第二章函數(shù)的概念與性質(zhì)第11課時(shí)函數(shù)模型的應(yīng)用[考試要求]

1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.3.會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．鏈接教材·夯基固本1．指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)______單調(diào)______單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)______越來(lái)______相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與______平行隨n值變化而各有不同遞增遞增越快越慢y軸x軸2．幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)[常用結(jié)論]1．“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越來(lái)越小．一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(

)(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a＞1)的增長(zhǎng)速度．(

)(3)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快的形象比喻．(

)×√×二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊(cè)P138探究改編)當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中增長(zhǎng)速度最快的是(

)A．y＝2x

B．y＝lgxC．y＝x2 D．y＝2xD

[結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知，幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度最快．]√2．(人教A版必修第一冊(cè)P148例3改編)根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出的散點(diǎn)圖如圖所示．現(xiàn)有如下4個(gè)模擬函數(shù)：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝x2－5.4x＋6；④y＝log2x.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選________(填序號(hào))．④

[由題圖可知，上述點(diǎn)大體在函數(shù)y＝log2x的圖象上，故選擇y＝log2x可以近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律．]4．(人教A版必修第一冊(cè)P72練習(xí)T2改編)某城市客運(yùn)公司確定客運(yùn)票價(jià)格的方法是：如果行程不超過(guò)100km，票價(jià)是0.5元/km，如果超過(guò)100km，超過(guò)100km的部分按0.4元/km定價(jià)．則客運(yùn)票價(jià)y(元)與行程x(km)之間的函數(shù)關(guān)系式是______________________典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問(wèn)題[典例1]

(1)高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，若魚缸水深為h時(shí)水的體積為v，則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是(

)√(2)如圖是根據(jù)2009年6月發(fā)布的《中國(guó)7歲以下兒童生長(zhǎng)發(fā)育參照標(biāo)準(zhǔn)》繪制的我國(guó)7歲以下女童身高(長(zhǎng))的中位數(shù)散點(diǎn)圖，下列可近似刻畫身高y(單位：cm)隨年齡x(單位：歲)變化規(guī)律的函數(shù)模型是(

)A．y＝mx＋n(m>0)√(1)B

(2)B

[(1)由題圖可知水深h越大，水的體積v就越大，故函數(shù)v＝f(h)是個(gè)增函數(shù)，故排除A，C項(xiàng)，由魚缸形狀可知，下面細(xì)中間粗，上面較細(xì)，所以隨著水深的增加，體積的變化的速度是先慢后快再慢的，所以B正確．故選B.(2)A選項(xiàng)，由散點(diǎn)圖知身高y隨時(shí)間x變化不是線性增長(zhǎng)，故A錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，指數(shù)函數(shù)模型中y隨x增長(zhǎng)越來(lái)越快，與圖象不符合；D選項(xiàng)，對(duì)數(shù)函數(shù)模型在x＝0時(shí)沒(méi)有意義；B選項(xiàng)符合散點(diǎn)圖中y隨x增長(zhǎng)越來(lái)越慢，且在x＝0時(shí)有意義．故選B.]判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程是否吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意容易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況．

考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題√

已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．住房的許多建材都會(huì)釋放甲醛．甲醛是一種無(wú)色、有著刺激性氣味的氣體，對(duì)人體健康有著極大的危害．新房入住時(shí)，空氣中甲醛濃度不能超過(guò)0.08mg/m3，否則，該新房達(dá)不到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)．若某套住房自裝修完成后，通風(fēng)x(x＝1,2,3，…，50)周與室內(nèi)甲醛濃度y(單位：mg/m3)之間近似滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝0.48－0.1f(x)(x∈N*)，其中f(x)＝loga[k(x2＋2x＋1)](k>0，x＝1,2,3，…，50)，且f(2)＝2，f(8)＝3，則該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，至少需要通風(fēng)(

)A．17周 B．24周C．28周 D．26周√D

[f(x)＝loga[k(x＋1)2]＝logak＋2loga(x＋1)，由f(2)＝2，f(8)＝3，得logak＋2loga(2＋1)＝2，logak＋2loga(8＋1)＝3，兩式相減得loga9＝1，則a＝9，所以logak＋2＝3，k＝9.該住房裝修完成后要達(dá)到安全入住的標(biāo)準(zhǔn)，則0.48－0.1f(x)≤0.08，則f(x)≥4，即1＋2log9(x＋1)≥4，解得x≥26，故至少需要通風(fēng)26周．故選D.]

考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)＝年銷售收入－年固定成本－流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？即x＝10時(shí)，L(x)取得最大值，最大值為15萬(wàn)元．因?yàn)?＜15，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為15萬(wàn)元．構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾小時(shí)才能