第四單元桿件的軸向拉伸與壓縮2025【知識和能力目標】理解和掌握強度、剛度、穩定性、內力、應力、許用應力、應力集中等基本概念。掌握構件承受軸向拉伸與壓縮、剪切與擠壓、圓軸扭轉、平面彎曲四種基本變形的特點。了解構件承受四種基本變形的強度計算。初步具有分析工程構件承載的能力。【素質目標】培養學生嚴謹認真、堅韌不拔的優秀品質。培養學生謙虛謹慎、艱苦奮斗的精神。【學習重點和難點】截面法求解內力。四種基本變形的受力和變形特點，根據構件實際承載識別變形類型。四種基本變形的強度計算。案例導入工程和生活中會遇到各種各樣的結構和機械，不管其結構多么復雜，它們都是由一個個構件組合而成的。任何構件在載荷作用下，其尺寸和形狀都會發生變化，當載荷增加到一定程度時會發生變形甚至破壞。識別工程構件在載荷作用下發生的變形和破壞形式，對了解工程構件承載能力的分析起著至關重要的作用。

圖4-1汽車構件的變形分析借助圖4-1所示的眾所周知的小轎車，簡單了解它在行駛過程中，其主要構件會產生何種變形。小轎車主要由發動機、變速器及傳動系統等組成，這些組成部件又由許多構件組成，這些構件在載荷作用下會發生拉伸或壓縮變形、扭轉和彎曲變形、剪切與擠壓變形等變形。本單元將借助大量的工程或生活案例，使我們學會分析和識別工程構件在承受不同載荷下發生的變形和破壞類型，并了解采用何種方法可保證工程構件在實際工作過程中具有足夠的承載能力。1、

軸向拉伸與壓縮的概念與實例

工程實際中，有很多發生軸向拉伸和壓縮變形的桿件，如聯接鋼板的螺栓（見圖4.1(a)），在鋼板反力作用下，沿其軸向發生伸長（見圖4.1(b)），稱為軸向拉伸；托架的撐桿CD（見圖4.2(a)）在外力的作用下，沿其軸向發生縮短（見圖4.2(b)），稱為軸向壓縮。產生軸向拉伸（或壓縮）變形的桿，簡稱為拉（壓）桿。圖4.14.2(a)014.2軸力與軸力圖4.2.1內力與截面法

(1)內力。構件在外力（主動力和約束反力）作用下產生變形，材料內部各部分之間的相對位置發生了改變，其相互作用力也發生了改變。這種由外力引起的材料內部各部分之間相互作用力的改變量，稱為內力，也稱為附加內力。這種內力隨外力的增加而增大，到達某一限度時，桿件就會被破壞，因而它與桿件的承載能力密切相關。內力分析是材料力學的基礎。(2)截面法。與理論力學中計算物系內力的方法相仿，用假想的截面將桿件截為兩部分，任取桿件的一部分為研究對象，利用靜力平衡方程求內力的方法稱為截面法。二、軸力與軸力圖為了對拉（壓）桿進行強度計算，首先分析其內力。設拉桿在外力F１、F２、F3的作用下處于平衡（圖4.3(a)）。運用截面法，將桿件沿任一截面m-m假想分為兩段（圖4.3b)、(c)）。因拉（壓）桿的外力均沿桿軸線方向，由其共線力系平衡條件可知，其任一截面內力FN的作用線也必通過桿軸線，這種內力稱為軸力。常用符號FN表示。圖4.3

軸力FN的大小由平衡條件確定，取左段為研究對象，則∑Fx=0 FN-F1+F2=0得若取右段為研究對象，則得由整體平衡∑Fx=0 F2+F3-F1=0得F3=F1-F2

故FN′=F1-F2,顯然有FN=FN′=Ｆ1-F2。

由上面的計算可知：任一截面上的軸力，等于截面一側桿上所有外力的代數和。即FN=截面一側所有外力的代數和

為保證無論取左段還是右段作研究對象，所求得的同一橫截面上軸力正負號一致，對軸力的正負號規定如下：軸力的方向與所在橫截面的外法線方向一致時，軸力為正；反之為負。即桿受拉時軸力為正，受壓時為負。對應于上述軸力正負號的規定，可得出由外力直接計算拉（壓）桿某截面上軸力的外力符號規定。即產生拉伸（或背離研究截面）的外力為正，產生壓縮（或指向研究截面）的外力為負，假設式中FN為正方向。

當桿受到多于兩個的軸向外力作用時，在桿不同位置的橫截面上的軸力往往不同。軸力FN將是橫截面位置坐標x的函數，即FN=FN(x)。用平行于桿軸線的x坐標表示桿各橫截面的位置，垂直于桿軸線的FN表示相應截面上的軸力，這樣繪出軸力沿桿軸線變化的函數圖像，稱為軸力圖。【例4.1】設階梯桿自重不計（圖4.4(a)），受外力如圖所示，試畫出其軸力圖。圖4.4

解（1）求約束反力。取階梯桿為研究對象，并畫出受力圖（圖4.4(b)），由平衡方程得∑Fx=03P-P-ＲA=0即RA=2P

（2）分段。以外力作用點為分段點，將桿分為AB與DB兩段。

（3）求AB與DB段各橫截面的軸力。

AB段:

取任一截面m-m左段為研究對象，如圖4.4(c)所示，由平衡條件得BD段:

取任一截面n-n的右段為研究對象，如圖4.4(d)所示，由平衡條件得上式中的負號說明，FN2的方向與原假設方向相反。由軸力符號規定可知，FN2為壓力符號,為負。（4）作軸力圖，根據所求得軸力值，畫軸力圖，如圖所示:|FNmax|=2P

4.3軸向拉（壓）時橫截面上的應力4.3.1應力的概念確定了桿的內力后，還不能解決桿件的強度問題。經驗告訴我們，材料相同，直徑不等的兩根直桿，在相同的拉力P作用下，內力相等。當力P增大時，直徑小的桿必先斷，這是由于內力僅代表內力系的總和，而不能表明截面上各點受力的強弱程度，直徑小的桿因截面積小，截面上各點受力大，因此先斷。所以，需引入表示截面上某點受力強弱程度的量——應力，作為判斷桿件強度是否足夠的量。

為了研究桿件截面a-a上任一點k的應力，如圖4.5(a)所示，圍繞點k取一微面積

稱為ΔA上的平均應力。一般情況下，內力在截面上分布并不均勻，平均應力Pm的值隨ΔA的大小而改變。只有當ΔA→0時，Pm的極限值P方能代表k點受力強弱程度。故截面a-a上k點的應力為圖4.5

應力P是矢量，通常將其分解為垂直于截面的分量σ和與截面相切的分量τ（圖4.5(b)）。σ稱為正應力，τ稱為切應力。應力的國際單位是Pa，1Pa=1N/m2，常用單位為MPa和Gpa，1Mpa=106Pa，1Gpa=109Pa。4.3.2軸向拉（壓）時橫截面上的應力

欲求橫截面上的應力，必須知道內力系在橫截面上的分布規律。而力與變形有關，因此我們通過對桿進行軸向拉（壓）實驗，來觀察和分析桿的變形。取一等截面直桿，在桿表面畫兩條橫截面的邊界線（ab和cd）和許多與桿軸線平行的縱向線（圖4.6(a)）。然后在兩端沿軸線施加拉力F，使桿件產生拉伸變形（圖4.6(b)），可發現：①橫向線ab和cd仍為直線，只是沿軸線發生了平移，ab和cd分別移至a′b′、c′d′，但仍垂直于桿軸線；②各縱向線發生伸長，且伸長量相同。圖4.6

根據上述現象可作如下假設：橫截面變形前為平面，變形后仍為平面，僅沿軸向發生了平移，此假設稱為平面假設。根據平面假設，任意兩橫截面間的各縱向纖維的伸長相同，即變形相同。由此可知：它們受力也應相等，內力在橫截面上均勻分布。即橫截面上各點處的應力大小相等，方向沿桿軸線，垂直于橫截面，故為正應力。如圖4.6(c)所示，計算公式為(4.1)式中，FN為橫截面上的軸力，A為橫截面面積。正應力的正負號規定與軸力相同，即拉應力為正，壓應力為負。

【例4.2】圖4.7所示插銷拉桿，插銷孔處橫截面尺寸b=50mm，h=20mm，H=60mm，

F=80kN，試求拉桿的最大應力。圖4.7解

(1）計算軸力。由截面法可求得桿內各橫截面的軸力為FN=F=80kN(2）計算最大應力。由于整個桿件軸力相同，面積小的橫截面應力最大，即正號表示最大應力為拉應力。4.4軸向拉（壓）時的變形4.4.1縱向線應變與橫向線應變如圖4.8所示，設l、d為等直桿變形前的長度與直徑，l1、d1為直桿變形后的長度和直徑，則縱向變形：Δl=l1-l (a)橫向變形：Δd=d1-d (b)Δl與Δd稱為絕對變形，即總的變形量。拉伸時Δl>0，Δd<0；壓縮時Δl<0，Δd>0。圖4.8

為了消除桿件原尺寸對變形大小的影響，用單位長度內桿的變形量，即線應變來衡量桿件的變形程度。與上述兩種絕對變形相對應的縱向線應變ε和橫向線應變ε′為(c)(d)

線應變表示的是桿件的相對變形，是一個量綱為一的量。由式（c）、（d）可知：拉伸時ε>0，ε′<0;壓縮時則相反，ε<0，ε′>0。總之，ε與ε′符號相反。4.4.2泊松比實驗表明：當應力未超過某一限度時，橫向線應變ε′與縱向線應變ε之間存在正比關系，且符號相反，即ε′=-με（4.2）式中，比例常數μ稱為泊松系數或泊松比，其值與材料有關。4.4.3胡克定律英國科學家胡克通過實驗，發表了力與變形的關系：當桿橫截面上的正應力不超過某一限度時，桿的絕對變形Δl與軸力FN、桿長l成正比，與桿的橫截面積A成反比，即引入比例系數E，則（4.3）

式（4.3）稱為胡克定律。式中系數E稱為彈性模量，單位為GPa，其值隨材料不同而異。當FN、l和A的值一定時，E值愈大，則Δl愈小，說明E的大小表示材料抵抗拉（壓）彈性變形的能力，是材料的剛度指標。FN

、l一定時，EA值愈大，Δl愈小，說明EA表示桿件抗拉、壓變形能力的大小，稱為桿的抗拉（壓）剛度。式(4.3)可改寫為即或（4.4）式(4.4)是胡克定律的又一表達形式。它表明當應力未超過某一限度時，應力與應變成正比。

應用胡克定律時應注意：（1）桿的應力未超過某一極限。（2）ε是沿應力σ方向的線應變。（3）在長度l內，其FN、E、A均為常數。

E與μ都是表示材料彈性的常量，可由實驗測得。幾種常用材料的E和μ值可參閱表4.1。表4.1幾種常用材料的E、μ值【例4.3】求如圖4.9(a)所示桿的總變形量。已知桿各段橫截面面積為ACD=200mm2，ABC=AAB=500mm2，E=200GPa。圖4.9

解（1）作軸力圖。用截面法求得AB段軸力FNAB=20kN，BC段和CD段軸力 。畫軸力圖，如圖4.9(b)所示。

（2）計算桿的總變形Δl。由胡克定律可知，應先分別計算AB段、BC段、CD段的變形，再求桿的總變形。桿的總變形為Δl=ΔlAB+ΔlBC+ΔlCD

=2×10-5+(-1)×105+(-2.5)×10-5

=-15×１０-6m=-0.015mm負號表示桿的總變形為壓縮變形，桿件縮短0.015mm。4.5金屬材料在拉伸與壓縮時的力學性能4.5.1拉伸試驗和應力-應變曲線拉伸試驗是確定材料力學性能的基本試驗。國家標準GB228-87規定，常用圓截面拉伸標準試件如圖4.10所示，其中l為試件工作長度，稱為標距，標距l與直徑d之比常取l/d=10。圖4.10圖4.114.5.2低碳鋼拉伸時的力學性能1.彈性階段（OA段和AA′段）

σ－ε曲線的OA段為一直線，說明該段內應力和應變成正比，即滿足胡克定律σ=Eε。直線OA最高點A點對應的應力值為σP，稱為材料的比例極限。低碳鋼的比例極限σP=190～200MPa。圖中傾角α的正切tanα=σ/ε=E，即為直線OA的斜率，數值上等于材料的彈性模量E。

當應力超過比例極限后，圖中AA′段已不是直線，此時材料不符合胡克定律，但只發生彈性變形。若應力值超過A′點所對應的應力值σe，則出現塑性變形。因此，σe是材料產生彈性變形的最大應力值，稱為材料的彈性極限，實際上A′與A兩點非常接近，故工程上對兩者不作嚴格的區分。試件的應力從零增加到彈性極限σe的過程中，試件只產生彈性變形，故稱為彈性階段。

2.屈服階段

當應力超過σe后，σ－ε曲線上將出現一段沿水平線上、下波動的鋸齒形線段BC，說明應力雖有小的波動，但基本保持不變，而應變增加，材料好像失去了抵抗變形的能力。這種應力基本保持不變，而應變顯著增加的現象稱為材料的屈服。BC段所對應的過程稱為屈服階段。屈服階段的最低應力值σs稱為材料的屈服極限。低碳鋼的σs=220～240MPa。在屈服階段，光滑試件的表面將出現與其軸線成45°的條紋，如圖4.12(a)所示，稱為滑移線。表明沿最大切應力面（45°斜截面），材料晶粒間發生相對滑移，產生了塑性變形。工程上不允許過大的塑性變形，所以屈服極限σs是衡量材料強度的重要指標。圖4.12

3.強化階段

屈服階段之后，圖4.11(b)中出現向上凸的曲線CD，這表明若要試件繼續變形，必須增加應力，使材料又恢復了抵抗變形的能力。該現象稱為材料的強化。CD段對應的過程為材料的強化階段。曲線最高點D所對應的應力值稱為強度極限，以σb表示。它是材料能承受的最大應力。強度極限是衡量材料強度的另一重要指標。低碳鋼的σb=370～460MPa。

4.頸縮階段

當材料達到強度極限后，在試件較薄弱的橫截面處發生急劇的局部收縮，出現頸縮現象，如圖4.12(b)所示。由于在頸縮部分橫截面面積急劇減小，試件所受拉力F逐漸降低，隨后試件被拉斷。這一階段為頸縮階段，即σ－ε曲線上的DE段。

5.延伸率和斷面收縮率

試件拉斷后，彈性變形消失，殘留下的是塑性變形。試件的長由原始長度l變為l1，用百分比表示的比值稱為延伸率，即（4.5）

斷口截面積由A變為A1，試件斷口處橫截面面積的相對變化率為將其稱為斷面收縮率。延伸率δ、斷面收縮率ψ都是衡量材料塑性性能的指標。工程上，以δ>5%的材料稱為塑性材料，如鋼、銅、鋁等；δ<5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、玻璃等。低碳鋼的δ>20%～30%，ψ>60%～70%，故低碳鋼是很好的塑性材料。（4.6）

6.冷作硬化

如果把試件拉伸到強化階段后某點，然后逐漸卸載至零。此時，應力和應變關系將沿斜直線FG回到G點，如圖4.13所示。斜直線FG近似平行于OA，說明卸載過程中，應力和應變仍保持直線關系，且彈性模量近似與加載時相同。其中GH為消失的彈性應變，OG代表塑性應變。卸載后，如在短期內再加載，則應力和應變關系將沿著卸載時的直線GF上升到F點，以后沿原σ－ε曲線變化，直至拉斷。由此可知，卸載后再加載，材料的比例極限σP有所提高，但塑性下降，這一現象稱為材料的冷作硬化。圖4.134.5.3其他材料拉伸時的力學性能圖4.142.脆性材料圖4.15

鑄鐵的延伸率δ通常只有0.5%～0.6%，是典型的脆性材料。強度極限是脆性材料惟一的強度指標。圖4.164.5.4材料壓縮時的力學性能金屬材料的壓縮試件一般做成短圓柱體，高度l為直徑d的1.5～3倍，以防止試件被壓彎。低碳鋼壓縮時的σ－ε曲線如圖4.17所示，與其拉伸時的σ－ε曲線（以虛線表示）相比，在彈性階段和屈服階段，兩曲線是基本重合的。這說明壓縮時的比例極限σP、彈性極限σe、彈性模量E以及屈服極限σs與拉伸時基本相同。屈服階段后，試件會越壓越扁，橫截面面積不斷增大，因此，一般無法測出強度極限。對塑性材料一般不作壓縮試驗。圖4.17

鑄鐵壓縮時的σ－ε曲線，如圖4.18所示，與拉伸時的σ－ε曲線（虛線）相比，壓縮時的σ－ε曲線也無明顯直線部分和屈服階段。說明壓縮時在應力很小的條件下也是近似符合胡克定律的，且不存在屈服極限。其壓縮強度極限比拉伸時要高出4～5倍，塑性變形比拉伸時明顯增加。此外，其破壞斷面與軸線大致成45°傾角。其他脆性材料如硅石、水泥等，其抗壓能力也顯著高于抗拉能力，因此工程上常用脆性材料作承壓構件。圖4.18表4.2幾種材料的力學性能4.6軸向拉（壓）時的強度計算4.6.1極限應力、許用應力材料破壞時的應力稱為極限應力，用σ0表示。對于塑性材料，當應力達到屈服極限σs（或σ0.2）時，構件已產生明顯的塑性變形，影響其正常工作，一般認為構件已被破壞。因而把屈服極限σs

（或σ0.2

）作為塑性材料的極限應力。對于脆性材料，斷裂是脆性材料破壞的惟一標志，因此，強度極限σb是脆性材料的極限應力，即塑性材料:σ0=σs

（σ0.2）脆性材料:σ0=σb

由于工程構件的受載難以精確估計，以及材質的不均勻性、計算方法的近似性和腐蝕與磨損等諸多因素的影響，為了保證構件能安全可靠的工作，因此需有一定的強度儲備，應將極限應力除以大于1的安全系數n，作為材料的許用應力［σ］。各種不同工作條件下構件的安全系數n的選取，可從有關工程手冊和設計規范中查找。對于塑性材料，一般取n=1.2～1.3，對于脆性材料,一般取n=2.0～3.5。4.6.2軸向拉（壓）時的強度計算為了保證拉壓桿具有足夠的強度，必須使桿的最大工作應力小于或等于材料在拉伸（壓縮）時的許用應力［σ］，即（4.7）該式稱為拉（壓）桿的強度條件，σmax所在的截面稱為危險截面，式中FN、A分別為危險截面的軸力和橫截面面積。

根據強度條件，可解決下列三種強度計算的問題：

(1)強度校核。已知桿件的材料、尺寸及所受載荷，根據式(4.7)檢查桿件的強度是否足夠，若式(4.7)成立，則強度足夠，否則強度不夠。

(2)設計截面尺寸。已知所受載荷，材料的許用應力，由式A≥ＦN/［σ］，確定截面尺寸。

(3)確定許可載荷。已知桿件的截面尺寸和材料的許用應力，由FN≤A［σ］，確定桿件所能承受的最大軸力，再根據靜力學關系，確定結構所能承受的載荷。在強度校核計算中，可能出現最大應力稍大于許用應力的情形，設計規范規定，只要不超過5%，是允許的。【例4.4】起重吊鉤如圖4.19所示，吊鉤螺栓螺紋內徑d=55mm，外徑D=63.5mm。材料的許用應力［σ］=80MPa，載荷F=170kN，試校核吊鉤螺紋部分的強度。解（1）吊鉤螺紋部分所受內力為FN=170kN。（2）由于螺紋部分的軸力相同，因此橫截面積最小的截面為危險截面。螺紋內徑截面積最小，即（3）校核吊鉤螺紋部分的強度。所以強度足夠。【例4.5】氣動夾具如圖4.20(a)所示。已知氣缸內徑D=140mm，缸內氣壓P=0.6MPa,活塞桿材料為20鋼，［σ］=80MPa，試設計活塞桿直徑d。

解活塞桿左端承受活塞上氣體的壓力，右端承受工件的阻力，所以活塞桿受到軸向拉伸，如圖4.20(b)所示。拉力F的值可由氣體壓強乘活塞的受壓面積求得。在尚未確定活塞桿的橫截面面積之前，當計算活塞的受壓面積時，可暫將活塞桿橫截面面積略去不計。故有活塞桿的軸力為FN=F=9.24kN

由式求得d≥12.2mm，可取活塞桿的直徑為13mm。【例4.6】如圖4.21所示，AB與BC桿材料的許用應力分別為［σ1］=100MPa，［σ2］=160MPa，兩桿截面面積均為A=2cm2。求許可載荷［P］。圖4.21解（1）由平衡條件確定各桿內力。∑Ｆx=0FABcos45°+FBCcos30°-P=0∑Fy=0-FABsin45°+FBCsin30°=0FN1=FAB=0.518P

FN2=FBC=0.732P（2）求各桿的許可內力［FN1］和［FN2

］。由強度條件得：（3）根據各桿內力與載荷之間的關系，確定許可載荷。

AB桿：即0.518［P］≤20kN,［P］≤38.6kN。BC桿：即0.732［P］≤32kN,［P］≤43.7kN。故結構許可載荷為［P］=38.6kN思考與練習4.1區別下列概念:(1）內力與應力；(2）絕對變形與線應變；(3）彈性變形與塑性變形；(4）極限應力、許用應力和工作應力。4.2判斷練習4.2圖所示構件中哪些屬于軸向拉伸或軸向壓縮。練習4.2圖4.3什么是截面法？如何用截面法求內力？

4.4如練習4.4圖所示，C、D兩桿的材料、長度均相同。C桿為等截面桿，D桿為階梯桿，承受相同的軸向載荷P。試問：（1）兩桿的絕對變形Δl和線應變ε是否相等？（2）兩桿各段橫截面上的應力是否相等？練習4.4圖4.5三種試件的尺寸相同，但材料不同，其σ－ε曲線如練習4.5圖所示，試說明哪一種材料：（1）強度高；（2）剛度大（在彈性階段）；（3）塑性好。練習4.5圖4.6長度、截面面積相同的兩桿，一為鋼桿，一為鐵桿。若受相同的力F作用時，問:此兩桿的內力、應力、變形及許用應力是否相同？

4.7若軸向拉、壓桿強度不足，可采用哪些措施？

4.8練習4.8圖所示的結構中，若用鑄鐵制造桿1，低碳鋼制造桿2，試問選材是否合理，為什么？若不合理，應如何解決？練習4.8圖4.9拉伸或壓縮桿如練習4.9圖所示。試用截面法求各桿指定截面的軸力，并畫出軸力圖。練習4.9圖4.10桿件如練習4.10圖所示，已知較細段A1=200mm2，較粗段A2=300mm2，E=200GPa，L=100mm，求各段截面的應力和桿件的總變形。練習4.10圖4.11練習4.11圖示為柴油機連桿螺栓，最小直徑d=8.5mm，裝配時擰緊產生的拉力F=8.7kN。試求螺栓最大的正應力。練習4.11圖4.12練習4.12圖示為由兩種材料制成的圓桿，直徑d=40mm，桿總伸長Δl=0.126mm，鋼、銅的彈性模量分別為E鋼=210GPa、E銅=100GPa。試求載荷F及桿內的最大正應力σmax。練習4.12圖4.1320號鋼的拉伸試件，直徑d=10mm，標距L0=50mm。在拉伸試驗的彈性階段測得拉力增量ΔF=9kN，對應伸長量Δ(Δl)=0.028mm，屈服點時拉力Fs=17kN。拉斷前最大拉力Fb=32kN，拉斷后量得標距L1=62mm，斷口處直徑d1=6.9mm。試計算20號鋼的E、σs、σb、δ和ψ值。

4.14吊環螺釘M12，其內徑為d1=10.11mm，吊重P=6kN，其材料的許用應力［σ］=80MPa，試校核此螺釘的強度。練習4.14圖4.15在練習4.15圖示簡易吊車中，BC為鋼桿，AB為木桿。木桿AB的橫截面面積A1=100cm2，許用應力［σ］1=7MPa；鋼桿BC的橫截面面積A2=6cm２，許用應力［σ］2=160MPa,試求許可吊重P。練習4.15圖

4.16

練習4.16圖示鑄鐵支架的B點受載荷F=50kN，鑄鐵的許用拉應力［σl］=30MPa，許用壓應力［σy］=90MPa。求桿AB和BC應有的截面積。練習4.16圖4.17如練習4.17圖所示，重量不計的水平梁AB由兩根鏈條吊起，梁上載荷F=6kN，兩鏈條截面積相同，它們的許用應力［σ］=100MPa，求鏈條的截面積A。練習4.17圖4.18如練習4.18圖所示，用繩索吊重物。已知F=20kN，α=60°，繩索橫截面積A=12.6cm2，許用應力［σ］=10MPa。試校核繩索的強度。練習4.18圖4.19在練習4.19圖示桁架中，AB、AC桿鉸接于A點，在A點懸吊重物G=10kN，兩桿材料相同，［σ］=100MPa，試設計兩桿的直徑。練習4.19圖4.20Q235A鋼板寬b=100mm，厚t=12mm，上有4個鉚釘孔，如練習4.20圖所示，釘孔直徑d=17mm，設軸向力F=100kN，每個孔承受的力為F/4，若取安全系數ns=2，試校核鋼板的強度。練習4.20圖第5章扭轉與剪切5.1扭轉的概念與實例5.2外力偶矩與扭矩5.3圓軸扭轉的切應力與強度計算5.4圓軸扭轉變形與剛度計算5.5剪切與擠壓的實用計算思考與練習5.1扭轉的概念與實例5.1.1扭轉的概念圖5.1

其變形特點是：桿件的任意兩橫截面繞軸線產生相對轉動，但桿的軸線位置和形狀保持不變。這種變形稱為扭轉。以扭轉為主要變形的桿件稱為軸。5.1.2受扭圓軸實例圖5.2圖5.3015.2外力偶矩與扭矩5.2.1外力偶矩的計算

在工程中，作用于圓軸上的外力偶矩一般不是直接給出的，通常給出的是圓軸所需傳遞的功率和轉速。因此，需要了解功率、轉速和外力偶矩三者之間的關系，即式中,M——作用于軸上的外力偶矩,單位:N·m；P——軸所傳遞的功率,單位:kW；n——軸的轉速,單位:r/min。說明：軸上輸入力偶矩是主動力偶矩，其轉向與軸的轉向相同；軸上輸出力偶矩是阻力偶矩，其轉向與軸的轉向相反。

【例5.1】已知某傳動軸傳遞的功率為7.5kW，轉速為300

r/min，試計算此傳動軸傳遞的外力偶矩。

解由公式(5.1)計算得圖5.4

由力偶平衡條件可知：m-m截面上必須有一個內力偶矩與外力偶矩Ｍ1平衡，此內力偶矩稱為扭矩，用符號T表示，T的單位為N·m。由∑m=0得

若取m-m橫截面的右端部分為研究對象，畫出受力圖,如圖5.4(c)所示。可求得m-m橫截面上的扭矩T′，顯然，T′與T大小相等，方向相反，即為作用與反作用關系。由∑m=0得T′+Ｍ2-M3=0T′=M3-M2(M1=M3-M2)圖5.55.2.3扭矩圖通常圓軸上各橫截面上的扭矩是不相同的。為了直觀地表示圓軸上扭矩的作用情況，把圓軸的軸線作為x軸（橫坐標軸），以縱坐標軸表示扭矩T，這種用來表示圓軸橫截面上扭矩沿軸線方向變化情況的圖形稱為扭矩圖。【例5.2】繪出圖5.6(a)所示的懸臂梁的扭矩圖。圖5.6

解

(1)計算梁上各段橫截面上的扭矩。因為是懸臂梁，可取截面的自由端部分BC段,如圖5.6（b）所示。由平衡方程T1-500=0得T1=500N·m

AB段：如圖5.6（c）所示。T2+2000-500=0T2=-1500N·m(2)繪制扭矩圖如圖5.6

(d)所示。

【例5.3】已知一傳動軸如圖5.7(a)所示，主動輪A上輸入功率為15kW，B、C輪為輸出輪，輸出輪B上輸出功率為10kW，軸的轉速為n=1000r/min。試求各段軸橫截面上的扭矩，并繪出扭矩圖。

解

(1)計算外力偶矩M。

方向與軸的轉向相同方向與軸的轉向相反(2)計算扭矩T。

由圖5.7(b)可得T1+MA=0T1=-MA=-143.24N·m

由圖5.7(c)可得T2+MA-MB=0T2=MB-MA=-47.75N·m(3)繪制扭矩圖如圖5.7(d)所示。由圖可知，AB段所承受的扭矩最大，其值為-143.24N·m。圖5.75.3圓軸扭轉的切應力與強度計算5.3.1變形幾何關系

取一等截面圓軸，在其表面上作出兩條平行于軸線的縱向線aa、bb,兩條圓周線11、22，如圖5.8

(a)所示。再在圓軸的兩端分別作用一個外力偶M，使桿件發生扭轉變形。由圖5.8(b）可以看到以下變形現象：各圓周線的形狀、大小、間距保持不變，只繞軸線作相對轉動；各縱向線傾斜了一個相同的角度γ，由圓周線與縱向線組成的原矩形變成了平形四邊形。

由以上分析可知：圓軸受扭轉變形后，其橫截面大小和形狀不變，由此可導出橫截面上沿半徑方向無切應力作用；又由于相鄰橫截面的間距不變，因此橫截面上無正應力作用。但因為相鄰橫截面發生繞軸線的相對轉動，所以橫截面上必然有垂直于半徑方向的切應力。切應力用符號τ表示。在圓軸上取一微段dx，放大后如圖5.8(c)所示，右截面相對于左截面轉過了一個角度dφ，半徑由O2B轉至O2C位置，縱向線AB傾斜γ角度達到AC位置，A點的切應變為那么，距軸線為ρ的任意一點的切應變為

對于給定的橫截面，dφ/dx為常量。故由（5.2）式可知，橫截面上任意一點的切應變與該點到圓心的距離ρ成正比。圖5.85.3.2橫截面上的切應力由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ,即（5.3）式中，G為材料的切變模量，其數值可由實驗測得，常用單位為GPa。τρ為截面上離軸心距離為ρ的各處切應力。

（5.3）式表明：橫截面上任意一點的切應力與該點到軸心的距離成正比，其方向與半徑垂直，可以證明橫截面上任意一點的切應力計算公式為τρ=Tρ/Ip。式中Ip為橫截面對圓心O點的極慣性矩，按公式計算:

實心圓截面：空心圓截面：因此，實心圓軸和空心圓軸橫截面上的切應力分布可用圖5.9表示。圖5.9

由上圖可知：在圓軸橫截面上，當ρ=0時，τ=0；當ρ=R時，即圓軸橫截面上邊緣上點的切應力為最大值τmax，且切應力沿半徑方向呈線性增長。其最大切應力τmax為（5.4）顯然，Wp=Tp/R。上式中,Wp為抗扭截面系數，單位為m3、mm3。對于如圖5.10所示的實心圓軸，其抗扭截面系數Wp為圖5.10對于如圖5.11所示的空心圓軸，其抗扭截面系數Wp為圖5.11其中α=d/D。5.3.3強度計算圓軸扭轉的強度條件為：圓軸危險截面上的最大切應力小于或等于材料的許用切應力,即τmax≤［τ］。對于等截面圓軸有

【例5.4】一階梯圓軸如圖5.12(a)所示，軸上受到外力偶矩M1=6kN·m，M2=4kN·m，M3=2kN·m，軸材料的許用切應力［τ］=60MPa，試校核此軸的強度。

解(1)繪制扭矩圖如圖5.12(b)所示。

(2)校核AB段的強度。則強度足夠。(a)(3)校核BC段的強度。(b)則強度足夠。圖5.12

【例5.5】某機器傳動軸由45號鋼制成，已知材料的［τ］=60MPa，軸傳遞的功率P=16kW，轉速n=100r/min，試確定其直徑。

解(1)計算外力偶矩和扭矩。(2)計算軸的直徑。

【例5.6】如圖5.13所示的聯軸器中，軸材料的許用切應力［τ］=40MPa，軸的直徑d=30mm。套筒材料的許用切應力［τ］=20MPa，套筒外徑D=40mm。試求此裝置的許可載荷。圖5.13解

(1)按軸的扭轉強度求許可載荷。(2)按套筒的扭轉強度求許可載荷。取兩者之中的較小值，此裝置的許可扭矩為72.44N·m。5.4圓軸扭轉變形與剛度計算5.4.1扭轉變形圓軸扭轉時的變形采用兩個橫截面之間的相對轉角φ來表示。對于長度為L，扭矩為T，且截面大小不變的等截面圓軸，其變形計算公式為

對于直徑變化的圓軸(階梯軸)，或者扭矩分段變化的等截面圓軸，必須分段計算相對轉角，然后計算代數和。5.4.2剛度條件圓軸扭轉變形的剛度條件為：最大單位長度扭轉角θmax不超過許用的單位長度扭轉角［θ］。即式中θ的單位為°/m。精密機器的軸:［θ］=0.25～0.50

(°/m)。一般傳動軸:［θ］=0.50～1.00

(°/m)。要求不高的軸:［θ］=1.00～2.5

(°/m)。

【例5.7】汽車傳動軸輸入的力偶矩M=1.5kN·m，直徑d=75mm，軸的許用扭轉角［θ］=0.50°/m，材料的切變模量G=80GPa，試校核此傳動軸的剛度。

解

(1)計算扭矩。此傳動軸橫截面上的扭矩為T=M=1.5kN·m。

(2)計算Ip。(3)校核軸的剛度。故此傳動軸剛度足夠。5.5剪切與擠壓的實用計算5.5.1剪切與擠壓的概念

如圖5.14(a)所示鉚釘聯接，在被聯接的物體上作用有等值、反向的力F，此時鉚釘的受力特點是：鉚釘受到一對等值、反向、作用線平行且相距很近的外力作用，如圖5.14(b)所示。其變形特點是：沿兩個方向相反的力作用線之間的截面發生相對錯動，這種變形稱為剪切變形,如圖5.14(c)所示。產生相對錯動的面稱為剪切面,作用在剪切面上的內力稱為剪力，用Fs表示。圖5.145.5.2實用計算

(1)剪切實用計算。

工程中，通常近似地認為剪切面上的切應力是均勻分布的，所以剪切面上的切應力計算公式為公式中A為受剪切面的面積。剪切強度條件：剪切應力不超過材料的許用切應力。即(2)擠壓的實用計算。工程中近似地把擠壓面上的擠壓應力也看成是均勻分布的。擠壓應力σbs的計算公式為

擠壓強度條件：擠壓應力不超過材料的許用擠壓應力。即公式中Fbs為擠壓力，Abs為受擠壓面積。當擠壓面為圓柱面時，Abs等于通過圓柱直徑的剖面面積,Abs=dh。如圖5.15所示。圖5.15

【例5.8】如圖5.16所示齒輪與軸通過B型普通平鍵聯接。已知軸徑d=70mm，鍵的尺寸為b×h×l=20mm×12mm×100mm，傳遞轉矩T=2kN·m，材料許用應力［σbs］=100MPa，［τ］=60MPa,試校核此鍵聯接。

解

(1)校核鍵聯接的剪切強度。剪力：則剪切強度夠。(2)校核鍵聯接的擠壓強度。則擠壓強度夠。

所以此鍵聯接強度足夠。圖5.16思考與練習5.1減速箱中，高速軸直徑大還是低速軸直徑大？為什么？

5.2若將圓軸的直徑增大一倍，其他條件不變，則τmax和φmax各有何變化?

5.3在強度條件相同的情況下，空心軸為什么比實心軸省料？

5.4試畫出練習5.4圖中橫截面上與T對應的切應力分布圖。練習5.4圖5.5練習5.5圖示一傳動軸，轉速n=200r/min，輪A為主動輪，輸入功率PＡ=60kＷ，輪B、C、D均為從動輪，輸出功率分別為PB=20kW，PC=15kW，PD=25kW。

①試畫出該軸的扭矩圖；

②若將輪A和輪C位置對調，試分析對軸的受力是否有利？練習5.5圖5.6一空心圓軸，外徑D=40mm，內徑d=20mm，軸上受力偶矩M=300N·m，材料的許用切力［τ］=60MPa，試校核此軸的強度。

5.7某實心圓軸轉速n=960r/min，傳遞功率P=5.5kW,材料許用切應力［τ］=40MPa，試設計此軸的直徑。

5.8某傳動軸的直徑d=60mm，轉速n=300r/min，材料的許用切應力［τ］=50MPa，試求該軸的許可功率。

5.9練習5.9圖示出了圓軸AB所受的外力偶矩Me1=800N·m，Me2=1200N·m，Me3=400N·m，l2=2l1=600mm，G=80MPa，［τ］=50MPa，［θ］=0.25°/m。試設計軸的直徑。練習5.9圖5.10練習5.10圖示出了螺栓受拉力F作用，已知材料的許用切應力［τ］和許用拉應力［σ］的關系為［τ］=0.6［σ］。試求螺栓頭高度h的合理比例。練習5.10圖5.11練習5.11圖示出的鉚釘聯接中，已知拉力F=20kN，板的厚度為20mm，鉚釘的直徑d=12mm。鉚釘材料的許用切應力［τ］=80MPa，許用擠壓應力［σbs］=200MPa。試校核此鉚釘聯接的強度。練習5.11圖5.1扭轉的概念與實例5.1.1扭轉的概念圖5.1

其變形特點是：桿件的任意兩橫截面繞軸線產生相對轉動，但桿的軸線位置和形狀保持不變。這種變形稱為扭轉。以扭轉為主要變形的桿件稱為軸。5.1.2受扭圓軸實例圖5.2圖5.3025.2外力偶矩與扭矩5.2.1外力偶矩的計算

在工程中，作用于圓軸上的外力偶矩一般不是直接給出的，通常給出的是圓軸所需傳遞的功率和轉速。因此，需要了解功率、轉速和外力偶矩三者之間的關系，即式中,M——作用于軸上的外力偶矩,單位:N·m；P——軸所傳遞的功率,單位:kW；n——軸的轉速,單位:r/min。說明：軸上輸入力偶矩是主動力偶矩，其轉向與軸的轉向相同；軸上輸出力偶矩是阻力偶矩，其轉向與軸的轉向相反。

【例5.1】已知某傳動軸傳遞的功率為7.5kW，轉速為300

r/min，試計算此傳動軸傳遞的外力偶矩。

解由公式(5.1)計算得圖5.4

由力偶平衡條件可知：m-m截面上必須有一個內力偶矩與外力偶矩Ｍ1平衡，此內力偶矩稱為扭矩，用符號T表示，T的單位為N·m。由∑m=0得

若取m-m橫截面的右端部分為研究對象，畫出受力圖,如圖5.4(c)所示。可求得m-m橫截面上的扭矩T′，顯然，T′與T大小相等，方向相反，即為作用與反作用關系。由∑m=0得T′+Ｍ2-M3=0T′=M3-M2(M1=M3-M2)圖5.55.2.3扭矩圖通常圓軸上各橫截面上的扭矩是不相同的。為了直觀地表示圓軸上扭矩的作用情況，把圓軸的軸線作為x軸（橫坐標軸），以縱坐標軸表示扭矩T，這種用來表示圓軸橫截面上扭矩沿軸線方向變化情況的圖形稱為扭矩圖。【例5.2】繪出圖5.6(a)所示的懸臂梁的扭矩圖。圖5.6

解

(1)計算梁上各段橫截面上的扭矩。因為是懸臂梁，可取截面的自由端部分BC段,如圖5.6（b）所示。由平衡方程T1-500=0得T1=500N·m

AB段：如圖5.6（c）所示。T2+2000-500=0T2=-1500N·m(2)繪制扭矩圖如圖5.6

(d)所示。

【例5.3】已知一傳動軸如圖5.7(a)所示，主動輪A上輸入功率為15kW，B、C輪為輸出輪，輸出輪B上輸出功率為10kW，軸的轉速為n=1000r/min。試求各段軸橫截面上的扭矩，并繪出扭矩圖。

解

(1)計算外力偶矩M。

方向與軸的轉向相同方向與軸的轉向相反(2)計算扭矩T。

由圖5.7(b)可得T1+MA=0T1=-MA=-143.24N·m

由圖5.7(c)可得T2+MA-MB=0T2=MB-MA=-47.75N·m(3)繪制扭矩圖如圖5.7(d)所示。由圖可知，AB段所承受的扭矩最大，其值為-143.24N·m。圖5.75.3圓軸扭轉的切應力與強度計算5.3.1變形幾何關系

取一等截面圓軸，在其表面上作出兩條平行于軸線的縱向線aa、bb,兩條圓周線11、22，如圖5.8

(a)所示。再在圓軸的兩端分別作用一個外力偶M，使桿件發生扭轉變形。由圖5.8(b）可以看到以下變形現象：各圓周線的形狀、大小、間距保持不變，只繞軸線作相對轉動；各縱向線傾斜了一個相同的角度γ，由圓周線與縱向線組成的原矩形變成了平形四邊形。

由以上分析可知：圓軸受扭轉變形后，其橫截面大小和形狀不變，由此可導出橫截面上沿半徑方向無切應力作用；又由于相鄰橫截面的間距不變，因此橫截面上無正應力作用。但因為相鄰橫截面發生繞軸線的相對轉動，所以橫截面上必然有垂直于半徑方向的切應力。切應力用符號τ表示。在圓軸上取一微段dx，放大后如圖5.8(c)所示，右截面相對于左截面轉過了一個角度dφ，半徑由O2B轉至O2C位置，縱向線AB傾斜γ角度達到AC位置，A點的切應變為那么，距軸線為ρ的任意一點的切應變為

對于給定的橫截面，dφ/dx為常量。故由（5.2）式可知，橫截面上任意一點的切應變與該點到圓心的距離ρ成正比。圖5.85.3.2橫截面上的切應力由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ,即（5.3）式中，G為材料的切變模量，其數值可由實驗測得，常用單位為GPa。τρ為截面上離軸心距離為ρ的各處切應力。

（5.3）式表明：橫截面上任意一點的切應力與該點到軸心的距離成正比，其方向與半徑垂直，可以證明橫截面上任意一點的切應力計算公式為τρ=Tρ/Ip。式中Ip為橫截面對圓心O點的極慣性矩，按公式計算:

實心圓截面：空心圓截面：因此，實心圓軸和空心圓軸橫截面上的切應力分布可用圖5.9表示。圖5.9

由上圖可知：在圓軸橫截面上，當ρ=0時，τ=0；當ρ=R時，即圓軸橫截面上邊緣上點的切應力為最大值τmax，且切應力沿半徑方向呈線性增長。其最大切應力τmax為（5.4）顯然，Wp=Tp/R。上式中,Wp為抗扭截面系數，單位為m3、mm3。對于如圖5.10所示的實心圓軸，其抗扭截面系數Wp為圖5.10對于如圖5.11所示的空心圓軸，其抗扭截面系數Wp為圖5.11其中α=d/D。5.3.3強度計算圓軸扭轉的強度條件為：圓軸危險截面上的最大切應力小于或等于材料的許用切應力,即τmax≤［τ］。對于等截面圓軸有

【例5.4】一階梯圓軸如圖5.12(a)所示，軸上受到外力偶矩M1=6kN·m，M2=4kN·m，M3=2kN·m，軸材料的許用切應力［τ］=60MPa，試校核此軸的強度。

解(1)繪制扭矩圖如圖5.12(b)所示。

(2)校核AB段的強度。則強度足夠。(a)(3)校核BC段的強度。(b)則強度足夠。圖5.12

【例5.5】某機器傳動軸由45號鋼制成，已知材料的［τ］=60MPa，軸傳遞的功率P=16kW，轉速n=100r/min，試確定其直徑。

解(1)計算外力偶矩和扭矩。(2)計算軸的直徑。

【例5.6】如圖5.13所示的聯軸器中，軸材料的許用切應力［τ］=40MPa，軸的直徑d=30mm。套筒材料的許用切應力［τ］=20MPa，套筒外徑D=40mm。試求此裝置的許可載荷。圖5.13解

(1)按軸的扭轉強度求許可載荷。(2)按套筒的扭轉強度求許可載荷。取兩者之中的較小值，此裝置的許可扭矩為72.44N·m。5.4圓軸扭轉變形與剛度計算5.4.1扭轉變形圓軸扭轉時的變形采用兩個橫截面之間的相對轉角φ來表示。對于長度為L，扭矩為T，且截面大小不變的等截面圓軸，其變形計算公式為

對于直徑變化的圓軸(階梯軸)，或者扭矩分段變化的等截面圓軸，必須分段計算相對轉角，然后計算代數和。5.4.2剛度條件圓軸扭轉變形的剛度條件為：最大單位長度扭轉角θmax不超過許用的單位長度扭轉角［θ］。即式中θ的單位為°/m。精密機器的軸:［θ］=0.25～0.50

(°/m)。一般傳動軸:［θ］=0.50～1.00

(°/m)。要求不高的軸:［θ］=1.00～2.5

(°/m)。

【例5.7】汽車傳動軸輸入的力偶矩M=1.5kN·m，直徑d=75mm，軸的許用扭轉角［θ］=0.50°/m，材料的切變模量G=80GPa，試校核此傳動軸的剛度。

解

(1)計算扭矩。此傳動軸橫截面上的扭矩為T=M=1.5kN·m。

(2)計算Ip。(3)校核軸的剛度。故此傳動軸剛度足夠。5.5剪切與擠壓的實用計算5.5.1剪切與擠壓的概念

如圖5.14(a)所示鉚釘聯接，在被聯接的物體上作用有等值、反向的力F，此時鉚釘的受力特點是：鉚釘受到一對等值、反向、作用線平行且相距很近的外力作用，如圖5.14(b)所示。其變形特點是：沿兩個方向相反的力作用線之間的截面發生相對錯動，這種變形稱為剪切變形,如圖5.14(c)所示。產生相對錯動的面稱為剪切面,作用在剪切面上的內力稱為剪力，用Fs表示。圖5.145.5.2實用計算

(1)剪切實用計算。

工程中，通常近似地認為剪切面上的切應力是均勻分布的，所以剪切面上的切應力計算公式為公式中A為受剪切面的面積。剪切強度條件：剪切應力不超過材料的許用切應力。即(2)擠壓的實用計算。工程中近似地把擠壓面上的擠壓應力也看成是均勻分布的。擠壓應力σbs的計算公式為

擠壓強度條件：擠壓應力不超過材料的許用擠壓應力。即公式中Fbs為擠壓力，Abs為受擠壓面積。當擠壓面為圓柱面時，Abs等于通過圓柱直徑的剖面面積,Abs=dh。如圖5.15所示。圖5.15

【例5.8】如圖5.16所示齒輪與軸通過B型普通平鍵聯接。已知軸徑d=70mm，鍵的尺寸為b×h×l=20mm×12mm×100mm，傳遞轉矩T=2kN·m，材料許用應力［σbs］=100MPa，［τ］=60MPa,試校核此鍵聯接。

解

(1)校核鍵聯接的剪切強度。剪力：則剪切強度夠。(2)校核鍵聯接的擠壓強度。則擠壓強度夠。

所以此鍵聯接強度足夠。圖5.16思考與練習5.1減速箱中，高速軸直徑大還是低速軸直徑大？為什么？

5.2若將圓軸的直徑增大一倍，其他條件不變，則τmax和φmax各有何變化?

5.3在強度條件相同的情況下，空心軸為什么比實心軸省料？

5.4試畫出練習5.4圖中橫截面上與T對應的切應力分布圖。練習5.4圖5.5練習5.5圖示一傳動軸，轉速n=200r/min，輪A為主動輪，輸入功率PＡ=60kＷ，輪B、C、D均為從動輪，輸出功率分別為PB=20kW，PC=15kW，PD=25kW。

①試畫出該軸的扭矩圖；

②若將輪A和輪C位置對調，試分析對軸的受力是否有利？練習5.5圖5.6一空心圓軸，外徑D=40mm，內徑d=20mm，軸上受力偶矩M=300N·m，材料的許用切力［τ］=60MPa，試校核此軸的強度。

5.7某實心圓軸轉速n=960r/min，傳遞功率P=5.5kW,材料許用切應力［τ］=40MPa，試設計此軸的直徑。

5.8某傳動軸的直徑d=60mm，轉速n=300r/min，材料的許用切應力［τ］=50MPa，試求該軸的許可功率。

5.9練習5.9圖示出了圓軸AB所受的外力偶矩Me1=800N·m，Me2=1200N·m，Me3=400N·m，l2=2l1=600mm，G=80MPa，［τ］=50MPa，［θ］=0.25°/m。試設計軸的直徑。練習5.9圖5.10練習5.10圖示出了螺栓受拉力F作用，已知材料的許用切應力［τ］和許用拉應力［σ］的關系為［τ］=0.6［σ］。試求螺栓頭高度h的合理比例。練習5.10圖5.11練習5.11圖示出的鉚釘聯接中，已知拉力F=20kN，板的厚度為20mm，鉚釘的直徑d=12mm。鉚釘材料的許用切應力［τ］=80MPa，許用擠壓應力［σbs］=200MPa。試校核此鉚釘聯接的強度。練習5.11圖第5章扭轉與剪切5.1扭轉的概念與實例5.2外力偶矩與扭矩5.3圓軸扭轉的切應力與強度計算5.4圓軸扭轉變形與剛度計算5.5剪切與擠壓的實用計算思考與練習第5章扭轉與剪切5.1扭轉的概念與實例5.2外力偶矩與扭矩5.3圓軸扭轉的切應力與強度計算5.4圓軸扭轉變形與剛度計算5.5剪切與擠壓的實用計算思考與練習5.1扭轉的概念與實例5.1.1扭轉的概念圖5.1

其變形特點是：桿件的任意兩橫截面繞軸線產生相對轉動，但桿的軸線位置和形狀保持不變。這種變形稱為扭轉。以扭轉為主要變形的桿件稱為軸。5.1.2受扭圓軸實例圖5.2圖5.3035.2外力偶矩與扭矩5.2.1外力偶矩的計算

在工程中，作用于圓軸上的外力偶矩一般不是直接給出的，通常給出的是圓軸所需傳遞的功率和轉速。因此，需要了解功率、轉速和外力偶矩三者之間的關系，即式中,M——作用于軸上的外力偶矩,單位:N·m；P——軸所傳遞的功率,單位:kW；n——軸的轉速,單位:r/min。說明：軸上輸入力偶矩是主動力偶矩，其轉向與軸的轉向相同；軸上輸出力偶矩是阻力偶矩，其轉向與軸的轉向相反。

【例5.1】已知某傳動軸傳遞的功率為7.5kW，轉速為300

r/min，試計算此傳動軸傳遞的外力偶矩。

解由公式(5.1)計算得圖5.4

由力偶平衡條件可知：m-m截面上必須有一個內力偶矩與外力偶矩Ｍ1平衡，此內力偶矩稱為扭矩，用符號T表示，T的單位為N·m。由∑m=0得

若取m-m橫截面的右端部分為研究對象，畫出受力圖,如圖5.4(c)所示。可求得m-m橫截面上的扭矩T′，顯然，T′與T大小相等，方向相反，即為作用與反作用關系。由∑m=0得T′+Ｍ2-M3=0T′=M3-M2(M1=M3-M2)圖5.55.2.3扭矩圖通常圓軸上各橫截面上的扭矩是不相同的。為了直觀地表示圓軸上扭矩的作用情況，把圓軸的軸線作為x軸（橫坐標軸），以縱坐標軸表示扭矩T，這種用來表示圓軸橫截面上扭矩沿軸線方向變化情況的圖形稱為扭矩圖。【例5.2】繪出圖5.6(a)所示的懸臂梁的扭矩圖。圖5.6

解

(1)計算梁上各段橫截面上的扭矩。因為是懸臂梁，可取截面的自由端部分BC段,如圖5.6（b）所示。由平衡方程T1-500=0得T1=500N·m

AB段：如圖5.6（c）所示。T2+2000-500=0T2=-1500N·m(2)繪制扭矩圖如圖5.6

(d)所示。

【例5.3】已知一傳動軸如圖5.7(a)所示，主動輪A上輸入功率為15kW，B、C輪為輸出輪，輸出輪B上輸出功率為10kW，軸的轉速為n=1000r/min。試求各段軸橫截面上的扭矩，并繪出扭矩圖。

解

(1)計算外力偶矩M。

方向與軸的轉向相同方向與軸的轉向相反(2)計算扭矩T。

由圖5.7(b)可得T1+MA=0T1=-MA=-143.24N·m

由圖5.7(c)可得T2+MA-MB=0T2=MB-MA=-47.75N·m(3)繪制扭矩圖如圖5.7(d)所示。由圖可知，AB段所承受的扭矩最大，其值為-143.24N·m。圖5.75.3圓軸扭轉的切應力與強度計算5.3.1變形幾何關系

取一等截面圓軸，在其表面上作出兩條平行于軸線的縱向線aa、bb,兩條圓周線11、22，如圖5.8

(a)所示。再在圓軸的兩端分別作用一個外力偶M，使桿件發生扭轉變形。由圖5.8(b）可以看到以下變形現象：各圓周線的形狀、大小、間距保持不變，只繞軸線作相對轉動；各縱向線傾斜了一個相同的角度γ，由圓周線與縱向線組成的原矩形變成了平形四邊形。

由以上分析可知：圓軸受扭轉變形后，其橫截面大小和形狀不變，由此可導出橫截面上沿半徑方向無切應力作用；又由于相鄰橫截面的間距不變，因此橫截面上無正應力作用。但因為相鄰橫截面發生繞軸線的相對轉動，所以橫截面上必然有垂直于半徑方向的切應力。切應力用符號τ表示。在圓軸上取一微段dx，放大后如圖5.8(c)所示，右截面相對于左截面轉過了一個角度dφ，半徑由O2B轉至O2C位置，縱向線AB傾斜γ角度達到AC位置，A點的切應變為那么，距軸線為ρ的任意一點的切應變為

對于給定的橫截面，dφ/dx為常量。故由（5.2）式可知，橫截面上任意一點的切應變與該點到圓心的距離ρ成正比。圖5.85.3.2橫截面上的切應力由剪切胡克定律可得τρ=Gγρ,即（5.3）式中，G為材料的切變模量，其數值可由實驗測得，常用單位為GPa。τρ為截面上離軸心距離為ρ的各處切應力。

（5.3）式表明：橫截面上任意一點的切應力與該點到軸心的距離成正比，其方向與半徑垂直