17.1勾股定理第十七章勾股定理第1課時勾股定理知識要點1.勾股定理2.勾股定理與圖形面積新知導入

相傳2500年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發現朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數量關系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發現什么？課程講授1勾股定理問題1：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.完成下列內容，并試著探究其中規律.（圖中每一格代表一平方厘米）RQPACB（1）正方形P的面積是

平方厘米；（2）正方形Q的面積是

平方厘米；（3）正方形R的面積是

平方厘米.121SP+SQ=SR上面三個正方形的面積之間有什么關系？課程講授1勾股定理AC2+BC2=AB2直角三角形ABC三邊長度之間存在什么關系嗎？SP=AC2SQ=BC2SR=AB2命題1如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由上面的例子，我們猜想：abc課程講授1勾股定理下面讓我們跟著以前的數學家們用拼圖法來證明這一猜想.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.課程講授1勾股定理

歸納：由前面的探索可以發現：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么一定有a2+b2=c2.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.課程講授1勾股定理aABCbc∟幾何語言：∴a2+b2=c2（勾股定理）.∵在Rt△ABC中，∠C=90°，勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.課程講授1勾股定理例

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，求AC的長．

解：由題意易知，AC2＋BC2＝AB2，

所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.

所以AC＝6cm.課程講授1勾股定理練一練：(中考·淮安)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A，B都是格點，則線段AB的長度為(

)

A．5B．6C．7D．25A課程講授2勾股定理與圖形面積例

觀察如圖所示的圖形，回答問題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為______；(2)如圖②，分別以直角三角形ABC的三邊長為直徑向三角形外作三個半圓，則這三個半圓形的面積之間的關系式是_______________.(用圖中字母表示)課程講授2勾股定理與圖形面積

歸納：與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上圖形的面積．本例考查了勾股定理及半圓面積的求法，解答此類題目的關鍵是仔細觀察所給圖形，面積與邊長、直徑有平方關系，就很容易聯想到勾股定理．課程講授2勾股定理與圖形面積練一練：

如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為3和4，則b的面積為(

)A．16B．12C．9D．7D隨堂練習1.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為_________.15cm17cm64cm2隨堂練習2.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,CB=8,則△ABC面積為_____,斜邊為上的高為______.ABCD244.8隨堂練習

3.在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長是(

)

A．42B．32C．42或32D．不能確定C課堂小結內容及基本關系式直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方:a2+b2=c2勾股定理適用條件直角三角形；它反映了直角三角形三邊關系．17.1勾股定理第十七章勾股定理第2課時勾股定理的應用知識要點1.利用勾股定理解決實際問題2.構造直角三角形解決實際問題新知導入看一看：觀察下圖中物體的運動過程，試著計算其運動路程.課程講授1利用勾股定理解決實際問題

在Rt△ABC中，根據勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因為AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內通過.例1

一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過？為什么？

解：分析：可以看出，木板橫著或豎著都不能從門框內通過，只能試試斜著能否通過.門框對角線AC的長度是斜著能通過的最大長度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過.課程講授1利用勾股定理解決實際問題解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△AOB中，根據勾股定理，得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，OB==1.在Rt△COD中，根據勾股定理，得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15，

OD=≈1.77,BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖,一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？

課程講授1利用勾股定理解決實際問題練一練：

如圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,試求滑道AC的長.解：設滑道AC的長度為xm,則AB的長度為xm,AE的長度為（x－1）m,

在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,

解得x=5.故滑道AC的長度為5m.課程講授2構造直角三角形解決實際問題

例3假期中，小明和同學們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們在點A登陸后先往東走8km到達C處，又往北走了2km，遇到障礙后又往西走了3km，再往北走了6km后往東拐，僅走了1km就找到了藏寶點B，如圖，登陸點A到藏寶點B的距離是________．10km課程講授例4

一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖所示的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?說明理由.ABNM2米2.3米解：在Rt△OCD中，∠CDO=90°,由勾股定理，得OHCDCD＝CH＝0.6＋2.3＝2.9(米)＞2.5(米).答：卡車能通過廠門．2構造直角三角形解決實際問題課程講授

(中考·安順)如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，小鳥至少飛行(

)

A．8米

B．10米

C．12米

D．14米練一練：B2構造直角三角形解決實際問題課程講授

歸納：利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關系；（2）構造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.2構造直角三角形解決實際問題隨堂練習1.如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里C隨堂練習2.(中考·紹興)如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米C隨堂練習

3.(中考·廈門)已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C＝90°，A，C兩地的距離是4km，B，C兩地的距離是3km，則A，B兩地的距離是________；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的________方向．5km正北隨堂練習

4.如圖，在△ABC中，AB=AC，D點在CB延長線上，

求證：AD2-AB2=BD·CD.ABCD證明：過A作AE⊥BC于E.∵AB=AC，∴BE=CE.在Rt

△ADE中，AD2=AE2+DE2.在Rt

△ABE中，AB2=AE2+BE2.AD2-AB2=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD.E課堂小結勾股定理的應用利用勾股定理解決實際問題構造直角三角形解決實際問題17.1勾股定理第十七章勾股定理第3課時利用勾股定理作圖和計算知識要點1.勾股定理與數軸、坐標系2.勾股定理與網格

3.勾股定理與幾何圖形新知導入想一想：如果能畫出長為的線段，就能在數軸上畫出表示的點.容易知道，長為的線段是兩條直角邊的長都為1的直角三角形的斜邊.

我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上畫出表示的點嗎？長為的線段能是直角邊的長為正整數的直角三角形的斜邊嗎？新知導入想一想：知識

利用勾股定理，可以發現，直角邊的長為正整數2,3的直角三角形的斜邊長為.由此，可以依照如下方法在數軸上畫出表示的點.

如圖,在數軸上找出表示3的點A，則OA=3,過點A作直線l垂直于OA，在l上取點B，使AB=2,以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸的交點C即為表示的點.01234新知導入想一想：知識

類似地，利用勾股定理，可以作出長為…的線段(圖1).11課程講授1勾股定理與數軸、坐標系

例

在數軸上做出表示的點.如圖所示．作法：(1)在數軸上找出表示4的點A，則OA＝4；(2)過A作直線l垂直于OA；(3)在直線l上取點B，使AB＝1；(4)以原點O為圓心，以OB為半徑作弧，弧與數軸的交點C即為表示的點．解：01234ABO課程講授1勾股定理與數軸、坐標系練一練：如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標為(－2，3)，以點O為圓心，以OP的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A，則點A的橫坐標介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間

A課程講授2勾股定理與網格

例如圖是由4個邊長為1的正方形構成的“田字格”，只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為的線段_____條．8課程講授2勾股定理與網格

練一練：

如圖，在2×2的方格中，小正方形的邊長是1，點A，B，C都在格點上，求AB邊上的高.解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D.D

課程講授2勾股定理與網格

歸納：1.勾股定理與網格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網格構成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.2.網格中求格點三角形的高的題，常用的方法是利用網格求面積，再用面積法求高.課程講授3勾股定理與幾何圖形例

如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.求BC的長．解：如圖，過點A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，在Rt△ACD中，在Rt△ABD中，∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.

課程講授練一練：3勾股定理與幾何圖形如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.設EC=xcm，則EF=DE=(8－x)cm

，在Rt△ECF中,根據勾股定理得

x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的長為3cm.隨堂練習1.如圖，點C表示的數是(

)A．1B.C．1.5D.D隨堂練習

2.如圖，每個小正方形的邊長均為1，則△ABC中，長為無理數的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C隨堂練習3.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為(

)

A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB隨堂練習4.如圖，把長方形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點恰好落在AD邊的P點處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長方形ABCD的面積為________．115.2課堂小結利用勾股定理作圖或計算在數軸上表示出無理數的點在網格中利用勾股定理解決問題勾股定理在幾何圖形中的應用第7章實數7.2勾股定理一、知識與技能：掌握勾股定理，會運用勾股定理解決一些與直角三角形有關的實際問題。二、過程與方法：經歷勾股定理的探索過程，感受數形結合的思想，嘗試用多種方法驗證勾股定理，體驗解決問題策略的多樣性。三、情感、態度與價值觀：通過對勾股定理歷史的了解，增強同學們的民族自信心與自豪感，激發學習興趣。年希臘曾經發行了一枚紀念票。年希臘曾經發行了一枚紀念票。年希臘曾經發行了一枚紀念票。年希臘曾經發行了一枚紀念票。年希臘曾經發行了一枚紀念票。國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，國家之一。早在三千多年前，勾股世界

兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發現了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經發行了一枚紀念郵票。

我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多年前，周朝數學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數學著作《周髀算經》中。小直角三角形的長直角邊等于a,短直角邊等于b，斜邊等于c.1、將四個三角形擺放在第一個正方形內，如圖一所示，則正方形Ⅰ的面積SⅠ

=

，正方形Ⅱ的面積SⅡ

=

。2、將四個三角形擺放在第二個正方形內，如圖二所示，則正方形Ⅲ的面積SⅢ=

。3、正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面積有什么關系？

，即

。為什么？

。

a2b2c2SⅠ+SⅡ=SⅢa2+b2=c2因為大正方形的面積相等，而SⅠ+SⅡ和SⅢ的面積都等于大正方形面積減去四個直角三角形的面積圖一圖二歸納總結直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

a2+b2=c2勾股定理ABCabc

如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么在西方又稱畢達哥拉斯定理！結論變形y=0精講點撥c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a2即c=即a=即b===勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系X=5

如果知道了直角三角形任意兩邊的長度，就可以利用勾股定理求第三邊的長。3x4┓10x8x=6凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為勾股數。像3，4，5；

6、8，10；

5，12，13等都是勾股數。學以致用例1如圖，電線桿AC的高為8m，從電線桿CA的頂端A處扯一根鋼絲繩，將另一端固定在地面上的B點，測得BC的長為6m。鋼絲繩AB的長度是多少？BCA連接CB,CB與CA垂直,得直角三角形，在此直角三角形中，已知兩直角邊求斜邊，應該用勾股定理.分析：解如圖,在Rt△ACB中，∠C=90°,AC=8m

,BC=6m,

由勾股定理，得

AB2=AC2+BC2=82+62=100于是AB==10所以，鋼絲繩的長度為10m.例題精講明朝程大位的著作《算法統宗》有一道“蕩秋千”的趣題，是用詩歌的形式的：

平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記。仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；良工高士好奇，算出索長有幾？索長有幾例2圖1

現代漢語的意思是：有一架秋千，當靜止時其踏板離地1尺；將它向前推兩步（一步指“雙步”，即左右腳各邁一步，一步為5尺）并使秋千的繩索拉直，其踏板離地5尺.求繩索的長.分析：畫出如圖的圖形，由題意可知AC=；CD=;CF=.Rt△OBF中設OB為x尺，你能解答這個題嗎？1尺10尺5尺解：如圖1,設OA為靜止時秋千繩索的長，則AC=1，CF=5,BF=CD=10.AF=CF-AC=5-1=4.設繩索長為OA=OB=x尺。則OF=OA-AF=(x-4)尺在Rt△OBF中，由勾股定理，得：OB2=BF2+OF2,即x2=102+(x-4)2解得：x=14.5尺∴繩索長為14.5尺。OACBDEF課堂練習1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,則BC的長為_________5或2、一個長方形的長是寬的2倍，其對角線的長是5㎝，那么它的寬是（）A.㎝B.㎝C.㎝D.㎝B

如圖,圖中所有四邊形都是正方形，正方形Ⅰ的邊長為7你能求出正方形A、B、C、D的面積之和嗎？BACDⅠⅡⅢ答案：497abc

小明的媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機。小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你能解釋這是為什么嗎？

我們通常所說的29英寸或74厘米的電視機，是指其熒屏對角線的長度∴售貨員沒搞錯∵想一想熒屏對角線大約為74厘米說說這節課你有什么收獲？探索直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；利用勾股定理解決實際問題。祝同學們學習進步！第十七章勾股定理第十七章勾股定理17.1勾股定理第一課時學習目標12能說出勾股定理的內容，會用面積法來證明勾股定理.（重點）會用勾股定理進行簡單的計算.(難點）新課導入

問題：國際數學大會是最高水平的全球性數學學科學術會議，被譽為數學界的“奧運會”.2002年在北京召開了第24界國際數學家大會.下圖就是大會會徽的圖案.你見過這個圖案嗎？它由哪些我們學過的基本圖形組成？這個圖案有什么特別的含義？

問題引入

知識講解★

勾股定理的認識及驗證

相傳2500多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家做客，發現他朋友家用等腰三角形磚鋪成的地面（如圖）：ABC問題1：

正方形A、B、C的面積有什么關系？小正方形A、B的面積之和等于大正方形C的面積，即ABC一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=

問題2

：

圖中由正方形A、B、C的邊長構成的等腰直角三角形三邊之間有怎樣的特殊關系？等腰三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即問題3：

在網格中的一般的直角三角形，如下圖，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關系？觀察下邊兩幅圖(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中小正方A,B的面積都容易求，那么該怎樣求正方形C的面積呢？方法1：補形法(把以斜邊為邊長的正方形補成各邊都在網格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把以斜邊為邊長的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？根據前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169思考:

正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關系？SA+SB=SC

由前面的探索可以發現：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有

a2+b2=c2.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.溫馨提示：上述這種驗證勾股定理的方法是用面積法.“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.abcS大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2，S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖證明：b-a證法2

：

畢達哥拉斯證法，將四個全等的直角三角形按圖示進行拼圖，然后分析其面積關系后證明.abaaabbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，證明：aabbcc∴a2+b2=c2.證法3：美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.★

利用勾股定理進行計算

例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）若a=b=5,求c;

（2）若a=1,c=2,求b.解：(1)據勾股定理得(2)據勾股定理得CAB例2在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當AB為斜邊時，如圖，當BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖

歸納：當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.例3

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的長.解：由勾股定理可得，

AB2=AC2+BC2=25，即AB=5.根據三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC34方法總結：

由直角三角形的面積公式可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積.隨堂訓練

C2.三角形的兩邊長為6和8，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊長為()A.9B.10C.2或9D.2或10D4.在△ABC中，∠C=90°.（1）若a=15，b=8，則c=

.

（2）若c=13，b=12，則a=

.（3）若BC=11，AB=61，則AC=_______．175603.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm2解：在△ABC中，∠C=90°，

∴a2+b2=c2.

∵c﹣a=4，b=12，∴c=a+4，∴a2+122=（a+4）2.

∴a=16，∴c=20，即a=16，c=20.5.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若c﹣a=4，b=12，求a，c．

解：當高AD在△ABC內部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.6.

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．方法總結：題中未給出圖形，作高構造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．當高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.課堂小結勾股定理內容在Rt△ABC中，

∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論再見第十七章勾股定理第十七章勾股定理17.1勾股定理第二課時學習目標12會運用勾股定理求線段長及解決簡單的實際問題.（重點）能從實際問題中抽象出勾股定理的數學模型，并能利用勾股定理建立已知邊與未知邊長度之間的聯系，進一步求出未知邊長.(難點）新課導入知識回顧勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2（勾股定理）.aABCbc∟勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.知識講解★

勾股定理的簡單實際應用問題1：

一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過?為什么?2m1mABDC分析：可以看出木板無論橫著，還是豎著都不能通過，所以只能考慮斜著.觀察可以發現

AC的長度是斜著能通過的最大長度，所以只要AC的長大于木板的寬就能通過.解：連接AC，在Rt△ABC中，根據勾股定理，得AC2=AB2+BC2=12+22=5，因為AC的長大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內通過.

2m1mABDC溫馨提示：此題是已知兩直角邊利用勾股定理求斜邊.問題2：如圖，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?ABDCO

解：在Rt△ABC中，根據勾股定理得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據勾股定理得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.溫馨提示：此題是已知斜邊和一直角邊利用勾股定理求另一直角邊.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關系；（2）構造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.歸納總結數學問題直角三角形勾股定理實際問題轉化構建利用解決例1如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少？ABC解：如圖，過點A作AC⊥BC于點C.由題意得AC=8米，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥至少飛行10米.★

利用勾股定理求兩點間距離A21-4-3-2-1-123145例2

如圖，在平面直角坐標系中有兩點A(-3,5),B(1,2)求A,B兩點間的距離.yOx3BC解：如圖，過點A作x軸的垂線,過點B作x，y軸的垂線.相交于點C,連接AB.∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A,B兩點間的距離為5.方法總結：兩點之間的距離公式：一般地，設平面上任意兩點★

利用勾股定理求最短距離CBA問題：在A點的小狗，為了盡快吃到B點的香腸，它選擇AB路線，而不選擇A

CB路線，難道小狗也懂數學？AC+CB>AB（兩點之間線段最短）思考：在立體圖形中，應該怎么尋找最短線路呢？BAOBAdABA'AB想一想：螞蟻走哪一條路線最近？A'螞蟻從A爬到B的路線問題：在一個圓柱石凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，螞蟻怎么走最近？BA根據兩點之間線段最短易知第一個路線最近.若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側面展開圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

歸納：立體圖形中求兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點，根據兩點之間線段最短確定最短路線.數學思想：立體圖形平面圖形轉化展開例3如圖，長方體的長為10cm，寬為6cm，高為8cm，一只螞蟻沿著長方體的表面由A爬到B需要爬行的最短路程是多少？BA6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+（6+8）2=296，AB22=82+（10+6）2=320，AB32=62+（10+8）2=360，解：由題意知有三種展開方法，如圖.由勾股定理得∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻完成任務的最短路程為AB1，長為.隨堂訓練CD1．如圖，一棵大樹被臺風刮斷，若樹在離地面3m處折斷，樹頂端落在離樹底部4m處，則樹折斷之前高()A.5mB.7mC.8mD.10m2.如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內部底面直徑是9cm，內壁高12cm，則這只鉛筆的長度可能是（）A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm1053．甲、乙兩人同時從同一地點出發，已知甲往東走了4km，乙往南走了3km，此時甲、乙兩人相距______km．4.已知點(3,4),(-5,-4)，則這兩點的距離為_______.5.如圖，是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物.這只螞蟻從A點出發，沿著臺階面爬到B點，最短線路是多少？BAABC解：臺階的展開圖如圖，連接AB.在Rt△ABC中，根據勾股定理得AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,∴AB=73cm.6.如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？牧童A小屋BA′C東北解：如圖，作出點A關于河岸的對稱點A′，連接A′B則A′B就是最短路線.由題意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在Rt△A′DB中，由勾股定理得課堂小結勾股定理的應用利用勾股定理解決實際問題利用勾股定理求兩點間的距離利用勾股定理求最短距離再見第十七章勾股定理17.1勾股定理第三課時學習目標12會運用勾股定理確定數軸上表示實數的點及解決網格問題.（重點）能靈活運用勾股定理進行計算，并會解決相應的折疊問題.(難點）新課導入

知識回顧實數數軸上的點一一對應說出下列數軸上各字母所表示的實數：ABCD-2-1012點C表示點D表示點B表示點A表示

知識講解★

勾股定理與數軸

-1

0

1

2

3

提示：可以構造直角三角形作出邊長為無理數的邊，就能在數軸上畫出表示該無理數的點.

√√

01234步驟：lABC1.在數軸上找到點A,使OA=3;2.作直線l⊥OA,在l上取一點B，使AB=2;

O也可以使OA=2，AB=3，同樣可以求出C點.歸納總結利用勾股定理表示無理數的方法:（1）利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊.（2）以原點為圓心，以無理數斜邊長為半徑畫弧與數軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數，在原點右邊的點表示是正無理數.類似地，利用勾股定理可以作出長為的線段.類比遷移“數學海螺”11111111111111111

例1如圖，數軸上點A所表示的數為a，求a的值.解：∵圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長為，即－1到A的距離是，∴點A所表示的數為.易錯點：求點表示的數時注意畫弧的起點不從原點起，因而所表示的數不是斜邊長.★

勾股定理與網格BBB

歸納總結：勾股定理與網格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網格構成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.例2

如圖，每個小方格都是邊長為1的正方形，求△ABC的周長.分析：利用正方形網格中有90°角的特點，把△ABC的三邊分別作為三個直角三角形的斜邊，利用勾股定理求出△ABC的三邊長，進而求出其周長.

★

勾股定理與圖形的計算例3

如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.DABCEF解：在Rt△ABF中,由勾股定理得BF2=AF2－AB2=102－82=36，∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4.設EC=xcm，則EF=DE=(8－x)cm

，在Rt△ECF中,根據勾股定理得

x2+42=(8－x)2，解得x=3.即EC的長為3cm.折疊問題中結合勾股定理求線段長的方法:(1)設一條未知線段的長為x(一般設所求線段的長為x)；(2)用已知線段長或含x的代數式表示出其他線段長；(3)在一個直角三角形中應用勾股定理列出一個關于x的方程；(4)解這個方程，從而求出所求線段長.歸納總結隨堂訓練BA

2.如圖所示，△ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網格的格點上，BD⊥AC于點D，則BD的長為（）

3.如圖，在一張長方形ABCD紙張中，一邊BC折疊后落在對角線BD上，點E為折痕與邊CD的交點，若AB=5，BC=12，求圖中陰影部分的面積。

F解：∵AB=AD=8cm，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形.∵∠ADC=150°,∴∠CDB=150°－60°=90°，∴△BCD是直角三角形.又∵四邊形的周長為32cm，∴CD+BC=32-AD-AB=32-8-8=16(cm).設CD=x，則BC=16-x，由勾股定理得82+x2=(16-x)2解得x=6cm.∴S△BCD=×6×8=24(cm)2.4.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=8cm，∠A=60°，∠ADC=150°，已知四邊形ABCD的周長為32cm，求△BCD的面積．課堂小結利用勾股定理作圖或計算在數軸上表示無理數的點利用勾股定理解網格中的問題利用勾股定理解折疊問題或其他圖形問題17.1勾股定理第十七章勾股定理第1課時情境引入學習目標1.掌握勾股定理的內容，會用面積法加以證明.（重點）2.會用勾股定理進行簡單的計算.（難點）導入新課算一算：地板中的數學問題

我們一起穿越回到2500年前，跟隨畢達哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如下圖所示）：畢達哥拉斯ABC穿越畢達哥拉斯做客現場問題1

試問A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=ABC

問題2你能發現圖中的等腰直角三角形有什么性質嗎？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=看似平淡無奇的現象有時卻隱藏著深刻的道理圖1-2問題3圖中每個小方格的面積均為1，請分別計算出圖①、②中A、B、C的面積，看看能得出什么結論？圖①圖②ABABCCA的面積B的面積C的面積圖①圖②169254913網格中的發現正方形A的面積正方形B的面積正方形C的面積+=

問題4圖中的這個直角三角形有三邊有什么樣的數量關系呢？一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=講授新課猜一猜一般直角三角形三邊還有這樣的數量關系（即a2+b2=c2)嗎？abc勾股定理一趙爽拼一拼請同學們準備四個完全相同的直角三角形，跟著我國漢代數學家趙爽拼圖.勾股定理的驗證二abbcabcc2b2a2=+這種用拼圖的驗證勾股定理的方法叫做弦圖法aabcS大正方形＝c2S小正方形＝（b-a）2S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形趙爽弦圖b-a證明：證一證

“趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因為，這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.趙爽所用的這種方法是我國古代常用的“出入相補法”.在西方，人們稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.趙爽弦圖cba

黃實朱實2000多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，不但因為這個定理重要、基本，還因為這個定理貼近人們的生活實際.以至于古往今來，上至帝王總統都愿意探討、研究它的證明，新的證法不斷出現.建議同學們課外認真閱讀P30《勾股定理的證明》.歸納總結在我國又稱商高定理，在外國則叫畢達哥拉斯定理，或百牛定理.a、b、c為正數如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.公式變形：勾股弦即：勾2+股2=弦2勾股定理

例1在Rt△ABC中，∠C=90°典例精析

（1）已知a=b=5,求c;

（2）已知a=1,c=2,求b;解：(1)據勾股定理得(2)據勾股定理得（3）已知a：b=1：2，c=5,求a;（4）已知b=15，∠A=30°,求a,c.

在Rt△ABC中，∠C=90°解：(3)設a=x,b=2x,根據勾股定理建立方程得x2+(2x)2=52解得(4)因此設a=x,c=2x,根據勾股定理建立方程得(2x)2-x2=152解得例2已知：Rt△ABC中，AB＝４，AC＝３,則BC=

.5

或43ACB43CAB溫馨提示當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下，一定要進行分類討論，否則容易丟解.當堂練習1.如圖所示，字母B所代表的正方形的面積是（）A.12B.13C.144D.194C2.下列說法中正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C3.已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是

.25或74.直角三角形的兩條直角邊的長分別為5，12，則斜邊上的高線的長為

.5.在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面積.某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.ABCD作AD⊥BC于D,設BD=x,用含x的代數式表示CD根據勾股定理，利用AD作為“橋梁”建立方程模型求出x利用勾股定理求出AD的長，再計算三角形面積解：如圖，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,設BD=x,則CD=14-x,由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD2=x)2,故152-x2=x)2,

解之得，x=9.∴AD=12.課堂小結勾股定理內容在Rt△ABC中，∠C=90°,a,b為直角邊，c為斜邊，則有a2+b2=c2.注意在直角三角形中看清哪個角是直角已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要分類討論17.1勾股定理第十七章勾股定理第2課時情境引入學習目標1.

會運用勾股定理的數學模型解決現實世界的實際問題.（重點）2.靈活運用勾股定理進行計算.（難點）導入新課問題

在Rt△ABC中，已知BC=6,AC=8,B

C

A

(1)則AB=

;

(2)則AB邊上的高是

;

(3)它的面積是

;

(4)它的周長是

.

104.82424講授新課勾股定理的應用舉例一例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過?為什么?2m1mABDC問題1木板進門框有幾種方法?問題2你認為選擇哪種方法比較好?你能說出你這種方法通過的最大長度是什么?解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，2m1mABDCAC2=AB2+BC2=12+22=5因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內通過.

例2如圖所示，一架2.6m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?問題1下滑前梯子底端B離墻角O的距離是多少?ABDCO

問題2下滑前后梯子與墻面、地面構成的兩個直角三角形，什么量沒有發生變化?問題3下滑后梯子底端外移的距離是哪條線段的長度?如何計算?ABDCO

解：可以看出，BD=OD-OB.在Rt△ABC中，根據勾股定理，OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB=1.在Rt△COD中，根據勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關系；（2）構造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.歸納總結用勾股定理巧證明“HL”二

思考

在八年級上冊中，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等．學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？

證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根據勾股定理，得

已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′

中，∠C=∠C

′=90°，AB=A′B′，AC=A′

C′

．求證：△ABC≌△A′B′C′

．ABCABC′

′′用勾股定理在數軸上表示無理數

三

探究我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上畫出表示的點嗎？01234探究思路：把握題意——找關鍵字詞——連接相關知識——建立數學模型（建模）提示直角邊長為整數2，3的直角三角形的斜邊長為.01234解：lAB2C“數學海螺”利用勾股定理作出長為線段.11用同樣的方法，你能否在數軸上畫出表示，…利用勾股定理表示無理數的方法（1）利用勾股定理把一個無理數表示成直角邊是兩個正整數的直角三角形的斜邊.歸納總結（2）以原點O為圓心，以無理數斜邊長為半徑畫弧與數軸存在交點，在原點左邊的點表示是負無理數，在原點右邊的點表示是正無理數.當堂練習1.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵2米，兩棵對相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行（）A.8米B.10米C.12米D.14米B2.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，點A、B都是格點，則線段AB的長度為（）A.5B.6C.7D.25第1題圖第2題圖A

3.如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,底面周長為10cm,在容器內壁離容器底部3cm的點B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且容器上沿的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短徑是

cm.

134.如圖，在5ⅹ5正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，畫出兩個三角形，一個三角形的長分別，另一個三角形的三邊長分別為.(畫出的兩個三角形除頂點外可以重合外，其余部分不能重合）ABCDEF答題圖A

B

C

120°5.小明聽說“武黃城際列車”已經經開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石油A坐客車到武昌客運站B，現在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B.設AB=80km,BC=20km,

∠ABC=120°,請你幫助小明解決以下問題：（1）求A、C之間的距離；（參考數據：）（2）若客車的平均速度是60km/h,市內的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h,為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案?請說明理由.(不計候車時間）A

B

C

120°解：（1）過點C作AB的垂線，交AB的延長線于E點，在△ABC中，

（2）乘客車需時間（小時）；乘列車需時間（小時）；所以選擇城際列車.E

課堂小結勾股定理的應用用勾股定理解決實際問題用勾股定理解決幾何問題解決“HL”判定方法證全等的正確性問題形象說明無理數與數軸的關系第十七章

勾股定理17.1勾股定理學習目標1.經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體會數形結合的思想。（重點也是難點）

2.會用勾股定理進行簡單的計算。（重點）即四個詞：了解、認識、證明和計算。勾股定理的歷史勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國人看出了這個關系（即直角三角形三邊關系），古希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了這個關系。勾股定理也有很多別稱，也叫畢達哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驢橋定理和埃及三角形等。

勾股定理被譽為“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定理。在我們今后的幾何計算題和推理題中都有著廣泛的應用。迄今為止，勾股定理大約有500多種證明方法，是證明方法最多的定理之一。探究新知勾股定理的認識及驗證

相傳2500多年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時，看到朋友家用磚鋪成的地面圖案，發現了直角三角形三邊的某種關系（如圖）：ABC問題1

試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？

問題2

圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數量關系？ABC一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2等腰直角三角形三邊的關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。問題3

網格中為一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C

是否也有類似的面積關系？(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？探究新知方法1：補形法(把正方形C補成各邊都在網格線上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：根據前面求出的C的面積直接填出下表：

A的面積B的面積C的面積左圖右圖491316925也就是說，由這三個正方形圍成的直角三角形的三邊也滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這種關系。一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2由上面的幾個例子，我們不難得到這樣的猜想：命題1

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.）abc下面動圖形象的說明命題1的正確性我們的猜想該如何證明呢？abb