/專題05特殊的平行四邊形（3個考點梳理+16種題型解讀+提升訓練）清單01矩形1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.【易錯點】1）矩形一定是平行四邊形，但是平行四邊形不一定是矩形.2）對于矩形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②有一個角是直角.3）定義說有一個角是直角的平行四邊形才是矩形，不要錯誤地理解為有一個角是直角的四邊形是矩形.反例：2.矩形的性質定理：性質符號語言圖示邊兩組對邊平行且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC角四個角都是直角∵四邊形ABCD是矩形∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90°對角線兩條對角線互相平分且相等∵四邊形ABCD是矩形∴AO=CO=BO=DO【補充】1）矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形具有平行四邊形的一切性質；2）矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，經常會用到等腰三角形的性質解決問題.3）利用矩形的性質可以推出：在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.3.矩形的判定判定定理符號語言圖示角一個角是直角的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形三個角是直角的四邊形是矩形在四邊形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形對角線對角線相等的平行四邊形是矩形在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形清單02菱形1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.【易錯點】1）對于菱形的定義要注意兩點（缺一不可）：①是平行四邊形；②一組鄰邊相等.2）定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形，不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.2.菱形的性質定理性質定理符號語言圖示邊四條邊都相等∵四邊形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC對角線對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角∵四邊形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【補充】1）菱形是特殊的平行四邊形，所以菱形具有平行四邊形的一切性質；2）菱形的兩條對角線互相垂直，且對角線將菱形分成四個全等的直角三角形.3）對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形.4）菱形的面積公式：①菱形的面積=底×高，即②菱形的面積=兩條對角線長的乘積的一半，即.3.菱形的判定判定定理符號語言圖示邊四條邊相等的四邊形是菱形.在四邊形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四邊形ABCD是菱形對角線對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在平行四邊形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形清單03正方形1.正方形的定義：有一組鄰邊相等且只有一個角是直角的平行四邊形是正方形.2.正方形的性質：1）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，對邊平行.2）正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角.【補充】1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.

2）一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°.

3）兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.4）正方形的面積是邊長的平方，也可表示為對角線長平方的一半.3.正方形的判定：定義法平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形判定定理矩形+一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的矩形是正方形矩形+對角線互相垂直對角線互相垂直的矩形是正方形菱形+一個角是直角有一個角是直角的菱形是正方形菱形+對角線相等對角線相等的菱形是正方形【解題技巧】判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等．【考點題型一】利用矩形的性質求角度（）1．（23-24八年級下·浙江麗水·期末）如圖，是矩形的一條對角線，，依據尺規作圖的痕跡，與的交點為，則的度數是（用α的代數式表示）．【答案】【分析】本題考查了作圖—基本作圖，角平分線的定義、線段垂直平分線的性質、矩形的性質，設與交于點，由作圖可得：平分，垂直平分，從而得出，，由矩形的性質得出，推出，即可得解．【詳解】解：如圖，設與交于點，由作圖可得：平分，垂直平分，∴，，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴，故答案為：．2．（23-24八年級下·浙江溫州·期末）如圖，矩形的對角線，相交于點O，于點E，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質，垂直的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，熟練掌握矩形的性質是解題的關鍵．根據矩形的性質可得，由等邊對等角可得，利用三角形外角性質可得，結合，即可求出.【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，．故選：A．3．（23-24八年級下·浙江紹興·期中）如圖，在矩形中，是邊上的一點，且，，求的度數．【答案】【分析】本題考查了矩形和等腰三角形的性質，三角形內角和定理，根據矩形和等腰三角形的性質即可得出答案．【詳解】解：在矩形中，,∴,∵，∴，∴，【考點題型二】利用矩形的性質求線段長（）4．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，點是矩形的對角線的中點，是邊的中點．若，則線段的長為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查中位線的性質，矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．利用中位線求出，利用矩形性質求出，，利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜邊中線的性質即可求解．【詳解】解：∵點是的中點，是的中點，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故選：B．5．（20-21八年級下·浙江紹興·期末）如圖，矩形的對角線交于點O，，過點O作，交于點E，過點E作，垂足為F，則的值為．

【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質、勾股定理等知識，依據矩形的性質即可得到的面積為12，再根據，即可得到的值．【詳解】解：∵，∴矩形的面積為48，，∴，∵對角線交于點，∴的面積為12，∵∴，即，∴，∴，故答案為：．6．（23-24八年級下·浙江湖州·期末）如圖，在矩形中，的平分線交于點E，點F，G分別是和的中點．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】本題主要考查了矩形的性質，勾股定理，三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定：（1）由角平分線的定義得到，由矩形的性質得到，，進而證明，得到，即可證明是等腰直角三角形．（2）由矩形的性質得到，，則，由勾股定理得到，則由三角形中位線定理可得．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，在矩形中，，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（2）解：由（1）得，在矩形中，，，∴，連接，在中，由勾股定理得，∵點F，G分別為和的中點，∴．【考點題型三】利用矩形的性質求面積（）7．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，為矩形對角線上的一點，過點作，分別交、于點、，若，，的面積為，的面積為，則（

）A．12 B．8 C．6 D．10【答案】A【分析】本題主要考查了矩形的性質、三角形的面積等知識，作輔助線構造矩形是解題的關鍵．先作輔助線，然后根據矩形的性質可得到兩個三角形的面積相等，根據三角形面積的和差進行求解即可．【詳解】解：作于點，交于點，如圖所示：又∵，則四邊形，，，都是矩形，，，，，，，，，，，∴，故選：A．8．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）如圖，在矩形中，是矩形內一點，設，，，的面積分別表示為，，，，要求出的值，只需知道（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質，平行四邊形的判定與性質，三角形的面積與平行四邊形的面積，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．過點作，，作交于點，交于點，先證明四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，通過，，，，得到，同理可證，即，從而推出答案．【詳解】過點作，，作交于點，交于點，如圖所示：四邊形是矩形，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，即同理可證故選：B．9．（24-25九年級上·內蒙古赤峰·階段練習）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形，并使其最小內角為，則這個四邊形周長不變，面積變為原來的．【答案】一半//0.5【分析】主要考查了平行四邊形的面積公式和基本性質，直角三角形中，的角對的直角邊等于斜邊的一半．作出高構造含有的直角三角形是解題關鍵．過點作于點，在直角三角形中，，可得，再由平行四邊形面積公式可得面積為矩形面積的一半．【詳解】解：如圖，過點作于點，在直角三角形中，∵∴，．故答案為：一半．10．（21-22八年級下·浙江·開學考試）如圖，一塊長方形場地的長為，寬為，于E，于F，連接，現計劃在四邊形區域內種植一種花草，已知該種花草的價格是150元/，若把四邊形區域種滿這種花草，需多少元？

【答案】元．【分析】本題主要考查矩形的性質以及勾股定理的應用，此題關鍵是求出四邊形EDFB的面積，而面積的求出可由原矩形面積減去外圍四個三角形的面積，外圍四個三角形面積都相等，只要求出一個即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴∴∵，∴,∴,∴，同理．∴．在中，且，，∴連接交于點O，則

設則又∴，解得，，即，∴，∴．∴．∴．又花草的價格是每平方米150元，所以共需元．【考點題型四】求矩形在坐標系中的坐標（）11．（20-21八年級下·浙江·期中）如圖，矩形中，若的坐標為，則．【答案】【分析】連接OB，過B作BM⊥x軸于M，根據勾股定理求出OB，根據矩形的性質得出AC=OB，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，連接OB，過B作BM⊥x軸于M．∵點的坐標是，∴，，由勾股定理得：，∵四邊形OABC是矩形，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質、勾股定理等知識點，能根據矩形的性質得出AC=OB是解此題的關鍵．12．（2021·浙江杭州·模擬預測）矩形中，，，，則點坐標為．【答案】（-3，3）【分析】先在坐標系內描出A，B，C三點的坐標，然后根據矩形的性質寫出D點坐標．【詳解】解：在矩形ABCD中A（-3，2），C（0，3），B（0，2）．∴點D的橫坐標為-3，縱坐標為3．∴點D的坐標為（-3，3）．故答案為：（-3，3）．【點睛】本題考查了坐標系內點的坐標特征，矩形的性質，是常見題型．13．（24-25八年級下·重慶璧山·期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點、的坐標分別為，，點為，點在線段上運動，當是腰長為5的等腰三角形時，點的坐標為．【答案】或或【分析】此題主要考查了矩形的性質以及坐標與圖形的性質和等腰三角形的性質，勾股定理，根據是腰長為的等腰三角形進行分類討論是解決問題的關鍵．根據當時，以及當時，分別進行討論得出點的坐標．【詳解】解：矩形的頂點、的坐標分別為，，點為，∴，過作于，①當時，如圖1所示：，，由勾股定理得：，；②當時，如圖2所示：，，由勾股定理得：，，；如圖3所示：，，由勾股定理得：，，；綜上，滿足題意的點的坐標為或或，故答案為：或或．【考點題型五】矩形與折疊問題（）14．（24-25八年級上·浙江麗水·期末）如圖，長方形紙片的邊在x軸上，且過原點，連接．將紙片沿折疊，使點C恰好落在邊上的點處．若，則點D的縱坐標為（

）A．9 B．12 C．14 D．15【答案】D【分析】本題考查了翻折變換折疊問題，勾股定理，矩形的性質，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．根據矩形到現在得到，，，由折疊的性質可得出，，，由，得到，，根據勾股定理得到，求得，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊的性質可得出，，，，，，，，，，，點D的縱坐標為15．故選：D．15．（24-25八年級上·浙江嘉興·期中）如圖，在矩形中，，點和是邊上的兩點，連接、，將和沿、折疊后，點和點重合于點，則的長是（

）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本題主要考查矩形與折疊問題，等腰三角形的性質以及勾股定理等知識，過點作于點，則于點，由勾股定理可求，，設，則，由勾股定理求出，從而進一步可得出結論．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，由折疊得，，，，，，，，，過點作于點，則于點，如圖，則，，由勾股定理得，，，設，則，在直角中，，，解得，，，即，，故選：C．16．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，在長方形紙片中，，，點M為上一點，將沿翻至，交于點G，交于點F，且，則的長度是【答案】【分析】本題考查了翻折變換和矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，根據條件列出方程是解題的關鍵．先證明，再根據勾股定理設未知數列方程求解即可．【詳解】解：設，則，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，在中，，即，解得：，故答案為：．17．（24-25八年級上·貴州遵義·期中）已知，如圖所示，折疊矩形的一邊，使點D落在邊的點F處，如果，，求(1)的長；(2)的長．【答案】(1)(2)的長為．【分析】此題重點考查矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理等知識，正確地求出的長是解題的關鍵．（1）由矩形的性質得，，由折疊得，而，所以，則；（2）設，由，，根據勾股定理列式計算，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，由折疊得，，，的長為．（2）解：設，，，，由折疊可知：，，，的長為．【考點題型六】證明四邊形是矩形（）18．（24-25八年級下·浙江杭州·期中）如圖，在中，，是的角平分線，四邊形是平行四邊形．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見解析【分析】本題考查矩形的判定，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的三線合一，熟練掌握這些性質與判定是解題的關鍵．先利用三線合一得出，，利用四邊形是平行四邊形結合，推出四邊形是平行四邊形，再結合，即可證明．【詳解】證明：∵，是的角平分線，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．19．（20-21八年級下·山東泰安·期末）如圖，在中，，是的中點，是的中點，，交的延長線于點，連接．求證：四邊形是矩形．【答案】見解析【分析】本題主要考查了矩形的判定，全等三角形的性質與判定，三線合一定理，掌握其性質定理是解決此題的關鍵．先證明≌，再證明四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定方法即可證明．【詳解】證明：∵，∴，，∵是的中點，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．∵，是的中點，∴，∴四邊形是矩形．20．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）如圖，在中，點O為線段的中點，延長交的延長線于點E，連接，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)連接．若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（）證，得，再證四邊形是平行四邊形，然后證，即可得出結論；（）過點作于點，由矩形的性質得，，再由等腰三角形的性質得，則為的中位線，得，然后由平行四邊形的性質得，進而由勾股定理即可得出結論．【詳解】（1）證明：∵為的中點，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴平行四邊形是矩形；（2）解：如圖，過點作于點，∵四邊形是矩形，∴，，，，∴，∵，∴，∴為的中位線，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，即的長為．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，三角形中位線定理以及勾股定理，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．【考點題型七】利用菱形的性質求角度（）21．（23-24八年級下·廣東江門·期末）如圖為汽車常備的一種千斤頂的原理圖，其基本形狀是一個菱形，中間通過螺桿連接，轉動手柄可改變的大小（菱形的邊長不變）．當時，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質，掌握菱形的對角線平分對角的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，是對角線，∴，平分，∴，故選：A．22．（22-23八年級下·浙江臺州·期中）如圖，在菱形中，E，F分別在，上，，．若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用菱形的性質求出，的度數，利用等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出的度數，證明可求出的度數，最后利用角的和差關系求解即可．【詳解】解：∵菱形，，∴，，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，即，又，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定與性質，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵．23．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）如圖，在菱形中，和為兩條對角線，分別作和的角平分線交于點N和M，且，則°．【答案】60【分析】本題考查菱形的性質，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質．根據菱形的性質和角平分線的定義證明，進而可以解決問題．【詳解】解：，分別是和的角平分線，，，，∵四邊形是菱形，，，，，，，，，，故答案為：60．24．（23-24八年級下·浙江寧波·期末）如圖，菱形中，，點在對角線上，交于點，交于點．

(1)求的度數；(2)連結，當時，判斷與的數量關系并證明．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的判定，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質．（1）根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再根據平行四邊形的對角相等即可解決問題；（2）連接，根據菱形的對稱性，證得，，然后利用菱形的性質和三角形內角和定理證明，得，進而可以解決問題．【詳解】（1）解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．（2）解：，理由如下：連接，

四邊形是菱形，∴點B與點D關于對稱，∴，，菱形中，，，，，，∴，由（1）知：四邊形是平行四邊形，∴，∴∴，，．【考點題型八】利用菱形的性質求線段長（）25．（24-25九年級上·山西運城·期中）如圖，在菱形中，對角線交于點是邊上一點，且．若，則菱形的周長為（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】本題考查菱形的性質，等角的余角相等，等角對等邊；先根據菱形的性質得到，然后得到，，即可得到，然后求出長即可解題．【詳解】解：∵是菱形，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，∴菱形的周長為，故選：C．26．（24-25八年級上·浙江·期中）如圖，線段，點P在線段上，且，分別以點A和點B為圓心，的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和點D，連接，則點C到邊的距離是（

）A． B． C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了線段垂直平分線的性質、菱形的判定與性質．連接交于E點，先利用基本作圖得到垂直平分，則可判斷四邊形為菱形，所以，，再利用勾股定理計算出得到，設點C到邊的距離為h，然后利用菱形的面積公式得到，從而求出h即可．【詳解】解：連接交于E點，如圖，由作圖可得垂直平分，∴四邊形為菱形，∴，在中，，∴，設點C到邊的距離為h，∴，∴．故選：B．27．（22-23八年級下·浙江寧波·期中）如圖，在菱形中，，點E、F、G、H分別是邊、、、中點，在直線上方有一動點P，且滿足，則周長的最小值為．【答案】【分析】證明出四邊形為矩形，在上方作直線，且到的距離為，說明點在上，作點關于的對稱點，連接，交于點，則三角形為所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周長．【詳解】解：如圖，連接、交于，點、、、分別是邊、、、中點，、為、的中位線，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為菱形，，，四邊形為矩形，在上方作直線，且到的距離為，，點在上，作點關于的對稱點，連接，交于點，由對稱得，，，由兩點間線段最短得，此時最短，周長最短，，，為等邊三角形，，，，點、分別是邊、的中點，且，為等邊三角形，，到的距離為，點到的距離為，點到的距離為，，，周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱線段最短問題，菱形性質、中點四邊形性質及三角形中位線性質的應用是本題的解題關鍵．28．（2024八年級下·浙江·專題練習）矩形的頂點E，G分別在菱形的邊、上，頂點F，H在菱形的對角線上．

(1)求證：；(2)若E為中點，，求菱形的周長．【答案】(1)見解析(2)16【分析】本題考查矩形的性質、菱形的性質，解答本題的關鍵是利用AAS證明．（1）根據矩形的性質得出，，進而利用AAS證明，利用全等三角形的性質解答即可；（2）連接，根據菱形的性質解答即可．【詳解】（1）解：證明：在矩形中，，，∴，∵，∴，在菱形中，，∴，在與中，，∴，∴；（2）如圖，連接，

在菱形中，，，為的中點，，由（1）知，，∴，又，四邊形是平行四邊形，，在矩形中，，，即菱形的邊長為4．∴菱形的周長為．【考點題型九】利用菱形的性質求面積（）29．（23-24八年級下·福建泉州·階段練習）已知菱形面積為，一條對角線長為，則這個菱形的周長是（

）A． B．40 C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質，根據菱形的面積等于對角線乘積的一半可求出另一條對角線的長度，再根據勾股定理可求出邊長，繼而可求出周長．【詳解】如圖所示：菱形的面積等于對角線乘積的一半，，，，∴，，在中，，即有，解得：，菱形的周長．故選：C．30．（23-24八年級下·浙江金華·期末）菱形的周長為，一個內角的度數是，則該菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了菱形的性質、含角的直角三角形的性質、勾股定理，根據題意得出圖形、熟練掌握菱形的性質、含角的直角三角形的性質是解題的關鍵．根據題意得出圖形，菱形的周長為，，對角線、交于點，根據菱形的性質，求出菱形的邊長，得出，推出，結合含角的直角三角形的性質，得出，結合勾股定理計算出，根據菱形的面積等于個小直角三角形的面積，計算得出答案即可．【詳解】解：由題意得：如圖，菱形的周長為，，對角線、交于點，

∴，，∴，，∴，∴，∴，∴菱形的面積，故選：A．31．（23-24八年級下·福建福州·期末）若一個菱形的兩條對角線長分別是關于的一元二次方程的兩個實數根，且其面積為20，則該菱形兩對角線長分別為（

）A．3與11 B．4與10 C．2與10 D．5與8【答案】B【分析】本題主要考查了根與系數的關系及菱形的性質．設菱形的兩條對角線長分別為a、b，利用根與系數的關系及對角線與菱形面積的關系得等式，再根據菱形的邊長與對角線的關系求出菱形的邊長．【詳解】解：設菱形的兩條對角線長分別為，即的兩根為，由題意得：，∵菱形面積為20，∴，解得：，∴一元二次方程為，整理得，解得，∴該菱形兩對角線長分別為4與10，故選：B．32．（24-25九年級上·山東青島·階段練習）如圖，在菱形中，，對角線，則菱形的面積為．

【答案】【分析】本題考查菱形的性質綜合應用，靈活應用菱形性質是解題關鍵．由菱形的，則在中根據勾股定理以及所對的直角邊是斜邊的一半，列方程可以求出的長，即可求出菱形的面積.【詳解】解：如圖，連接與交于O，

∵四邊形為菱形∴，O為中點，∵，∴在中，，設，根據勾股定理可得：解得，∴，∴菱形的面積為故答案為：．33．（2023八年級下·浙江·專題練習）如圖，已知四邊形是菱形，點E、F分別是邊的中點，連接．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)96【分析】（1）根據菱形的性質證明，則，進而結論得證；（2）如圖，連接交于O，則是的中位線，，即，在中，由勾股定理得，則，根據菱形的面積為，計算求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵點E、F分別是邊的中點，∴，，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：如圖，連接交于O，∵點E、F分別是邊的中點，∴是的中位線，∴，即，∵四邊形是菱形，∴，，，在中，由勾股定理得，∴，∴菱形的面積為，∴菱形的面積為96．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，三角形中位線定理，勾股定理．正確地作出輔助線是解題的關鍵．【考點題型十】求菱形在坐標系中的坐標（）34．（2023·天津河西·模擬預測）如圖，菱形中的頂點O，A的坐標分別為，，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】菱形中的頂點O，A的坐標分別為，，勾股定理求得，點C在x軸的正半軸上，得軸可求解．【詳解】解：菱形中的頂點O，A的坐標分別為，，，點C在x軸的正半軸上，軸，，故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質，勾股定理及坐標與圖形；解題的關鍵是求出菱形的邊長．35．（2022·四川自貢·中考真題）如圖，菱形對角線交點與坐標原點重合，點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據菱形的中心對稱性，A、C坐標關于原點對稱，利用橫反縱也反的口訣求解即可．【詳解】∵菱形是中心對稱圖形，且對稱中心為原點，∴A、C坐標關于原點對稱，∴C的坐標為，故選B．【點睛】本題考查了菱形的中心對稱性質，原點對稱，熟練掌握菱形的性質，關于原點對稱點的坐標特點是解題的關鍵．36．（23-24八年級下·江蘇南通·期中）如圖，平面直角坐標系中，四邊形是菱形．若點A的坐標是，則菱形的周長為．【答案】40【分析】本題考查了菱形的性質，平面直角坐標系中兩點的距離，勾股定理等知識．于點D，根據勾股定理求出，根據菱形的性質即可求解．【詳解】解：如圖，作于點D，∵點A的坐標是，∴，∴菱形的周長為40．故答案為：40【考點題型十一】證明四邊形是菱形（）37．（24-25八年級下·浙江嘉興·階段練習）如圖，矩形的對角線，相交于點O，．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】本題考查矩形的性質和菱形的判定．根據，可得四邊形是平行四邊形，根據四邊形是矩形，得出，可得出其為菱形．【詳解】證明：，四邊形是平行四邊形．四邊形是矩形，，，，四邊形是菱形．38．（22-23八年級下·浙江寧波·期末）已知：如圖1，在平行四邊形中，連結，，點，分別為，的中點，連結并延長交的延長線于點．(1)如圖1，若，，求四邊形的周長；(2)如圖2，連結，．求證：四邊形是菱形．【答案】(1)13(2)見解析【分析】（1）根據三角形中位線定理得到，推出四邊形是平行四邊形，根據勾股定理得到，根據平行四邊形的周長公式即可得到結論；（2）根據平行四邊形的性質得到，求得，推出四邊形是平行四邊形，根據菱形的判定定理即可得到結論．【詳解】（1）點，分別為，的中點，是的中位線，∴，在中，，四邊形是平行四邊形，，，，，，的周長；（2）四邊形是平行四邊形，，是中點，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．39．（23-24八年級下·浙江杭州·期末）如圖，在中，，是的中點，連接并延長，交的延長線于點，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）證明可得，進而可得四邊形是平行四邊形，再由即可求證；（）由平行四邊形的性質可得，，由菱形的性質可得，，，進而由勾股定理得，即得，再根據即可求解；本題考查餓了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定和性質，勾股定理，四邊形的面積，掌握菱形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∵是的中點，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴，∴．【考點題型十二】利用正方形的性質求角度（）40．（2023八年級下·浙江·專題練習）如圖，為正方形外一點，且是等邊三角形，的度數為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，三角形內角和定理，由正方形的性質和等邊三角形的性質可得，，，可求，可求解，掌握正方形的性質是本題的關鍵．【詳解】解：是等邊三角形，四邊形是正方形，，，，，，，故選：B．41．（22-23八年級下·浙江紹興·期末）如圖，正方形中，現分別以A，B為圓心，以為半徑畫圓弧，兩圓弧交于點O，則的度數為．

【答案】/75度【分析】連接，，，根據作圖可知，得出為等邊三角形，求出，根據正方形性質得出，，得出，，根據等腰三角形的性質得出．【詳解】解：連接，，，如圖所示：

根據作圖可知，，∴為等邊三角形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是證明為等邊三角形，求出．42．（2023八年級下·浙江·專題練習）如圖，在正方形中，點E是對角線上的一點，點F在的延長線上，且，交于點G．(1)求證：；(2)求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）證明，可得結論；（2）結合（1）根據正方形的性質即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，在和中，，∴（），∴，∵，∴；（2）解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記正方形的性質證明是解題的關鍵．【考點題型十三】利用正方形的性質求線段長（）43．（24-25八年級上·浙江杭州·期中）如圖，面積為的正方形的頂點在數軸上，且表示的數為，若，則數軸上點所表示的數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了實數與數軸，正方形是面積公式是解題的關鍵．先求出張方形的邊長，再根據向右動就用加法計算求解．【詳解】解：正方形的邊長為：，∴點所表示的數為：，故選：A．44．（23-24八年級下·浙江紹興·期末）已知點E，F分別在邊長為3的正方形的邊，上，且點F為的三等分點，若平分，則的長為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】過B點作于G，連接，根據可得，，則可得，．設，則，．然后分兩種情況討論：①當時，②當時，在中，由，列方程求出x的值即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，過B點作于，連接．∵平分，∴，又，，，，，，．設，則，．①如圖，當時，，，則，，在中，由得，，解得，；②如圖，當時，，，則，，由得，，解得，．綜上，的長為或．故選：A．【點睛】本題主要考查了正方形的性質．全等三角形的判定和性質．角平分線的性質以及勾股定理．熟練掌握以上知識，分兩種情況討論是解題的關鍵．45．（23-24八年級下·浙江臺州·期末）如圖，在正方形中，以B為圓心，長為半徑畫圓弧，與的延長線相交于點E，連接．(1)求的度數；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了正方形的性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識點，靈活運用相關性質成為解題的關鍵．（1）由正方形的性質可得,再根據題意可知,然后根據等腰三角形的性質求得,然后根據角的和差即可解答；（2）由正方形的性質可得,再根據題意可知,然后運用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：∵正方形，∴,由題意可得,∴，∴．故答案為：．（2）解：∵正方形，，∴,∵，∴，∴．【考點題型十四】利用正方形的形狀求面積（）46．（23-24八年級下·浙江·階段練習）四邊形和四邊形都是正方形、E在上，連結交對角線于點H，交于點I、若，則這兩正方形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識點，通過作輔助線，構造全等三角形和直角三角形是解題關鍵．延長，分別交于點，設正方形的邊長為，正方形的邊長為，且，則兩正方形的面積之和為，先根據正方形的性質、勾股定理可得，再證出，根據全等三角形的性質可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，延長，分別交于點，

設正方形的邊長為b，正方形的邊長為c，且，則兩正方形的面積之和為，∵四邊形和都是正方形，，，，，四邊形是矩形，，，，，又，，在和中，，，，，，∵，∴，故選：C．47．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）如圖，以直角的每一條邊為邊長，在AB的同側作三個正方形，各個涂色部分分別用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④兩部分的面積和為，則③、⑤兩部分的面積和為（

）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】設序號為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為，，，，，利用正方形性質，三角形全等證明即可，本題考查了正方形的性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，熟練掌握正方形的性質，勾股定理是解題的關鍵．【詳解】如圖所示，設序號為①，②，③，④，⑤圖形的面積分別為，，，，，，根據題意，得，四邊形是正方形，，，，，，，．∴∵②、④兩部分的面積和為，∴，四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，．∴，根據題意，得，故選B．48．（23-24八年級上·浙江杭州·期中）如圖，的兩條直角邊，，分別以的三邊為邊作三個正方形．若四個陰影部分面積分別為，，，．則的值為，的值為．【答案】60【分析】根據的三邊為邊作三個正方形得，，，，，，即可得，，利證明，即可得，利用證明，得，即可得，，設，，根據四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，得，，,，則，可得，即可得．【詳解】解：∵的三邊為邊作三個正方形，∴，，，，，，，∴，，在和中，∴，∴，在和中，∴，∴，∴，∴，設，，∵四邊形，四邊形，四邊形都是正方形，∴，，，∵，∴∴，故答案為：6，0．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，掌握這些知識點．49．（20-21八年級下·浙江杭州·期末）已知：如圖，在正方形ABCD中，BD為對角線，E、F分別是AD，CD上的點，且AE＝CF，連接BE、BF、EF．（1）求證：EM＝FM；（2）若DE：AE＝2：1，設S△ABE＝S，求S△BEF（用含S的代數式表示）．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據正方形的性質得到是等腰三角形，然后根據等腰三角形三線合一的性質即可證明；（2）根據題意表示出AE，DE，DF，CF的長度，進而表示出的面積，即可求出的面積．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，又∵AE＝CF，∴，∴是等腰三角形，又∵，∴EM＝FM；（2）∵DE：AE＝2：1，∴設，，，∴，∴，同理可求得：，∴，∴．【點睛】此題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，三角形面積的求法，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質，等腰三角形的性質．【考點題型十五】正方形與折疊問題（）50．（22-23八年級下·天津北辰·期中）如圖，將正方形紙片折疊，使邊均落在對角線上，得折痕，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據四邊形是正方形，是對角線，可求出的度數，根據折疊可知是角平分線，由此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，是對角線，∴，∵沿折疊后落在上，沿折疊后落在上，∴是的角平分線，是的角平分線，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查正方形的折疊，掌握正方形的性質，折疊的性質，角平分線的性質是解題的關鍵．51．（22-23八年級下·湖北荊門·期中）如圖，將正方形紙片折疊，使點落在邊點處，點落在點處，折痕為．若，則的度數為．【答案】/117度【分析】根據正方形的性質得到，根據折疊的性質得到，，，根據平角的定義得到，根據四邊形的內角和即可得到結論．【詳解】解：四邊形是正方形，，將正方形紙片折疊，使點落在邊點處，點落在點處，，，，，，，，故答案為：