第3課時不等式的性質[考試要求]1.掌握等式性質.2.會比較兩個數(shù)的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．1．比較實數(shù)a，b大小的基本事實作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))2．不等式的性質性質1對稱性：a>b?b<a；性質2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．[常用結論]若a>b>0，m>0，則(1)真分數(shù)性質：eq\f(b－m,a－m)<eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)(b－m>0)，即真分數(shù)越加越大，越減越小；(2)假分數(shù)性質：eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)，即假分數(shù)越加越小，越減越大．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a＞b，則ac2＞bc2.(×)(2)若eq\f(b,a)>1，則b>a.(×)(3)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則b<a.(×)(4)若a<b<0，則eq\f(1,a2n)<eq\f(1,b2n)(n∈N*).(√)二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P43習題2.1T3改編)設M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(aA．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤NA[因為M－N＝2a(a－2)－(a＋1)·(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故選2．(人教A版必修第一冊P43習題2.1T10改編)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水甜度變淡了．下面式子可以說明這一事實的是()A．eq\f(a,b＋m)＜eq\f(a,b) B．eq\f(a,b＋m)＞eq\f(a,b)C．eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m) D．eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b)A[向糖水溶液中加入m克水，糖水的濃度變?yōu)閑q\f(a,b＋m)，此時濃度變小，糖水變淡，即eq\f(a,b＋m)＜eq\f(a,b).故選A．]3．(人教A版必修第一冊P42練習T2改編)用不等號“＞”或“＜”填空．(1)如果a＜b，c＞d，那么a－c＜b－d；(2)如果a＜b＜0，那么eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；(3)如果c＞a＞b＞0，那么eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).4．(人教A版必修第一冊P43習題2.1T5改編)已知－1<a<2，－3<b<5，則a－b的取值范圍是.(－6,5)[因為－3<b<5，所以－5<－b<3，又－1<a<2，所以－6<a－b<5.]考點一數(shù)(式)的大小比較[典例1](1)若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關系為()A．p<q B．p≤qC．p>q D．p≥q(2)若a>b>1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關系是()A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．不能確定(1)B(2)C[(1)p－q＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)－a－b＝eq\f(b2－a2,a)＋eq\f(a2－b2,b)＝(b2－a2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝eq\f(b2－a2b－a,ab)＝eq\f(b－a2b＋a,ab)，因為a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.又(b－a)2≥0，所以p－q≤0.綜上，p≤q.故選B.(2)P，Q作商可得eq\f(P,Q)＝eq\f(aeb,bea)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))，令f(x)＝eq\f(ex,x)，則f′(x)＝eq\f(exx－1,x2)，當x>1時，f′(x)>0，所以f(x)＝eq\f(ex,x)在(1，＋∞)上單調遞增，因為a>b>1，所以eq\f(eb,b)<eq\f(ea,a)，又eq\f(eb,b)>0，eq\f(ea,a)>0，所以eq\f(P,Q)＝eq\f(\f(eb,b),\f(ea,a))<1，所以P<Q.故選C．]比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形(因式分解、配方、有理化等)；③定號；④得出結論．(2)作商法：①作商；②變形(因式分解、配方、有理化等)；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．(3)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性比較大?。甗跟進訓練]1．(1)已知a，b為不相等的實數(shù)，記M＝a2－ab，N＝ab－b2，則M與N的大小關系為()A．M>N B．M＝NC．M<N D．不確定(2)(2025·濟南模擬)已知a>b>0，則aabb與abba的大小關系為________.(1)A(2)aabb>abba[(1)因為M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.故選A．(2)因為eq\f(aabb,abba)＝eq\f(aa－b,ba－b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，a>b>0，所以eq\f(a,b)>1，a－b>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b>1，即eq\f(aabb,abba)>1，又abba>0，所以aabb>abba.]考點二不等式的性質[典例2](1)若a>0>b，則()A．a(chǎn)3>b3 B．|a|>|b|C．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．ln(a－b)>0(2)下列說法正確的是()A．若ac2≥bc2，則a≥bB．若eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，則a<bC．若a＋b>0，c－b>0，則a>cD．若a>0，b>0，m>0，且a<b，則eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)(1)A(2)D[(1)因為a>0>b，所以a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正確；取a＝1，b＝－2，則|a|>|b|不成立，故B錯誤；取a＝1，b＝－2，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)不成立，故C錯誤；取a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(1,2)，則ln(a－b)＝ln1＝0，故D錯誤．故選A．(2)對于A，若ac2≥bc2，當c＝0時，a與b的大小關系無法確定，故A錯誤；對于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，則滿足eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，但不滿足a<b，故B錯誤；對于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，則滿足a＋b>0，c－b>0，但不滿足a>c，故C錯誤；對于D，若a>0，b>0，m>0，且a<b，則b－a>0，所以eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ba＋m－ab＋m,bb＋m)＝eq\f(mb－a,bb＋m)>0，即eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)，故D正確．故選D.]判斷不等式正誤的常用方法(1)利用不等式的性質進行驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時，要特別注意應用性質的條件．(2)利用特殊值法排除錯誤不等式．(3)利用函數(shù)的單調性，當利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調性來比較．[跟進訓練]2．(多選)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式正確的是()A．eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a(chǎn)－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2AC[由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0.A中，因為a＋b<0，ab>0，所以eq\f(1,a＋b)<0，eq\f(1,ab)>0，故有eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)，故A正確；B中，因為b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B錯誤；C中，因為b<a<0，又eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則－eq\f(1,a)>－eq\f(1,b)>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)，故C正確；D中，因為b<a<0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上單調遞減，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上單調遞增，所以lnb2>lna2，故D錯誤．故選AC．]考點三不等式性質的應用[典例3](多選)已知－2<a＋b<4,2<2a－bA．0<a<4B．0<b<2C．－6<a＋2b<6D．0<a＋2b<8BD[對于A，因為－2<a＋b<4,2<2a－b<8，所以－2＋2<a＋b＋2a－b<4＋8，所以0<3a<12對于B，因為2<2a－b所以－8<b－2a<－2因為－2<a＋b<4，所以－4<2a＋2b因為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－8<b－2a<－2，,－4<2a＋2b<8，))所以－12<3b<6，所以－4<b<2，故B錯誤；對于CD，設a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，則a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝m＋2n，,2＝m－n，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,3)，,n＝－\f(1,3)，))所以a＋2b＝eq\f(5,3)(a＋b)－eq\f(1,3)(2a－b)，因為－2<a＋b<4，所以－eq\f(10,3)<eq\f(5,3)(a＋b)<eq\f(20,3)，因為2<2a－b<8，所以－eq\f(8,3)<－eq\f(1,3)(2a－b)<－eq\f(2,3)，所以－6<a＋2b＝eq\f(5,3)(a＋b)－eq\f(1,3)(2a－b)<6，故C正確、D錯誤．故選BD.]求代數(shù)式的取值范圍，一般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得代數(shù)式的取值范圍．提醒：在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍．[跟進訓練]3．(多選)已知6＜a＜60,15＜b＜18，則下列結論正確的是()A．eq\f(a,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，4)) B．a(chǎn)＋b∈(21,78)C．a(chǎn)－b∈(－9,42) D．eq\f(a＋b,b)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(39,9)))AB[因為6＜a＜60,15＜b＜18，所以eq\f(1,18)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,15)，－18＜－b＜－15，所以eq\f(6,18)＜eq\f(a,b)＜eq\f(60,15)，6＋15＜a＋b＜60＋18,6－18＜a－b＜60－15，即eq\f(1,3)＜eq\f(a,b)＜4,21＜a＋b＜78，－12＜a－b＜45.于是eq\f(a＋b,b)＝eq\f(a,b)＋1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，5)).故A，B正確，C，D錯誤．]課時分層作業(yè)(三)(本試卷共83分．單項選擇題每題5分，多項選擇題每題6分，填空題每題5分．)一、單項選擇題1．若a<b<0，c>d>0，則一定有()A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)D[由于c>d>0，則eq\f(1,d)>eq\f(1,c)>0.又a<b<0，所以－a>－b>0，故－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0，所以eq\f(a,d)<eq\f(b,c).故選D.]2．(2025·臨沂模擬)設a，b為實數(shù)，則“0<ab<1”是“b<eq\f(1,a)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件D[充分性：若0<ab<1，則當a<0時，0>b>eq\f(1,a)，所以b<eq\f(1,a)不成立；必要性：若b<eq\f(1,a)，則當a<0時，ab>1，所以0<ab<1不成立．故選D.]3．如果對于任意實數(shù)x，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3.1]＝3，[－2.1]＝－3，那么“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件B[若|x－y|<1，則取x＝0.5，y＝1.2，滿足|x－y|<1，此時[x]＝0，[y]＝1，所以|x－y|<1?/[x]＝[y]，充分性不成立；若[x]＝[y]，設[x]＝[y]＝a，則a≤x<a＋1，a≤y<a＋1，所以－a－1<－y≤－a，所以－1<x－y<1，所以|x－y|<1，所以[x]＝[y]?|x－y|<1，必要性成立．所以“|x－y|<1”是“[x]＝[y]”4．設a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．b>a>c D．b>c>aB[因為(eq\r(7)＋eq\r(2))2－(eq\r(6)＋eq\r(3))2＝9＋2eq\r(14)－9－2eq\r(18)<0，所以eq\r(7)＋eq\r(2)<eq\r(6)＋eq\r(3)，所以eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2)，即b<c.又a－c＝2eq\r(2)－eq\r(6)＝eq\r(8)－eq\r(6)>0，故a>c.綜上，a>c>b.故選B.]5．已知a>b>c>0，下列結論正確的是()A．2a<b＋cB．a(chǎn)(b－c)>b(a－c)C．eq\f(1,a－c)>eq\f(1,b－c)D．(a－c)3>(b－c)3D[因為a>b>c>0，所以2a>b＋c取a＝3>b＝2>c＝1>0，則a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B錯誤；由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，所以eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，(a－c)3>(b－c)3，故C錯誤，D正確．故選D.]6．eπ·πe與ee·ππ的大小關系正確的為()A．eπ·πe>ee·ππ B．eπ·πe＝ee·ππC．eπ·πe<ee·ππ D．不能確定C[eq\f(eπ·πe,ee·ππ)＝eq\f(eπ－e,ππ－e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e，又0<eq\f(e,π)<1,0<π－e<1，所以0＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,π)))π－e<1，即0<eq\f(eπ·πe,ee·ππ)<1，即eπ·πe<ee·ππ.故選C．]7．已知1≤a－b≤3,3≤a＋b≤7，則5a＋bA．[15,31] B．[14,35]C．[12,30] D．[11,27]D[因為1≤a－b≤3,3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6,9≤3(a＋b)≤21，則5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)∈[11,28．(2025·日照模擬)若a<b<0，c>0，則下列不等式一定成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)－eq\f(1,b)<b－eq\f(1,a)C．ln(b－a)>0 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))cD[對于A，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)，因為a<b<0，所以ab>0，b－a>0，即eq\f(b－a,ab)>0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A錯誤；對于B，a－eq\f(1,b)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,a)))＝a－b＋eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝(a－b)·eq\f(ab－1,ab)，因為a<b<0，所以a－b<0，ab＞0，不能判斷ab與1之間的關系，故B錯誤；對于C，因為b－a>0，所以ln(b－a)的取值范圍為R，故C錯誤；對于D，因為a<b<0，所以eq\f(a,b)>0，eq\f(b,a)>0，因為eq\f(a,b)－eq\f(b,a)＝eq\f(a2－b2,ab)>0，所以eq\f(a,b)>eq\f(b,a)，又因為c>0，所以y＝xc在(0，＋∞)上單調遞增，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))c>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))c，故D正確．故選D.]二、多項選擇題9．已知a，b，c∈R，下列命題為真命題的是()A．若b<a<0，則bc2<ac2B．若b>a>0>c，則eq\f(c,a)<eq\f(c,b)C．若c>b>a>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)D．若a>b>c>0，則eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)BD[對于A，因為b<a<0，所以a－b>0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，即b·c2≤a·c2，故A錯誤；對于B，eq\f(c,a)－eq\f(c,b)＝eq\f(cb－a,ab)，因為b>a>0>c，所以c(b－a)<0，ab>0，所以eq\f(c,a)－eq\f(c,b)＝eq\f(cb－a,ab)<0，即eq\f(c,a)<eq\f(c,b)，故B正確；對于C，eq\f(a,c－a)－eq\f(b,c－b)＝eq\f(ca－b,c－ac－b)，因為c>b>a>0，所以c－a>0，c－b>0，a－b<0，所以eq\f(a,c－a)－eq\f(b,c－b)＝eq\f(ca－b,c－ac－b)<0，即eq\f(a,c－a)<eq\f(b,c－b)，故C錯誤；對于D，因為eq\f(a,b)－eq\f(a＋c,b＋c)＝eq\f(ab＋c－ba＋c,bb＋c)＝eq\f(a－bc,bb＋c)，又因為a>b>c>0，所以a－b>0，b＋c>0，所以eq\f(a－bc,bb＋c)>0，即eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)，故D正確．故選BD.]10．已知實數(shù)x，y滿足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，則()A．x的取值范圍為(－1,2)B．y的取值范圍為(－2,1)C．x＋y的取值范圍為(－3,3)D．x－y的取值范圍為(－1,3)ABD[因為－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，又因為－3<x＋2y<2，所以－5<5x<10，則－1<x<2，故A正確；因為－3<x＋2y<2，所以－6<2x＋4y<4，又因為－1<2x－y<4，所以－4<－2x＋y<1，所以－10<5y<5，所以－2<y<1，故B正確；因為－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－eq\f(9,5)<eq\f(3,5)(x＋2y)<eq\f(6,5)，－eq\f(1,5)<eq\f(1,5)(2x－y)<eq\f(4,5)，因為x＋y＝eq\f(3,5)(x＋2y)＋eq\f(1,5)(2x－y)，則－2<x＋y<2，故C錯誤；因為－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－eq\f(2,5)<－eq\f(1,5)(x＋2y)<eq\f(3,5)，－eq\f(3,5)<eq\f(3,5)(2x－y)<eq\f(12,5)，因為x－y＝－eq\f(1,5)(x＋2y)＋eq\f(3,5)(2x－y)，則－1<x－y<3，故D正確．故選ABD.]三、填空題11．已知某商品的原價為a元，由于市場原因，先降價p%(0<p<100)出售，一段時間后，再提價p%出售，則該商品提價后的售價______該商品的原價．(填“高于”“低于”或“等于”)低于[第一次降價后的售價為a(1－p%)元，第二次提價后的售價為a(1－p%)(1＋p%)元．因為0<p<100，所以0<p%<1，所以(1－p%)(1＋p%)＝1－(p%)2<1，所以a(1－p%)(1＋p%)<a，即該商品提價后的售價低于該商品的原價．]12．(2025·煙臺模擬)a，b，c，d均為實數(shù)，使不等式eq\f(a,b)＞eq\f(c,d)＞0和ad＜bc都成立的一組值(a，b，c，d)是________.(只要寫出適合條件的一組值即可)(2,1，－3，－2)(答案不唯一)[根據(jù)不等式eq\f(a,b)＞eq\f(c,d)＞0和ad＜bc都成立，可知a，b同號，c，d同號，eq\f(a,b)＞eq\f(c,d)＞0?eq\f(a,b)－eq\f(c,d)＞0?eq\f(ad－bc,bd)＞0，又ad＜bc?ad－bc＜0，由此可知b，d異號，由這些信息可寫出適合條件的一組值，如(2,1，－3，－2)．]13．某次全程為S的長跑比賽中，選手甲總共用時為T，前一半時間eq\f(T,2)以速度a勻速跑，后一半時間eq\f(T,2)以速度b勻速跑；選手乙前半程eq\f(S,2)以速度a