交直線于點．(1)如圖，當點在線段上時，求證：．(2)如圖，當點在線段上時，其它條件不變，猜想與之間的數量關系并證明．(3)如圖，當點在線段的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出與之間的數量關系．四、等腰三角形的證明（共8小題）22．如圖，在中，，，是邊上的高，的平分線分別交，于點，，則圖中的等腰三角形共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個23．如圖，的平分線，與的外角的平分線相交于點F，過點F作交于點D，交于點E，若，，則的長為（

）A．4 B．2.5 C．2 D．1.524．如圖，在中，，和的平分線分別交于點，，，相交于點．（1）若，則的度數為；（2）若，，則的值為．25．如圖，在中，平分，過線段上一點E作，交于點F，交的延長線于點G．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的度數．26．如圖1，在中，和的平分線相交于點，過點作，分別交和于點和．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的周長．27．如圖，在中，，高，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長度．28．如圖，在中，，．將線段繞點順時針旋轉得到線段，過點作，垂足為．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接，的延長線與的延長線相交于點，猜想與的數量關系，并加以證明．29．如圖，直線，AB平分，過點B作交于點C．動點E、D同時從點A出發，其中點E以的速度沿射線運動，動點D以的速度在直線上運動，已知，設點D、E的運動時間為．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)當點D沿射線運動時，若，求t的值；(3)當動點D在直線上運動時，若與全等，直接寫出t的值．五、等腰三角數量的確定（共12小題）30．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點且使為等腰三角形，則點C的個數是（）A．6 B．7 C．8 D．931．如圖，已知中，，，，在所在平面內畫一條直線，將分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（

）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條32．如圖，在中，，，平分交于點，交于點，則圖中共有等腰三角形（）A．個 B．個 C．個 D．個33．如圖，L是一段平直的鐵軌，某天小明站在距離鐵軌80米的A處，他發現一列火車從左向右自遠方駛來，已知火車長150米，設火車的車頭為B點，車尾為C點，小明站著不動，則從小明發現火車到火車遠離他而去的過程中，以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形的時刻共有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個34．已知：如圖，中，，在直線上找一點，使或為等腰三角形，則符合條件的點的個數有（

）A．9個 B．8個 C．7個 D．6個35．如圖，已知中，，．在直線或上取一點P，使得是等腰三角形，則符合條件的P點有（

）處．

A．6 B．7 C．8 D．3

36．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，四邊形是矩形，頂點，，，的坐標分別為，，，，點在軸上，點在邊上運動，使為等腰三角形，則滿足條件的點有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個37．題目：“如圖，已知，點，在邊上，，，是射線上的點，若使點，，構成等腰三角形的點恰好有3個，求的取值范圍。”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整38．如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點．已知線段AB是等腰三角形的一邊，的三個頂點都在正方形網格的格點上，則這樣的等腰三角形的個數為．39．如圖，已知，點M，N在邊上，，點P是邊上的點，若使點P，M，N構成等腰三角形的點P恰好只有一個，則x的取值范圍是．40．如圖所示的方格紙中，每一個小正方形的邊長都是，網格中有一個格點三角形．(1)以直線為對稱軸，在圖中直接作出的軸對稱圖形．(2)在直線右側，在外部，畫出以為腰的一個等腰直角三角形．(3)計算的面積，并通過面積求出的長度．41．（1）如圖，已知，分別是上的點，且．與相等嗎？為什么？

（2）如圖，在中，平分，交于點垂直平分于點．試說明：．

（3）如圖，在中，將三等分，點在上．①求的度數；②寫出圖中所有的等腰三角形．

六、等腰三角形的性質與判定（共10小題）42．已知，如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，，過E作，F為垂足，下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④43．如圖，在中，，將繞點A旋轉得到，且點落在上，連接，則的度數為．44．如圖，是等腰直角三角形，，將沿著一條直線折疊，使頂點的對應點剛好落在邊上，這條折痕分別交，于點，．的平分線交于點，連接，若，則∠FBC=°，°．45．在等腰直角中，，，過點B作的垂線l．點P為直線上的一個動點（不與點A，B重合），將射線繞點P順時針旋轉交直線l于點D．(1)如圖1，點P在線段上，依題意補全圖形．①求證：；②用等式表示線段，，之間的數量關系，并證明．(2)點P在線段的延長線上，直接寫出線段，，之間的數量關系．46．如圖，在中，，；將繞點A按逆時針方向旋轉得到，連接，交于點F．(1)求證：；(2)求的度數．47．在中，，，是邊的中線，是邊上一點，，交于點．(1)如圖①，判斷的形狀并證明；(2)如圖②，，①補全圖形；②用等式表示，，之間的數量關系并證明．48．如圖1，中，，，直線過點，點、在直線同側，，，垂足分別為、．(1)探究模型：求證：；(2)類比模型；如圖2，中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉至，連接，求的面積．(3)應用模型：如圖3，中，，，將繞點順時針旋轉，得，連接，求的面積．49．如圖，已知和是等腰直角三角形，連接．點M、N分別在上，且過點B，垂直于，若．求證：(1)(2)點N是AD的中點；(3)．50．如圖，在中，，（），為射線上一動點（不與點、重合），在的右側作，使得，，連接．(1)若，則______；(2)當點在線段上時，求證：；(3)若點運動到線段上某一點時，恰好有，問：線段與線段有什么位置關系并說明理由；(4)在點的運動過程中，當垂直于的某邊時，則______（用含的代數式表示）．51．【問題情境】如圖，把一塊三角板（，）放入一個“”形槽中，使三角形的三個頂點、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知，在滑動過程中，線段AD與的數量關系為．

【變式探究】如圖，在四邊形中，點是線段上一點，且滿足，，，試說明；如圖，在中，，，點、分別是邊、AB上的動點，且．以為腰向右作等腰，使得，，連接CE，求的度數．七、等邊三角形的性質（共8小題）52．如圖，等邊的邊長為4，平分，點在的延長線上，，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．853．如圖，點C在上，作線段的同側作等邊和等邊相交于點與交于點與交于點N，連接，下列結論：，其中正確的是（

）A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④54．如圖，點是射線上一個定點，點是射線上的一個動點，，以線段為邊在右側作等邊三角形，以線段為邊在上方作等邊三角形，連接，隨點的移動，下列說法中正確的是（

）①；②；③直線與射線所夾的銳角的度數不變；④隨點的移動，線段的值逐漸增大．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④55．如圖，是等邊三角形，，，則的度數為．56．在等邊中，，點O在AB上，且，點P是上一動點，連接，將線段繞點O逆時針旋轉得到線段．要使點D恰好落在邊上，則的長是．57．已知：如圖，點分別在等邊三角形的邊上，，與交于點．求證：中必有一個角為．58．如圖1，等邊中，D是邊上的動點，以為一邊，向上作等邊，連接．(1)求證：；(2)試判斷與的位置關系，并證明你的判斷；(3)如圖2，將動點D運動到邊的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是（2）中的結論是否成立？并說明理由．59．已知：和都是等邊三角形，連接，．(1)如圖1，線段和的數量關系是：___________________，并就圖1的情形證明你的結論；(2)如圖2，點，，在同一條直線上，且是的中點．①直接寫出的度數是_____；②與有怎樣的位置關系，并給予證明．八、等邊三角形的判定（共8小題）60．下面給出幾種三角形：（1）有兩個角為的三角形；（2）三個外角都相等的三角形；（3）一邊上的高也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個角為的等腰三角形，其中是等邊三角形的個數是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個61．如圖，已知和，點C在線段上，．(1)求證；(2)若，連接，求證是等邊三角形．62．如圖，，，，．(1)求的度數；(2)判斷的形狀，并說明理由．63．如圖，在中，，，交于點，且，，其兩邊分別交邊，于點，．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，，求四邊形的周長．64．如圖1，和都是頂角為的等腰三角形，其中，點D在上．(1)求證：；(2)求證：如圖2，當點E在的延長線上，為等邊三角形．65．如圖1，，，，．點P在線段上以每秒2個單位的速度由點向點運動，同時，點在線段上以每秒2個單位的速度由點向點運動．它們的運動時間為．(1)當時，與是否全等，請說明理由，并判斷此時線段和線段的位置關系；(2)如圖2，當時，連接，請判斷的形狀并說明理由．66．如圖，在和中，，，．求證：(1)；(2)若點E剛好落在線段上，且，則的形狀為________．67．如圖，點是等邊內一點，是外的一點，，，，，連接．(1)求證：是等邊三角形；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)探究：當為多少度時，是等腰三角形．（直接寫出答案）九、30°銳角所對的直角邊（共8小題）68．如圖，在中，，平分，于D．如果，，那么

A． B． C． D．69．如圖，已知，平分，點D是上一點，且，點C是上一動點，點P是上一動點，連接，則的最小值是（）A．5 B．10 C．15 D．2070．如圖，為等邊三角形，，，相交于點P，于，，．(1)求證：；(2)求的長．71．如圖，在中，是高，點是邊的中點，點在邊的延長線上，的延長線交于點，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長．72．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點，作的垂直平分線，分別交、于點、．（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)求證：點是中點；(3)連接，求的度數．73．如圖，邊長為的等邊中，點分別是邊上的動點（端點除外），點從頂點，點從頂點同時出發，且它們的速度都為，連接，交于點，在點，運動的過程中．(1)求證：；(2)的大小是否發生變化？若無變化，求的度數；若有變化，請說明理由；(3)連接，當點，運動多少秒時，是直角三角形？74．如圖，在中，，，是邊上的中線，且，的垂直平分線交于，交于．(1)求的度數；(2)證明是等邊三角形；(3)若的長為2，求的邊長．十、直角三角形斜邊上的中線（共7小題）75．如圖，在三角形部件中，，為邊的中點，則的長為（

）A． B． C． D．76．如圖，一根長5米的梯子斜靠在與地面垂直的墻上，P為的中點，當梯子的一端A沿墻面向下移動，另一端B沿向右移動時，的長（

）A．先增大，后減小 B．逐漸減小 C．逐漸增大 D．不變77．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于點G，且．若，則的度數是．78．如圖1，在中，，M為中點將沿翻折，得到（如圖2），P為上一點，再將沿翻折，使得D與B重合（如圖3），給出下列四個命題：①；②；③；④．其中說法正確的是．79．如圖，在中，，垂足為F，，垂足為E，M為的中點，連接．(1)求證：；(2)若，求的大小．80．如圖，已知中，，E是的中點，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數．81．已知：如圖，在四邊形中，，點E是的中點．(1)求證：是等腰三角形；(2)當__________°時，是等邊三角形．(3)當時，若，取中點F，求的長．十一、用勾股定理理解三角形（共5小題）82．已知一個直角三角形兩直角邊長分別為3和4，則它的斜邊長為（

）A．5 B．4 C．3 D．83．如圖，以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與數軸交于點A，則點A表示的數是（

）A． B． C． D．84．如圖，是四根長度相同的小木棒，A、C、E三點共線，于點C，若，則一根小木棒的長為（）A．5 B．6 C．7 D．885．如圖，在中，，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．86．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于F，，若，則．十二、勾股數（數）問題（共8小題）87．下列各組數中，是勾股數的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，1388．有一個邊長為1的正方形，經過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（圖①），其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形；再經過一次“生長”后，變成了如圖②．如果繼續“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計算出“生長”了10次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（

）A．11 B．55 C．66 D．89．如圖，以的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為，若，則的值為90．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是，正方形F的面積是，正方形G的面積是．91．如果正整數、、滿足等式，那么正整數、、叫做勾股數．小明根據自己探究勾股數的過程，列成下表：abc345861015817(1)小明發現：，，，請你根據小明發現的規律寫出下一組勾股數：__________；(2)若用（為整數，且）表示，那么、用含的代數式分別表示為__________和_____，請用所學知識說明它們是一組勾股數．92．課堂上學習了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數時我們稱之為“勾股數”．王老師給出一組數讓學生觀察：；；；；，學生發現這些勾股數的勾都是奇數，且從起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學生解決．若兩直角邊為（），斜邊為．(1)請你根據上述的規律寫出下一組勾股數：、、；(2)當（為奇數，且）時，若，時可以構造出勾股數（用含的代數式表示），并證明你的猜想；(3)構造勾股數的方法很多，請你尋找當時，．93．探究一：如圖，均為正方形．問題：（）若圖中的為直角三角形，的面積為，的面積為10，則的面積為________；（）若的面積為，的面積為，同時的面積為，則為________三角形．探究二：圖形變化：（）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，判斷這三個半圓的面積之間有什么關系，并說說你的理由；（）如圖，如果直角三角形兩直角邊長分別為和，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面的結論求出陰影部分的面積嗎？如果能，請寫出你的計算過程；如果不能，請說明理由．94．我國是歷史上較早發現并運用“勾股定理”的國家之一、古人將直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，則有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．請運用“勾股定理”解決下列問題．(1)如圖1，直角三角形的兩條直角邊分別是9厘米和12厘米，則這個直角三角形的斜邊長___________厘米．(2)如圖2，分別以直角三角形的邊為邊長作正方形，則___________，___________．根據勾股定理可知，，所以___________=___________．(3)如圖3，圓柱的高為4厘米、底面半徑為1厘米．在圓柱底面A點有一只螞蟻，它想吃到與A點相對的B點處的食物，需要爬行的最短路程是多少厘米？（取3）下面是小林的思考過程，請你幫他補充完整．①將該圓柱的側面展開后得到一個長方形，如圖4所示（A點的位置已經給出），請在圖中標出B點的位置并連接．②小林認為線段的長度是螞蟻爬行的最短路程，那么螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？十三、勾股定理與網格圖（共6小題）95．如圖在的網格中，每個小正方形的邊長均為2，則B到直線的距離為（）A． B． C． D．96．方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，小正方形的頂點稱為格點，我們把頂點都是格點的多邊形稱為“格點多邊形”．(1)在圖1中．點A、B都是格點，則的長度是______；(2)在圖1中，找出一個格點C，請用無刻度的直尺畫一個以為腰的等腰；(3)在圖2中，是格點三角形，請用無刻度的直尺找出一個格點D，使平分不寫畫法，保留畫圖痕跡97．如圖，在正方形網格中，點，，，，都在格點上．(1)作關于直線對稱的圖形；(2)若網格中最小正方形的邊長為，求的面積；(3)在直線上找一點，則的最小值為______．98．圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的邊長均為1，其頂點稱為格點．按要求完成下列問題，要求只用無刻度的直尺，在給定的網格中作圖．(1)在圖①中畫出一個格點，使是等腰三角形，且面積為3．(2)在圖②中畫出一個格點，使是以為腰的等腰直角三角形．(3)在圖③中畫出一個格點，使是等腰直角三角形，且面積為2.5．99．小明對數學課上老師給出的一道思考題“在方格紙上畫一個面積為3的三角形”產生了濃烈的興趣，課后他想進一步探究學習，請你與他一起來完成．（注：方格紙中每個小方格的邊長為1）【思考嘗試】（1）如圖（1），線段的長為6，請以為一邊，畫出一個面積為3的鈍角三角形，并直接寫出它的另外兩邊長分別為__________，__________（三角形的頂點均為格點）【實踐探究】（2）如圖（2）①，小明截取出方格紙的局部，你能剪一剪，并把它們拼成一個無重疊無縫隙的正方形嗎？請在圖（2）①中畫出剪切線，在圖（2）②中畫出拼成的正方形，并計算它的邊長．【拓展遷移】（3）如圖（3），邊長分別為的兩個正方形和擺放到一起，剪一剪，并把它們拼成一個無重疊無縫隙的大正方形，請你在圖（3）中畫出裁剪線，并畫出拼成的大正方形．．100．【背景介紹】如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理．思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結論．這里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運用】（1）請利用“雙求法”解決問題：如圖2，在的網格圖中，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得，則邊上的高的長度為______；（2）在中，，于點D．設，，．①用“雙求法”表示，可以得到關于a，b，m的關系式：______；②用含a，b的代數式表示的斜邊上的中線與高線，并直接比較它們的大小；【知識遷移】（3）如圖，學校有一塊一邊靠墻（圖中實線）的種植園，該興趣小組想靠墻（墻足夠長），在此規劃一個面積為50平方米的長方形種植實驗地，并用小柵欄（圖中虛線）將該長方形種植實驗地按如圖所示方式分成6個小長方形區域，求小柵欄的總長度（所有虛線長之和）最少為多少米？2024年11月27日初中數學作業學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________十四、勾股定理逆定理及其應用（共10小題）101．已知：在中，分別是的對邊，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C．，， D．102．城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態環境和提高廣大人民群眾生活質量的公益事業．如圖，某小區在社區管理人員及社區居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地（陰影部分）．若，，，，則這塊可以綠化的空地（陰影部分）的面積為（

）A． B．C． D．103．在如圖所示的方格圖中，點A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，能構成個直角三角形．104．如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．105．如圖，△ABC中，，，邊上的中線．(1)與互相垂直嗎？為什么？(2)求的長．106．如圖，正方形網格的每個小方格的邊長均為1，的頂點在格點上．(1)直接寫出______，______，______；(2)判斷的形狀，并說明理由．7．如圖，某社區有一塊四邊形空地，，，．從點A修了一條垂直的小路（垂足為E），E恰好是的中點，且．

(1)求邊的長；(2)求這塊空地的面積．108．如圖，點O是等邊內一點，將繞點B逆時針旋轉得到，連接，，，．(1)求證：．(2)若，，，求的度數．109．如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪，公園管理處計劃修一條A到的小路，經測量，，，，，．

(1)求小路的長；(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點處，小狗從點開始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到點A時停止奔跑，當小狗在小路上奔跑時，小狗需要跑多少秒與淇淇的距離最近？110．在中，．如圖1，若時，根據勾股定理有．(1)如圖2，當為銳角三角形時，類比勾股定理，判斷與的大小關系，并證明；(2)如圖3，當為純角三角形時，類比勾股定理，判斷與的大小關系，并證明；(3)如圖4，一塊四邊形的試驗田，已知米，米，米，米，求這塊試驗田的面積．十五、勾股定理與折疊問題（共7小題）111．如圖，在中，，，，點在上，將沿直線翻折后，點的對稱點恰好落在上，則線段的長為．112．如圖，折疊，使直角邊落在斜邊上，點落到點處，已知，，則的長為．113．如圖，在中，，，，D是邊上的一點（不與點B，C重合），連接，將沿折疊，使點C落在點E處．當是直角三角形時，的長為．114．如圖，在中，，，，為邊上一點，連接．將沿折疊得到，交于點．若，則的長為．115．在中，，，，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點，把沿著直線DE折疊，頂點B的對應點是．(1)如圖1，如果點和頂點A重合，求CE的長．(2)如圖2，如果點落在的中點上，求CE的長．116．如圖1，是兩個全等的直角三角形（直角邊分別為，，斜邊為）

(1)用這樣的兩個三角形構造圖2的圖形，你能利用這個圖形證明出結論嗎？如果能，請寫出證明過程；(2)當，時，將其中一個直角三角形放入平面直角坐標系中，使直角頂點與原點重合，兩直角邊，分別與軸、軸重合（如圖3中的位置）．點為線段上一點，將沿著直線翻折，點恰好落在軸上的處，請寫出、兩點的坐標；若為等腰三角形，點在軸上，請求出符合條件的所有點的坐標．117．如圖，在長方形中，，，，，．N是邊上一點，．若M為邊上一個動點，將四邊形沿折疊，點B、C的對應點分別為點、，若線段與邊交于點E．(1)如圖1，證明：為等腰三角形；(2)如圖2，當點M與點A重合時，求線段的長；(3)點M從點A向點B運動的過程中，①線段的最大值為；②請直接寫出點E運動的路徑長為．十六、勾股定理的證明（共8小題）118．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A． B．C． D．119．中國古代數學家們對于勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了數學研究中的繼承和發展．現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．中，，若，，請你利用這個圖形解決下列問題：(1)試說明：；(2)如果大正方形的面積是15，小正方形的面積是4，求的值．120．“趙爽弦圖”是三國時期吳國數學家趙爽設計的組合圖形，它是由四個完全相同的直角三角形拼成的正方形(1)如圖1“趙爽弦圖”中，四個完全相同的直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，請你借助該圖、證明勾股定理；(2)一個零件的形狀如圖2，按規定這個零件中∠A和∠C都應是直角．工人師傅測得這個零件各邊尺寸（單位：）如圖2所示，這個零件符合要求嗎？請說明理由．121．材料學習：在勾股定理的學習中，我們已經學會了運用圖1、圖2的圖形，驗證著名的勾股定理，這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數與代數，圖形與幾何等領域中的許多數學公式和規律．靈活運用：如圖，等腰直角三角板如圖放置，直角頂點C在直線m上，分別過點A、B作直線m于點E，直線m于點M，(1)材料中的方法體現的數學思想是（

）A．函數思想

B．分類討論思想

C．數形結合思想

D．整體思想(2)試說明；(3)若設三邊分別為a、b、c．參照以前的學習經驗，利用此圖證明勾股定理．122．【自主探究】（1）用不同的方法計算圖1中陰影部分的面積，得到等式________；（2）圖2是由兩個邊長分別為的直角三角形和一個兩條直角邊都是的直角三角形拼成，試用不同的方法計算這個自形的面積，你能發現什么？說明理由；【遷移應用】根據（1）、（2）中的結論，解決以下問題：（3）如圖3，五邊形中，，垂足為周長為2，四邊形為長方形，求四邊形的面積．123．“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．趙爽利用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，在驗明勾股定理，為中國古代以形證數形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范．(1)如圖1，是小琪制作的一個“趙爽弦圖”紙板．①設，，，請你利用圖1驗證：；②若大正方形的邊長為13，小正方形的邊長為7，求直角三角形兩直角邊之和為多少？(2)如圖2，小昊把四個全等的直角三角板緊密地拼接在一起，已知外圍輪廓實線的周長為48，，求這個圖案的面積．124．著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為，較小的直角邊長都為，斜邊長都為)，大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為，，斜邊長為，則．【結論探究】(1)圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理；【結論應用】(2)如圖③，在一條東西走向河流的一側有一村莊，河邊原有兩個取水點，，，由于某種原因，由到的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點，，在同一條直線上)，并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路CA少多少千米？【問題拓展】(3)中，，，，，垂足為，請直接寫出的值．125．勾股定理是人類最偉大的十個科學發現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，則______（用含有a，b和c的式子表示三者之間的等量關系）；②勾股定理的證明，人們已經找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）(2)①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個圖形中面積關系滿足的有______個；②如圖7所示，分別以直角三角形兩直角邊為直徑作半圓，設圖中兩個月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為，，直角三角形面積為，請判斷，，的關系并證明；(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，已知，則當變化時，回答下列問題：（結果可用含m的式子表示）則：①______．②b與c的關系為______，a與d的關系為______．十七、勾股定理的實際應用問題（共11小題）126．如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端5m處，發現此時繩子底端距離打結處約1m．如果設旗桿的高度為xm，那么根據題意可列方程（

）A． B．C． D．127．如圖，學校操場上有兩棵樹和（都與水平地面垂直），大樹高8米，樹梢D到樹的水平距離的長度為8米，小樹高2米，一只小鳥從樹梢D飛到樹梢B，則它至少要飛行的長度為（

）A．8米 B．10米 C．12米 D．16米128．《九章算術》有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何？這道題的意思是：有一個正方形的池塘，邊長為1丈，有一棵蘆葦生長在池塘的正中央，并且蘆葦高出水面部分有1尺，如果把蘆葦拉向岸邊則恰好碰到岸沿，則蘆葦的高度為尺．（1丈＝10尺）129．2024年第13號臺風“貝碧嘉”于9月16日17時前后經過常州，給當地造成了巨大損失．如圖，一棵垂直于地面并且高9米的銀杏樹被臺風折斷，樹頂A落在離樹底部C的6米處，求這棵樹在離地面多高處被折斷．130．在某市“非遺市集”活動現場，諸多非遺項目集中亮相．小明買了一個年畫風箏，并進行了試放，為了驗證某些數學問題，他設計了如下的方案：先測得放飛點與風箏的水平距離為；根據手中余線長度，計算出的長度為；牽線放風箏的手到地面的距離為．已知點在同一平面內．(1)求風箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩的情況下，若想要風箏沿射線方向再上升，請問能否成功？請說明理由．131．某校八年級（1）班的小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度，他們進行了如下操作：①測得的長為15米（注）；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為25米；③牽線放風箏的小明身高米．(1)求風箏的高度．(2)過點作，垂足為，求的長度．132．交通安全是社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學八年級數學活動小組走進交警大隊，了解了測試汽車速度的方法．案例如下：如圖，一輛小汽車在街道上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測儀的正前方米的點處，過了秒后，測得小汽車所在的點與車速檢測儀之間的距離為米，，已知該段城市街道的限速為/，請判斷這輛小汽車是否超速，并說明理由．133．在“歡樂周末·非遺市集”活動現場，諸多非遺項目集中亮相，讓過往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個年畫風箏，并進行了試放，為了解決一些問題，他設計了如下的方案：先測得放飛點與風箏的水平距離為15m；根據手中余線長度，計算出的長度為17m；牽線放風箏的手到地面的距離為1.5m．已知點A，B，C，D在同一平面內．(1)求風箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩9m的情況下，若想要風箏沿射線方向再上升12m，請問能否成功？請運用數學知識說明．134．森林火災是一種常見的自然災害，危害很大，隨著中國科技、經濟的不斷發展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺救火飛機沿東西方向，由點飛向點，已知點為其中一個著火點，已知，，，飛機中心周圍以內可以受到