/6.5相似三角形的性質【推本溯源】1.回顧相似三角形的判定ABFDEABFDE3.驗證猜想如果△ABC∽△A′B′C′相似比為k，那么， 于是，，，所以，如圖，△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是對應高．AA′AA′C′B′C′B′DD’CDD’CB∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠____，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠__＝90°，∴△ABD∽△_______，∴＝____，=所以相似三角形周長之比等于相似比，同理可得，相似多邊形周長之比等于相似比；相似三角形面積之比等于相似比的平方，同理可得，相似多邊形面積之比等于相似比的平方。4.在證明相似三角形面積的比等于相似比的平方過程中，我們發現相似三角形對應高之比等于相似比，那么對應中線、對應的角平分線之比呢？探究一（中線）：C′A′C′A′D′B′CABD∵∵∴,∵AD和A′D′分別是▲ABC和▲A′B′C′的中線∴,,∴∴∴▲ABD~∴結論：相似三角形對應中線的比等于___________．探究二（角平分線）：CABDCABDC′A′D′B′∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠_______，∠B＝_________．∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，∴，;∴∠BAD＝∠__，∴△ABD∽△__，∴．結論：相似三角形對應角平分線的比等于__________．一般地，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，點D、D'分別在BC、B'C'上，且，那么。你能類比剛才的方法說理嗎？總結：相似三角形對應________的比等于相似比．C5.射影定理：母子三角形CRt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；AC2=CD?BC．【解惑】例1：已知，若對應邊，則它們的周長比等于（

）．A． B． C． D．例2：如圖，，，，則為（

）A．8 B． C． D．10例3：已知兩個相似三角形對應角平分線的比為，且這兩個三角形的一對對應高之差為，則這兩個三角形對應高的長分別為___________．例4：如圖，在矩形中，，點E是邊的中點，連接，若將沿翻折，點B落在點F處，連接，則的長為________．例5：如圖，在和中，，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【摩拳擦掌】1．（2023·貴州貴陽·統考一模）如圖，，若，則的值等于（

）A． B． C． D．2．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學校考模擬預測）如圖，點D、E分別在的邊BA、CA的延長線上，且，連接DE，下列判斷：①；②；③．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．只有③ D．①②③3．（2023·重慶·統考中考真題）若兩個相似三角形周長的比為，則這兩個三角形對應邊的比是（

）A． B． C． D．4．（2023·寧夏吳忠·校考二模）如圖，在C中，點D、E分別在邊、上，，若，則與的比值為____________．

5．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學校考階段練習）如圖，在中，，，為邊上的一點，且，若的面積為4，那么的面積為__________．6．（2022秋·廣西柳州·九年級校考階段練習）若，相似比為，則對應周長的比值是__________．7．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長為___________．

8．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業園區星灣學校校考階段練習）如圖，矩形中，，點E為的中點，動點F從點A出發沿射線方向以每秒2個單位的速度運動，連接．過點作的平行線交射線于點H，設點F的運動時間為t（不考慮、、在一條直線上的情況）．

(1)填空：當___________時，，此時___________；(2)當與相似時，求t的值．9．（2023春·湖北襄陽·九年級統考期中）如圖，兩點分別在的邊和上，，若直線把分成面積相等的兩部分，求的值．

10．（2023·湖南·統考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；(2)若，求的長．11．（2023·上海·統考中考真題）如圖，在梯形中，點F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：【知不足】1．（2023·重慶·統考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．2．（2023·海南省直轄縣級單位·統考二模）如圖，在中，，，，則（

）

A． B． C．3 D．23．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）A． B． C． D．4．（2023·四川樂山·統考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．

5．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，正方形的邊長為5，是邊上的一動點，將正方形沿翻折，點的對應點為，過點作折痕的平行線，分別交正方形的邊于點（點在點上方），若，則的長為___________．6．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學校考三模）如圖，在矩形中，點E是的中點，連接，將沿著翻折得到，交于點H，延長，相交于點G，若，，則_____，_____．

7．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數的圖象經過點，對角線的延長線經過原點，且，若矩形的面積是8，則的值為___________．8．（2023·四川涼山·統考中考真題）如圖，在中，對角線與相交于點，，過點作交于點．

(1)求證：；(2)若，，求的長．9．（2023春·上海浦東新·九年級校考階段練習）在四邊形中，，平分，，點E在邊上，，點F為邊中點．

(1)求證：；(2)聯結，與交于點G，當時，求證：．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業園區星灣學校校考階段練習）如圖，矩形中，E為上一點，把沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【一覽眾山小】1．（2022秋·廣西柳州·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，若，則（

）

A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期末）如圖，在中，分別交于點M，N．若，，，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023春·江蘇·八年級統考期末）如圖，E、F是矩形的邊上的兩點，相交于點O，已知面積為8，面積為2，四邊形的面積為5，則四邊形的面積為（

）A．10 B．9 C．8 D．74．（2023·山東青島·統考三模）如圖，在矩形中，，，垂足為E，，點P、Q分別在上，則的最小值為（

）

A． B． C． D．5．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，已知是等邊三角形，，點D，E，F分別在上，，同時平分和，則_____，BD的長是_____．6．（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉，得到．連接，交于點D，則的值為________．7．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，D，E分別是的邊，的中點，若的面積為1，則四邊形的面積等于_______．

8．（2023春·福建福州·九年級校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，D是邊上一點，連接．

(1)在線段確定一點E，連接，使得．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，若D是的中點，求的值．9．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，已知，是延長線上一點，與交于點，．

(1)求證：；(2)若面積為，求的面積．10．（2023年吉林省四平市三校中考三模數學試題）在中，，分別為，上一點，，交于點．

(1)設的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．11．（2023·浙江溫州·統考中考真題）如圖，已知矩形，點E在延長線上，點F在延長線上，過點F作交的延長線于點H，連結交于點G，．

(1)求證：．(2)當，時，求的長．12．（2023·江蘇淮安·校考三模）如圖，已知正方形，點E是邊上的一點，連接．

(1)請用尺規作圖的方法在線段上求作一點F，使得(不寫作法，保留作圖痕跡)；(2)在（1）的條件下，若，則的長為______．13．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，在矩形中，，，動點P，Q同時出發，點P從點A出發以的速度沿折線運動，點Q從點A出發以的速度沿向終點C運動，當點Q到達點C時，P，Q兩點同時停止運動，連結，．設點P的運動時間為，的面積為．

(1)當點P與點C重合時，t=________s；(2)求S與t之間的函數關系式；(3)當時，直接寫出t的值．14．（2023春·江蘇·八年級統考期末）如圖，在中，直線與邊相交于點D，與邊相交于點E，與線段延長線相交于點F．(1)若，，求的值．(2)若，，其中，求的值．(3)請根據上述（1）（2）的結論，猜想=(直接寫出答案，不需要證明)．

6.5相似三角形的性質【推本溯源】1.回顧相似三角形的判定兩角對應相等，兩邊成比例及其夾角相等，三邊成比例ABFDEABFDE由題意得所以，,它們的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方。3.驗證猜想如果△ABC∽△A′B′C′相似比為k，那么k， 于是，，，所以，如圖，△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△A′B′C′的相似比是k，AD、A′D′是對應高．AA′AA′C′B′C′B′DD’CDD’CB∵△ABC∽△A'B'C'，∴∠B＝∠_B′___，∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB＝∠_A′D′B′_＝90°，∴△ABD∽△_A′D′B′______，∴＝__k__，k*k=k2所以相似三角形周長之比等于相似比，同理可得，相似多邊形周長之比等于相似比；相似三角形面積之比等于相似比的平方，同理可得，相似多邊形面積之比等于相似比的平方。4.在證明相似三角形面積的比等于相似比的平方過程中，我們發現相似三角形對應高之比等于相似比，那么對應中線、對應的角平分線之比呢？探究一（中線）：C′A′C′A′D′B′CABD∵∵∴K,∵AD和A′D′分別是▲ABC和▲A′B′C′的中線∴BC,B′C′,∴K∴K∴▲ABD~▲A′B′D′∴K結論：相似三角形對應中線的比等于__相似比_________．探究二（角平分線）：CABDCABDC′A′D′B′∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠_B′A′C′______，∠B＝__B′_______．∵AD和A′D′分別是△ABC和△A′B′C′的角平分線，∴∠BAC，∠B′A′C′;∴∠BAD＝∠_B′A′D′_，∴△ABD∽△_A′B′D_′_，∴k．結論：相似三角形對應角平分線的比等于___相似比________．一般地，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，點D、D'分別在BC、B'C'上，且，那么。你能類比剛才的方法說理嗎？總結：相似三角形對應____線段____的比等于相似比．C5.射影定理：母子三角形CRt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：①AD2=BD?DC；②AB2=BD?BC；AC2=CD?BC．【解惑】例1：已知，若對應邊，則它們的周長比等于（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的周長比等于相似比，即可得出答案．【詳解】∵，即相似比為根據相似三角形的周長比等于相似比，故周長比為故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．例2：如圖，，，，則為（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【分析】根據的比，可得的比，利用面積比是相似比的平方，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵，∴，∴相似比為，即，，∴；故選：C．【點睛】本題考查了形似三角形的性質，解題的關鍵是掌握面積比是相似比的平方．例3：已知兩個相似三角形對應角平分線的比為，且這兩個三角形的一對對應高之差為，則這兩個三角形對應高的長分別為___________．【答案】【分析】根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵兩個相似三角形對應角平分線的比為，∴對應的高的比為，設高分別為，∵對應高之差為，∴，解得，，∴兩個三角形對應高分別是，故答案為：．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的對應邊高的比等于相似比是解題的關鍵．例4：如圖，在矩形中，，點E是邊的中點，連接，若將沿翻折，點B落在點F處，連接，則的長為________．

【答案】【分析】根據題意可得，在根據勾股定理求出，由折疊可知，于是，根據等腰三角形的三線合一性質得，因此，根據同角的余角相等得，以此可證明，根據相似三角形的性質可求出的長，據此即可求解．【詳解】解：如圖，過點E作于點G，

∵四邊形為矩形，∴，∵，E是的中點，∴，∴，根據折疊的性質可得，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，

∴，即，∴，∴．故選：．【點睛】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質，利用折疊的性質和等腰三角形的性質推理論證出是解題關鍵．例5：如圖，在和中，，．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）根據相似三角形的判定，即可；（2）根據相似三角形的判定和性質，即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，∵，∴．（2）由（1）得，，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的知識，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質．【摩拳擦掌】1．（2023·貴州貴陽·統考一模）如圖，，若，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由相似三角形的性質即可求得．【詳解】解：∵，，∴，即；故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，掌握相似的性質是關鍵．2．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十一中學校考模擬預測）如圖，點D、E分別在的邊BA、CA的延長線上，且，連接DE，下列判斷：①；②；③．其中正確的是（

）

A．①② B．①③ C．只有③ D．①②③【答案】C【分析】結合已知條件用兩邊夾角證明三角形相似，注意對應點，根據相似三角形性質得解．【詳解】如圖，，∴∴．故選C．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質；注意對應點是解題的關鍵．3．（2023·重慶·統考中考真題）若兩個相似三角形周長的比為，則這兩個三角形對應邊的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據相似三角形的周長比等于相似三角形的對應邊比即可解答．【詳解】解：∵兩個相似三角形周長的比為，∴相似三角形的對應邊比為，故選．【點睛】本題考查了相似三角形的周長比等于相似三角形的對應邊比，掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．4．（2023·寧夏吳忠·校考二模）如圖，在C中，點D、E分別在邊、上，，若，則與的比值為____________．

【答案】【分析】根據可得，再根據相似三角形對應邊成比例，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例．5．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學校考階段練習）如圖，在中，，，為邊上的一點，且，若的面積為4，那么的面積為__________．【答案】16【分析】通過證明，得到相似比，由相似三角形的性質可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，則相似比為，∴，∵的面積為4，∴的面積為16，故答案為：16．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．6．（2022秋·廣西柳州·九年級校考階段練習）若，相似比為，則對應周長的比值是__________．【答案】【分析】根據相似三角形性質，即周長比等于對應的相似比，即可得到結果．【詳解】解：∵，相似比為，∴對應周長的比值是．故答案為：【點睛】本題主要考查相似三角形性質，利用相似三角形基本性質是解題的關鍵．7．（2023春·陜西西安·八年級校考階段練習）如圖，在三角形紙片中，，，，若沿的垂直平分線線前下，則的長為___________．

【答案】【分析】勾股定理求得，根據垂直平分線的性質得出，，證明，根據相似三角形的性質即可求解．【詳解】在中，，，，∴，∵是的垂直平分線，∴，，∴，又∵，∴∴,∴解得：,故答案為：．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質，勾股定理，相似三角形的性質與判定，證明是解題的關鍵．8．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業園區星灣學校校考階段練習）如圖，矩形中，，點E為的中點，動點F從點A出發沿射線方向以每秒2個單位的速度運動，連接．過點作的平行線交射線于點H，設點F的運動時間為t（不考慮、、在一條直線上的情況）．

(1)填空：當___________時，，此時___________；(2)當與相似時，求t的值．【答案】(1)2；2(2)t的值為2或4或．【分析】（1）證明，利用相似三角形的性質解決問題即可；（2）由，利用相似三角形的性質求得，分當點F在點B的左邊和點F在點B的右邊時，利用相似三角形的性質列式計算即可求解．【詳解】（1）解：∵，點E為的中點，∴，∵，即：，∴，∵，∴，∴，即：，解得：；故答案為：2；2；（2）解：由得，又∵，∴，∴，即，∴，當點F在點B的左邊時，即時，，當時：，即，解得：，；當時：有，即，解得：；當點F在點B的右邊時，即時，，

當時：，即，解得：(負值已舍)；綜上，t的值為2或4或．【點睛】此題考查了相似圖形，掌握相似三角形的判定和性質等相關知識是解題的關鍵．9．（2023春·湖北襄陽·九年級統考期中）如圖，兩點分別在的邊和上，，若直線把分成面積相等的兩部分，求的值．

【答案】【分析】首先根據判定∽，然后根據相似三角形的性質計算即可得到答案．【詳解】解：，，，∽，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定方法和性質．10．（2023·湖南·統考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據三角形高的定義得出，根據等角的余角相等，得出，結合公共角，即可得證；（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．11．（2023·上海·統考中考真題）如圖，在梯形中，點F，E分別在線段，上，且，

(1)求證：(2)若，求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）先根據平行線的性質可得，再根據三角形的全等的判定可得，然后根據全等的三角形的性質即可得證；（2）先根據全等三角形的性質可得，從而可得，再根據相似三角形的判定可得，然后根據相似三角形的性質即可得證．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，．（2）證明：，，，即，在和中，，，，由（1）已證：，，．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質、相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．【知不足】1．（2023·重慶·統考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】根據相似三角形的性質即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：B.【點睛】此題考查的是相似三角形的性質,掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關鍵.2．（2023·海南省直轄縣級單位·統考二模）如圖，在中，，，，則（

）

A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】根據，得到兩對內錯角相等，再利用相似三角形的判定得到，根據相似三角形的性質求解即可．【詳解】∵，∴，，∴，∴，即，∴解得．故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質．解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質．3．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，為等邊三角形，點，分別在邊，上，，若，，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據題意得出，進而即可求解．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．4．（2023·四川樂山·統考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．

【答案】【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進一步即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案為：【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，證明是解題的關鍵．5．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，正方形的邊長為5，是邊上的一動點，將正方形沿翻折，點的對應點為，過點作折痕的平行線，分別交正方形的邊于點（點在點上方），若，則的長為___________．

【答案】2或【分析】分兩種情況進行討論，①當點在上時，由折疊的性質，得到，求解即可；②當點在上時，證明．由相似三角形的性質求解.【詳解】解：由題意，可知需分以下兩種情況進行討論．①當點在上時，連接，如圖1所示．設，則．∵正方形中，∴，即，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．由折疊的性質，可知，，．∴，．∴．∵，∴，解得．∴；②當點在上時，分別延長交于點，連接，如圖2所示．同理，可得．設，則．∴．∵，∴．∴，即，解得或（不合題意，舍去）．經檢驗，是原分式方程的解．∴．綜上所述，當時，的長為2或．

故答案為：2或．【點睛】本題考查了折疊的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質．解題的關鍵是根據題中所給條件找出三角形相似的條件以及分類討論．6．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學校考三模）如圖，在矩形中，點E是的中點，連接，將沿著翻折得到，交于點H，延長，相交于點G，若，，則_____，_____．

【答案】【分析】連接，根據翻折的性質以及矩形的基本性質，求出，然后在和中，利用勾股定理求解得出，最后利用相似三角形的判定與性質求出，即可得出．【詳解】解：如圖所示，連接，

由題意，，，，∴，，∴，∴，，∴，在中，，設，則，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∴，故答案為：；．【點睛】本題考查矩形的折疊問題，包括相似三角形的判定與性質等，掌握矩形的性質，熟練運用勾股定理以及相似三角形的性質等是解題關鍵．7．（2023·遼寧·統考中考真題）如圖，矩形的邊平行于軸，反比例函數的圖象經過點，對角線的延長線經過原點，且，若矩形的面積是8，則的值為___________．

【答案】6【分析】延長交x軸于點F，設，利用相似三角形的判定與性質可求得矩形的長與寬，再由矩形的面積即可求和k的值．【詳解】解：延長交x軸于點F，如圖，由點D在反比例函數的圖象上，則設，∵矩形的邊平行于軸，，，∴軸，，則，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，即，∴，故答案為：6．

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，其中相似三角形的判定與性質是關鍵．8．（2023·四川涼山·統考中考真題）如圖，在中，對角線與相交于點，，過點作交于點．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）可證，從而可證四邊形是菱形，即可得證；（2）可求，再證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，．（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，解得：．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，菱形的判定及性質，勾股定理，三角形相似的判定及性質，掌握相關的判定方法及性質是解題的關鍵．9．（2023春·上海浦東新·九年級校考階段練習）在四邊形中，，平分，，點E在邊上，，點F為邊中點．

(1)求證：；(2)聯結，與交于點G，當時，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）如圖，過作于，則，證明，，而，可得，從而可得答案；（2）連接，交于，證明，，可得，可得，證明，從而可得結論．【詳解】（1）解：如圖，過作于，則，

∵平分，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，而，，∴，∴；（2）連接，交于，∵點F為邊中點，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的判定與性質，熟練的進行角的轉換是解本題的關鍵．10．（2023春·江蘇蘇州·八年級蘇州工業園區星灣學校校考階段練習）如圖，矩形中，E為上一點，把沿翻折，點D恰好落在邊上的點F處．

(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)長為．【分析】（1）根據矩形的性質得到，根據翻折變換的性質得到，結合圖形利用角之間的互余關系推出，從而根據相似三角形的判定定理證明即可；（2）根據矩形的性質及翻折變換的性質推出，從而利用勾股定理求得，進而結合線段之間的和差關系利用相似三角形的性質進行求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，沿翻折得到，，，，，；（2）解：，，，在中，，，由（1）可得：，，即，解得，故長為．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，掌握相似三角形的判定與性質、矩形的性質及翻折變換的性質是解題的關鍵．【一覽眾山小】1．（2022秋·廣西柳州·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，若，則（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】先求出，再證明即可得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，熟知相似三角形的性質與判定條件是解題的關鍵．2．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學校考期末）如圖，在中，分別交于點M，N．若，，，則的長為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】首先根據題意證明出，然后利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】∵∴∴∴，即∴解得．故選：A．【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和3．（2023春·江蘇·八年級統考期末）如圖，E、F是矩形的邊上的兩點，相交于點O，已知面積為8，面積為2，四邊形的面積為5，則四邊形的面積為（

）

A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】如圖所示，過點O作分別交于G、H，證明得到，設，則，根據三角形面積公式得到，則，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點O作分別交于G、H，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，設，則，∴，∴，∴，∴，故選：B．

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，矩形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．4．（2023·山東青島·統考三模）如圖，在矩形中，，，垂足為E，，點P、Q分別在上，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設，則，證明，則，得，解得，在中，由勾股定理列方程得到，則，，設A點關于的對稱點為，連接，則當、P、Q三點在一條線上時，最小，由垂線段最短可知當時，最小，即可得到的最小值．【詳解】解：設，則，∵四邊形為矩形，且，∴，∴，，∴,∴，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理可得，即，解得，∴，，如圖，設A點關于的對稱點為，連接，則，，

∴是等邊三角形，∵，∴當、P、Q三點在一條線上時，最小，由垂線段最短可知當時，最小，∴，故選：C．【點睛】此題考查了矩形的性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、軸對稱等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．5．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，已知是等邊三角形，，點D，E，F分別在上，，同時平分和，則_____，BD的長是_____．

【答案】【分析】根據同時平分和得到，，再由，證明，由三角形全等性質，，再根據已知條件即可得到結論，根據和是等邊三角形，證明，設，利用三角形相似比構建方程求解即可．【詳解】同時平分和得到，，，，，，又，故答案為：是等邊三角形，，，，，，，設，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，角平分線的性質，相似三角形的判定和性質及等邊三角形的性質，利用方程思想并掌握相似三角形的相似比等與三角形對應邊的比是解題的關鍵．6．（2023·內蒙古·統考中考真題）如圖，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉，得到．連接，交于點D，則的值為________．

【答案】5【分析】過點D作于點F，利用勾股定理求得，根據旋轉的性質可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．【詳解】解：過點D作于點F，∵，，，∴，∵將繞點A逆時針方向旋轉得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．

【點睛】本題考查旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．7．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，D，E分別是的邊，的中點，若的面積為1，則四邊形的面積等于_______．

【答案】3【分析】根據三角形中位線的性質可得，，從而證出，然后根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出的面積，最后根據即可解答．【詳解】解：∵D，E分別是的邊，的中點，∴，，∴∴∵的面積為1，∴的面積為4，∴．故答案為：3．【點睛】本題主要考查的是三角形中位線的性質、相似三角形的判定及性質等知識點，掌握三角形中位線的性質和相似三角形的判定及性質是解決此題的關鍵．8．（2023春·福建福州·九年級校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，D是邊上一點，連接．

(1)在線段確定一點E，連接，使得．（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，連接，若D是的中點，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作交于點，由于，所以；（2）過點作交于點，過點作于點，過點作于點，如圖，設，則，，，利用為等腰直角三角形得到，，所以，，，再證明，利用相似比得到，，接著證明，利用相似比求出，，則，然后利用勾股定理計算出，從而可計算的值．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；

（2）過點作交于點，過點作于點，過點作于點，如圖，設，為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，，，，，，，，，，，即，解得，，，，，即，解得，，，在中，，．【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質．9．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，已知，是延長線上一點，與交于點，．

(1)求證：；(2)若面積為，求的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）要證，需找出兩組對應角相等，利用平行四邊形的對角相等，再利用，可得一對內錯角相等，則可證；（2）由，根據相似比，求出的面積，可求出四邊形的面積，同理可根據，可求出的面積，由此可求出的面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，熟練掌握以上知識的應用是解題的關鍵.10．（2023年吉林省四平市三校中考三模數學試題）在中，，分別為，上一點，，交于點．

(1)設的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①由可證，即可證，可進一步推出結論；②連接，作于點，作于點，過點作于點．可證，推出，設，則，則可分別求出，的長，即可求出結論；（2）過點作，且，連接，，構造平行四邊形，證，推出，證明再證明為直角三角形，且可求出其三邊的比，即可求出的值．【詳解】（1）解：①，，．，，即．又，，．如圖②，連接，作于點，作于點，過點作于點．

，，又，，．又，，，，設，則，．（2）如答圖（2），過點作，且，連接，，

則四邊形為平行四邊形．，．，，．又，，，即．，．，設，，則在中，．，，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題關鍵是能夠通過作出合適的輔助線構造相似三角形，并且能夠靈活運用相似三角形的判定與性質．11．（2023·浙江溫州·統考中考真題）如圖，已知矩形，點E在延長線上，點F在延長線上，過點F作交的延長線于點H，連結交于點G，．

(1)求證：．(2)當，時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據等邊對等角得出，根據矩形的性質得出，，即可證明，根據全等三角形的性質得出，進而即可求解；（2）根據，得出，設，則，，，根據相似三角形的性質列出等式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，即．（2）∵，∴，∴．∵，∴．設，∵，∴，，∴，解得，∴．

【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角