30.2.3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)增減性最值（1）二次函數(shù)

的圖像性質(zhì)：向上當(dāng)

時，y隨x的增大而減小；當(dāng)

時，y隨x的增大而增大當(dāng)

時，y隨x的增大而增大；當(dāng)

時，y隨x的增大而減小向下當(dāng)

時，

當(dāng)

時，

（2）拋物線的平移規(guī)律：（h）左加右減，(k)上加下減拋物線

拋物線

當(dāng)h﹥0時，向“右”平移h個單位當(dāng)h<0時，向“左”平移|h|個單位當(dāng)k﹥0時，向“上”平移k個單位當(dāng)k<0時，向“下”平移|k|個單位拋物線

左右平移上下平移活動1探究一：從舊知識過渡到新知識復(fù)習(xí)配方填空：（1）x2+4x+9=（x+

）2+

；

（2）x2-5x+8=（x-

）2+

.25總結(jié)規(guī)律：當(dāng)二次項的系數(shù)為1時，常數(shù)項須配一次項系數(shù)一半的平方．活動2探究一：從舊知識過渡到新知識以舊引新1.二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖像，可以由函數(shù)y＝ax2的圖像先向________平移____個單位，再向________平移____個單位得到．2．二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k的圖像的開口方向

，對稱軸是_______，頂點坐標(biāo)是________．3．二次函數(shù)

，你能很容易地說出它的圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)，并畫出圖像嗎？左或右|h|上或下|k|a＞0，向上；a<0，向下x=h(h，k)活動1探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)、對稱軸合作探究重點、難點知識★▲例1畫函數(shù)

的圖像，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．分析：首先要用配方法將函數(shù)寫成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式；然后，確定函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸與頂點坐標(biāo)；接下來，利用函數(shù)的對稱性列表、描點、連線．活動1探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)、對稱軸解：所以它的開口向上，對稱軸是x=6，頂點坐標(biāo)是（6，3）.同學(xué)們自己畫圖！歸納：一般式化為頂點式的思路：(1)二次項系數(shù)化為1；(2)加、減一次項系數(shù)一半的平方；(3)寫成平方的形式．例1畫函數(shù)

的圖像，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．合作探究重點、難點知識★▲活動2探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)、對稱軸小組討論如果每次都采取“配方”，豈不是很麻煩？有更好的辦法嗎？例2求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸和頂點坐標(biāo)．解：把二次函數(shù)y=ax2+bx+c的右邊配方，得重點、難點知識★▲活動2探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)、對稱軸點撥：1.運用配方法，可以將二次函數(shù)表達(dá)式的兩種形式y(tǒng)=ax2+bx+c與y＝a(x－h(huán))2＋k相互轉(zhuǎn)化.將二次函數(shù)y=ax2+bx+c（一般式）轉(zhuǎn)化為y＝a(x－h(huán))2＋k（頂點式）的形式，即：則：2.在二次函數(shù)y=ax2+bx+c與二次函數(shù)y＝a(x－h(huán))2＋k中，小組討論重點、難點知識★▲活動重點、難點知識★▲探究三：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)師生共研，探究性質(zhì)畫出函數(shù)

的圖像，并試著說出它的性質(zhì)．解：列表：x…02468…y…1042410…描點、連線：活動重點、難點知識★▲探究三：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)觀察圖像知：開口向上，對稱軸是x＝4，頂點坐標(biāo)是(4，2)．當(dāng)x>4時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x<4時，y隨x的增大而減小．當(dāng)x＝4時，函數(shù)y取最小值2.師生共研，探究性質(zhì)畫出函數(shù)

的圖像，并試著說出它的性質(zhì)．重點、難點知識★▲探究三：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)思考、討論下列問題：1.對于任意一個二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何確定它的圖像的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)？你能把結(jié)果寫出來嗎？2.觀察二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像，在對稱軸的左右兩側(cè)，y隨x的增大有什么變化規(guī)律？3.函數(shù)的最大值或最小值與函數(shù)圖像的開口方向有什么關(guān)系？這個值與函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)有什么關(guān)系？4.你能歸納總結(jié)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像和性質(zhì)嗎？活動師生共研，探究性質(zhì)重點、難點知識★▲探究三：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖像與性質(zhì)：a＞0(1)當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.(2)對稱軸是直線頂點坐標(biāo)為(3)在對稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于

時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于

時，y隨x的增大而增大；簡記為“左減右增”.(4)拋物線有最低點，當(dāng)

時，y有最小值，y最小值=活動師生共研，探究性質(zhì)重點、難點知識★▲探究三：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)活動師生共研，探究性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖像與性質(zhì)：a<0(1)當(dāng)a<0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.(2)對稱軸是直線頂點坐標(biāo)為(3)在對稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于

時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于

時，y隨x的增大而減小；簡記為“左增右減”.(4)拋物線有最高點，當(dāng)

時，y有最大值，y最大值=探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動1基礎(chǔ)型例題例1把下面的二次函數(shù)的一般式化成頂點式：【解題過程】解法一：用配方法：探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動1【思路點撥】一般式化為頂點式有兩種方法，一種是配方法，另一種是代入公式法．基礎(chǔ)型例題解法二：用公式法：例1把下面的二次函數(shù)的一般式化成頂點式：【解題過程】探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動1基礎(chǔ)型例題練習(xí)：若二次函數(shù)y＝x2＋bx＋5配方后為y＝(x－2)2＋k，則b，k的值分別為()A.0，5B.0，1C.－4，5D.－4，1解：∵y＝(x－2)2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1,故選D.D探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動1基礎(chǔ)型例題例2已知：拋物線（1）直接寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)；（2）求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)、與y軸的交點坐標(biāo)；（3）當(dāng)x為何值時，y隨x的增大而增大？【解題過程】解：(1)開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標(biāo)為(1，－8)．(2)令y＝0，得解得所以與x軸的交點坐標(biāo)為(－1，0)，(3，0)．令x＝0，得y＝－6，所以與y軸的交點坐標(biāo)為(0，－6)．(3)當(dāng)x≥1時，y隨x的增大而增大．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動1基礎(chǔ)型例題練習(xí)：若點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y=x2－2x＋1的圖像上兩點，則y1與y2的大小關(guān)系為y1

y2（填“＞”、“＜”、“=”）．【解題過程】解：∵二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖像的對稱軸是x=1，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，∵點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數(shù)y=x2﹣2x+1的圖像上兩點，1＜2＜3，∴y1＜y2.＜【思路點撥】根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的圖像的對稱軸，再根據(jù)點

A、B的橫坐標(biāo)的大小即可判斷出y1與y2的大小關(guān)系.探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動2提升型例題例3已知

那么函數(shù)y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）﹣10.5B.2C.﹣2.5D.﹣6【解題過程】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴該拋物線的對稱軸是x=2，且在x＜2上y隨x的增大而增大．又∵∴當(dāng)

時，y取最大值，C【思路點撥】確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動2提升型例題…－2－1012……04664…從上表可知，下列說法中正確的是

．（填寫序號）①拋物線與x軸的一個交點為（3,0）；②函數(shù)

的最大值為6；③拋物線的對稱軸是④在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．【思路點撥】題中給出表格，可根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求出函數(shù)解析式，再據(jù)此即可作出判斷；也可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，拋物線的對稱性，以及二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，進(jìn)行判斷。練習(xí)：拋物線

上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動2提升型例題【解題過程】解法一：略.（請同學(xué)們自己完成）解法二：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，拋物線的對稱性，觀察拋物線的對稱軸是③選項正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（-2，0），∴拋物線與x軸的另一個交點為（3,0），①選項正確；∵拋物線過（0，6）、（1，6）兩點，∴函數(shù)的最大值不可能為6，②選項錯誤；觀察表格知，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大，④選項正確.故正確的是①③④.探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動2提升型例題例4將拋物線y=ax2+bx+c向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線y＝x2+2x+3，求a，b，c的值．【解題過程】解：∵y＝x2+2x+3=（x+1）2+2，∴把拋物線y＝（x+1）2+2向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到拋物線y＝（x+4）2+4，∴ax2+bx+c

＝（x+4）2+4=x2+8x+20，∴a＝1，b＝8，c＝20.【思路點撥】此題應(yīng)用了逆向思維．由拋物線y=ax2+bx+c變到拋物線y＝x2+2x+3，不易求a，b，c的值；但反過來由拋物線y＝x2+2x+3平移成拋物線y=ax2+bx+c就可輕松求解．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動2提升型例題練習(xí)：將拋物線

向左平移3個單位，再向上平移5個單位，得到拋物線的表達(dá)式為（

）A．B．C．D．

【思路點撥】先將一般式化為頂點式，根據(jù)左加右減，上加下減來平移.D探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動3探究型例題例5如圖所示，二次函數(shù)y=－x2+2x+m的圖像與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．（1）求m的值；【解題過程】解：（1）將（3，0）代入二次函數(shù)解析式，得－32+2×3+m=0．解得，m=3．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動3（2）求點B的坐標(biāo)；解：（2）二次函數(shù)解析式為y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0．解得x=3或x=－1．∴點B的坐標(biāo)為（－1，0）．探究型例題【解題過程】例5如圖所示，二次函數(shù)y=－x2+2x+m的圖像與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動3【思路點撥】解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，底相同且面積相等的兩個三角形高相等。探究型例題【解題過程】（3）該二次函數(shù)圖像上有一點D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使

求點D的坐標(biāo)．解：（3）∵

點D在第一象限，∴點C、D關(guān)于二次函數(shù)對稱軸對稱．∵由二次函數(shù)解析式可得其對稱軸為x=1，點C的坐標(biāo)為（0，3），∴點D的坐標(biāo)為（2，3）．例5如圖所示，二次函數(shù)y=－x2+2x+m的圖像與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動3探究型例題練習(xí)：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用

表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y

軸對稱．⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？【解題過程】解：（1）因此鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動3【解題過程】解：（2）⑵兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？探究型例題練習(xí)：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用

表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y

軸對稱．探究四：二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用活動3⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？⑵兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？【思路點撥】（1）將二次函數(shù)解析式配方,求得頂點坐標(biāo),從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離;（2）由左右兩條拋物線關(guān)于y

軸對稱，得出另一條拋物線解析式，可知它們的頂點坐標(biāo)，從而求得兩條鋼纜最低點之間的距離。探究型例題練習(xí)：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用

表示,而且左右兩條拋物線關(guān)于y

軸對稱．歸納二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖像與性質(zhì)：a＞0(1)當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.(2)對稱軸是直線頂點坐標(biāo)為(3)在對稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于

時，y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側(cè)，即相當(dāng)于

時，y隨x的增大而增大；簡記為“左減右增”.(4)拋物線有最低點，當(dāng)

時，y有最小值，y最小值=歸納二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數(shù)，a≠0）的圖像與性質(zhì)：a<0(1)當(dāng)a<0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.(2)對稱軸是直線頂點坐標(biāo)為(3)在對稱軸的左側(cè)，即相當(dāng)于

時，