第4課時復數[考試要求]1.通過方程的解，認識復數.2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.3.掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．1．復數的有關概念(1)復數的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i是虛數單位，實部是a，虛部是b.(2)復數的分類復數z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,虛數b≠0當a＝0時為純虛數.))(3)復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數a＋bi與c＋di互為共軛復數?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復數的模向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模或絕對值，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)幾何意義：如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).[常用結論]1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.4．復數z的方程在復平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；(2)|z－(a＋bi)|＝r(a，b∈R，r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．5．若ω＝－eq\f(1,2)±eq\f(\r(3),2)i，則(1)ω3k＝1(k∈Z)；(2)ω2＋ω＋1＝0.6．z＝eq\x\to(z)?z∈R.一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0.(×)(2)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大小．(×)(3)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.(×)(4)方程x2＋2x＋4＝0沒有解．(×)二、教材經典衍生1．(人教A版必修第二冊P69例1改編)若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[因為z為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))所以x＝－1.]2．(人教A版必修第二冊P80練習T2改編)(1＋i)·(1－2i)＝()A．－1＋2i B．－1－2iC．3＋i D．3－iD[(1＋i)(1－2i)＝1＋2－2i＋i＝3－i.故選D.]3．(人教A版必修第二冊P80習題7.2T2改編)在復平面內，向量eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up6(→))對應的復數是－1－3i，則向量eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數是()A．1－2i B．－1＋2iC．3＋4i D．－3－4iD[由題易知eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，所以向量eq\o(CA,\s\up6(→))對應的復數是－3－4i.]4．(人教A版必修第二冊P94復習參考題7T1(2)改編)復數eq\f(5,i＋2)的共軛復數是________.2＋i[eq\f(5,i＋2)＝eq\f(52－i,2＋i2－i)＝2－i，故其共軛復數是2＋i.]考點一復數的有關概念[典例1](1)已知復數z滿足|z|＋z＝2＋4i，則z＝()A．3＋4i B．3－4iC．－3＋4i D．－3－4i(2)(2024·上海高考)已知虛數z，其實部為1，且z＋eq\f(2,z)＝m(m∈R)，則實數m為____________．(1)C(2)2[(1)設z＝a＋bi，a，b∈R，|z|＝eq\r(a2＋b2)，所以|z|＋z＝a＋eq\r(a2＋b2)＋bi＝2＋4i，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝4，))所以z＝－3＋4i.故選C．(2)設z＝1＋bi，b∈R且b≠0，則z＋eq\f(2,z)＝1＋bi＋eq\f(2,1＋bi)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋3,1＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b3－b,1＋b2)))i＝m.因為m∈R，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b2＋3,1＋b2)＝m，,\f(b3－b,1＋b2)＝0，))解得m＝2.]解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．[跟進訓練]1．(1)(2025·八省適應性測試)|2－4i|＝()A．2 B．4C．2eq\r(5) D．6(2)若虛數z使得z2＋z是實數，則z滿足()A．實部是－eq\f(1,2) B．實部是eq\f(1,2)C．虛部是0 D．虛部是eq\f(1,2)(1)C(2)A[(1)|2－4i|＝eq\r(22＋－42)＝2eq\r(5).故選C．(2)設z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z2＋z＝(a＋bi)2＋(a＋bi)＝a2＋2abi－b2＋a＋bi＝a2＋a－b2＋(2ab＋b)i.因為z2＋z是實數，所以2ab＋b＝0，解得b＝0(舍去)，或a＝－eq\f(1,2).故選A．]考點二復數的四則運算[典例2](1)(2024·新高考Ⅰ卷)若eq\f(z,z－1)＝1＋i，則z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i(2)(2025·臨沂模擬)若虛數單位i是關于x的方程ax3＋bx2＋bx＋1＝0(a，b∈R)的一個根，則|a＋bi|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2(1)C(2)C[(1)因為eq\f(z,z－1)＝eq\f(z－1＋1,z－1)＝1＋eq\f(1,z－1)＝1＋i，所以z＝1＋eq\f(1,i)＝1－i.故選C．(2)因為i是關于x的方程ax3＋bx2＋bx＋1＝0(a，b∈R)的一個根，所以ai3＋bi2＋bi＋1＝0，即－ai－b＋bi＋1＝0，即(b－a)i＋(1－b)＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＝0，,1－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，))所以|a＋bi|＝|1＋i|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).故選C．](1)復數的乘法運算類似于多項式的乘法運算；(2)復數的除法關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數．[跟進訓練]2．(1)(2024·全國甲卷)若z＝5＋i，則i(eq\x\to(z)＋z)＝()A．10i B．2iC．10 D．－2(2)已知復數z＝1＋eq\f(2i,1－i)，則1＋z＋z2＋…＋z2024＝________.(1)A(2)1[(1)由z＝5＋i，得eq\x\to(z)＝5－i，所以z＋eq\x\to(z)＝10，則i(eq\x\to(z)＋z)＝10i.故選A．(2)法一：因為z＝1＋eq\f(2i,1－i)＝1＋eq\f(2i1＋i,2)＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2024＝eq\f(1－z2025,1－z)＝eq\f(1－i2025,1－i)＝eq\f(1－i4×506·i,1－i)＝1.法二：因為z＝1＋eq\f(2i,1－i)＝1＋eq\f(2i1＋i,2)＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2024＝1＋i＋i2＋…＋i2024＝506×(1＋i－1－i)＋1＝1.]考點三復數的幾何意義[典例3](1)(2023·新高考Ⅱ卷)在復平面內，(1＋3i)(3－i)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多選)已知復數z0＝1＋2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為P0，復數z滿足|z－1|＝|z－i|，則下列結論正確的是()A．點P0的坐標為(1,2)B．復數z0的共軛復數在復平面內對應的點與點P0關于虛軸對稱C．復數z在復平面內對應的點Z在一條直線上D．點P0與z在復平面內對應的點Z間的距離的最小值為eq\f(\r(2),2)(1)A(2)ACD[(1)因為(1＋3i)·(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以該復數在復平面內對應的點為(6,8)，位于第一象限．故選A．(2)復數z0＝1＋2i在復平面內對應的點為P0(1,2)，A正確；復數z0的共軛復數在復平面內對應的點與點P0關于實軸對稱，B錯誤；設z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yieq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))x＋(y－1)i|，即eq\r(x－12＋y2)＝eq\r(x2＋y－12)，整理得y＝x，即點Z在直線y＝x上，C正確；易知點P0到直線y＝x的距離即為點P0，Z之間距離的最小值，結合點到直線的距離公式可知，最小值為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－2)),\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，D正確．故選ACD.]由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀．[跟進訓練]3．(1)若復數z滿足|z－2i|＝1，則|z|的最大值為()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．3(2)設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝________.(1)D(2)2eq\r(3)[(1)設z＝a＋bi，a，b∈R.則|z－2i|＝1表示復平面內點Z(a，b)到點(0,2)的距離為1，則|z|的最大值為點(0,2)到點(0,0)的距離加上1，即|z|max＝2＋1＝3.故選D.(2)法一(代數法)：設z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因為z1＋z2＝eq\r(3)＋i，所以2z1＝(eq\r(3)＋a)＋(1＋b)i,2z2＝(eq\r(3)－a)＋(1－b)i.因為|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以eq\r(\r(3)＋a2＋1＋b2)＝4，①eq\r(\r(3)－a2＋1－b2)＝4，②①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(3).法二(幾何法)：設復數z1，z2在復平面內分別對應向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，則z1＋z2對應向量eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)).由題意知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，如圖所示，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則z1－z2對應的向量為eq\o(BA,\s\up6(→))，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，可得|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OA,\s\up6(→))|sin60°＝2eq\r(3).故|z1－z2|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).]課時分層作業(三十五)(本試卷共73分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知z＝－1－i，則|z|＝()A．0 B．1C．eq\r(2) D．2C[因為z＝－1－i，所以|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2).故選C．]2．(2025·德州模擬)已知復數z滿足z－i(2＋z)＝0，則z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1＋i D．1－iB[由z－i(2＋z)＝0，可得(1－i)z＝2i，所以z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i.故選B．]3．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虛數單位，若z－eq\x\to(z)＝2eq\r(3)i，則復數z的虛部為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．eq\r(3)i D．2eq\r(3)iA[z－eq\x\to(z)＝2bi＝2eq\r(3)i，解得b＝eq\r(3).故選A．]4．已知i是虛數單位，則化簡eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2025的結果為()A．i B．－iC．－1 D．1A[因為eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq\f(1＋2i＋i2,2)＝i，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))2025＝i2025＝i.]5．若復數z＝eq\f(a＋i,3－i)(其中a∈R，i為虛數單位)為純虛數，則復數z－1在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[依題意，z＝eq\f(a＋i,3－i)＝eq\f(a＋i3＋i,3－i3＋i)＝eq\f(3a－1,10)＋eq\f(a＋3i,10)，由z為純虛數，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－1＝0，,a＋3≠0，))解得a＝eq\f(1,3)，復數z－1＝－1＋eq\f(1,3)i，所以復數z－1在復平面內對應點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3)))，位于第二象限．故選B．]6．(2025·濟南模擬)已知復數z1，z2滿足2|z1|＝|z2|＝|2z1－z2|＝2，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝()A．1 B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)B[設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則2eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)＝eq\r(2a－c2＋2b－d2)＝2，所以a2＋b2＝1，c2＋d2＝4,8－4(ac＋bd)＝4，即ac＋bd＝1，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋\f(1,2)z2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)d))2)＝eq\r(a2＋b2＋\f(1,4)c2＋d2＋ac＋bd)＝eq\r(1＋\f(1,4)×4＋1)＝eq\r(3).故選B．]二、多項選擇題7．下列命題正確的是()A．復數z＝－2－i的虛部為－1B．設z為復數，(1－i)z＝1＋i，則|eq\x\to(z)|＝2C．若復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數，則a＝0，b≠0D．復數2－i在復平面內對應的點在第二象限AC[對于選項A：復數z＝－2－i的虛部為－1，故A正確；對于選項B：因為(1－i)z＝1＋i，則z＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,1－i1＋i)＝i，所以|eq\x\to(z)|＝|－i|＝1，故B錯誤；對于選項C：若復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數，則a＝0，b≠0，故C正確；對于選項D：復數2－i在復平面內對應點為(2，－1)，在第四象限，故D錯誤．故選AC．]8．已知復數z1，z2，則下列說法中正確的是()A．|z1z2|＝|z1|·|z2|B．|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|C．“z1z2∈R”是“z1＝eq\x\to(z)2”的必要不充分條件D．“|z1|＝|z2|”是“zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)”的充分不必要條件AC[A：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，所以|z1z2|＝eq\r(ac－bd2＋ad＋bc2)＝eq\r(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)，|z1||z2|＝eq\r(a2＋b2)eq\r(c2＋d2)＝eq\r(a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2)，則|z1z2|＝|z1||z2|，故A正確．B：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，所以|z1＋z2|＝eq\r(a＋c2＋b＋d2)＝eq\r(a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋bd)，|z1|＋|z2|＝eq\r(a2＋b2)＋eq\r(c2＋d2)，則|z1＋z2|≠|z1|＋|z2|，故B錯誤．C：由選項A知，z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，eq\x\to(z)2＝c－di，又z1z2∈R，所以ad＋bc＝0，不一定有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d，))即推不出z1＝eq\x\to(z)2；由z1＝eq\x\to(z)2，得a＋bi＝c－di，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝－d，))則ad＋bc＝0，即z1z2∈R，所以“z1z2∈R”是“z1＝eq\x\to(z)2”的必要不充分條件，故C正確．D：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則zeq\o\al(2,1)＝(a2－b2)＋2abi，zeq\o\al(2,2)＝(c2－d2)＋2cdi，若|z1|＝|z2|，則eq\r(a2＋b2)＝eq\r(c2＋d2)，即a2＋b2＝c2＋d2，推不出zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)；若zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)，則|zeq\o\al(2,1)|＝|zeq\o\al(2,2)|，又|zeq\o\al(2,1)|＝eq\r(a2－b22＋4a2b2)＝eq\r(a2＋b22)＝a2＋b2＝|z1|2，同理可得|zeq\o\al(2,2)|＝|z2|2，所以|z1|2＝|z2|2，|z1|＝|z2|；所以“|z1|＝|z2|”是“zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)”的必要不充分條件，故D錯誤．故選AC．]三、填空題9．在復平面內，O為坐標原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應的復數為－1＋2i，若點A關于直線y＝－x的對稱點為B，則向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為________.－2＋i[因為A(－1,2)關于直線y＝－x的對稱點B(－2,1)，所以向量eq\o(OB,\s\up6(→))對應的復數為－2＋i.]10．在復數范圍內關于x的實系數一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，其中x1＝1＋i，則eq\f(x1,x2)＝________.i[因為x1＝1＋i且實系數一元二次方程x2＋px＋2＝0的兩根為x1，x2，所以x1x2＝2，可得x2＝eq\f(2,x1)＝eq\f(2,1＋i)＝1－i，eq\f(x1,x2)＝eq\f(1＋i,1－i)＝eq\f(1＋i2,2)＝eq\f(2i,2)＝i.]11．棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(i為虛數單位)是由法國數學家棣莫弗(1667—1754)發現的．根據棣莫弗公式可知，若復數ω＝coseq\f(2π,3)＋i·sineq\f(2π,3)，則ω4的值是()A．－ω B．eq\f(1,ω)C．ω D．eq\x\to(ω)C[依題意知，ω＝coseq\f(2π,3)＋i·sineq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，由棣莫弗公式，得ω4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋i·sin\f(2π,3)))4＝coseq\f(8π,3)＋i·sineq\f(8π,3)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π－\f(π,3)))＋i·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π－\f(π,3)))＝－coseq\f(π,3)＋i·sineq\f(π,3)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，所以ω4＝ω.故選C．]12．(多選)(2025·青島模擬)已知復數z，下列說法正確的是()A．若z－eq\x\to(z)＝0，則z為實數B．若z2＋eq\x\to(z)2＝0，則z＝eq\x\to(z)＝0C．若|z－i|＝1，則|z|的最大值為2D．若|z－i|＝|z|＋1，則z為純虛數AC[設z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq\x\to(z)＝a－bi，若z－eq\x\to(z)＝0，即(a＋bi)－(a－bi)＝2bi＝0，即b＝0，則z為實數，故A正確；若z2＋eq\x\to(z)2＝0，即(a＋bi)2＋(a－bi)2＝0，化簡可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi＝0，即a2＝b2，即a＝±b，當a＝b時，z＝a＋ai，eq\x\to(z)＝a－a