特殊三角形（易錯必刷150題19種題型專項訓(xùn)練）一、等腰三角形的定義（共5小題）1．一個等腰三角形的兩邊長分別為，，則該等腰三角形的周長為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：①為腰，為底，能構(gòu)成三角形，此時周長為；②為底，為腰，則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍去．∴該三角形的周長是．故選：A．2．如果一個等腰三角形的一個內(nèi)角為，那么它的一個底角為度．【答案】或【分析】本題考查了等腰三角形的定義，掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，分類討論：當頂角為時；當?shù)捉菫闀r；由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當頂角為時，兩個底角相等，∴它的一個底角為：；當?shù)捉菫闀r，另一個底角也是，∴頂角為，符合題意；∴底角的度數(shù)為：或，故答案為：或．3．已知，，是的三邊長，且滿足，判斷此三角形的形狀．【答案】等腰三角形【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．已知等式左邊分解因式后，利用兩數(shù)相乘積為0兩因式中至少有一個為0得到，即可確定出三角形形狀．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，故為等腰三角形4．已知等腰三角形的周長是．(1)若其中一邊長為，求另外兩邊的長；(2)若頂角是，求底角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．（1）分等腰三角形的腰長為與等腰三角形的底邊長為兩種情況，分析求解即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：（1）當?shù)妊切蔚难L為時，底邊長，∵∴以長線段為腰，不能構(gòu)成周長為的等腰三角形；當?shù)妊切蔚牡走呴L為時，腰長，∵，∴能構(gòu)成三角形，∴等腰三角形的另兩邊長分別為；（2）根據(jù)題意得，底角度數(shù)．5．解答：(1)在等腰中，一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成和兩部分，求等腰三角形的底邊長．(2)已知在等腰中，的外角為，求的頂角度數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由題意可知等腰三角形的周長是，設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為、，由題意可得或，解方程組即可求得等腰三角形的底邊長；（2）由鄰補角互補可得，然后分兩種情況討論：是頂角時，是底角時，分別求解即可．【詳解】（1）解：一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成和兩部分，等腰三角形的周長是：，設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為、，由題意可得：或，解得：或（不合題意，故舍去），等腰三角形的底邊長為；（2）解：的外角為，，分兩種情況討論：是頂角時，此時，的頂角度數(shù)是；是底角時，此時，的頂角度數(shù)是：；綜上，的頂角度數(shù)是或．【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，構(gòu)成三角形的條件，利用鄰補角求角度，三角形的內(nèi)角和定理等知識點，運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．二、應(yīng)用等邊對等角解決問題（共8小題）6．如圖，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，若點恰好落到邊上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，求得和的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得，的度數(shù)，依據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得到，進而即可解答．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．7．如圖，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴．故選：C．8．如圖，在射線上分別截取，連接，在上分別截取，連接…按此規(guī)律作下去，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，圖形的變化規(guī)律．根據(jù)等腰三角形兩底角相等用表示出，依此類推即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，同理，，，，，故選：B．9．已知：如圖，在中，是中線，且，試判斷是什么形狀，并說明理由．【答案】直角三角形，理由見解析．【分析】本題考查直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵主要利用中線定義和等邊對等角的性質(zhì)解答．根據(jù)“是的中線，且”求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，．再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，即可得結(jié)論．【詳解】解：是直角三角形．證明：如圖，，，．，．又．，即是直角三角形．10．如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點，，．(1)說明的理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，從而，然后格努等腰三角形的性質(zhì)求出，進而可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴．（2）解：因為所以，所以因為所以所以．11．證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．已知：在中，，和是的角平分線．求證：______．（請根據(jù)題意將題目補充完整，并完成證明．）【答案】，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進而由角平分線的定義可得，再根據(jù)可證，據(jù)此即可求證，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】已知：在中，，和是的角平分線．求證：．證明：∵，∴，∵和是的角平分線，∴，，∴，在和中，，∴，∴．12．以下是小林同學(xué)在自己的錯題集中整理的一道錯題．題目：在中，，求證：．圖形錯誤摘錄：，，，，即，，．錯因分析：正確的證明：(1)請你幫他完成梳理，寫出錯誤原因，并寫出正確的證明過程．(2)請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)原因見解析，證明見解析(2)，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，垂直平分線的判定．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理即可解答；先由得，結(jié)合和，即可通過證明，即可作答；（2）根據(jù)垂直平分線的判定定理證明垂直平分，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：錯因分析：不是，的夾角，不是，的夾角，不能通過證明；正確的證明：，．，，．（2）解：理由如下：，在的垂直平分線上，，在的垂直平分線上，垂直平分．13．如圖，已知中，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點A向點C以的速度運動．若P，Q兩點分別從B，A兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點，另一點隨之停止運動．回答下列問題：

(1)經(jīng)過后，此時__________，__________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當t為多少秒時，是以為底的等腰三角形？(3)當t為多少秒時，使得與全等？【答案】(1)，(2)1(3)2【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間求解即可；（2）根據(jù)構(gòu)建方程求解即可；（3）根據(jù)等邊對等角得出，要使得與全等，則有兩種情況：①；②，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，，故答案為：，；（2）解：根據(jù)題意，得，解得，即當t為1秒時，是以為底的等腰三角形；（3）解：∵，點D為的中點，∴，，要使得與全等，則有兩種情況：①；②，①當時，，，∴，，解得，符合題意；②當時，，，∴，，解得，，不符合題意，舍去，綜上，當t為2秒時，使得與全等．三、三線合一的應(yīng)用（共8小題）14．如圖，等腰中，，，，下列結(jié)論：①；②；③；④垂直平分；正確的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】證明，得出，，可判定①②正確；證明點在線段的垂直平分線上，得出垂直平分BC，判定④正確；延長交于點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)余角性質(zhì)得出，可判定③正確，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，故①②正確；∵，∴，∵，∴點在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，故正確；延長交于點，如圖所示，∵，垂直平分，∴，∵，∴，∴，故③正確；綜上可知，正確的結(jié)論有個，故選：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，余角的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．15．如圖，中，，，是的角平分線，是上的動點，是邊上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱圖形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，首先根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，，過點作交于點，由軸對稱圖形的性質(zhì)及“垂線段最短”的性質(zhì)可得的最小值為的長，即可獲得答案，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是的角平分線，∴，，∴點關(guān)于對稱，過點作交于點，連接，CE如圖，∴，根據(jù)是上的動點，是邊上的動點，要使取最小值，只需滿足三點共線，由軸對稱圖形的性質(zhì)及在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短，可得的最小值即為的長，∵的面積為，∴，∴，即的最小值為，故選：．16．如圖，在中，，，是的平分線，則．【答案】5【分析】本題考查三線合一，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)果．【詳解】解：，的平分線交邊于點，，．故答案為：517．如圖，在等腰中，平分，點C在的垂直平分線上．若的周長為，則DE的長為．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點，由題意得的周長，根據(jù)點C在的垂直平分線上得，即可求解；【詳解】解：∵平分，∴，∴的周長，∴，∵點C在的垂直平分線上．∴，∴，故答案為：18．如圖，在中，，是中線，，是邊上一點，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，從而可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，點是的中點，∴，，∴，∴，∴，∴．19．如圖，在中，點、在邊上，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，作于點，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再求出，即可得證，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】證明：作于點，，，，，即，，．20．在中，，平分，于，，點是邊的中點，連接，交于點，連接．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，然后利用證明，得，由等腰三角形的性質(zhì)得，得，即可得出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得，，則，再由直角三角形的性質(zhì)得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，∵，∴，，∴，在和中，，∴∴，∵，平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，∵平分，∴，∵，點是邊的中點，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．21．在中，，，于點，點是射線上一點，連接，過點作于點，且交直線于點．(1)如圖，當點在線段上時，求證：．(2)如圖，當點在線段上時，其它條件不變，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系并證明．(3)如圖，當點在線段的延長線上時，其它條件不變，請直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)證明見解析；(2)，證明見解析；(3)．【分析】（）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)同角的余角相等得到，再根據(jù)證明即可得出結(jié)論；（）同理（）證明，即可得出結(jié)論；（）同理（）證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，，∴，∵于點，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：．證明：∵，，，∴，，，∴，∵于點，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；（3）解：．證明：∵，，，∴，，∴，∵于點，∴，∴，∴，即，即，在和中，，∴，∴；【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，余角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．四、等腰三角形的證明（共8小題）22．如圖，在中，，，是邊上的高，的平分線分別交，于點，，則圖中的等腰三角形共有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定、根據(jù)在中，，利用三角形內(nèi)角和定理求得，然后可得等腰三角形．【詳解】解：∵是高，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∵是平分線，∴，在中，，∴，∴，即是等腰三角形，在中，，∵，∴，∴，即是等腰三角形，∴等腰三角形有，，；故答案為：3．23．如圖，的平分線，與的外角的平分線相交于點F，過點F作交于點D，交于點E，若，，則的長為（

）A．4 B．2.5 C．2 D．1.5【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，、分別平分、，且，可得，，根據(jù)等角對等邊得出，，根據(jù)即可求得．利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來推導(dǎo)證明是本題的特點．【詳解】解：∵、分別平分、，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，故選：C．24．如圖，在中，，和的平分線分別交于點，，，相交于點．（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，，則的值為．【答案】13【分析】本題考查了等腰三角形的判定，與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)：①由角平分線得到，由三角形的內(nèi)角和定理得到，再對運用內(nèi)角和定理即可求解；②根據(jù)題意證明，進而可得，即可得出答案．【詳解】解：①和的平分線分別交于點，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：；②∵，∴，∵和的平分線分別交于點，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：13．25．如圖，在中，平分，過線段上一點E作，交于點F，交的延長線于點G．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）證明，得到，即可求證；（）證明，得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，平分，∴，∴，∴．26．如圖1，在中，和的平分線相交于點，過點作，分別交和于點和．(1)求證：是等腰三角形．(2)若，，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查等腰三角形判定，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)．有效的進行線段的等量代換是正確解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)即可證明是等腰三角形，（2）同理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)得，則的周長，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵是的平分線，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）解：由（1）得：，同理可得，∴的周長，∵，，∴的周長．27．如圖，在中，，高，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長度．【答案】(1)見解析；(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定、全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)．解決本題的關(guān)鍵是證明．（1）先由已知得到，即可證明，即可求得；（2）由（1）得，，從而，再利用線段的和差即可得解．【詳解】（1）證明：∵高，交于點，∴，，，∴是等腰直角三角形，，∵，，∴，，，，在和中，，，∴；（2）解：由（1）得，，∴，∵，，∴，∴．28．如圖，在中，，．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作，垂足為．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，的平分線與的延長線相交于點，連接，的延長線與的延長線相交于點，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，進一步推得，根據(jù)全等三角形的判定，即得答案；（2）證明，即可進一步證明，再根據(jù)等腰三角形的判定，即可證得答案．【詳解】（1）證明：將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，；（2）猜想:．證明：，，平分，，，，，，，．29．如圖，直線，AB平分，過點B作交于點C．動點E、D同時從點A出發(fā)，其中點E以的速度沿射線運動，動點D以的速度在直線上運動，已知，設(shè)點D、E的運動時間為．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)當點D沿射線運動時，若，求t的值；(3)當動點D在直線上運動時，若與全等，直接寫出t的值．【答案】(1)詳見解析(2)或4(3)2或6【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)垂直定義和角平分線的定義得，根據(jù)垂直定義得，得，即得；（2）作于H，于G．由角平分線性質(zhì)得，根據(jù)，，，得，得，解得；當點E運動到延長線上時，，同法可得．（3）根據(jù)，，得，當點D在上，點E在上時，，解得，當點D在延長線上，點E運動到延長線上時，，解得．【詳解】（1）解：如圖1中，∵，∴，∵AB平分，∴，∵，∴，∴，∴，是等腰直角三角形；（2）解：如圖2中，①當E在線段上時，作于H，于G．∵AB平分，∴，∵，，，∴，∴，∴.②當點E運動到延長線上時，，同法可得，∴當或時，滿足．故t值為或4；（3）解：∵，，∴，當點D在上，點E在上時，，∴，當點D在延長線上，點E運動到延長線上時，，∴，綜上所述，滿足的時間為或，故t值為2或6．五、等腰三角數(shù)量的確定（共12小題）30．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知A、B是兩格點，如果C也是圖中的格點且使為等腰三角形，則點C的個數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定，根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰底邊；②為等腰其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論．①為等腰底邊時，符合條件的C點有4個（包括兩個等腰直角三角形）；②為等腰其中的一條腰時，符合條件的C點有4個．一共有8個點.故選：C．31．如圖，已知中，，，，在所在平面內(nèi)畫一條直線，將分割成兩個三角形，使其中有一個邊長為3的等腰三角形，則這樣的直線最多可畫（

）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計與作圖等知識，利用圖形分類討論是解題關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分別利用為底以及為腰得出符合題意的圖形即可．【詳解】解：如圖所示，當，，，，都能得到符合題意的等腰三角形．故選：B．32．如圖，在中，，，平分交于點，交于點，則圖中共有等腰三角形（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】本題考查了等腰三角形判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個角相等是本題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴為等腰三角形，，∵∴，∴，為等腰三角形，∵CD平分，∴，∴，為等腰三角形，，∴，為等腰三角形，∵，，∴∴，為等腰三角形．綜上所述：共有5個等腰三角形．故選C．33．如圖，L是一段平直的鐵軌，某天小明站在距離鐵軌80米的A處，他發(fā)現(xiàn)一列火車從左向右自遠方駛來，已知火車長150米，設(shè)火車的車頭為B點，車尾為C點，小明站著不動，則從小明發(fā)現(xiàn)火車到火車遠離他而去的過程中，以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形的時刻共有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵；在火車自左向右運動的過程中，車長可以是腰，也可以是底邊，分別判斷即可．【詳解】解：當車長為底時，，是等腰三角形是；當車長為腰時，，，，，，，，是等腰三角形，故得到的等腰三角形共有5個．故選：D．34．已知：如圖，中，，在直線上找一點，使或為等腰三角形，則符合條件的點的個數(shù)有（

）A．9個 B．8個 C．7個 D．6個【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的存在形問題，根據(jù)題意，畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求解即可．【詳解】解：以為圓心，的長為半徑畫圓，得到為等腰三角形，以為圓心，的長為半徑畫圓，得到為等腰三角形，作的中垂線，得到為等腰三角形，即，以為邊的等腰三角形有4個，同理：以為邊的等腰三角形也有4個；故總共有8個等腰三角形；故選B．35．如圖，已知中，，．在直線或上取一點P，使得是等腰三角形，則符合條件的P點有（

）處．

A．6 B．7 C．8 D．3【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定來解決實際問題，根據(jù)題意，畫出圖形結(jié)合求解．【詳解】如圖，第1個點在上，作線段的垂直平分線，交于點P，則有；第2個點是以A為圓心，以長為半徑截取，交延長線上于點P；第3個點是以A為圓心，以長為半徑截取，在上邊與延長線上交于點P；第4個點是以B為圓心，以長為半徑截取，與的延長線交于點P；第5個點是以B為圓心，以長為半徑截取，與在左邊交于點P；第6個點是以A為圓心，以長為半徑截取，與在右邊交于點P；故符合條件的點P有6個點．故選：A．

36．如圖，在平面直角坐標系中，為坐標原點，四邊形是矩形，頂點，，，的坐標分別為，，，，點在軸上，點在邊上運動，使為等腰三角形，則滿足條件的點有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，等腰三角形的判定，分別以、為圓心，以的長為半徑作圓與相交，再作的垂直平分線與相交，交點即為所求的點．【詳解】解：如圖，滿足條件的點有3個．故選：A．37．題目：“如圖，已知，點，在邊上，，，是射線上的點，若使點，，構(gòu)成等腰三角形的點恰好有3個，求的取值范圍。”對于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，則正確的是（

）

A．只有甲答的對 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，畫出滿足條件的三角形，即可．【詳解】當時，點，，構(gòu)成等腰三角形的點恰好有3個，當，為等腰三角形；當，為等腰三角形；當，為等腰三角形；∴，，滿足題意；

當時，存在滿足條件的點只有一個；∴；

當，存在滿足條件的點只有個；當，為等腰三角形；當，為等腰三角形；

當時，存在滿足條件的有三個點；當，為等腰三角形；當，為等腰三角形；當，為等腰三角形；

當時，不存在滿足條件的點，∴甲、丙答案合在一起才完整，故選：B．【點睛】本題考查等腰三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，畫出滿足題意的圖形．38．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．已知線段AB是等腰三角形的一邊，的三個頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則這樣的等腰三角形的個數(shù)為．【答案】10【分析】本題考查了等腰三角形的判定，分別找到以為底和以為腰時，符合題意的點C的個數(shù)即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，以為底有6個點符合題意；以為腰有4個點符合題意；∴一共有10個點符合題意，故答案為：10．39．如圖，已知，點M，N在邊上，，點P是邊上的點，若使點P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點P恰好只有一個，則x的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查等腰三角形的判定．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論，分別求解范圍即可．【詳解】解：①如圖1，當時，即，以M為圓心，以2為半徑的圓交于點P，此時，則點P，M，N構(gòu)成的等腰三角形的點P恰好只有一個．②如圖2．當時，即，過點M作于點P，∴．∴，作的垂直平分線交于點P，則．此時，以點P，M，N構(gòu)成的等腰三角形的點恰好有2個．則當時，以P，M，N構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個．綜上，當或時，以P，M，N構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個．故答案為：或40．如圖所示的方格紙中，每一個小正方形的邊長都是，網(wǎng)格中有一個格點三角形．(1)以直線為對稱軸，在圖中直接作出的軸對稱圖形．(2)在直線右側(cè)，在外部，畫出以為腰的一個等腰直角三角形．(3)計算的面積，并通過面積求出的長度．【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析（答案不唯一）(3)【分析】（）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)作圖即可；（）根據(jù)網(wǎng)格作出等腰直角三角形即可；（）先利用割補法求出的面積，再根據(jù)三角形面積公式求出即可；本題考查了作軸對稱圖形，作等腰直角三角形，三角形的面積，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；（3）解：的面積，∴，∴．41．（1）如圖，已知，分別是上的點，且．與相等嗎？為什么？

（2）如圖，在中，平分，交于點垂直平分于點．試說明：．

（3）如圖，在中，將三等分，點在上．①求的度數(shù)；②寫出圖中所有的等腰三角形．

【答案】（1）AD與相等，理由見解析

（2）見解析

（3）①72°

②,,,,,【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)定理，等腰三角形的判定；（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得解；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，再由角平分線的性質(zhì)得到即可得出結(jié)論；（3）①根據(jù)已知條件和三角形的內(nèi)角和得到，，，由于將三等分，于是求得，然后計算解題；②根據(jù)外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：AD與相等，理由如下：，，在和中，，，；（2）證明：∵DE垂直平分AB，，，，∵平分，，，即；（3）解：①∵，，∴，，，∵AD，將三等分，∴，∴；②∵，∴，∴，∴，，，，，是等腰三角形．六、等腰三角形的性質(zhì)與判定（共10小題）42．已知，如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．先證，可得，，可得①②正確；再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得，，可得④正確．【詳解】解：①∵為的角平分線，∴，在和中，，∴，故結(jié)論①正確；②∵為的角平分線，且，，∴，，∵，∴，∴，故結(jié)論②正確；③∵，，，，∴，∴為等腰三角形，∴，∵，∴，∴，∵為的角平分線，，而不垂直于，∴，故結(jié)論③錯誤；④由③知，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：B．43．如圖，在中，，將繞點A旋轉(zhuǎn)得到，且點落在上，連接，則的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．先在中利用三角形的內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到是等腰三角形，從而求出，最后利用即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，、為對應(yīng)點，點A為旋轉(zhuǎn)中心，，即是等腰三角形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，．故答案為：．44．如圖，是等腰直角三角形，，將沿著一條直線折疊，使頂點的對應(yīng)點剛好落在邊上，這條折痕分別交，于點，．的平分線交于點，連接，若，則∠FBC=°，°．【答案】【分析】本題考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由折疊可得，由平分，可得，推出，證明，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解；【詳解】解：是等腰直角三角形，，，由折疊可得：，，平分，，，，又，在和中，，，，，故答案為：45，；45．在等腰直角中，，，過點B作的垂線l．點P為直線上的一個動點（不與點A，B重合），將射線繞點P順時針旋轉(zhuǎn)交直線l于點D．(1)如圖1，點P在線段上，依題意補全圖形．①求證：；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．(2)點P在線段的延長線上，直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析，②，見解析(2)，見解析【分析】本題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)題意補全圖形，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案；②過點P作交于點F，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）過點P作交于點M，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①補全圖形如圖1，證明：如圖1，設(shè)與的交點為點E，根據(jù)題意可知，，∵，∴，∴，，∴；②．證明：如圖2，過點P作交于點F，∵，，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，在等腰直角中，，又，∴；（2）解：證明：如圖3，過點P作交于點M，由（1）可知，∴，∴，，同（1）可得，∴，∴，∵，，∴，∴．46．如圖，在中，，；將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，交于點F．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)的度數(shù)為．【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，從而得到，再證明，即可得出結(jié)論；（2）由（1）知，，，證明是等腰三角形，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：由（1）知，，，∴是等腰三角形，∴，∴的度數(shù)為．47．在中，，，是邊的中線，是邊上一點，，交于點．(1)如圖①，判斷的形狀并證明；(2)如圖②，，①補全圖形；②用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)等腰三角形，理由見解析(2)①補全圖形見解析，②，理由見解析．【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識點，做出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．(1)利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)可推導(dǎo)出，即可得到是等腰三角形．(2)①根據(jù)題意補全圖形即可；②過點E作于點H，利用已知條件和等腰三角形的性質(zhì)可得到，，．繼而可證得，即可推導(dǎo)出，所以．【詳解】（1）解：的形狀等腰三角形．證明如下：∵，是邊的中線，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴是等腰三角形．（2）①補全圖形，如圖．②之間的數(shù)量關(guān)系是．證明：過點E作于點H．∵，是邊的中線，，∴，．∴．∵，∴．∴，又∵，∴．∴．在中，，∴．∴，∴．∵由（1）知：，∴．48．如圖1，中，，，直線過點，點、在直線同側(cè)，，，垂足分別為、．(1)探究模型：求證：；(2)類比模型；如圖2，中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，求的面積．(3)應(yīng)用模型：如圖3，中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得，連接，求的面積．【答案】(1)見解析(2)8(3)9【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等即可；（2）過作于，構(gòu)造全等三角形解決問題即可；（3）過點作，交于點，過點作，交的延長線于點，證明即可求解．【詳解】（1）證明：，，又，，又，（2）在中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，如圖，過作于，則，，，，，，在和中，，，；（3）如圖，過點作，交于點，過點作，交的延長線于點，則，，，，由旋轉(zhuǎn)得，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，“三垂”模型等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．49．如圖，已知和是等腰直角三角形，連接．點M、N分別在上，且過點B，垂直于，若．求證：(1)(2)點N是AD的中點；(3)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，再由各角之間的等量代換確定，利用全等三角形的判定證明即可；（2）由（1），同理可證，得出，利用（1）中性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合圖形找出相應(yīng)三角形的面積進行等量代換即可．【詳解】（1）證明：∵和是等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，在和中，，∴；（2）∵垂直于，∴，由（1），同理可證，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點N是AD的中點；（3）由（2）得，，，∴，由（1）得，∴，∴．50．如圖，在中，，（），為射線上一動點（不與點、重合），在的右側(cè)作，使得，，連接．(1)若，則______；(2)當點在線段上時，求證：；(3)若點運動到線段上某一點時，恰好有，問：線段與線段有什么位置關(guān)系并說明理由；(4)在點的運動過程中，當垂直于的某邊時，則______（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)證明見解析(3)，理由見解析(4)或【分析】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是準確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想解決問題．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）由得，利用SAS即可得出結(jié)論；（3）由（2）知，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，易得為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，最后由平行線的判定求解；（4）分兩種情形：當時，當時，利用全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴．故答案為：；（2）證明：∵，∴，∴．在和中，，∴；（3）解：．理由如下：由（2）知，∴，．∵，∴．∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∴；（4）解：如圖，當時．∵，，∴．∵，∴，，∴，又，∴，∴．∵，∴，∴；如圖，當時．∵，∴．由（1）知，，∴，∴．∵，∴，∴，又，，∴，∴，，∴．∵，∴．綜上所述，當DE垂直于的某邊時，則或．故答案為：或．51．【問題情境】如圖，把一塊三角板（，）放入一個“”形槽中，使三角形的三個頂點、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動，已知，在滑動過程中，線段AD與的數(shù)量關(guān)系為．

【變式探究】如圖，在四邊形中，點是線段上一點，且滿足，，，試說明；如圖，在中，，，點、分別是邊、AB上的動點，且．以為腰向右作等腰，使得，，連接CE，求的度數(shù)．【答案】；詳見解析；．【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造三角形全等．利用證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得；利用證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可證結(jié)論成立；在上截取，構(gòu)造，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等可求，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可求的度數(shù)．【詳解】解：，，又，，，在和中，，，故答案為：；證明：是的外角，，又，，，又，，，在和中，，；解：如下圖所示，在上截取，，，在和中，，，，又，，，，又，，又，，．七、等邊三角形的性質(zhì)（共8小題）52．如圖，等邊的邊長為4，平分，點在的延長線上，，則的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意易得，然后可得，進而問題可求解．【詳解】解：∵邊的邊長為4，，平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選B．53．如圖，點C在上，作線段的同側(cè)作等邊和等邊相交于點與交于點與交于點N，連接，下列結(jié)論：，其中正確的是（

）A．①② B．①②③④ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】證明即可證明①正確；證明全等，即可證明②正確，從而證明④正確；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，即可得到答案．【詳解】解：等邊和等邊，，，，，，，故①正確；，，，，在和中，，，，故②正確；為等邊三角形，，，故④正確；，，，，，，故③正確．綜上所述，①②③④正確．故選B．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．54．如圖，點是射線上一個定點，點是射線上的一個動點，，以線段為邊在右側(cè)作等邊三角形，以線段為邊在上方作等邊三角形，連接，隨點的移動，下列說法中正確的是（

）①；②；③直線與射線所夾的銳角的度數(shù)不變；④隨點的移動，線段的值逐漸增大．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和等知識，證明是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的判定定理“”證明，可判斷①正確；由，，得，可判斷②正確；延長交軸于點，由三角形外角的性質(zhì)可判斷③正確；由全等三角形的性質(zhì)可判斷④錯誤，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵∴∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，故①正確；∵，∴∵，∴，故②正確；延長交軸于點，

∵，∴，∵，∴，∴直線與軸的夾角恒為，故③正確；∵點是軸上一個定點，∴的長為定值，∵，∴，∴的長為定值，∴隨點的移動，線段的值不變，故④錯誤，故選：B．55．如圖，是等邊三角形，，，則的度數(shù)為．【答案】30°/度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，由可得出為等腰直角三角形，進而可得出及，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．56．在等邊中，，點O在AB上，且，點P是上一動點，連接，將線段繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段．要使點D恰好落在邊上，則的長是．【答案】6【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定．先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再根據(jù)平角的定義得到，接著根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，所以，于是得到，則可利用“”判斷，所以．【詳解】解：如圖，∵線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，要使點恰好落在邊上，∴，∴，∵為等邊三角形，，，，在和中，∴，，而，，故答案為：6．57．已知：如圖，點分別在等邊三角形的邊上，，與交于點．求證：中必有一個角為．【答案】見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明，則，，進而結(jié)論得證．【詳解】證明：∵等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴中必有一個角為．58．如圖1，等邊中，D是邊上的動點，以為一邊，向上作等邊，連接．(1)求證：；(2)試判斷與的位置關(guān)系，并證明你的判斷；(3)如圖2，將動點D運動到邊的延長線上，所作仍為等邊三角形，請問是（2）中的結(jié)論是否成立？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)成立，理由見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，根據(jù)證明即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)結(jié)合題意可得，即可得證；（3）仿照（1）、（2）的證明方法解答即可．【詳解】（1）證明：，是等邊三角形，，，．在和中，，，；（2）解：，理由如下：，．又，．．（3）解：仍有成立．證明：，為等邊三角形，，，．，即．在和中，，．．又，．．59．已知：和都是等邊三角形，連接，．(1)如圖1，線段和的數(shù)量關(guān)系是：___________________，并就圖1的情形證明你的結(jié)論；(2)如圖2，點，，在同一條直線上，且是的中點．①直接寫出的度數(shù)是_____；②與有怎樣的位置關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)，證明見解析(2)①；②，證明見解析【分析】（1）據(jù)等邊三角形邊長相等的性質(zhì)和各內(nèi)角為的性質(zhì)可求得，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得；（2）①由是的中點，可得，再由等邊三角形的性質(zhì)可得，可得，從而得出，最后由全等三角形的性質(zhì)可得；②先證得點E在的垂直平分線上，再證得點B在的垂直平分線上，最后由線段垂直平分線的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，證明如下：均為等邊三角形，，即，在和中，故答案為：；（2）解：①是的中點，，為等邊三角形，，，，由（1）得，，故答案為：；②，理由如下：由（1）得，，，點E在的垂直平分線上，為等邊三角形，，點B在的垂直平分線上，垂直平分，即【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．八、等邊三角形的判定（共8小題）60．下面給出幾種三角形：（1）有兩個角為的三角形；（2）三個外角都相等的三角形；（3）一邊上的高也是這邊上的中線的三角形；（4）有一個角為的等腰三角形，其中是等邊三角形的個數(shù)是（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的判定．根據(jù)等邊三角形的判定定理：有兩個角都是的三角形或有三邊相等的三角形或有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，分析并作答即可．【詳解】解：①有兩個角為的三角形是等邊三角形，故①正確；②∵三個外角都相等，∴相鄰的三個內(nèi)角都相等，又∵三角形的內(nèi)角和為，∴三個內(nèi)角都是，∴三個外角都相等的三角形是等邊三角形，故②正確；③一邊上的高也是這邊上的中線的三角形是等腰三角形，不一定是等邊三角形，故③錯誤；④有一個角是的等腰三角形是等邊三角形，故④正確，∴能證得等邊三角形的有①②④，共3個，故選：B．61．如圖，已知和，點C在線段上，．(1)求證；(2)若，連接，求證是等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．（1）由，，，根據(jù)證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，，；（2）解：由（1）得，，是等邊三角形．62．如圖，，，，．(1)求的度數(shù)；(2)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)等邊三角形，見解析【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩個底角相等，等邊三角形的判定方法．（1）由等腰三角形的性質(zhì)推出，由三角形內(nèi)角和定理即可求出；（2）由垂直的定義得到，由直角三角形三角形的性質(zhì)求出，得到，判定是等邊三角形．【詳解】（1）解：，，，；（2）解：是等邊三角形，理由如下：，，，由（1）知，，，，是等邊三角形．63．如圖，在中，，，交于點，且，，其兩邊分別交邊，于點，．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理成為解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，再結(jié)合即可證明結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，再結(jié)合可得，易證可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，即；最后根據(jù)四邊形的周長公式以及等量代換即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，∴是等邊三角形．（2）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵交于點，是等邊三角形，∴，即∴四邊形的周長為．64．如圖1，和都是頂角為的等腰三角形，其中，點D在上．(1)求證：；(2)求證：如圖2，當點E在的延長線上，為等邊三角形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定；（1）證明即可得到；（2）由得到，當點E在的延長線上時，即可證明，得到，，根據(jù)一個角是的等腰三角形是等邊三角形判定即可．【詳解】（1）證明：∵和都是頂角為的等腰三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（2）證明：當點E在的延長線上時，∴，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴為等邊三角形．65．如圖1，，，，．點P在線段上以每秒2個單位的速度由點向點運動，同時，點在線段上以每秒2個單位的速度由點向點運動．它們的運動時間為．(1)當時，與是否全等，請說明理由，并判斷此時線段和線段的位置關(guān)系；(2)如圖2，當時，連接，請判斷的形狀并說明理由．【答案】(1)，，理由見解析(2)為等邊三角形，理由見解析【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．（1）當時，則，，由此可依據(jù)“”判定；則，再根據(jù)得，進而得，據(jù)此可得線段和線段的位置關(guān)系；（2）先證明得到，，再根據(jù)，得到，進而得，即可判定為等邊三角形．【詳解】（1）解：，，理由如下：若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，，，，，，又，，，在和中，，；，，，，，；（2）解：為等邊三角形，理由如下：連接，若點的運動速度與點的運動速度相等，，∵，；，，，，，，∴為等邊三角形．66．如圖，在和中，，，．求證：(1)；(2)若點E剛好落在線段上，且，則的形狀為________．【答案】(1)見解析(2)等邊三角形【分析】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識，證明是解題的關(guān)鍵．（1）由推導(dǎo)出，而，即可根據(jù)“”證明，則；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，而，所以是等邊三角形，于是得到問題的答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，故答案為：等邊三角形．67．如圖，點是等邊內(nèi)一點，是外的一點，，，，，連接．(1)求證：是等邊三角形；(2)當時，試判斷的形狀，并說明理由；(3)探究：當為多少度時，是等腰三角形．（直接寫出答案）【答案】(1)見解析(2)是直角三角形，理由見解析(3)或或【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合，即可得證；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可得，由全等三角形的性質(zhì)得出，即可得出，從而得解；（3）根據(jù)題意以及全等三角形的性質(zhì)，分別計算出、、，再分三種情況討論即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：是直角三角形，理由如下：∵是等邊三角形，∴，當時，∵，∴，∴，∴是直角三角形；（3）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，當時，，解得：；當時，，解得：；當時，，解得：；綜上所述，當或或時，是等腰三角形．九、30°銳角所對的直角邊（共8小題）68．如圖，在中，，平分，于D．如果，，那么

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．線根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到，再利用含的直角三角形三邊關(guān)系計算出，從而得到的長．【詳解】解：，平分，，，在中，，，．故選B．69．如圖，已知，平分，點D是上一點，且，點C是上一動點，點P是上一動點，連接，則的最小值是（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】B【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)．作垂足為，推出的最小值是的長，在中，利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，作點C關(guān)于的對稱點，連接，由軸對稱的性質(zhì)得，作垂足為，∴，∴的最小值是的長，在中，，，∴，即的最小值是10．故選：B．70．如圖，為等邊三角形，，，相交于點P，于，，．(1)求證：；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)7【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，理解并掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵．（1）本題要先得到，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到．（2）根據(jù)（1）中，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等邊三角形每個內(nèi)角是，得到，即可求解得到的長．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，．∴在和中，，∴．∴．（2）∵，∴，∵，又∵，∴，∴，∴，∴．71．如圖，在中，是高，點是邊的中點，點在邊的延長線上，的延長線交于點，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟記等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)“有一個角是的等腰三角形是等邊三角形”即可得解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得解．【詳解】（1）證明：∵，點是邊的中點，∴垂直平分，∴．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形．（2）解：由（1）得，，∴在中，．∵，∴．∵在中，是高，點是邊的中點，∴．∵，，∴，∴．72．如圖，已知：在中，，．(1)作的平分線，交于點，作的垂直平分線，分別交、于點、．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；(2)求證：點是中點；(3)連接，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖：（1）根據(jù)線段垂直平分線和角平分線的尺規(guī)作圖方法作圖即可；（2）先求出，則由直角三角形的性質(zhì)得到，再證明，則，進而得到，則，即E是中點．（3）證明，又，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可知，又，從而求得【詳解】（1）如圖所示，即為所求；（2）∵在中，，∵垂直平分，即是的中點（3）平分，，又，連接，則，即73．如圖，邊長為的等邊中，點分別是邊上的動點（端點除外），點從頂點，點從頂點同時出發(fā)，且它們的速度都為，連接，交于點，在點，運動的過程中．(1)求證：；(2)的大小是否發(fā)生變化？若無變化，求的度數(shù)；若有變化，請說明理由；(3)連接，當點，運動多少秒時，是直角三角形？【答案】(1)證明見解析；(2)的大小是不發(fā)生變化，理由見解析；(3)當?shù)诿牖虻诿霑r，為直角三角形．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（）由等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后由即可求證；（）由可得，由外角的性質(zhì)可求；（）分兩種情況當時，當時討論，由直角三角形的性質(zhì)列出等式可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，又由條件得，在和中，∴，（2）解：的大小是不發(fā)生變化，理由，由（）知：，∴，∴；（3）解：設(shè)時間為，則，,當時，∵，∴，∴，得，；當時，∵，∴，∴，得，；∴當?shù)诿牖虻诿霑r，為直角三角形．74．如圖，在中，，，是邊上的中線，且，的垂直平分線交于，交于．(1)求的度數(shù)；(2)證明是等邊三角形；(3)若的長為2，求的邊長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形，理解等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)即可得出的度數(shù)；（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得，則，進而得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，則，由此可得出結(jié)論；（3）在中，根據(jù)得，則，再由(2)的結(jié)論得，由此可得出的長．【詳解】（1）解：在中，，，．在中，，．（2）證明：的垂直平分線交于，交于，，，，，在中，，，是邊上的中線，．．∴是等邊三角形．（3）在中，，，．．由（2）可知：是等邊三角形，．．十、直角三角形斜邊上的中線（共7小題）75．如圖，在三角形部件中，，為邊的中點，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據(jù)，為邊的中點，得出，即可作答．【詳解】解：依題意，，為邊的中點，∴是的中線，∴故選：C76．如圖，一根長5米的梯子斜靠在與地面垂直的墻上，P為的中點，當梯子的一端A沿墻面向下移動，另一端B沿向右移動時，的長（

）A．先增大，后減小 B．逐漸減小 C．逐漸增大 D．不變【答案】D【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，從而得出答案．【詳解】解：∵，點是的中點，∴，是斜邊的中線，∴米，∴在滑動的過程中的長度不變．故選D．77．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于點G，且．若，則的度數(shù)是．【答案】【分析】連接，如圖所示，證得是線段的垂直平分線，得到，則有，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半得到，從而，結(jié)合三角形外角性質(zhì)有，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，解方程求出，從而得到的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖所示：于點，且，是線段的垂直平分線，，，在中，，是邊上的中線，，，是的一個外角，，設(shè)，則，在中，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查三角形中求角度問題，涉及垂直平分線的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半、外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)題意準確作出輔助線，并靈活運用相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．78．如圖1，在中，，M為中點將沿翻折，得到（如圖2），P為上一點，再將沿翻折，使得D與B重合（如圖3），給出下列四個命題：①；②；③；④．其中說法正確的是．【答案】①④【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，等量代換得到，求得；故①正確；假設(shè)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)得到，于是得到與不一定全等；故②錯誤；假設(shè)，得到由直角三角形的性質(zhì)得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于；故③錯誤；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，故④正確．【詳解】解：∵將沿翻折，得到，∴，∵再將沿翻折，使得與重合，∴，∴，∴；故①正確；假設(shè)，，∵在中，，為中點，∴，∴，∴，而不一定等于，∴與不一定全等；故②錯誤；假設(shè)，則，∵在中，，為中點，∴，∴，∵，∴，∴，而不一定等于，∴不一定垂直于；故③錯誤；∵，∴，∴，∵，∵，∴，故④正確．故答案為：①④．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、平行線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．79．如圖，在中，，垂足為F，，垂足為E，M為的中點，連接．(1)求證：；(2)若，求的大小．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，，和是直角三角形，再根據(jù)為的中點，由直角三角形的性質(zhì)，斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出；（2）根據(jù)，可得，，由，，由三角形內(nèi)角和即可求得的度數(shù)．【詳解】（1）證明：，，和均是直角三角形，為的中點，，，；（2）解：，，，，，，，，的度數(shù)為．80．如圖，已知中，，E是的中點，垂直平分．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查斜邊上的中線，中垂線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)斜邊上的中線得到，中垂線的性質(zhì)，得到，即可得證；（2）根據(jù)等邊對等角，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵E是的中點，∴，∵垂直平分，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．81．已知：如圖，在四邊形中，，點E是的中點．(1)求證：是等腰三角形；(2)當__________°時，是等邊三角形．(3)當時，若，取中點F，求的長．【答案】(1)見解析(2)150(3)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，從而得到；（2）利用等邊對等角以及三角形外角的性質(zhì)得出，由得到，，繼而，即可證明等邊三角形；（3）由，，則，由上可知，而為中點，故．【詳解】（1）證明：，點是邊的中點，，，，是等腰三角形；（2）解：當時，是等邊三角形，理由如下：∵，，∴∴，，，，，，，，∵，∴是等邊三角形，故答案為：150；（3）解：如圖：由（2）可知，，∵，∴，由上可知，∵為中點∴．【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義，直角三角形的性質(zhì)，以及三角形外角的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意得出是解題關(guān)鍵．十一、用勾股定理理解三角形（共5小題）82．已知一個直角三角形兩直角邊長分別為3和4，則它的斜邊長為（

）A．5 B．4 C．3 D．【答案】A【分析】此題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．直接利用勾股定理解答即可．【詳解】解：∵一個直角三角形兩直角邊長分別為3和4，∴這個直角三角形的斜邊長．故選：A．83．如圖，以單位長度為邊長畫一個正方形，以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點A，則點A表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出點到原點距離，再根據(jù)點在原點左側(cè)，即可求解．【詳解】解：點到原點的距離，∵點在原點左側(cè)，∴點表示的數(shù)是，故選：B．84．如圖，是四根長度相同的小木棒，A、C、E三點共線，于點C，若，則一根小木棒的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．作，垂足分別為G、H，證明，得，再利用勾股定理即可得出答案．【詳解】解：作，垂足分別為G、H，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，同理，，∴，在中，由勾股定理得，故選：A．85．如圖，在中，，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，關(guān)鍵是通過作輔助線轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決．過點A作，垂足為D．在中和中，分別用表示出、，根據(jù)的長求出，再求三角形的面積．【詳解】如圖，過點A作，垂足為D．

在中，，∴∴．在中，，∴∴∵，∴，即∴．故選：A．86．如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，于F，，若，則．【答案】6【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．連接，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到的長，再判定是斜邊邊上的中線，得到的長，最后根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴．∵是邊上的高線，∴是直角三角形，且．∵是邊上的中線，∴是斜邊邊上的中線，∴，∴．∴．故答案為：6．十二、勾股數(shù)（數(shù)）問題（共8小題）87．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)是滿足較小的兩個數(shù)的平方之和等于最大的數(shù)的平方的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項分析即可作答．【詳解】解：A、，故該選項是錯誤的；B、，故該選項是錯誤的；C、，，不是正整數(shù)，故該選項是錯誤的；D、，故該選項是正確的；故選：D．88．有一個邊長為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形（圖①），其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形；再經(jīng)過一次“生長”后，變成了如圖②．如果繼續(xù)“生長”下去，他將變得“枝繁葉茂”，請你計算出“生長”了10次后形成的圖形中所有正方形的面積之和為（

）A．11 B．55 C．66 D．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．【詳解】解：如圖，由題意得，正方形A的面積為1，由勾股定理得，正方形B的面積正方形C的面積=1，∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，……∴“生長”了10次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為11，故選：A．89．如圖，以的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為，若，則的值為【答案】30【分析】根據(jù)正方形的面積公式，且結(jié)合勾股定理就可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和，即可得出答案．本題考查了勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：依題意，由勾股定理得：，∴，∵∴，∴，故答案為：30．90．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面積分別是3，5，2，3，則正方形E的面積是，正方形F的面積是，正方形G的面積是．【答案】8513【分析】本題考查了勾股定理，正方形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用勾股定理求得正方形的邊長．先由正方形A，B，C，D的面積分別為3，5，2，3，得到對應(yīng)的邊長分別為，然后利用勾股定理求得正方形的邊長分別為，從而求得正方形和的面積，正方形的邊長，即可得到正方形的面積．【詳解】解：正方形A，B，C，D的面積分別為3，5，2，3，正方形A，B，C，D的邊長分別為，由勾股定理得，正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的面積為8，正方形的面積為5，正方形的邊長為，正方形的面積為13，故答案為：8，5，13．91．如果正整數(shù)、、滿足等式，那么正整數(shù)、、叫做勾股數(shù)．小明根據(jù)自己探究勾股數(shù)的過程，列成下表：abc345861015817(1)小明發(fā)現(xiàn)：，，，請你根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：__________；(2)若用（為整數(shù)，且）表示，那么、用含的代數(shù)式分別表示為__________和_____，請用所學(xué)知識說明它們是一組勾股數(shù)．【答案】(1)24，10，26(2)，，證明見解析【分析】本題考查勾股數(shù)，找數(shù)字的規(guī)律．（1）觀察各行勾股數(shù)的規(guī)律，即可解答；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律即可得到表示a，c的代數(shù)式，并證明即可解答．【詳解】（1）解：∵第一行：，，，第二行：，，，第三行：，，，∴第四行：，，，即下一組勾股數(shù)是：24，10，26；故答案為：24，10，26（2）解：∵，∴，，∵，，，∴，∴，，是一組勾股數(shù)．故答案為：，92．課堂上學(xué)習(xí)了勾股定理后知道：直角三角形三邊長是整數(shù)時我們稱之為“勾股數(shù)”．王老師給出一組數(shù)讓學(xué)生觀察：；；；；，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從起就沒有間斷過，于是王老師提出以下問題讓學(xué)生解決．若兩直角邊為（），斜邊為．(1)請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：、、；(2)當（為奇數(shù)，且）時，若，時可以構(gòu)造出勾股數(shù)（用含的代數(shù)式表示），并證明你的猜想；(3)構(gòu)造勾股數(shù)的方法很多，請你尋找當時，．【答案】(1)，(2)，，證明見解析(3)或或【分析】（）觀察勾股數(shù)，找出規(guī)律即可求解；（）根據(jù)所提供的例子發(fā)現(xiàn)股是勾的平方減去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，據(jù)此可得，然后計算驗證即可；（）由勾股定理可得，再根據(jù)勾股定理可得，然后根據(jù)列舉法即可解答；本題考查了勾股數(shù)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵；；；；，∴為奇數(shù)，且時，勾股數(shù)為、、，∴、、，故答案為：、；（2）解：觀察發(fā)現(xiàn)，當(為奇數(shù)，且)時，股是勾的平方減去的二分之一，弦是勾的平方加的二分之一，∴當，時可以構(gòu)造出勾股數(shù)，證明：∵，，∴，∵為奇數(shù)，且，∴、、是正整數(shù)，∴、、三個數(shù)組成的數(shù)是勾股數(shù)；（3）解：由勾股定理可得，當時，則有，即，當時，解得，，∵，∴該種情況不合題意，舍去；當時，解得；當時，解得；當時，解得；綜上，的值為或或，故答案為：或或．93．探究一：如圖，均為正方形．問題：（）若圖中的為直角三角形，的面積為，的面積為10，則的面積為________；（）若的面積為，的面積為，同時的面積為，則為________三角形．探究二：圖形變化：（）如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑向三角形外作三個半圓，判斷這三個半圓的面積之間有什么關(guān)系，并說說你的理由；（）如圖，如果直角三角形兩直角邊長分別為和，以直角三角形的三邊為直徑作半圓，你能利用上面的結(jié)論求出陰影部分的面積嗎？如果能，請寫出你的計算過程；如果不能，請說明理由．【答案】（）；（）直角；（）；（）【分析】（）根據(jù)正方形的面積公式結(jié)合勾股定理可發(fā)現(xiàn)大正方形的面積是兩個小正方形的面積和；（）根據(jù)大正方形的面積等于兩個小正方形的面積和，可以得到其中兩條邊平方的和等于第三條邊的平方，進而由勾股定理的逆定理即可判斷求解；（）設(shè)直角三角形的三邊分別為，根據(jù)半圓的面積公式以及勾股定理可發(fā)現(xiàn)，兩個小半圓的面積和等于大半圓的面積；（）根據(jù)（）可得陰影部分的面積直角三角形的面積，據(jù)此解答即可求解；本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：（）由題意得，，∴，故答案為：；（）∵的面積為，的面積為，同時的面積為，∴，，，∵，∴是直角三角形，故答案為：直角；（），理由如下：設(shè)直角三角形的三邊分別為，則，，，∵，∴；（）由圖②可得，．94．我國是歷史上較早發(fā)現(xiàn)并運用“勾股定理”的國家之一、古人將直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”，“勾股定理”因此而得名．勾股定理：若直角三角形兩直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，則有，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．請運用“勾股定理”解決下列問題．(1)如圖1，直角三角形的兩條直角邊分別是9厘米和12厘米，則這個直角三角形的斜邊長___________厘米．(2)如圖2，分別以直角三角形的邊為邊長作正方形，則___________，___________．根據(jù)勾股定理可知，，所以___________=___________