/第13講弧長及扇形的面積模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．經歷探索弧長計算公式、扇形面積計算公式的活動過程；2．會運用弧長計算公式、扇形面積計算公式計算有關問題。1.填寫下列扇形的面積與周長圓心角半徑周長面積圖形360r180r90r30rnr弧長：因此，半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：C=2πR

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：l=(弧是圓的一部分)。

注：（1）對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

扇形面積：（1）定義：叫做扇形（2）面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：；n°的圓心角所對的扇形面積公式：

注：（1）對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.（3）扇形面積公式，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；（4）扇形兩個面積公式之間的聯系：.

考點一：求弧長例1．如圖，在中，點A、B、C在圓上，，的半徑的長為2，則劣弧的長是（）A． B． C． D．【變式1-1】中國古代的文人士大夫喜歡在折扇上題詞作畫，即使折扇受損失去其納涼功能，也會被人們揭裱保存成為收藏品．如圖是一把題了字畫的折扇，折扇的骨柄長為，折扇張開后的扇形圓心角為，則的長為（

）A． B． C． D．【變式1-2】如圖，，，兩兩不相交且半徑都是3，則圖中三個陰影扇形的弧長之和為．【變式1-3】如圖，是半圓O的直徑，點D是弦延長線上一點，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當時，求的長．考點二：求扇形半徑例2．已知一個扇形的面積是，弧長是，則這個扇形的半徑為（

）A．24 B．36 C．12 D．6【變式2-1】已知一條圓弧的度數為，弧長為，則此圓弧的半徑為（）A．15 B．30 C． D．【變式2-2】一個扇形的弧長是，其圓心角是，此扇形的面積為（用含的式子表示）．【變式2-3】一弧長為18.84厘米，所對的圓心角為270°，求該弧所在圓的半徑．（取3.14）考點三：求圓心角例3.如圖所示的是一個幾何體的三視圖，其側面展開圖的圓心角的度數為（

）

A． B． C． D．【變式3-1】一個扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數是（

）A． B． C． D．【變式3-2】已知扇形的半徑為9，弧長為，則它的圓心角是度．【變式3-3】如圖，若，求圓心角x的度數．考點四：求扇形面積例4．如圖，是半徑為6的半圓上的兩個點，是直徑，，若的長度為，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式4-1】如圖1所示，點C是半圓上一個動點，點C從點A開始向終點B運動的整個過程中，的長l與時間t（秒）的函數關系如圖2所示，則點C運動3秒時，扇形的面積為（

）A． B． C． D．【變式4-2】如圖，A，B，C，D，E是上的五個點，．若的半徑為6，，則圖中陰影部分的面積為．【變式4-3】如圖，為的直徑，點是上方上異于的點，點是的中點，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積（結果保留）．考點五：求弓形面積例5．如圖，在四邊形中，先以點A為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點C，再以點C為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點A．若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【變式5-1】如圖，已知點C、D在上，直徑，弦、相交于點E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【變式5-2】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現已知弦米，半徑等于5米的弧田，按上述公式計算出弧田的面積為平方米．

【變式5-3】如圖，是的內接三角形，，，D為延長線上一點，．(1)求證：是的切線；(2)如果的半徑為4，求陰影部分的面積．考點六：求不規則圖形面積例6.如圖，正方形的邊長為4，分別以點A，C為圓心，長為半徑畫弧，分別交對角線于點E，F，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【變式6-1】如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且，，，過點D作于點C，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【變式6-2】如圖，扇形中，，，C是的中點，D為半徑上一點，則圖中陰影部分的面積為．【變式6-3】如圖，以的邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與邊交于點E，D為上一點，于點O，連接交于F，．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．(3)若，，則陰影部分的面積為．1．如圖，點在半徑為3的上，，則的長為（

）A．3 B． C． D．2．若圓的半徑為1，則的圓心角所對的弧長為（）A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．4．點，，在上的位置如圖所示，，的半徑為3，則的長是（

）A． B． C． D．5．如圖，四邊形內接于，若，的半徑為4，則的長為（）A． B． C．π D．6．“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑作弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若該“萊洛三角形”的面積為，則等邊三角形的邊長為（

）

A．1 B． C． D．27．如圖，某玩具品牌標志由半徑為的三個等圓構成，且三個等圓，，相互經過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．8．如圖，半徑為2，圓心角為的扇形的弧上有一動點，從點作于點，設的三個內角平分線交于點，當點在弧上從點運動到點時，點所經過的路徑長是（

）．A． B． C． D．9．如圖，在扇形中，，，則的長為．10．若扇形的弧長為，半徑為，則該扇形的面積為．11．如圖，在扇形中，，點為半徑的中點，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，點為弧的中點，連接、．若，則陰影部分的面積為．12．龔扇是自貢“小三絕”之一．為弘揚民族傳統文化，某校手工興趣小組將一個廢棄的大紙杯側面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）．扇形外側兩竹條夾角為．長，扇面的邊長為，則扇面面積為（結果保留）．13．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是．（結果用π表示）14．如圖，正方形紙片中，，以A為圓心，以的長為半徑在正方形內部作，點P為上一個動點，連接，將左側部分紙片沿折疊，點D落在點E處，連接．當為等邊三角形時，則線段，，，圍成的陰影部分的周長為．15．如圖，在中，，以邊為直徑的與邊分別交于點D、E．求的長．16．如圖，在中，是直徑，點C是圓上一點，在的延長線上取一點D，連接，使．

(1)求證：直線是的切線；(2)若，，求的長（結果保留）．17．如圖，在中，，交于，兩點，為的直徑，為的切線，且．(1)求證：為的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．18．如圖，在正方形中，，以點C為圓心，1為半徑作圓，交于點E，P是上的任意一點，將點P繞點D順時針方向旋轉，得到點Q，連接，．(1)連接，求證：；(2)當與相切于正方形外部時，求線段被所截弦的長；(3)當時，求劣弧的長度．

第13講弧長及扇形的面積模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．經歷探索弧長計算公式、扇形面積計算公式的活動過程；2．會運用弧長計算公式、扇形面積計算公式計算有關問題。1.填寫下列扇形的面積與周長圓心角半徑周長面積圖形360r180r90r30rnr弧長：因此，半徑為R的圓中360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：C=2πR

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：l=(弧是圓的一部分)。

注：（1）對于弧長公式，關鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；（2）公式中的ｎ表示1°圓心角的倍數，故ｎ和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；（3）弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

扇形面積：（1）定義：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形（2）面積公式：半徑為R的圓中360°的圓心角所對的扇形面積(圓面積)公式：；n°的圓心角所對的扇形面積公式：

注：（1）對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；（2）在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.（3）扇形面積公式，可根據題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；（4）扇形兩個面積公式之間的聯系：.

考點一：求弧長例1．如圖，在中，點A、B、C在圓上，，的半徑的長為2，則劣弧的長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長的計算以及圓周角定理，先根據圓周角定理可得出，再根據弧長公式計算即可．解題關鍵是掌握弧長公式．【詳解】解：，，的半徑是2，劣弧的長是．故選：B．【變式1-1】中國古代的文人士大夫喜歡在折扇上題詞作畫，即使折扇受損失去其納涼功能，也會被人們揭裱保存成為收藏品．如圖是一把題了字畫的折扇，折扇的骨柄長為，折扇張開后的扇形圓心角為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了弧長的計算，掌握弧長公式：(弧長為，圓心角度數為，圓的半徑為)是解題的關鍵．根據弧長公式計算即可．【詳解】解：∵，，∴的長為：．故選：A．【變式1-2】如圖，，，兩兩不相交且半徑都是3，則圖中三個陰影扇形的弧長之和為．【答案】【分析】本題考查了三角形內角和定理，弧長公式；根據三角形的內角和是180°，以及弧長公式進行計算．【詳解】解：，∴三個陰影扇形的弧長之和為．故答案為：．【變式1-3】如圖，是半圓O的直徑，點D是弦延長線上一點，連接，．(1)求證：是半圓O的切線；(2)當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質，弧長公式，熟知相關性質和計算公式是解題的關鍵．（1）根據直徑所對的圓周角為直角結合已知條件，可得，即可得，進而可證得結論；（2）連接，證明為等邊三角形，求得，利用弧長公式即可解答．【詳解】（1）證明：是半圓O的直徑，，，，，是半圓O的切線；（2）解：如圖，連接，，為等邊三角形，，，，．考點二：求扇形半徑例2．已知一個扇形的面積是，弧長是，則這個扇形的半徑為（

）A．24 B．36 C．12 D．6【答案】C【分析】此題考查了扇形的面積計算公式，將面積是，弧長是，代入計算即可.【詳解】∵，∴，∴，故選：C.【變式2-1】已知一條圓弧的度數為，弧長為，則此圓弧的半徑為（）A．15 B．30 C． D．【答案】B【分析】本題考查了弧長公式的變形計算，根據公式，變形計算即可．【詳解】根據題意，得，解得，故選B．【變式2-2】一個扇形的弧長是，其圓心角是，此扇形的面積為（用含的式子表示）．【答案】【分析】本題考查了扇形面積的計算、弧長公式，設扇形的半徑為，根據弧長求出半徑，最后由扇形面積公式計算即可得出答案．【詳解】解：設扇形的半徑為，由題意得：，解得：，∴，故答案為：．【變式2-3】一弧長為18.84厘米，所對的圓心角為270°，求該弧所在圓的半徑．（取3.14）【答案】4cm【分析】根據弧長計算公式可進行求解．【詳解】解：設該弧所在圓的半徑為rcm，由弧長公式，得解得：；∴該弧所在圓的半徑為4cm．【點睛】本題主要考查弧長計算，熟練掌握弧長計算公式是解題的關鍵．考點三：求圓心角例3.如圖所示的是一個幾何體的三視圖，其側面展開圖的圓心角的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由三視圖可得該幾何體是圓錐，且圓錐的底面直徑是4，母線長為6，根據扇形的弧長公式計算即可．【詳解】解：由三視圖可得該幾何體是圓錐，且圓錐的底面直徑是4，母線長為6，∴圓錐的底面周長為：，∵圓錐的側面圖扇形的弧長等于圓錐的底面周長，∴圓錐的側面展開扇形的弧長為，半徑為6∴，∴解得：．故選：B．【點睛】本題考查了由三視圖還原幾何體，以及扇形的弧長公式，熟練掌握公式是解題的關鍵．【變式3-1】一個扇形的弧長是，半徑是4，則該扇形的圓心角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用弧長公式求解即可．【詳解】解：設圓心角為，根據題意得：，解得：，∴該扇形的圓心角的度數是，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了弧長公式的應用，解題的關鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．【變式3-2】已知扇形的半徑為9，弧長為，則它的圓心角是度．【答案】【分析】本題主要考查了弧長公式，熟記弧長公式是解題的關鍵：（其中l為弧長，為扇形圓心角度數的值，r為半徑）．【詳解】解：設扇形的圓心角度數為，由題意得，，解得，∴該扇形的圓心角度數為，故答案為：．【變式3-3】如圖，若，求圓心角x的度數．【答案】57.6°【分析】根據扇形面積公式直接列等式即可的得到答案．【詳解】解：由題意可得，，，∵，∴，解得，故答案為．【點睛】本題考查求扇形的面積，解題關鍵是根據扇形面積公式列等式．考點四：求扇形面積例4．如圖，是半徑為6的半圓上的兩個點，是直徑，，若的長度為，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、扇形面積公式、弧長計算，連接，由等邊對等角結合平行線的性質得出，證明得出，從而得出，設，利用弧長公式得出，得到，最后由計算即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，，，，，，，，，，，，設，的長度為，，解得：，，，，，故選：C．【變式4-1】如圖1所示，點C是半圓上一個動點，點C從點A開始向終點B運動的整個過程中，的長l與時間t（秒）的函數關系如圖2所示，則點C運動3秒時，扇形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是動點問題的函數圖象，弧長的計算，扇形的面積，先求解點C運動3秒轉過的圓心角以及半徑，從而可得答案．【詳解】解：根據圖2可知，當點C從點A開始向終點B運動用時12秒，轉過的圓心角為180°，∴點C運動3秒轉過的圓心角為半圓長度，∴．∴扇形的面積為故選B．【變式4-2】如圖，A，B，C，D，E是上的五個點，．若的半徑為6，，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查扇形面積的計算及圓周角定理．根據同弧或等弧所對的圓心角是它所對圓周角的2倍，求出的度數，再利用扇形的面積公式即可解決問題．【詳解】解：，，，．故答案為：．【變式4-3】如圖，為的直徑，點是上方上異于的點，點是的中點，過點作交的延長線于點，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求圖中陰影部分的面積（結果保留）．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角形的面積公式、扇形的面積公式等．（1）連接，由，得，而得到，由平行線的性質可得，從而即可得證；（2）由圓周角定理可得，由勾股定理可得，從而得到，再由進行計算即可．【詳解】（1）證明：連接，，點是的中點，，，，，，，，是的半徑，且，是的切線；（2）解：為的直徑，，，，，，由（1）得，，圖中陰影部分的面積是．考點五：求弓形面積例5．如圖，在四邊形中，先以點A為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點C，再以點C為圓心，長為半徑畫弧，此弧恰好經過點A．若，則圖中陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的判定與性質等知識，熟練掌握扇形的面積公式是解題關鍵．連接，過點作于點，先證出是等邊三角形，再根據圖中陰影部分的面積等于求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，

由題意可知，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，則圖中陰影部分的面積為，故選：A．【變式5-1】如圖，已知點C、D在上，直徑，弦、相交于點E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質，圓周角定理和弧之間的關系，扇形的面積等．連接，根據，得出，進而得到，利用即可求解．【詳解】解：連接，∵是直徑，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【變式5-2】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經驗公式是：弧田面積．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖中的陰影部分），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現已知弦米，半徑等于5米的弧田，按上述公式計算出弧田的面積為平方米．

【答案】10【分析】由垂徑定理知，再由勾股定理得到，求得，然后由弧田面積公式即可得出結果．本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理解直角三角形，新定義——弧田面積公式，是解答本題的關鍵．【詳解】由題意得：于點D，∵，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴弧田面積，∴弧田的面積為10平方米．故答案為：10．【變式5-3】如圖，是的內接三角形，，，D為延長線上一點，．(1)求證：是的切線；(2)如果的半徑為4，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查切線的判定和求弓形的面積：（1）圓周角定理結合等邊對等角，求出，進而得到，即可得證；（2）連接，過點作，用扇形的面積減去三角形的面積求出陰影部分的面積即可．【詳解】（1）證明：∵，∴的度數為，∴優弧的度數為：，∴優弧所對的圓心角的度數為，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，即：，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；（2）連接，過點作，則：，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴陰影部分的面積為．考點六：求不規則圖形面積例6.如圖，正方形的邊長為4，分別以點A，C為圓心，長為半徑畫弧，分別交對角線于點E，F，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質，扇形面積計算，勾股定理，先根據正方形的性質，得出，，，根據勾股定理求出，得出，根據，求出結果即可．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，，∴，∴，∴，故選：A．【變式6-1】如圖，點O是半圓圓心，BE是半圓的直徑，點A，D在半圓上，且，，，過點D作于點C，則陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了扇形面積的計算，根據已知條件可得，是等邊三角形，根據求解即可．【詳解】解：∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴∴是等邊三角形，∵∴，，又∵∴∴．故選：B．【變式6-2】如圖，扇形中，，，C是的中點，D為半徑上一點，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】本題考查扇形面積的計算，掌握扇形面積的計算方法是解題的關鍵．將陰影部分的面積轉換為扇形的面積即可．【詳解】解：連接，，如圖，由題意得，∵∴是等邊三角形∴∴∴∴故答案為：．【變式6-3】如圖，以的邊上一點O為圓心的圓，經過A、B兩點，且與邊交于點E，D為上一點，于點O，連接交于F，．(1)求證：是的切線．(2)若，，求的半徑．(3)若，，則陰影部分的面積為．【答案】(1)見解析(2)的半徑為6(3)【分析】本題考查了垂徑定理、切線的判定與性質、圓周角定理、扇形面積的求法、勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點的應用是解題的關鍵．（1）如圖：連接，利用垂徑定理的推論得到，再利用得到，然后利用角度的代換可證明則從而證明結論；（2）設的半徑為r，則，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可；（3）先根據勾股定理求得,再利用圓周角定理得到，則，接著在中計算出，然后用一個直角三角形的面積減去一個扇形的面積去計算陰影部分的面積即可解答．【詳解】（1）解：如圖：連接，∵，∴，∵，∴,∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴是的切線．（2）解：設的半徑為r，則，在中，，解得：或（舍去），∴的半徑為6．（3）解：設的半徑為r，則∵，，∴,即，解得：（舍棄負值），∵，∴，∴，，在中，，∴，，∴陰影部分的面積．故答案為．1．如圖，點在半徑為3的上，，則的長為（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，弧長的計算．根據，先計算，再用弧長公式計算即可．【詳解】解：．故選：C．2．若圓的半徑為1，則的圓心角所對的弧長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了弧長公式，掌握弧長公式是解題的關鍵．根據弧長公式進行計算即可．【詳解】解：根據題意得．故選：D．3．如圖，在矩形中，分別以點和為圓心，長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個公共點．若，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計算，勾股定理等知識．根據題意可得，由勾股定理得出，用矩形的面積減去2個扇形的面積即可得到結論．【詳解】解：連接，根據題意可得，∵矩形，∴，，在中，，∴圖中陰影部分的面積．故選：D．4．點，，在上的位置如圖所示，，的半徑為3，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了弧長計算公式，圓周角定理，解題的關鍵是熟練掌握弧長公式，先根據圓周角定理求出，然后根據弧長計算公式進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴的長為：，故選：B．5．如圖，四邊形內接于，若，的半徑為4，則的長為（）A． B． C．π D．【答案】A【分析】本題主要考查了圓的內接四邊形的性質、圓周角定理、弧長公式等知識點，得到成為解題的關鍵．如圖：連接．根據圓的內接四邊形的性質可得，再運用三角形內角和定理結合已知條件可得，然后運用圓周角定理可得，最后根據弧長公式即可解答．【詳解】解：如圖：連接．∵四邊形內接于，，∴，∵，∴，∴，∴．故選：A．6．“萊洛三角形”也稱為圓弧三角形，它是工業生產中廣泛使用的一種圖形．如圖，分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，邊長為半徑作弧，三段圓弧圍成的封閉圖形是“萊洛三角形”，若該“萊洛三角形”的面積為，則等邊三角形的邊長為（

）

A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的性質，扇形面積公式，解直角三角形等知識，熟練掌握等邊三角形的性質和扇形面積公式是解題的關鍵．過點作于點，設等邊三角形的邊長為，求出等邊的面積為，根據“萊洛三角形”的面積為列方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：過點作于點，設等邊三角形的邊長為，

∵為等邊三角形，∴，∴，∴等邊的面積為，∴，∴，∴或（不合題意，舍去）∴等邊三角形的邊長為，故選：A．7．如圖，某玩具品牌標志由半徑為的三個等圓構成，且三個等圓，，相互經過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了不規則圖形面積的計算，根據圓的對稱性可知，圖中三個陰影部分的面積相等，只要計算出一個陰影部分的面積即可，如圖，連接，可得陰影的面積扇形的面積，據此即可解答，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：根據圓的對稱性可知，圖中三個陰影部分的面積相等，如圖，連接，則，∴是等邊三角形，∴，弓形的面積相等，∴陰影的面積扇形的面積，∴圖中三個陰影部分的面積之和；故選：．【點睛】8．如圖，半徑為2，圓心角為的扇形的弧上有一動點，從點作于點，設的三個內角平分線交于點，當點在弧上從點運動到點時，點所經過的路徑長是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，由的內心為M，可得到，并且易證，得到，所以點M在以為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上；過、M、三點作，如圖，連，，在優弧取點，連接，，可得，得，，然后利用弧長公式計算弧的長即可．【詳解】解：如圖，連接，的內心為M，，，，∵，∴，，又，為公共邊，而，，，所以點M在以為弦，并且所對的圓周角為的一段劣弧上；過、M、三點作，如圖，連接，，在優弧取點，連接，，，，，∵，，弧的長，所以內心M所經過的路徑長為．故選：B．【點睛】本題考查了弧長的計算公式：，其中表示弧長，表示弧所對的圓心角的度數．同時考查了三角形內心的性質、三角形全等的判定與性質、圓周角定理和圓的內接四邊形的性質．9．如圖，在扇形中，，，則的長為．【答案】【分析】此題考查了弧長公式，把已知數據代入弧長公式計算即可．【詳解】解：由題意得的長為，故答案為：10．若扇形的弧長為，半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【分析】本題考查了弧長的計算和扇形面積的計算，注意：已知扇形的圓心角是，半徑是，那么這個圓心角所對的弧的長度是，這個扇形的面積弧長．形的面積弧長與半徑積的一半，根據以上內容求出答案即可．【詳解】解：扇形的弧長為，半徑為，扇形的面積，故答案為：．11．如圖，在扇形中，，點為半徑的中點，以點為圓心，的長為半徑作弧交于點，點為弧的中點，連接、．若，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】如圖，連接，，，交于．證明，求出四邊形的面積即可解決問題．本題考查扇形的面積，四邊形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，，交于．，，，，，，，，，，，，故答案為：．12．龔扇是自貢“小三絕”之一．為弘揚民族傳統文化，某校手工興趣小組將一個廢棄的大紙杯側面剪開直接當作扇面，制作了一個龔扇模型（如圖）．扇形外側兩竹條夾角為．長，扇面的邊長為，則扇面面積為（結果保留）．【答案】【分析】根據扇形公式進行計算即可．本題考查了扇面面積計算，掌握扇面面積等于兩個扇形面積相減是解題的關鍵．【詳解】解：扇面面積扇形的面積扇形的面積，故答案為：．13．甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術，是第一批國家級非物質文化遺產．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設計圖如圖2，其中扇形和扇形有相同的圓心O，且圓心角，若，，則陰影部分的面積是．（結果用π表示）【答案】【分析】根據扇形面積公式計算即可．本題考查了扇形面積公式，熟練掌握公式是解題的關鍵．【詳解】∵圓心角，，，∴陰影部分的面積是故答案為：．14．如圖，正方形紙片中，，以A為圓心，以的長為半徑在正方形內部作，點P為上一個動點，連接，將左側部分紙片沿折疊，點D落在點E處，連接．當為等邊三角形時，則線段，，，圍成的陰影部分的周長為．【答案】【分析】首先根據正方形的性質和折疊的性質得到，然后根據等邊三角