/第05講一元二次方程根與系數的關系（5種題型）1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（難點）韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數的關系．題型1：求根與系數關系例1．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．例2．（2023秋·江蘇南通·九年級統考期末）若一元二次方程的兩個根為、，則是（

）A．1 B． C．2 D．題型2：利用根與系數的關系式求代數式的值例3．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）一元二次方程的兩個根為，則___________．例4．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若m，n分別是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6例5.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．例6.已知的值．例7.已知是方程：的兩根，求代數式的值．題型3：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值例8．（2023春·江蘇徐州·九年級校考階段練習）已知關于的方程的一個根為，則另一個根是______．例9.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．題型4：有關一元二次方程的根與系數關系的創新題例10.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．例11．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學校考開學考試）已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若，且該方程的兩個實數根的差為2，求的值．例12．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期中）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個根是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①

②

③(2)若關于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；(3)若是關于x的“三倍根方程”，求代數式的值．一、單選題1．（2022秋·江蘇無錫·九年級統考期中）關于下列一元二次方程，說法正確的是（

）A．的兩根之和等于5 B．的兩根之積等于1C．兩根不可能互為倒數 D．中m=0時，兩根互為相反數2．（2022秋·江蘇·九年級統考期中）關于的方程的一個解為，則該方程的另一個解是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·江蘇無錫·九年級統考期末）已知關于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（

）A．或5 B．或 C． D．54．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）若是關于的一元二次方程的一個根．則與方程另一個根分別是（

）A．6，5 B．5， C．2，5 D．，55．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學校校考二模）方程的根的情況，下列結論中正確的是（

）A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數根二、填空題6．（2023·江蘇鹽城·統考一模）已知關于x的一元二次方程的一個根是，則它的另一個根為______．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）已知一元二次方程的兩個根分別是、，則代數式的值為______．8．（2023·江蘇南京·統考一模）設，是方程的兩個根，且，則m＝______．9．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）已知、是關于的方程的兩個根，則值等于________．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統考期末）已知，是一元二次方程的兩個根，則的值為______．11．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）關于的方程（為常數）有兩個不相等的正根，則的取值范圍是______．12．（2023·江蘇宿遷·統考一模）關于x的方程的兩個根分別是，則______________．13．（2023·江蘇南京·統考二模）若、為的兩根，則的值為______．14．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）設是關于x的方程的兩個根，則_____________．15．（2023秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考期末）設、是方程的兩個根，則___________．16．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考期末）若一元二次方程有兩個實數根，，則的值是________．三、解答題17．（2023·江蘇揚州·統考二模）已知關于x的一元二次方程(1)求證：該方程總有兩個實數根．(2)若該方程兩個實數根的差為3，求m的值．18．（2020秋·江蘇南京·九年級統考期中）已知關于x的方程．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有一個根是2，求m的值以及方程的另一個根．一、單選題1．（2022·江蘇·九年級專題練習）設一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A．1 B．﹣1 C．0 D．32．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）若m、n是方程的兩個實數根，則的值為(

)A．4 B．2 C．0 D．-13．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）若關于x的方程的一個根是，則另一個根是（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．34．（2022秋·九年級課時練習）若和是關于x的方程的兩根，且，則b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．55．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）設x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的兩個根，則x12＋x22的值是（

）A．5 B．13 C．35 D．376．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習）直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（

）A．8 B．7 C．6 D．7．（2020秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）兩根均為負數的一元二次方程是（）A． B． C． D．二、填空題8．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）若a，b是方程的兩個實數根，則代數式的值為______．9．（2023春·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區第四中學校考階段練習）設方程的兩個根分別為，則的值是___________．10．（2023·江蘇南京·九年級專題練習）已知、是一元二次方程的兩個實數根，則的值是________．11．（2022春·江蘇南通·九年級校考階段練習）已知：m、n是方程的兩根，則_____．三、解答題12．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，．(1)求m的取值范圍；(2)當時，求另一個根的值．13．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學校聯考階段練習）已知關于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數根；(2)若，且該方程的兩個實數根的平方和為10，求的值．14．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若，求的值．15．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）關于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和關于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均為實數），方程①的解為非正數．（1）求k的取值范圍；（2）如果方程②的解為負整數，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k為整數，求整數m的值；（3）當方程②有兩個實數根x1、x2，滿足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k為正整數，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由．16．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）關于x的方程有兩個不相等的實數根，求分別滿足下列條件的取值范圍：（1）兩根都小于0；（2）兩根都大于1；（3）方程一根大于1，一根小于1．17．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）如果方程x2+px+q=0有兩個實數根x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請根據以上結論，解決下列問題：（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則=?（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數c的最小值．（3）結合二元一次方程組的相關知識，解決問題：已知和是關于x，y的方程組的兩個不相等的實數解．問：是否存在實數k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，請說明理由．18．（2022秋·江蘇南京·九年級統考階段練習）閱讀材料，解答問題：【材料1】為了解方程，如果我們把看作一個整體，然后設，則原方程可化為，經過運算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．【材料2】已知實數，滿足，，且，顯然，是方程的兩個不相等的實數根，由韋達定理可知，．根據上述材料，解決以下問題：(1)直接應用：方程的解為；(2)間接應用：已知實數，滿足：，且，求的值．

第05講一元二次方程根與系數的關系（5種題型）1.探索一元二次方程的根與系數的關系.（重點）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題.（難點）韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數的關系．題型1：求根與系數關系例1．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得的值．【詳解】解：一元二次方程的二次項系數是，一次項系數，由根與系數的關系，得．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，，，牢記公式是解題的關鍵．例2．（2023秋·江蘇南通·九年級統考期末）若一元二次方程的兩個根為、，則是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】利用兩根之積等于即可解決問題．【詳解】解：一元二次方程的兩個根為、，，故選：D．【點睛】本題考查了根與系數的關系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關鍵．題型2：利用根與系數的關系式求代數式的值例3．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯考階段練習）一元二次方程的兩個根為，則___________．【答案】/【分析】根據根與系數的關系求出和的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數的關系式：，．例4．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若m，n分別是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據一元二次方程解的定義和根與系數的關系得到，m＋n＝4，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m，n分別是一元二次方程的兩個根，∴，m＋n＝4，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數的關系，若，是一元二次方程（a≠0）的兩根時，，，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．例5.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．【解析】解：由韋達定理，得：，．原式=；原式；原式=；原式．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用．例6.已知的值．【答案】．【解析】由，可得：，整理得：，又由于，所以可知、是方程的兩根，由韋達定理，可得：．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，而且還考查了一元二次方程的根的靈活應用，要注意觀察．例7.已知是方程：的兩根，求代數式的值．【答案】．【解析】由題及韋達定理可得：，，得：．=====．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，運用了降次等的思想方法．題型3：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值例8．（2023春·江蘇徐州·九年級校考階段練習）已知關于的方程的一個根為，則另一個根是______．【答案】【分析】根據一元二次方程根與系數的關系即可求解．【詳解】解：設方程的另一個根為，則解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．例9.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．【答案】；．【解析】將代入方程，可得：，再由韋達定理可得：，得另一根為．【總結】本題考查韋達定理，的應用．題型4：有關一元二次方程的根與系數關系的創新題例10.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．【答案】．【解析】解：設直角三角形的三邊長為，，，且是斜邊長，由題知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周長．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，并且考查了直角三角形的性質，即勾股定理的應用．例11．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學校考開學考試）已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數根；（2）若，且該方程的兩個實數根的差為2，求的值．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進行求證；（2）設關于的一元二次方程的兩實數根為，然后根據一元二次方程根與系數的關系可得，進而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數根為，則有：，∵，∴，解得：，∵，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵．例12．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期中）如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根是另一個根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個根是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①

②

③(2)若關于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；(3)若是關于x的“三倍根方程”，求代數式的值．【答案】(1)③(2)(3)【分析】（1）分別求出①②③三個方程的根，然后根據題中所給定義可進行求解；（2）設關于x的方程的兩個根為，然后根據“三倍根方程”可令，進而根據一元二次方程根與系數的關系及方差的解可進行求解；（3）先把一元二次方程進行因式分解變形，然后根據“三倍根方程”的關系可進行求解．【詳解】（1）解：由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，不滿足“三倍根方程”的定義；由可得：，滿足“三倍根方程”的定義；故答案為③；（2）解：設關于x的方程的兩個根為，由一元二次方程根與系數的關系可知：，，令，則有，∴，，∴；（3）解：由可得：，∴，令，則有：．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數的關系及解法，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．一、單選題1．（2022秋·江蘇無錫·九年級統考期中）關于下列一元二次方程，說法正確的是（

）A．的兩根之和等于5 B．的兩根之積等于1C．兩根不可能互為倒數 D．中m=0時，兩根互為相反數【答案】C【分析】根據一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數的關系進行判斷即可求解．【詳解】A.的兩根之和等于，故該選項不正確，不符合題意；B.，即方程的兩根之積等于，故該選項不正確，不符合題意；C.，∵，，解得，∵，兩根之積為，∴方程兩根之積不可能互為倒數，故該選項正確，符合題意；D.中時，即，此方程無實根，故該選項不正確，不符合題意．故選C．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，．一元二次方程(為常數)的根的判別式，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵．當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程沒有實數根．2．（2022秋·江蘇·九年級統考期中）關于的方程的一個解為，則該方程的另一個解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用根與系數的關系即可求解．【詳解】解：利用根與系數的關系，可得：，的方程的一個解為，，故選：A．【點睛】本題主要考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟練掌握根與系數的關系．3．（2022秋·江蘇無錫·九年級統考期末）已知關于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，則a的值為（

）A．或5 B．或 C． D．5【答案】D【分析】根據兩根之和為，以及兩根之間的數量關系，求出兩個根，再根據兩根之積等于，求出a的值即可．【詳解】解：設方程的兩個根為，，由根與系數的關系可得：，即：，解得：，∴，∵，∴；故選D．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數的關系．熟練掌握兩根之和等于，兩根之積等于，是解題的關鍵．4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）若是關于的一元二次方程的一個根．則與方程另一個根分別是（

）A．6，5 B．5， C．2，5 D．，5【答案】A【分析】根據：若一元二次方程兩根分別為，則有：，代入數據計算即可.【詳解】解：設方程的另一根為，由根據根與系數的關系可得：，解得：故選：B.【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，關鍵要理解一元二次方程的兩根之和只與二次項系數和一次項系數有關，兩根之積只與二次項系數和常數項有關，從而快速計算結果.5．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學校校考二模）方程的根的情況，下列結論中正確的是（

）A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數根【答案】C【分析】先把方程化為，再根據可得方程有兩個不相等的實數根．【詳解】解：∵（p為常數），∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數根，根據根與系數的關系，方程的兩個根的積為，∴一個正根，一個負根．故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式以及根與系數關系，注意利用偶次方的非負性判斷代數式的符號是解決問題的關鍵．二、填空題6．（2023·江蘇鹽城·統考一模）已知關于x的一元二次方程的一個根是，則它的另一個根為______．【答案】4【分析】利用根與系數之間的關系來求解．【詳解】解：設方程的另一個根為，關于x的一元二次方程的一個根是，由根與系數之間的關系可得，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數之間的關系．解題的關鍵是一元二次方程的兩根如果為、，則有，．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統考期中）已知一元二次方程的兩個根分別是、，則代數式的值為______．【答案】【分析】結合題意利用一元二次方程根與系數的關系求得，，代入即可求解．【詳解】解：一元二次方程的兩個根分別是、，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，代數式求值；熟練掌握根與系數的關系是解題的關鍵．8．（2023·江蘇南京·統考一模）設，是方程的兩個根，且，則m＝______．【答案】2【分析】由根與系數的關系可得，結合可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：∵是方程的兩個根，∴，∵，∴．故答案為2．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根時，．9．（2023秋·江蘇揚州·九年級校考期末）已知、是關于的方程的兩個根，則值等于________．【答案】2【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得出兩根之和即可求解．【詳解】解：、是關于的方程的兩個根，，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，一元二次方程的根與系數的關系為：，．10．（2022秋·江蘇蘇州·九年級統考期末）已知，是一元二次方程的兩個根，則的值為______．【答案】【分析】根據根與系數關系得到兩根和與兩根積的值，將式子通分代入求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，∵，是一元二次方程的兩個根，∴，，∴故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數之間的關系，解題的關鍵是熟練掌握，．11．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）關于的方程（為常數）有兩個不相等的正根，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據一元二次方程根的判別式和根與系數得關系解答即可．【詳解】由題意得：，∴，∴，∴，，∵關于的方程（為常數）有兩個不相等的正根，∴，解得：∴的取值范圍是：故答案為：【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式、根與系數的關系，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．12．（2023·江蘇宿遷·統考一模）關于x的方程的兩個根分別是，則______________．【答案】/．【分析】依據根與系數的關系即，代入即可求出的值，最后代入計算即可．【詳解】解：是方程的兩個根，，，即，，，故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數的關系，二次根式的混合運算；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系．13．（2023·江蘇南京·統考二模）若、為的兩根，則的值為______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的兩個實數根，結合根與系數的關系轉化求解即可．【詳解】解：α，β是方程的兩個實數根，可得，∴．∴的值為0．故答案為：0．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與關系，若α，β是一元二次方程的兩根時，，．14．（2023秋·江蘇南京·九年級統考期末）設是關于x的方程的兩個根，則_____________．【答案】3【分析】直接利用根與系數的關系求解．【詳解】解∶根據根與系數的關系得．故答案為：3．【點睛】本題考車了根與系數的關系∶若是一元二次方程的兩根時，．15．（2023秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校校考期末）設、是方程的兩個根，則___________．【答案】【分析】根據根與系數關系，求出兩根之和、兩根之積即可．【詳解】解：、是方程的兩個根，所以，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數關系，解題根據是熟記根與系數關系，求出兩根之和、兩根之積．16．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考期末）若一元二次方程有兩個實數根，，則的值是________．【答案】4【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，即可求得．【詳解】解：一元二次方程有兩個實數根，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，代數式求值問題，熟練掌握和運用一元二次方程根與系數的關系是解決本題的關鍵．三、解答題17．（2023·江蘇揚州·統考二模）已知關于x的一元二次方程(1)求證：該方程總有兩個實數根．(2)若該方程兩個實數根的差為3，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)0或6【分析】（1）由，可知，，，根據，證明即可；（2）由，可得，，由該方程兩個實數根的差為3，可得，即，，計算求解即可．【詳解】（1）證明：，，，，∴，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：∵，∴，，∵該方程兩個實數根的差為3，∴，∵，∴，解得或，∴m的值為0或6．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別，一元二次方程根與系數的關系，完全平方公式的變形．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．18．（2020秋·江蘇南京·九年級統考期中）已知關于x的方程．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數根；(2)若方程有一個根是2，求m的值以及方程的另一個根．【答案】(1)見解析(2)m的值為2，另一個根為0【分析】（1）先計算判別式的值得到，然后根據判別式的意義得到結論；（2）設方程的另一個為t，利用根與系數的關系得到，然后解方程組即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴不論m為何值，該方程都有兩個不相等的實數根；（2）解：設方程的另一個為t，根據根與系數的關系得：，∴，解得，∴，∴m的值為2，另一個根為0．【點睛】本題考查了判別式的意義以及根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程的兩根時，．一、單選題1．（2022·江蘇·九年級專題練習）設一元二次方程的兩根為，，則的值為（

）A．1 B．﹣1 C．0 D．3【答案】D【分析】先利用一元二次方程根與系數的關系得，，再變形得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據根與系數的關系得，，，故選：D．【點睛】本題考查利用一元二次方程根與系數的關系求代數式的值，若，是一元二次方程的兩根，則，，掌握一元二次方程根與系數的關系是解決問題的關鍵．2．（2022秋·江蘇常州·九年級校考階段練習）若m、n是方程的兩個實數根，則的值為(

)A．4 B．2 C．0 D．-1【答案】C【分析】根據根與系數的關系及方程的解的定義即可求解．【詳解】∵m、n是方程的兩個實數根，∴，，∴，∴，故選：C．【點睛】此題主要考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟知根與系數的關系、一元二次方程根的定義．3．（2022秋·江蘇南京·九年級校考階段練習）若關于x的方程的一個根是，則另一個根是（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【答案】D【分析】根據根與系數關系得出兩根之積為，進而可以求出另一個根．【詳解】解：關于x的方程的一個根是，根據根與系數關系可知，兩根之積為，則另一個根為，故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數關系，解題關鍵是利用根與系數關系求出兩根之積為．4．（2022秋·九年級課時練習）若和是關于x的方程的兩根，且，則b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．5【答案】C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系得出，代入得到關于b的方程，求出b的值即可．【詳解】解：∵和是關于x的方程的兩根，∴，∴∴故選：C【點睛】本題考查了根與系數的關系，熟練掌握兩根之和為-，兩根之積為是解題的關鍵．5．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）設x1，x2是方程x2＋5x﹣6＝0的兩個根，則x12＋x22的值是（

）A．5 B．13 C．35 D．37【答案】D【分析】根據根與系數的關系可以得到x1+x2=-5，x1x2=-6，然后利用將代數式的值代入，計算x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2的值．【詳解】解：根據題意得x1+x2=-5，x1x2=-6，x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=25+12=37．故選：D．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，．6．（2022秋·江蘇無錫·九年級校考階段練習）直角三角形兩直角邊是方程的兩根，則它的斜邊為（

）A．8 B．7 C．6 D．【答案】C【分析】設直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與．根據一元二次方程根與系數關系可得，．再根據勾股定理即可求．【詳解】解：設直角三角形的斜邊為，兩直角邊分別為與，直角三角形兩直角邊是方程的兩根，，，根據勾股定理可得：，．故選：C．【點睛】本題考查勾股定理，一元二次方程根與系數關系，熟練掌握一元二次方程根與系數關系是解題的關鍵．7．（2020秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）兩根均為負數的一元二次方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因為兩根均為負數，所以兩實數根的和小于零，兩根之積大于零．解題時檢驗兩根之和是否小于零，及兩根之積是否大于零．【詳解】解：A.，，兩根均為正數；B.，，兩根為一正一負；C.，，兩根均為負數；D.，，兩根為一正一負．故答案為：C．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根時，，．二、填空題8．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）若a，b是方程的兩個實數根，則代數式的值為______．【答案】0【分析】由一元二次方程的解的定義可得出，即得出．根據一元二次方程根與系數的關系可得出，從而即可求出．【詳解】∵a，b是方程的兩個實數根，∴，，∴，∴．故答案為：0．【點睛】本題考查一元二次方程的解的定義，一元二次方程根與系數的關系．掌握方程的解就是使方程成立的未知數的值和熟記一元二次方程根與系數的關系：、是解題關鍵．9．（2023春·江蘇泰州·九年級泰州市姜堰區第四中學校考階段練習）設方程的兩個根分別為，則的值是___________．【答案】2024【分析】先根據根與系數的關系可求，再把，的值整體代入所求代數式計算即可．【詳解】解：∵方程的兩個根分別為，∴，∴．故答案是：2024．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系：若方程的兩根為，則．10．（2023·江蘇南京·九年級專題練習）已知、是一元二次方程的兩個實數根，則的值是________．【答案】16【分析】先根據根與系數的關系得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據題意得，所以．故答案為：16．【點睛】本題考查了根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根時，．11．（2022春·江蘇南通·九年級校考階段練習）已知：m、n是方程的兩根，則_____．【答案】16【分析】根據m、n是方程的兩根，即可得到，，，，從而得到，，代入計算即可得到答案．【詳解】解：∵m、n是方程的兩根，∴，，，，∴，，∴，故答案為：16．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義，根與系數的關系，熟知一元二次方程根的定義，根與系數的關系，并根據題意將所求代數式變形是解題關鍵．三、解答題12．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）已知關于x的一元二次方程有兩個實數根，．(1)求m的取值范圍；(2)當時，求另一個根的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意得，解不等式即可求解；（2）根據根與系數的關系得，根據，即可求解．【詳解】（1）解：∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，∴，解得，所以m的取值范圍為；（2）解：∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．13．（2022秋·江蘇鹽城·九年級濱海縣第一初級中學校聯考階段練習）已知關于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個實數根；(2)若，且該方程的兩個實數根的平方和為10，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由題意及一元二次方程根的判別式可直接進行求證；（2）設關于的一元二次方程的兩實數根為，，然后根據一元二次方程根與系數的關系可得，，再根據兩個實數根的平方和為10，可得，由此可解．【詳解】（1）證明：由題意得：，，，∴，∵，∴，∴該方程總有兩個實數根；（2）解：設關于的一元二次方程的兩實數根為，，則有，，∵，∴，解得：，∵，∴．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數的關系是解題的關鍵．14．（2022秋·江蘇連云港·九年級校考階段練習）已知關于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據一元二次方程根的判別式判斷即可；（2）根據一元二次方程根與系數的關系可得，整體代入中，解出m的值即可．【詳解】（1）∵該一元二次方程為，∴，∴，∴該方程總有兩個實數根；（2）∵，又∵，∴，解得：．【點睛】本題考查根據判別式判斷一元二次方程根的情況，一元二次方程的根與系數的關系．掌握一元二次方程的根的判別式為，且當時，該方程有兩個不相等的實數根；當時，該方程有兩個相等的實數根；當時，該方程沒有實數根．熟記一元二次方程根與系數的關系：和是解題關鍵．15．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）關于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和關于x的一元二次方程：（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均為實數），方程①的解為非正數．（1）求k的取值范圍；（2）如果方程②的解為負整數，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k為整數，求整數m的值；（3）當方程②有兩個實數根x1、x2，滿足（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，且k為正整數，試判斷|m|≤2是否成立？請說明理由．【答案】（1）k≤2且k≠1；（2）m＝﹣2或﹣3；（3）成立，見解析【分析】（1）先解出方程①的解，根據一元二次方程的定義和方程①的根為非正數，得出k的取值范圍，即可；（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化簡，通過因式分解法，用含m的代數式表示出一元二次方程的兩個實數根，根據方程②的解為負整數，m為整數，即可求出m的值；（3）根據（1）中k的取值范圍和k為正整數得出k＝2，化簡一元二次方程，并將兩根和與積代入計算，得出關于m、n的等式，結合根的判別式，即可得到結論．【詳解】（1）∵關于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4，解得：x＝2k﹣4，∵關于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解為非正數，∴2k﹣4≤0，解得：k≤2，∵由一元二次方程②，可知k≠1，∴k≤2且k≠1；（2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6，∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2，∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0，因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0，∴x1＝﹣=，x2＝﹣1，∵方程②的解為負整數，m為整數，∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3；（3）|m|≤2成立，理由如下：由（1）知：k≤2且k≠1，∵k是正整數，∴k＝2，∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有兩個實數根x1、x2，∴x1+x2＝＝﹣2m，x1x2＝＝1+n，∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5①，△＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0②，把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，∴|m|≤2．【點睛】本題主要考查一元一次方程與一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根與系數的關系，根的判別式，熟練掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根與系數的關系，根的判別式，是解題的關鍵．16．（2022秋·江蘇·九年級專題練習）關于x的方程有兩個不相等的實數根，求分別滿足下列條件的取值范圍：（1）兩根都小于0；（2）兩根都大于1；（3）方程一根大于1，一根小于1．【答案】（1）-2＜a＜-1；（2）2＜a＜3；（3）a＞3【分析】由關于x的方程x2-2ax+a+2=0有兩個不相等的實根，得出△=（-2a）2-4（a+2）＞0，解得a＜-1或a＞2．設方程x2-2ax+a+2=0的兩根為α，β，利用根與系數的關系得到α+β=2a，αβ=a+2，再分別根據：（1）由兩根都小于0，得出α+β=2a＜0，αβ=a+2＞0，此求出a的取值范圍；（2）由兩根都大于1，得出（α-1）（β-1）＞0，且對稱軸，依此求出a的取值范圍；（3）由一根大于1，一根小于1，得出（α-1）（β-1）＜0，依此求出a的取值范圍；【詳解】解：∵關于x的方程x2-2ax+a+2=0有兩個不相等的實根，∴△=（-2a）2-4（a+2）＞0，∴a＜-1或a＞2．設方程x2-2ax