/2.2圓的對稱性【推本溯源】中心對稱1.一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，還能與原來的圖形重合嗎？因此，圓是圖形，對稱中心為2.旋轉不變性：一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合。3.在紙上畫半徑相等的圓O和圓O′，再畫相同的圓心角的∠AOB和∠A′OB′，連接AB、A′B′。在所畫圖中還有哪些相等的線段、相等的弧？證：因此，在同圓或等圓中，相等的所對的相等，所對的相等幾何語言：4.那么在同圓或等圓中，如果兩個圓心角所對的弧相等，那么它們所對的弦相等嗎？這兩個圓心角相等嗎？因此可得：在同圓或等圓中，如果兩個、兩條、兩條中有相等，那么它們所對應的另外兩組幾何語言：5.我們知道，將頂點在圓心的周角等分成360份，每一份圓心角是1°的角。因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份。我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°的弧。因此，一般地，n°的圓心角對著n°的弧，n°的弧對著n°的圓心角。實踐證明，。軸對稱1.在紙上畫圓O，把圓O剪下并折疊，使折痕兩旁的部分完全重合，你發現了什么？圓是圖形，都是它的對稱軸。有條對稱軸。2.畫圓O和圓的直徑AB，弦CD，使AB⊥CD，垂足為P，在所畫圖中有哪些相等的線段、相等的弧？證：連接OC,OD在▲OCD中，∵OC=0D，OP⊥CD∴PC=PD，∠BOC=∠BOD∴∠AOC=∠AOD∴弧BC=弧BD，弧AC=弧AD（在通遠中，相等的圓心角所對的弧相等）因此，。（垂徑定理）幾何語言：【解惑】例1：如圖，是的直徑，若，則的度數是（

）．

A． B． C． D．例2：如圖，在中，，則度數是（）A． B． C． D．例3：如圖，是的一條弦，直徑是，若，垂足為E，，，則的長度為（）A．5 B．6 C．8 D．10例4：如圖是一位同學從照片上剪切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于，兩點，他測得“圖上”圓的半徑為厘米，厘米，若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時間為分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）

A．厘米/分 B．厘米/分 C．厘米/分 D．厘米/分例5：如圖所示，是的兩條弦，且，則與的大小有什么關系？為什么？

【摩拳擦掌】1．（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學校校考三模）如圖，已知的半徑為5，為的弦，，點C在上，且滿足，交于點D，則的長為（

）

A．3 B． C． D．2．（2023秋·九年級單元測試）如圖，是半徑為8的的弦，點C是優弧的中點，，則弦的長度是（

）A．8 B．4 C． D．3．（2023·湖南郴州·統考二模）如圖，點A，B，C在上，，則的度數為（

）

A． B． C． D．4．（2023·湖北宜昌·統考中考真題）如圖，都是的半徑，交于點D．若，則的長為（

）．A．5 B．4 C．3 D．25．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學校考期中）如圖，A、B、C、D是上的點，如果，，那么___．

6．（2023·湖南永州·統考中考真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_______．7．（2023·浙江麗水·統考一模）如圖，有一個弓形的暗礁區，弓形所在圓的圓周角，則______．8．（2023·北京海淀·北理工附中校考三模）如圖，為的弦，半徑于點，若，則的長是____________．

9．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，⊙O中，直徑CD⊥弦AB于E點，若AB=10，DE=2，求CD的長．10．（2023·陜西咸陽·統考三模）如圖，已知扇形，請用尺規作圖法在弧上找一點C，使得將扇形分成面積相等的兩部分．（保留作圖痕跡，不寫作法）

11．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第十三中學校考期中）如圖，在中，，證明．

12．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，是的一條弦，點是的中點，連接并延長交劣弧于點，連接，．若，，求的面積．【知不足】1．（2023·浙江·一模）如圖，在水平放置的圓柱形排水管的截面中，圓的半徑為5，弓形部分水面寬度，則該截面中水的最大深度是（

）

A．5 B．4 C．3 D．22．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，的頂點A、B、C均在上，點A是中點，則下列結論正確的是（）A． B．C． D．3.（2023·山東泰安·統考二模）已知的直徑為10cm，，是的兩條弦，，，，則與之間的距離為（

）．A．1 B．7 C．1或7 D．3或44．（2023·河北滄州·統考三模）圖1是木馬玩具，圖2是木馬玩具底座水平放置的示意圖，點是所在圓的圓心，點離地高度均為，水平距離，則的長為（

）

A． B． C． D．5．（2023·遼寧大連·校聯考二模）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉化為現在的數學語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為________寸．6．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在中，弦，點C在上移動，連接，過點C作，交于點D，則長的最大值為___________．7．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，是的直徑，弦，垂足為E．若，，則的半徑r為___________．8．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E．若，則度數為___________．9．（2023春·天津和平·九年級天津市雙菱中學校考開學考試）如圖，射線平分，O為射線上一點，以O為圓心，5為半徑作分別與的兩邊相交于A、B和C、D，連接，且．

(1)求的長：(2)若弦，求的長．10．（2021秋·廣東河源·九年級校考期中）如圖，點在上，．求證：．

11．（2023·浙江金華·統考中考真題）如圖，點在第一象限內，與軸相切于點，與軸相交于點．連接，過點作于點．

(1)求證：四邊形為矩形．(2)已知的半徑為4，，求弦的長．【一覽眾山小】1．（2023·廣東珠海·珠海市文園中學校考三模）如圖是某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作割去兩個弓形后余下的部分，與矩形組合而成的圖形（點，在上），其中；已知的半徑為25，，，，則香水瓶的高度是（

）

A．56 B．57 C．58 D．592．（2023·湖北十堰·統考中考真題）如圖，是的外接圓，弦交于點E，，，過點O作于點F，延長交于點G，若，，則的長為(

)

A． B．7 C．8 D．3．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，點A、B、C三點在上，點為弦的中點，，，則（）A． B． C． D．4．（2023·廣西·統考中考真題）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）A． B． C． D．5．（2023·浙江·一模）在中，交于點交于．若，則___________．

6．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，是的直徑，點C、點B在上，過點C作的切線交的延長線于點D，若，垂直于，垂直于，則__．7．（2023·黑龍江哈爾濱·統考三模）如圖，已知的半徑為7，是的弦，點在弦上．若，則的長為______________．8．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖所示，小區內有個圓形花壇O，點C在弦上，，，，則這個花壇的半徑為___________．

9．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，已知圓內接中，，為的中點，于，求證：．10．（2023·湖北武漢·校考模擬預測）如圖為圓O的直徑，為圓O的弦，C為O上一點，，，垂足為D．

(1)連接，判斷與的位置關系，并證明；(2)若，，求圓O的半徑；11．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖所示，是的一條弦，，垂足為，交于點C、D．

(1)若，求的度數；(2)若，，求的半徑長；12．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，，交于點，，是半徑，且于點F．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．

2.2圓的對稱性教材知識總結教材知識總結圓的對稱性圓是軸對稱圖形，過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心．【點撥】圓具有旋轉不變的特性．即一個圓繞著它的圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合．弧、弦、圓心角的關系在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

【點撥】（1）一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征；

（2）注意關系中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.（3）圓心角的度數與它所對的弧的度數相等.垂徑定理1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

【點撥】(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.垂徑定理的拓展根據圓的對稱性及垂徑定理還有如下結論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.看例題，漲知識看例題，漲知識【例題1】已知：如圖，⊙O中弦．求證：AD=BC．【答案】見解析【分析】先根據等弦所對的劣弧相等得到，從而得到，再由等弧所對的弦相等即可得到．【解析】證明：∵AB=CD，∴，∴，．【例題2】如圖，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度數．【答案】30°【分析】根據同圓中，相等的弧所對的弦相等，再根據等腰三角形的性質即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=．【例題3】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若BE＝5，CD＝6，求AE的長．【答案】【分析】如圖，連接，設，由垂徑定理知，，在中，由勾股定理知，解出的值，由，計算求解即可．【解析】解：如圖，連接，設由垂徑定理知在中，由勾股定理知∴解得∴的長為．【例題4】如圖，在中，AB是直徑，弦EF∥AB．(1)請僅用無刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接OP交EF于點Q，，，求PQ的長度．【答案】(1)見解析；(2)1【分析】（1）如圖，連接BE，AF，BE交AF于C，作直線OC交于點P，點P即為所求．（2）利用垂徑定理結合勾股定理求得OQ=4，進一步計算即可求解．【解析】(1)解：如圖中，點P即為所求．(2)解：連接OF，由作圖知OP⊥EF，EQ=QF=EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=AB=5，∴OQ==4，∴PQ=OP-OQ=1，∴PQ的長度為1．課后習題鞏固一下課后習題鞏固一下一、單選題1．下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的弧③垂直于弦的直線必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【分析】根據垂徑定理及其推論進行判斷．【解析】解：根據垂徑定理，①正確；②錯誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對的弧；③錯誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；④正確．故選：D．2．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，M是AB上任意一點，且OM的最小值為3，則⊙O的半徑為（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根據垂線段最短知，當OM⊥AB時，OM有最小值．根據垂徑定理和勾股定理求解．【解析】解：根據垂線段最短知，當OM⊥AB時，OM有最小值，此時，由垂徑定理知，點M是AB的中點，連接OA，AM＝AB＝4，由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半徑是5cm．故選：B．3．下列命題是真命題的是（）A．在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧也相等B．平分弦的直徑垂直于弦C．一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形D．兩條直線被第三條直線所截，內錯角相等【答案】C【分析】利用圓的有關性質、垂徑定理、平行四邊形的判定方法及平行線的性質分別判斷后即可確定正確的選項．【解析】A、在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧不一定相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；C、如圖，四邊形ABCD，ABCD，∠A=∠C，∵ABCD，∴∠A+∠D=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°，∴ADBC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故一組對邊平行且一組對角相等的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題，符合題意；D、兩條平行直線被第三條直線所截，內錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意．故選：C．4．如圖，CD為⊙O的直徑，弦，垂足為E，，，則CD的長為（

）A．20 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】連接OA，設圓的半徑為x，則OE=x-1，由垂徑定理可得AB⊥CD，AE=5，Rt△OAE中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如圖，連接OA，設圓的半徑為x，則OE=x-1，由垂徑定理可得AB⊥CD，AE=BE=AB=5，Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，x2=25+（x-1）2，解得：x=13，，∴CD=26，故選：D．5．如圖，在中，于點D，AD的長為3cm，則弦AB的長為（

）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】根據垂徑定理求出AD=BD=3cm即可．【解析】解：∵AB為非直徑的弦，，∴AD=BD=3cm，∴AB=AD+BD=6cm．故選B．6．如圖，是的直徑，弦于點，如果，，那么線段OE的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】連接OD，那么OD=OA=AB，根據垂徑定理得出DE=CD，然后在Rt△ODE中，根據勾股定理求出OE．【解析】解：如圖，∵弦CD⊥AB，垂足為E∴CE=DE=，∵OA是半徑∴OA=，在Rt△ODE中，OD=OA=10，DE=8，，故選：B．7．如圖，為圓的一弦，且點在上．若，，的弦心距為3，則的長度為何？（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】作于點，由垂徑定理得，中勾股定理即可求解．【解析】解：作于點，如圖所示，由題意可知：，，，，，，在中，故選：D．8．如圖，是的直徑，垂直于弦于點，的延長線交于點．若，，則的長是（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據垂徑定理求出OD的長，再根據中位線求出BC=2OD即可．【解析】設OD=x，則OE=OA=DE-OD=4-x．∵是的直徑，垂直于弦于點，∴∴OD是△ABC的中位線∴BC=2OD∵∴，解得∴BC=2OD=2x=2故選：C9．如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】C【分析】過點O作OP⊥AB于點P，OQ⊥AC于點Q，OK⊥BC于點K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以OB、OC是角平分線，根據∠A＝50°，先求出，再求出，進而可求出∠BOC．【解析】解：過點O作OP⊥AB于點P，OQ⊥AC于點Q，OK⊥BC于點K，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，，，∵∠A＝50°，∴，∴，∴∠BOC＝故選：C．10．如圖，在半徑為5的中，弦BC，DE所對的圓心角分別是，．若，，則弦BC的弦心距為（

）.A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，先利用等角的補角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圓心角、弧、弦的關系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根據垂徑定理得CH=BH，則AH為△CBF的中位線，然后根據三角形中位線性質得到AH=BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直徑CF，連接BF，如圖，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH為△CBF的中位線，∴AH=BF=3,故選：D.二、填空題11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么該圓的半徑為__cm．【答案】【分析】根據題意畫出相應的圖形，由OC垂直于AB，利用垂徑定理得到C為AB別的中點，由AB的長求出BC的長，再由弦心距OC的長，利用勾股定理求出OB的長，即為圓的半徑．【解析】解：如圖所示：過點O作于點C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝ACAB＝8cm，在Rt△BOC中，故答案為：10．12．如圖，AB為⊙O的弦，半徑OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，則⊙O的半徑為_____．【答案】5【分析】如圖，連接OA，設OA＝r．在Rt△AOE中，根據OA2＝OE2+AE2，構建方程即可解決問題；【解析】解：如圖，連接OA，設OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案為：5．13．已知⊙O的半徑為6cm，弦AB＝6cm，則弦AB所對的圓心角是________度．【答案】60【分析】連接OA、OB，可證得△OAB是等邊三角形，由此得解．【解析】如圖，連接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等邊三角形∴∠AOB=60°故弦AB所對的圓心角的度數為60°．故答案為：60．14．如圖，在中，，連接，，則__（填“”，“”或“”．【答案】【分析】根據推出AB=BC=CD，利用三角形三邊關系得到答案【解析】解：∵，，，，故答案為：．15．如圖，AB，CD是的直徑，弦，所對的圓心角為40°，則的度數為______．【答案】70°【分析】連接OE，由弧CE的所對的圓心角度數為40°，得到∠COE=40°，根據等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求出∠OCE，根據平行線的性質即可得到∠AOC的度數．【解析】解：連接OE，如圖，∵弧CE所對的圓心角度數為40°，∴∠COE=40°，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE=(180°-40°)÷2=70°，∵CE//AB，∴∠AOC=∠OCE=70°，故答案為：70°．16．如圖，A、B、C、D為⊙O上的點，且．若∠COD=40°，則∠ADO=______度．【答案】30【分析】先根據圓心角定理可得，從而可得，再根據等腰三角形的性質即可得．【解析】解：∵，，∴，∴，又，∴，故答案為：30．三、解答題17．如圖，的弦、相交于點，且．求證：．【答案】詳見解析【分析】由弧、弦、圓心角的關系進行證明，結合等角對等邊，即可得到結論成立．【解析】證明：，，

，即，

，

；18．如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦AC=8，連接BC．(1)尺規作圖：作半徑OD交AC于E，使得點E為AC中點；(2)連接AD，求三角形OAD的面積．【答案】(1)見解析；(2)10【分析】（1）過點O作OD⊥AC，交AC于點E，交⊙O于點D；（2）由題意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，點E為AC中點，繼而可得，然后根據三角形的面積公式即可求得答案．【解析】(1)解：如圖，點E即為所求；(2)解：如圖，連接AD，∵⊙O的直徑是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，點E為AC中點，∴，∴．19．如圖，已知是的直徑，是上一點，點、在直徑兩側的圓周上，若平分，求證：劣弧與劣弧相等．【答案】見詳解【分析】過點O分別作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分別為E、F，連接OC、OD，由題意易得OE=OF，然后可得，進而問題可求證．【解析】證明：過點O分別作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分別為E、F，連接OC、OD，如圖所示：∵平分，∴OE=OF，∵OC=OD，∴（HL），∴，∴，∴．20．如圖，已知弓形的弦長AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并經過圓心O）．求弓形所在⊙O的半徑r的長．【答案】r＝5．【分析】先由垂徑定理得AD=4，由于OD=r－2，則利用勾股定理得到62+（r－2）2=r2，然后解方程即可．【解析】并經過圓心O，∴，，在Rt△OAD中，，解得r＝5．21．如圖，正方形ABCD內接于⊙O，，求證：BM＝CM．【答案】見解析【分析】根據圓心距、弦、弧之間的關系定理解答即可．【解析】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴，∵，∴，即，∴BM＝CM．22．如圖，AB為圓O的直徑，點C在圓O上．(1)尺規作圖：在BC上求作一點E，使（不寫作法，只保留作圖痕跡）；(2)探究OE與AC的數量關