§4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念課標要求1.了解任意角的概念和弧度制.2.能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.3.借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義．知識梳理1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的______旋轉所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉方向不同分為、、.,按終邊位置不同分為和軸線角.))(3)相反角：我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉________的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為________．(4)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝________________________.2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于____________的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示．(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝____________弧長公式弧長l＝________扇形面積公式S＝________＝____________3.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設α是一個任意角，α∈R，以它的頂點為原點，以它的始邊為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y＝sinα，x＝cosα，eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)．(2)三角函數(shù)值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如圖．(3)定義的推廣設P(x，y)是角α終邊上異于原點的任一點，它到原點的距離為r(r>0)，那么sinα＝________；cosα＝________，tanα＝(x≠0)．常用結論1．象限角2．軸線角3．若角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα<α<tanα.自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．()(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．()(3)角α的三角函數(shù)值與其終邊上點P的位置有關．()(4)若sinα>0，則α是第一或第二象限角．()2．下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)3．(必修第一冊P180T3改編)已知角θ的終邊過點P(－12,5)，則sinθ＋cosθ等于()A.eq\f(17,13)B．－eq\f(17,13)C.eq\f(7,13)D．－eq\f(7,13)4．(必修第一冊P176T11改編)某次考試時間為120分鐘，則從開始到結束，墻上時鐘的分針旋轉了________弧度.題型一角及其表示例1(1)(2024·寧波模擬)若α是第二象限角，則()A．－α是第一象限角B.eq\f(α,2)是第三象限角C.eq\f(3π,2)＋α是第二象限角D．2α是第三或第四象限角或終邊在y軸非正半軸上eq\f(θ,2)終邊所在位置若θ分別為第一、二、三、四象限角，則eq\f(θ,2)的終邊分別落在區(qū)域一、二、三、四內，如圖所示．典例已知θ為第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)))＝－sineq\f(θ,2)，則角eq\f(θ,2)的終邊在()A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第三象限 D．第四象限(2)(2023·湖州模擬)如圖所示，終邊落在陰影部分的角α的取值集合為______________.思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過集合中的參數(shù)k(k∈Z)賦值來求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后根據(jù)k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在的位置．跟蹤訓練1(1)(2023·臨沂模擬)若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α(2)終邊在直線y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)內的角α構成的集合為_______________________．題型二弧度制及其應用例2(1)已知一扇形的圓心角α＝eq\f(π,3)，半徑R＝10cm，則此扇形的弧長為________cm，面積為________cm2.延伸探究若本例(1)條件不變，求扇形的弧所在弓形的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知扇形AOB的周長為4，當扇形的面積取得最大值時，扇形的弦長AB等于________．跟蹤訓練2(1)(多選)(2023·廣安模擬)已知扇形的周長是6，面積是2，則下列選項可能正確的有()A．圓的半徑為2B．圓的半徑為1C．圓心角的弧度數(shù)是1D．圓心角的弧度數(shù)是2(2)若圓弧長度等于圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C．3D.eq\r(3)題型三三角函數(shù)的概念例3(1)(2023·北京模擬)在平面直角坐標系中，角α以x軸的非負半軸為始邊，終邊與單位圓交于點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(\r(6),3)))，則cos2α等于()A．－eq\f(1,3)B．±eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(1,3)(2)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在跟蹤訓練3(1)已知角α的終邊過點P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(\r(3),2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)(2)(2023·濟寧統(tǒng)考)若cosα·tanα<0，則角α的終邊在()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限

§4.2同角三角函數(shù)基本關系式及誘導公式課標要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.掌握誘導公式，并會簡單應用．知識梳理1．同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系：________________________.(2)商數(shù)關系：________________________.2．三角函數(shù)的誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα余弦cosα正切tanα－tanα口訣奇變偶不變，符號看象限常用結論同角三角函數(shù)的基本關系式的常見變形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)當α為鈍角時，cos(π－α)＝cosα.()(2)若sin(2kπ－α)＝eq\f(3,5)(k∈Z)，則sinα＝eq\f(3,5).()(3)若α，β為銳角，則sin2α＋cos2β＝1.()(4)若α∈R，則tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．()2．(必修第一冊P194練習T2改編)(多選)已知x∈R，則下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinx B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosxC．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx D．cos(x－π)＝－cosx3．(必修第一冊P185T6改編)若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，則tanα等于()A．－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)4．已知cosα＝eq\f(1,5)，－eq\f(π,2)<α<0，則eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tanα＋πcos－αtanα)的值為________.題型一同角三角函數(shù)基本關系式例1(1)(2023·深圳模擬)已知tanα＝－3，則eq\f(sin3α－sinα,cosα)等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)(2)(多選)(2023·天津模擬)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，則()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)跟蹤訓練1(1)已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則cosα－sinα的值為()A.eq\f(1,2)B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)(2)(2023·全國乙卷)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，則sinθ－cosθ＝________.題型二誘導公式例2(1)(2024·安康模擬)若sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)，則cos(π－2α)等于()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(7,25)D．－eq\f(7,25)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))等于()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C．－eq\f(5,13)D．－eq\f(12,13)延伸探究若把本例(2)中條件換為“coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3)”，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))的值為________．思維升華誘導公式的兩個應用(1)求值：負化正，大化小，化到銳角為終了．(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了．跟蹤訓練2(1)化簡：eq\f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)等于()A．－sinθ B．sinθC．cosθ D．－cosθ(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))等于()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)題型三同角三角函數(shù)基本關系式和誘導公式的綜合應用例3(1)已知α為銳角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sinα的值是()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(2\r(7),7)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(1,3)(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－eq\f(1,5)，則eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值為________．跟蹤訓練3(1)(2024·榆林模擬)已知tan(α－π)＝eq\f(1,3)，則eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sinα＋π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))等于()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－3(2)(多選)下列結論中，正確的是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的條件是角α是銳角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，則cosα＝eq\f(1,3)C．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)D．若sinα＋cosα＝1，則sinnα＋cosnα＝1

§4.3兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課標要求1.會推導兩角差的余弦公式.2.會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式.3.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用．知識梳理1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝____________________________________；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝____________________________________；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝____________________________________；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝____________________________________；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝____________________________________；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝____________________________________.2．輔助角公式asinα＋bcosα＝________________________，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).常用結論兩角和與差的公式的常用變形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)．(4)tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq\f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(2)對于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3)))能根據(jù)公式tan(α－β)直接展開求值．()(4)公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值與a，b的值無關．()2．(必修第一冊P220T3改編)計算cos72°cos12°＋sin72°sin12°的結果為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)3．(必修第一冊P220T2改編)若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))等于()A.eq\f(7\r(2),10)B．－eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)4．若將sinx－eq\r(3)cosx寫成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，則φ＝________.題型一兩角和與差的三角函數(shù)公式例1(1)已知tanα＝eq\f(1,7)，tanβ＝eq\f(3,4)，則tan(2α＋β)的值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(4,3)(2)若sin(2α－β)＝eq\f(1,6)，sin(2α＋β)＝eq\f(1,2)，則sin2αcosβ等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)跟蹤訓練1(1)(2023·榆林模擬)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝9，則tanα等于()A.eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)(2)在△ABC中，已知sinA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，則cosC等于()A.eq\f(16,65) B．－eq\f(16,65)C.eq\f(16,65)或eq\f(65,16) D．－eq\f(63,65)題型二兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用與輔助角公式例2(1)(2023·新鄉(xiāng)模擬)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC＝________.(2)已知函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx，設當x＝θ時，f(x)取得最大值，則cosθ＝________.跟蹤訓練2(1)eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),sin80°)＝________.(2)化簡：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝________.題型三角的變換問題例3(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝________.(2)(2023·臨沂模擬)已知eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，0<β<eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13)，則sin(α＋β)＝________.思維升華(1)當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．(2)當“已知角”有一個時，“所求角”一般表示為“已知角”與特殊角的和或差的形式，或者應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．(3)常見的角的變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等．跟蹤訓練3(1)(2024·上饒模擬)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，α為鈍角，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，則tanβ等于()A．1B．－1C．2D．－2(2)已知α為銳角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(5,13)，則cosα的值為________________．

§4.4簡單的三角恒等變換課標要求能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶)．知識梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝____________________________.(2)公式C2α：cos2α＝______________________＝__________________＝________________.(3)公式T2α：tan2α＝________________.2．半角公式(不要求記憶)sin

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))；cos

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))；tan

eq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα)).符號由eq\f(α,2)所在象限決定．常用結論1．二倍角公式的變形公式(1)1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2).(升冪公式)(2)1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(α,2)±cos

\f(α,2)))2.(升冪公式)(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，tan2α＝eq\f(1－cos2α,1＋cos2α).(降冪公式)2．半角正切公式的有理化tan

eq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．()(2)半角的正切公式成立的條件是α≠(2k＋1)π(k∈Z)．()(3)存在角α，使得sin2α＝2sinα成立．()(4)sin2eq\f(π,12)－cos2eq\f(π,12)＝eq\f(\r(3),2).()2．(必修第一冊P226T2改編)cos15°等于()A.eq\r(\f(1＋cos30°,2)) B.eq\r(\f(1－cos30°,2))C．±eq\r(\f(1＋cos30°,2)) D．±eq\r(\f(1－cos30°,2))3．若角α滿足sinα＋2cosα＝0，則tan2α等于()A．－eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)4．(必修第一冊P223T2改編)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＝－eq\f(\r(7),4)，則cos2θ的值為________.題型一三角函數(shù)式的化簡例1(1)eq\r(1－sin40°)＋eq\r(\f(1－cos40°,2))的化簡結果為()A．－sin20° B．－cos20°C．cos20° D．sin20°(2)化簡：cos20°cos40°cos80°＝__________.積化和差、和差化積公式在三角函數(shù)的化簡、求值中，有時可以用和差化積、積化和差公式，把非特殊角轉化為特殊角進行計算．典例化簡下列各式．(1)sin54°－sin18°＝__________；(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝________________________.思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結構與特征．(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點．跟蹤訓練1(1)(2023·成都聯(lián)考)已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，eq\f(16,3)cos2eq\f(θ,2)＝1＋cos2θ，則tanθ等于()A．－eq\f(\r(5),3)B．－eq\f(\r(5),2)C．－eq\f(3\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)(2)已知0<θ<π，則eq\f(1＋sinθ＋cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin

\f(θ,2)－cos

\f(θ,2))),\r(2＋2cosθ))＝________.題型二三角函數(shù)式的求值命題點1給角求值例2(2024·保定模擬)黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的等腰三角形．已知在頂角為36°的黃金三角形中，36°角對應邊與72°角對應邊的比值為eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這個值被稱為黃金比例．若t＝eq\f(\r(5)－1,2)，則eq\f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))等于()A.eq\f(\r(5)＋1,4) B.eq\f(\r(5)－1,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)命題點2給值求值例3(2023·濟寧模擬)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,6)))等于()A．－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C．－eq\f(1,3)D.eq\f(1,3)命題點3給值求角例4已知α，β均為銳角，cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14)，則cos2α＝________，2α－β＝________.跟蹤訓練2(1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,10)))＝－eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3π,10)))＝________.(2)(2023·青島統(tǒng)考)已知α為銳角，1＋eq\f(\r(3),tan80°)＝eq\f(1,sinα)，則α＝__________.題型三三角恒等變換的綜合應用例5(2023·廣州模擬)若α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且(1－cos2α)(1＋sinβ)＝sin2αcosβ，則下列結論正確的是()A．2α＋β＝eq\f(5π,2) B．2α－β＝eq\f(3π,4)C．α＋β＝eq\f(7π,4) D．α－β＝eq\f(π,2)跟蹤訓練3(2024·哈爾濱模擬)已知eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,3)，若a＝eq\f(tanθ,tan2θ＋1)，b＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)cos2θ，c＝eq\f(1,cosθ)－cosθ，則a，b，c的大小關系是()A．c>a>b B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c

§4.5三角函數(shù)的圖象與性質課標要求1.能畫出三角函數(shù)的圖象.2.了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質及正切函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性質．知識梳理1．用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，____________，____________，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，____________，____________，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RR值域周期性奇偶性奇函數(shù)單調遞增區(qū)間單調遞減區(qū)間對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對稱軸方程常用結論1．對稱性與周期性(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是eq\f(1,2)個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是eq\f(1,2)個周期．2．與三角函數(shù)的奇偶性相關的結論(1)若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則φ＝kπ(k∈Z)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]，y＝cosx，x∈[0,2π]的五個關鍵點是零點和極值點．()(2)函數(shù)y＝sinx圖象的對稱軸方程為x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．()(3)若f(2x＋T)＝f(2x)，則T是函數(shù)f(2x)的周期．()(4)函數(shù)y＝tanx在整個定義域上是增函數(shù)．()2．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列結論正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB．函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調遞增C．函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝0對稱D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)3．函數(shù)f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))圖象的對稱中心的坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，0))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,6)，0))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,4)＋\f(π,6)，0))，k∈Z4．(必修第一冊P213T4改編)函數(shù)y＝3－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的最大值為____________，此時x＝____________________.題型一三角函數(shù)的定義域和值域例1(1)函數(shù)y＝eq\r(cosx－\f(\r(3),2))的定義域為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)D．R(2)如果函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)＋a在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,6)))上的最小值為eq\r(3)，則a的值為()A.eq\f(\r(3)＋1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2＋\r(3),2) D.eq\f(\r(3)－1,2)思維升華三角函數(shù)值域的不同求法(1)把所給的三角函數(shù)式變換成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．(2)把sinx或cosx看作一個整體，轉換成二次函數(shù)求值域．(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的關系轉換成二次函數(shù)求值域．跟蹤訓練1(1)函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3π,4)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(3π,4)＋kπ，k∈Z))))(2)函數(shù)f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最大值為()A．4B．5C．6D．7題型二三角函數(shù)的周期性、對稱性與奇偶性例2(1)(多選)(2023·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinx(sinx－cosx)，則下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)的最小正周期為πB．點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0))是y＝f(x)圖象的對稱中心C．點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(1,2)))是y＝f(x)圖象的對稱中心D．直線x＝eq\f(5π,8)是y＝f(x)圖象的對稱軸(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)＋φ))是奇函數(shù)，且φ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則φ的值為________．跟蹤訓練2(1)(多選)下列函數(shù)中，最小正周期為π的是()A．y＝cos|2x| B．y＝|cosx|C．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))(2)(2023·日照模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的最小正周期為π，其圖象關于直線x＝eq\f(π,6)對稱，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝________.題型三三角函數(shù)的單調性命題點1求三角函數(shù)的單調區(qū)間例3(1)(2022·北京)已知函數(shù)f(x)＝cos2x－sin2x，則()A．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上單調遞減B．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上單調遞增C．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調遞減D．f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上單調遞增(2)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))的單調遞減區(qū)間為________________________．延伸探究若例3(2)中的函數(shù)不變，求其在[0，π]上的單調遞減區(qū)間．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2根據(jù)單調性求參數(shù)例4已知f(x)＝sin(2x－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調遞增，且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,8)))上有最小值，那么φ的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))跟蹤訓練3(1)設函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))，則f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的單調遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,8))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(π,2)))(2)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上單調遞減，則a的最大值是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D．π

§4.6函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)課標要求1.結合具體實例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.2.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型．知識梳理1．簡諧運動的有關概念已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝____f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ2.用“五點法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一個周期內的簡圖時，要找五個特殊點ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(0－φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑常用結論函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k的圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A.()(2)將函數(shù)y＝3sin2x的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度后所得圖象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).()(3)把y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，所得圖象的函數(shù)解析式為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12))).()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為eq\f(T,2).()2．(必修第一冊P254T10改編)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的振幅、頻率和初相分別為()A．2,4π，eq\f(π,3) B．2，eq\f(1,4π)，eq\f(π,3)C．2，eq\f(1,4π)，－eq\f(π,3) D．2,4π，－eq\f(π,3)3．某港口在一天24小時內的潮水的高度近似滿足關系式f(t)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)t－\f(π,6)))，其中f(t)的單位為m，t的單位是h，則12點時潮水的高度是________m.4．(必修第一冊P241T5改編)將函數(shù)f(x)＝sinx圖象上每一點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，再向右平移eq\f(π,6)個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)＝_____________________.題型一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換例1(1)(2023·淄博模擬)函數(shù)f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為eq\f(π,3)，得到函數(shù)g(x)＝Acosωx的圖象，只需將f(x)的圖象()A．向左平移eq\f(π,12)個單位長度B．向右平移eq\f(π,12)個單位長度C．向左平移eq\f(π,18)個單位長度D．向右平移eq\f(π,18)個單位長度(2)(2022·全國甲卷)將函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則ω的最小值是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)跟蹤訓練1(1)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，為了得到曲線C2，則對曲線C1的變換正確的是()A．先把橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,6)個單位長度B．先把橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,6)個單位長度C．先把橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)(縱坐標不變)，再把得到的曲線向右平移eq\f(π,12)個單位長度D．先把橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)(縱坐標不變)，再把得到的曲線向左平移eq\f(π,12)個單位長度(2)若函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的圖象向右平移eq\f(2π,3)個單位長度后與原圖象重合，則正數(shù)ω不可能是()A．2B．3C．6D．9題型二由圖象確定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)(多選)(2024·邢臺模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0,0<φ<π)在一個周期內的圖象如圖所示，則()A．A＝4 B．ω＝2C．φ＝eq\f(π,3) D．k＝1(2)如圖所示為函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，\f(π,2)≤φ≤π))的部分圖象，其中|AB|＝5，則此函數(shù)的解析式為________________________________________________________________.思維升華確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步驟和方法(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.確定函數(shù)的最小正周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用方法如下：①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入．②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．跟蹤訓練2(1)設函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]上的圖象大致如圖，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)x＋\f(π,6)))B．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,6)))C．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x－\f(π,6)))D．f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x＋\f(π,6)))(2)(2023·新高考全國Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝eq\f(1,2)與曲線y＝f(x)的兩個交點，若|AB|＝eq\f(π,6)，則f(π)＝________.題型三三角函數(shù)圖象、性質的綜合應用例3(1)(多選)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1)，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2)．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖3中點P0)開始計時，則下列結論正確的是()A．點P再次進入水中時用時30秒B．當水輪轉動50秒時，點P處于最低點C．當水輪轉動150秒時，點P距離水面2米D．點P第二次到達距水面(1＋eq\r(3))米時用時25秒(2)(2023·全國甲卷)函數(shù)y＝f(x)的圖象由函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得到，則y＝f(x)的圖象與直線y＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)的交點個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4跟蹤訓練3(1)某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測部門統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的生豬收購價格每四個月會重復出現(xiàn)．如表所示是今年前四個月的統(tǒng)計情況．月份x1234收購價格y/(元/斤)6765選用一個正弦型函數(shù)來近似描述收購價格(單位：元/斤)與相應月份之間的函數(shù)關系為__________________．(2)已知關于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是____________________．

§4.7三角函數(shù)中有關ω的范圍問題重點解讀在三角函數(shù)的圖象與性質中，ω的求解是近幾年高考的一個熱點內容，但因其求法復雜，涉及的知識點多，歷來是我們復習中的難點．題型一三角函數(shù)的單調性與ω的關系例1已知ω>0，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)cosωx－eq\f(\r(3),2)sin(π－ωx)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調遞增，則ω的取值范圍是()A．[2,6] B．(2,6)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))跟蹤訓練1(2023·宜昌模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝3，f(π)＝0，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上單調遞減，那么ω的取值共有()A．2個B．3個C．4個D．5個題型二三角函數(shù)的對稱性與ω的關系例2(2023·杭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝cosωx－eq\r(3)sinωx(ω>0)，若f(x)在區(qū)間(0,2π)上有且僅有2個極值點，則ω的取值范圍是____________________________．思維升華三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為eq\f(T,2)，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為eq\f(T,4)，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期性，解決問題的關鍵在于運用整體代換的思想，建立關于ω的不等式組，進而可以研究“ω”的取值范圍．跟蹤訓練2(2024·大慶模擬)若函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上僅有一條對稱軸及一個對稱中心，則ω的取值范圍為()A．(5,8)B．(5,8]C．(5,11]D．[5,11)題型三三角函數(shù)的最值與ω的關系例3已知函數(shù)f(x)＝2sinωx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值為－2，則ω的取值范圍是____________________________．跟蹤訓練3為了使函數(shù)y＝sinωx(ω>0)在區(qū)間[0,1]上至少出現(xiàn)50次最大值，則ω的最小值為()A．98πB.eq\f(197π,2)C.eq\f(199π,2)D．100π題型四三角函數(shù)的零點與ω的關系例4(2023·開封統(tǒng)考)若函數(shù)g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,3)))在區(qū)間[0，π)內有5個零點，則ω的取值范圍是()A.eq\f(23,12)≤ω<eq\f(29,12) B.eq\f(23,12)<ω≤eq\f(29,12)C.eq\f(29,12)≤ω<eq\f(35,12) D.eq\f(29,12)<ω≤eq\f(35,12)跟蹤訓練4(2024·株洲模擬)已知f(x)＝sinωx(ω∈N*)，若在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上存在兩個不相等的實數(shù)a，b，滿足f(a)＋f(b)＝2，則ω可以為________．(填一個值即可)

§4.8正弦定理、余弦定理課標要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容eq\f(a,sinA)＝_____________________＝_________________________＝2Ra2＝___________；b2＝___________；c2＝___________變形(1)a＝2RsinA，b＝________________，c＝___________________________；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝____________，sinC＝______________________；(3)a∶b∶c＝_____________________cosA＝______________；cosB＝______________；cosC＝________________2.三角形解的判斷A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝__________＝__________＝__________；(3)S＝____________(r為三角形的內切圓半徑)．常用結論在△ABC中，常有以下結論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sinA>sinB，cosA<cosB.(4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin

eq\f(A＋B,2)＝cos

eq\f(C,2)；cos

eq\f(A＋B,2)＝sin

eq\f(C,2).(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(6)三角形中的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)a＋b＋c)).自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應的三個內角的余弦值之比．()(2)在△ABC中，若sinA>sinB，則a>b.()(3)在△ABC的六個元素中，已知任意三個元素可求其他元素．()(4)當b2＋c2－a2>0時，△ABC為銳角三角形．()2．(必修第二冊P44T2改編)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)3．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，已知b＝40，c＝20，C＝60°，則此三角形的解的情況是()A．有一解B．有兩解C．無解D．有解但解的個數(shù)不確定4．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為eq\r(3)，B＝60°，a2＋c2＝3ac，則b＝________________________________________________________________________.題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(1)(2023·榆林模擬)△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若asinA＋(b＋λa)sinB＝csinC，則λ的取值范圍為()A．(－2,2) B．(0,2)C．[－2,2] D．[0,2](2)(2024·蘭州模擬)用長度為1,4,8,9的4根細木棒圍成一個三角形(允許連接，不允許折斷)，則其中某個三角形外接圓的直徑可以是__________(寫出一個答案即可)．跟蹤訓練1(1)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，a＝1，c＝eq\f(\r(6),2)，A＝45°，則C等于()A．30°B．60°C．120°D．60°或120°(2)已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bsin2A＝asinB，且c＝2b，則eq\f(a,b)等于()A．2B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)題型二正弦定理、余弦定理的簡單應用命題點1三角形的形狀判斷例2(2023·臨沂模擬)在△ABC中，已知eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(b＋c,a)且滿足條件①a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)；②bcosA＋acosB＝csinC中的一個，試判斷△ABC的形狀，并寫出推理過程．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀．此時要注意應用A＋B＋C＝π這個結論．命題點2三角形的面積例3(10分)(2023·新高考全國Ⅰ)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；[切入點：由A，B，C關系求角C及代換sinB](2)設AB＝5，求AB邊上的高．[關鍵點：由A，B，C關系求sinB][思路分析](1)由A，B，C關系求角C→B＝π－(A＋C)代入化簡→tanA→sinA(2)由角C，sinA→sinB→AC→等面積法求高解(1)eq\x(\a\vs4\al\co1(∵A＋B＝3C，,∴π－C＝3C，,即C＝\f(π,4)，))(1分)①處由A，B，C關系求角C又2sin(A－C)＝eq\x(sinB＝sinA＋C，)(2分)②處由B與A，C關系代換sinB∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinA＝3cosA，③處兩角和差公式化簡即tanA＝3，(4分)∴0<A<eq\f(π,2)，∴sinA＝eq\f(3,\r(10))＝eq\f(3\r(10),10).(5分)④處由正切求正弦(2)由(1)知，cosA＝eq\f(1,\r(10))＝eq\f(\r(10),10)，eq\x(\a\vs4\al\co1(由sinB＝sin(A＋C),＝sinAcosC＋cosAsinC,＝\f(\r(2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),10)＋\f(\r(10),10)))＝\f(2\r(5),5)，))(7分)⑤處由B與A，C關系求sinB由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，AC＝eq\f(5×\f(2\r(5),5),\f(\r(2),2))＝2eq\r(10)，可得(8分)⑥處正弦定理求AC∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA，⑦處等面積法求高∴h＝AC·sinA＝2eq\r(10)×eq\f(3\r(10),10)＝6.(10分)思維升華三角形面積公式的應用原則(1)對于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式．(2)與面積有關的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉化．命題點3與平面幾何有關的問題例4(2023·梅州模擬)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2a＋b＝2ccosB.(1)求角C；(2)若CD是角C的平分線，AD＝2eq\r(7)，DB＝eq\r(7)，求CD的長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華在平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設計等問題時，通常是轉化到三角形中，利用正、