第01講空間向量及其線性運算目錄TOC\o"1-2"\h\u第01講空間向量及其線性運算 1一、空間向量概念 2基礎知識 2考點1空間向量相關概念 2二、空間向量線性運算 6基礎知識 6考點2空間向量加減運算 6考點3空間向量線性運算 8考點4由空間向量的線性運算求參數 10三、共線、共面向量 14基礎知識 14考點5向量共線的判定 15考點6向量共面的判定 17考點7由空間向量共線、共面求參數 20四、課后作業 23單選題 23多選題 26填空題 28解答題 29

一、空間向量概念基礎知識1．空間向量概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大小．(3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【注】(1)空間中點的一個平移就是一個向量；(2)數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量.考點1空間向量相關概念【例1.1】（23-24高二上·山東日照·階段練習）下列命題中為真命題的是（

）A．向量AB與BA的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【解題思路】由于向量的長度與向量的方向無關，相反向量的長度相等，由此可判斷AD，將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，由此可判斷B，由向量與有向線段的關系判斷C.【解答過程】選項A：因為空間向量AB與BA互為相反向量，所以空間向量AB與BA的長度相等，所以A正確；選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤；選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；選項D：兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量AB與BA的模相等，所以D錯誤；故選：A.【例1.2】（23-24高二上·山東聊城·階段練習）給出下列命題：①空間向量就是空間中的一條有向線段；②在正方體ABCD?A1B③a=b是向量④若空間向量m,n,p滿足m∥其中正確的命題的個數是（

）．A．1 B．2 C．3 D．0【解題思路】根據空間向量的相關概念逐項判斷.【解答過程】有向線段起點和終點是固定的，而空間向量是可以平移的，故①錯誤；AC和A1C1若a=b，則a和b的模相等，方向不一定相同，若a=b，則a和b的模相等，方向也相同，所以向量的平行不具有傳遞性，比如當n為零向量時，零向量與任何向量都平行，則m,綜上所述，②③正確.故選：B．【變式1.1】（23-24高二上·全國·課后作業）已知正方體ABCD?A′B①OA+OD與②OB?OC與③OA+OB+④OA′?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據向量線性運算、相等向量和相反向量定義依次判斷各個選項即可.【解答過程】

對于①，∵OA=?OC′∴OA+OD對于②，∵OB?OC=CB∴OB?OC對于③，∵OA=?OC′，OB∴OA∴OA+OB對于④，∵OA′?OA∴OA′故選：C.【變式1.2】（23-24高二上·全國·課后作業）給出下列命題：①零向量沒有方向；②若兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同；③若空間向量a,b滿足a=④若空間向量m,n,p滿足⑤空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數為（

）A．4 B．3C．2 D．1【解題思路】根據空間向量的有關定義判斷可得答案.【解答過程】零向量的方向是任意的，但并不是沒有方向，故①錯誤；當兩個空間向量的起點相同，終點也相同時，這兩個向量必相等．但兩個向量相等，起點和終點不一定相同，故②錯誤；根據相等向量的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a與b的方向不一定相同，故③錯誤；命題④顯然正確；對于命題⑤，空間中任意兩個單位向量的模均為1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤錯誤．故選：D.

二、空間向量線性運算基礎知識1．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.【注】(1)空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則，而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并.(2)向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.(3)空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量.考點2空間向量加減運算【例1.1】（23-24高二下·北京·開學考試）已知平行六面體ABCD?A′BA．ABB．AC．AD．AB【解題思路】根據平行六面體的性質及空間向量線性運算法則計算可得.【解答過程】對于A：AB?對于B：因為B′C′對于C：AA對于D：因為BB′=故D錯誤.故選：D.【例1.2】（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知E,F分別是空間四邊形ABCD的對角線AC,BD的中點，點G是線段EF的中點，P為空間中任意一點，則PA+PB+A．PG B．2PG C．3PG 【解題思路】根據向量加法運算可解.【解答過程】由題知：PA+故選：D.【變式1.1】（23-24高二上·江西景德鎮·期末）在空間四邊形OABC中，化簡OA+AB?A．OA B．OCC．AC D．OB【解題思路】利用向量的加減運算求解.【解答過程】OA+故選：B.【變式1.2】（23-24高二上·河北保定·期末）在三棱錐P?ABC中，M為AC的中點，則PM=（

A．12BA+C．12BA+【解題思路】連接BM，根據空間向量的運算法則，準確化簡，即可求解.【解答過程】連接BM，根據向量的運算法則，可得PM=故選：B.考點3空間向量線性運算【例2.1】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱ABC?A1B1C1中，E是BC的中點，A．13AB?C．?13AB【解題思路】依題意可得GE=【解答過程】因為AG=2GE，所以所以G==2故選：C.【例2.2】（23-24高二上·貴州·階段練習）如圖，在四面體ABCD中，E,F分別為BC,AE的中點，G為△ACD的重心，則FG=（

A．?B．?C．1D．1【解題思路】根據空間向量的線性運算，將FG用AB,【解答過程】因為E,F分別為BC,AE的中點，所以AF=因為G為△ACD的重心，所以AG=所以FG=故選：B.【變式2.1】（23-24高二上·山東德州·期中）四面體ABCD中，E為棱BC的中點，則AD+12A．AB B．AC C．AE D．DE【解題思路】根據向量的加法、數乘運算求解即可.【解答過程】如圖，因為E為棱BC的中點，所以AD+故選：C.【變式2.2】（23-24高二上·河南南陽·階段練習）求a+2b?3A．2a+3C．2a?5【解題思路】根據向量的數乘運算以及加減運算的性質，求解即可得出答案.【解答過程】原式=a+3×2故選：B.考點4由空間向量的線性運算求參數【例3.1】（23-24高二上·山東青島·期末）已知四面體OABC中，OA=a,OB=b,OC=A．3 B．2 C．12 D．【解題思路】根據空間向量的運算法則，化簡得到MN=?【解答過程】根據題意，利用空間向量的運算法則，可得：MN=因為MN=?14a+故選：D.【例3.2】（22-23高二上·福建莆田·期末）如圖，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點M在BB1上，點N在DD1上，且A．16 B．13 C．23【解題思路】根據空間向量的運算法則確定MN=?【解答過程】MN=故x=?1，y=1，z=16，故選：A.【變式3.1】（23-24高二上·福建泉州·階段練習）如圖所示，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，點A．x=?12,y=C．x=?12,y=?【解題思路】根據空間向量的線性運算即可求解.【解答過程】根據題意，得；BE==又∵∴x=?故選：A.【變式3.2】（23-24高二·江蘇·假期作業）如圖所示，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.若EF=xAB+yAD+zAAA．﹣1 B．0 C．13 【解題思路】根據空間向量的加法、減法和數乘的運算法則即可得解．【解答過程】解：EF=?1=?=?AB∵EF=x∴x＝﹣1，y＝1，z＝13∴x+y+z＝1故選：C．

三、共線、共面向量基礎知識1．共線向量(1)空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使a＝λb.(2)直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0//a.(3)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點共線.【注】：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.2．共面向量(1)共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①證明四點共面；②證明線面平行.考點5向量共線的判定【例1.1】（23-24高二·湖南·課后作業）已知向量a，b，c不共面，AB=4a+5b+3c，AC=2a+3【解題思路】將三點共線問題轉化為求證向量共線問題求證即可.【解答過程】因為AB=4a+5b+3所以BC=BD=所以BC=?所以BC//BD，又所以B，C，D三點共線．【例1.2】（23-24高二上·上海·課后作業）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個面都是平行四邊形，點M在對角線A′(1)設向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【解題思路】（1）借助空間向量的線性運算計算即可得；（2）借助向量共線定理證明MN//【解答過程】（1）因為A′M=所以D′又因為A′N=所以D=1（2）因為MN=14BC所以MN=14MD′，即【變式1.1】（23-24高二上·全國·課前預習）已知A,B,P三點共線，O為直線外空間任意一點，若OP=αOA+β【解題思路】利用共線向量定理，可設AP=tAB，結合向量的減法運算，求得OP=(1?t)【解答過程】由A,B,P三點共線，得AP=t即OP?整理得OP=(1?t)又因為OP=α所以α=1?t,β=t．所以α+β=1．【變式1.2】（23-24高二上·湖南長沙·階段練習）如圖，已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間的9個點，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，求證：（1）AC//（2）OG=k【解題思路】（1）由題意，EG=EH+m（2）由題意，OG=OE+【解答過程】證明：（1）EG=k(=k∴AC//（2）OG=考點6向量共面的判定【例2.1】（23-24高二·湖南·課后作業）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F，G，H，并且使OEOA=OFOB=OGOC=OH【解題思路】利用共面向量定理證明，由EG=【解答過程】證明：因為從?ABCD所在平面外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F，G，H，且滿足OEOA=OFOB=OGOC=OH而在?ABCD中，有AC=EG=k故E，F，G，H四點共面，證畢.【例2.2】（2024高二上·全國·專題練習）已知A,B,M三點不共線，對于平面ABM外的任意一點O，判斷在下列各條件下的點P與點A,B,M是否共面．(1)OB+(2)OP=4【解題思路】（1）根據空間向量的共面定理及推論，即可求解；（2）根據空間向量的共面定理及推論，即可求解；【解答過程】（1）解：因為A,B,M三點不共線，可得A,B,M三點共面，對于平面ABM外的任意一點O，若OB+即OP=又因為13+13+（2）解：因為A,B,M三點不共線，可得A,B,M三點共面，對于平面ABM外的任意一點O，若OP=4OA?根據空間向量的共面定理，可得點P與A,B,M不共面．【變式2.1】（2023高二·全國·專題練習）如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=AD+mAB，EG=EH+mEF，k,m∈R.求證：A【解題思路】根據題意，由空間向量共面定理分別證得AC,AD,【解答過程】因為AC=AD+m所以由共面向量定理可得AC,AD,因為AC,AD,AB有公共點A，所以A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面.【變式2.2】（23-24高二·全國·課后作業）如圖，已知O，A，B，C，D，E，F，G，H為空間的9個點，且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，AC=(1)求證：A，B，C，D四點共面，E，F，G，H四點共面；(2)求證：平面ABCD//平面EFCH(3)求證：OG=k【解題思路】（1）利用空間向量共面定理即可求證；（2）由空間向量線性運算可得EG=kAC，由空間向量共線定理可證明AC//EG，再由線面平行的判定定理可得EG//平面ABCD（3）由（2）知EG=k【解答過程】（1）因為AC=AD+m所以AC，AD，AB共面，即A，B，C，D四點共面．因為EG=EH+m所以EG，EH，EF共面，即E，F，G，H四點共面．（2）連接HF，BD，EG=kAD+kmAB又因為EG?平面ABCD，AC?平面ABCD，所以EG//平面ABCD因為FH=OH?又FH?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以FH//平面ABCD因為EG與FH相交，所以平面ABCD//平面EFGH（3）由（2）知EG=kAC，所以考點7由空間向量共線、共面求參數【例3.1】（23-24高二上·遼寧·期中）設向量e1,e2,e3不共面，已知AB=?3eA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】把A、C、D三點共線轉化為滿足CD=yAC，列方程組，求出【解答過程】因為AB=?3e1所以AC=因為A,C,D三點共線，所以存在唯一的即4e即4=?2y2=yλ?18=?4y故選：A.【例3.2】（23-24高二下·江蘇泰州·階段練習）O為空間任意一點，若AP=?14OA+18OB+tOC，若A，A．1 B．98 C．18 【解題思路】將AP=?14OA+【解答過程】因為AP=OP?OA，所以AP=?由于A，B，C，P四點共面，則34+1故選：C.【變式3.1】（22-23高二下·福建龍巖·期中）設向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據A，C，D三點共線，可得AC//CD，則存在唯一實數μ，使得【解答過程】由AB=e1得AC=因為A，C，D三點共線，所以AC//則存在唯一實數μ，使得AC=μ則2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得故選：C.【變式3.2】（23-24高二·全國·課后作業）已知O為空間任意一點，A,B,C,P滿足任意三點不共線，但四點共面，且BP=mOA+A．?1 B．2 C．?2 D．?3【解題思路】借助空間向量的線性運算及四點共面的充要條件即可判斷選項.【解答過程】因為O為空間任意一點，BP=m所以OP?所以OP=m因為A，B，C，P滿足任意三點不共線，但四點共面，所以m+2+1=1，解得m=?2．故選：C．

四、課后作業單選題1．（23-24高二上·新疆·階段練習）下列說法正確的是（

）A．若a<b，則a<b B．若aC．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，AB【解題思路】根據向量的相關定義即可求解ABC,根據向量的減法運算即可求解D.【解答過程】對于A，向量不可以比較大小，所以A錯誤；對于B,若a，b互為相反向量，則a+對于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯誤；對于D，四邊形ABCD中，AB?故選：D.2．（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方體ABCD?A1B1CA．C1B B．BC1 C．【解題思路】根據正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【解答過程】

如圖所示，可知C1B是故選：A.3．（2024高二·全國·專題練習）已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點，如圖所示，則AB+A．AN B．CNC．BC D．1【解題思路】直接利用向量的加法運算得答案.【解答過程】連接AN,BN，因為N為CD的中點，所以BN=所以AB+故選：A.4．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1A．12a+C．?12a【解題思路】利用空間向量基本定理表示出BM，得到答案.【解答過程】因為BM=所以BM=?故選：B.5．（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【解題思路】利用空間向量的共線定理與共面定理.【解答過程】若MA,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故A錯誤；同理若MB,MC共線，則又MC=5MA?3與條件矛盾，故B錯誤；根據空間向量的共面定理可知MA,故選：C.6．（22-23高二上·福建福州·階段練習）下列命題中正確的是（

）A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有ABB．a?b=a+C．若AB，CD共線，則ABD．對空間任意一點O不共線的三點A，B，C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x，y，z【解題思路】根據向量加法三角形法則可判斷A；根據向量模的定義可判斷B；根據向量共線可判斷C；通過x+y+【解答過程】根據向量加法三角形法則可知A對；若a、b同向共線則不滿足a?b=若AB，CD共線，則AB//CD或重合，可知對空間任意一點P與不共線的三點A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC(x,y故選：A．7．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）已知e1、e2、e3為空間三個不共面的向量，向量a=e1+μe2+4eA．?3 B．3 C．?15 D．15【解題思路】設a=kbk∈R，根據空間向量共線的基本定理可得出關于k、λ【解答過程】因為e1、e2、e3為空間三個不共面的向量，向量a若a與b共線，設a=kbk∈R可得1=3kμ=9k4=λk，解得k=1故選：D.8．（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知點D在△ABC確定的平面內，O是平面ABC外任意一點，若正實數x,y滿足OD=xOA+2yOB?A．52 B．92 C．2【解題思路】由四點共面可得x+2y=2，再由“1”的技巧及均值不等式求解.【解答過程】由A,B,C,D四點共面，可知x+2y?1=1，即x+2y=2，由x>0,y>0，2x+y≥125+22xy故選：B.多選題9．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）下列選項中正確的是（

）A．若存在實數x，y，使MP=xMA+yMB，則點P，M，B．若p與a,b共面，則存在實數x，y，使C．若向量a、b所在的直線是異面直線，則向量D．若a、b、c是空間三個向量，則對空間任一向量p，總存在唯一的有序實數組【解題思路】由空間向量共面定理即可判斷AB，由共線向量的概念即可判斷C，由空間向量基本定理即可判斷D【解答過程】由向量共面定理可知，若存在實數x，y，使MP=xMA+yMB，則點P，M，若a,b共線，p不與a,b共線，則不存在實數x，若向量a、b所在的直線是異面直線，則相交，所以向量a、若a、b、c是空間三個基底向量，則對空間任一向量p，總存在唯一的有序實數組故選：AC.10．（23-24高二上·山西長治·期末）在三棱錐O?ABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點M在直線OA上，且OM=2MA，A．ON=12C．NA=12【解題思路】根據題意，結合點M的位置，利用空間向量的線性運算，逐項判定，即可求解.【解答過程】對于A，因為N是BC的中點，可得ON=對于B，當點M在線段OA上時，因為OM=2MA，此時OM=則MN=對于C，當點M在線段OA的延長線上時，因為OM=2MA，此時A為OM的中點，可得NA=對于D，當點M在線段OA上時，可得CM=當點M在線段OA的延長線上時，CM=當點M在線段AO的延長線上時，OM=2MA不可能成立，所以D不正確.綜上可得，可能正確的結論為BC.故選：BC.填空題11．（23-24高二上·湖北荊州·期末）如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點，MN=2NO，設OA=a，OB=b，OC【解題思路】根據空間向量的線性運算求解即可.【解答過程】AN=故答案為：?a12．（23-2