第3單元工程構件的受力分析2025【知識和能力目標】理解靜力學的基本概念——剛體、力、平衡和約束；掌握靜力學公理及其應用范圍。掌握工程中常見的約束和約束反力的畫法，能熟練而正確地畫出物體的受力圖。理解平面力系的合成和平衡條件，能利用平衡條件求解平面匯交力系的平衡問題。【素質目標】培養學生嚴謹認真、守正創新的優秀品質。樹立科技創新理念。【學習重點和難點】靜力學公理及其推論。柔性約束、光滑面約束、鉸鏈約束的特征及約束反力的畫法。物體的受力分析和受力圖繪制。合力投影定理、力的平移定理、平面任意力系的簡化。案例導入在生活或生產中經常會見到各種機器或機構，如果要分析其工作原理或動力傳動路線，則需分析和判斷各構件的受力情況，為了使大家能夠學會構件的受力分析，本單元將以圖3-1所示的工件夾緊機構為例進行分析介紹。工件能否被夾緊機構夾緊直接關系到工件的加工精度，其工作過程為活塞桿D在壓力油作用下，推動擺桿AOB繞O點轉動，AOB桿的A端推動鉗子夾緊工件。圖3-1工件夾緊機構1.1基本概念1.1.1力的概念力是物體間相互的機械作用。物體間相互的機械作用大致可分為兩類:一類是物體直接接觸的作用，另一類是場的作用。這種作用使物體的運動狀態或形狀尺寸發生改變。物體運動狀態的改變稱為力的外效應或運動效應，物體形狀尺寸的改變稱為力的內效應或變形效應。實踐證明，力對物體的效應取決于力的三要素，即力的大小、方向和作用點。在國際單位制中，力的單位為N或kN，1kN=103N。

力是一個既有大小又有方向的量，稱為矢量。矢量可用一具有方向的線段來表示，如圖1.1所示。線段AB的起點（或終點）表示力的作用點，線段AB的方位和箭頭指向表示力的方向，沿力的方向畫出的直線，稱為力的作用線，而線段AB長度則按一定的比例表示力的大小。本書中用黑體字母表示矢量，如F，用普通字母表示力的大小，如F。圖1.1若力F在平面Oxy內，其矢量表達式為F=Fx+Fy=Fxi+Fyj

（1.1）式中，Fx

、Fy分別表示力F沿平面直角坐標軸x、y方向上的兩個分量；Fx和Fy分別為力F在平面直角坐標軸x、y上的投影；i、j分別為直角坐標軸x、y上的單位矢量。如圖1.2所示，由力F的起點A和終點B分別作x軸的垂線，垂足分別為a、b，線段ab冠以適當的正負號稱為力F在x軸上的投影，用Fx表示，即Fx=±ab（1.2）圖1.2

投影的正負號規定如下:若從a到b的方向與x軸正向一致，則取正號；反之則取負號。同樣，力F在y軸上的投影為如圖1.2所示，力F在x軸和y軸的投影分別為（1.4）由此可見，力在坐標軸上的投影是代數量。（1.3）

若已知力F在平面直角坐標軸上的投影Fx和Fy，則該力的大小和方向為式中，α表示力F與x軸所夾的銳角，F的指向由Fx和Fy的正負來確定。（1.5）

作用于一個物體上的若干個力稱為力系，若兩個力系對物體的作用效應完全相同，則這兩個力系稱為等效力系。如一個力與一個力系等效，則此力稱為該力系的合力，而該力系中的各力稱為合力的分力。把各分力等效代換成合力的過程稱為力系的合成，把合力等效代換成各分力的過程稱為力的分解。平衡是指物體相對于地球處于靜止或勻速直線運動的狀態。如果物體在一力系作用下處于平衡狀態，則該力系稱為平衡力系。

工程力學的研究對象往往比較復雜，在對其進行力學分析時，首先必須根據研究問題的性質，抓住其主要矛盾，忽略其次要因素，對其進行合理的簡化，科學地抽象出力學模型。在分析物體的運動規律時，如果物體的形狀和大小與運動無關或對運動的影響很小，則可把物體抽象為質點。質點是指具有質量而形狀、大小可忽略不計的力學模型。在研究物體的平衡問題時，若物體的微小變形對平衡問題影響很小，則可把物體當作剛體。剛體是指受力時保持形狀、大小不變的力學模型。在分析強度、剛度和穩定性問題時，由于這些問題都與變形密切相關，因此即使是極其微小的變形也必須加以考慮，這時就必須把物體抽象為變形體這一力學模型。1.1.2力的基本性質人們在長期的生活和生產活動中，經過實踐-認識-再實踐-再認識的過程，總結出了許多力所遵循的規律，其中最基本的性質有以下幾條。這些性質的正確性已被實踐所驗證，為大家所公認，所以也稱為靜力學公理。

性質一

二力平衡公理作用于剛體上的兩個力使剛體處于平衡狀態的充要條件是:這兩個力大小相等、方向相反，且作用在同一條直線上，如圖1.3所示。用矢量表示，即為FA=-FB

(1.6)對于變形體，這個條件是必要的，但不是充分的。圖1.3圖1.4

性質二加減平衡力系公理在作用于剛體的任意力系上，加上或者減去一個平衡力系，都不會改變原力系對剛體的作用效果。由此可得如下推論:

推論1

力的可傳性剛體上的力可沿其作用線移到該剛體上的任意位置，并不改變該力對該剛體的作用效應。如圖1.5所示，作用于小車A點的推力F沿其作用線移到B點，得拉力F′，雖然推力變為拉力，但對小車的作用效應是相同的。由此可見，力的作用點對剛體來說已不是決定力作用效應的要素。因此，作用于剛體上的力的三要素是力的大小、方向和作用線。圖1.5

性質三力的平行四邊形法則作用于物體上同一點的兩個力可以合成為一個合力，合力的作用點仍在該點，合力的大小和方向由這兩個力為鄰邊所構成的平行四邊形的對角線來確定，如圖1.6(a)所示。其矢量表達式為FR=F1+F2

（1.7）

為方便起見，在利用矢量加法求合力時，可不必畫出整個平行四邊形，而是從A點作矢量F1，再由F1的末端B作矢量F2，則矢量AC即為合力FR。這種求合力的方法稱為力的三角形法則，如圖1.6(b)所示。顯然，若改變F1、F2的順序，其結果不變，如圖1.6(c)所示。圖1.6

力的平行四邊形法則是力系合成的法則，也是力系分解的法則。該法則表明了最簡單力系簡化的規律，它也是復雜力系簡化的基礎。由上可推出n個力作用的情況。設一剛體上有F1,F2，…,Fn共n個力作用，力系中各力的作用線共面且匯交于同一點（稱為平面匯交力系），根據性質三和式（1.7）將此力系合成為一個合力FR，此合力應為FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi（1.8）可見，平面匯交力系的合力矢量等于力系各分力的矢量和。將式（1.8）分別向x、y軸投影可得FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑FxFRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fy

(1.9)

式（1.9）表明，力系的合力在某一直角坐標軸上的投影等于力系中各分力在同一軸上投影的代數和，此即為合力投影定理。合力的大小和方向為（1.10）式中，α表示力FR與x軸所夾的銳角，FR的指向由∑Fx和∑Fy的正負來確定。

推論2

三力平衡匯交定理剛體受三個共面但互不平行的力作用而平衡時，此三力必匯交于一點。此定理說明了不平行的三力平衡的必要條件，而且，當兩個力的作用線相交時，可用來確定第三個力的作用線方位。

證明剛體上A、B、C三點，分別作用著使該剛體平衡的三個力F1、F2、F3，它們的作用線都在一個平面內但不平行，F1、F2的作用線交于O點。根據力的可傳性原理，將此兩個力分別移至O點，則此兩個力的合力FR必定在此平面內且通過O點，而FR必須和F3平衡，由二力平衡的條件可知，F3與FR必共線，所以F3的作用線亦必過F1、F2的交點O，即三個力的作用線匯交于一點。如圖1.7所示。圖1.7

性質四作用與反作用定律兩物體間的作用力與反作用力，總是大小相等，方向相反，沿同一條直線，分別作用在這兩個物體上。此定律概括了自然界中物體間相互作用關系，表明一切力總是成對出現的，揭示了力的存在形式和力在物體間的傳遞方式。特別要注意的是，必須把作用與反作用定律、二力平衡公理嚴格地區分開來。作用與反作用定律是表明兩個物體相互作用的力學性質，而二力平衡公理則說明一個剛體在兩個力作用下處于平衡時兩力滿足的條件。1.2力矩與力偶1.2.1力矩人們從生產實踐活動中得知，力不僅能夠使物體沿某方向移動，還能夠使物體繞某點產生轉動。例如人用扳手擰緊螺母時，施于扳手的力F使扳手與螺母一起繞轉動中心O轉動，由經驗可知，轉動效應的大小不僅與F的大小和方向有關，而且與轉動中心點O到F作用線的垂直距離有關，因此，在F作用線和轉動中心點O所在的同一平面內(如圖1.8所示)我們將點O稱為矩心，點O到F作用線的垂直距離d稱為力臂，力使物體繞轉動中心的轉動效應，就用力F的大小與力臂d的乘積并冠以適當的正負號來度量,該量稱為力對O點之矩，簡稱力矩，記作MO(F)，即MO(F)=±Fd

（1.11）

平面內的力對點之矩是一個代數量，其正負號規定為:若力使物體繞矩心逆時針方向轉動時，則力矩為正；反之，力矩為負。力矩的常用單位為N·m或kN·m。由力矩的定義可知，力矩有以下性質:

（1）力對點之矩的大小，不僅取決于力的大小,還與矩心的位置有關。（2）力對任意點之矩的大小，不因該力的作用點沿其作用線移動而改變。（3）力的大小為零或力的作用線通過矩心時，力矩為零。（4）互成平衡的二力對同一點之矩的代數和為零。圖1.801

設物體上作用有一個平面匯交力系F1,F2,…,Fn其合力為FR。由于合力與力系等效，因此合力對平面內任意點之矩等于力系中所有分力對同一點之矩的代數和，即MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+…+MO(Fn)=MO(Fi)這就是合力矩定理。對于有合力的其他力系，合力矩定理同樣成立。當力矩的力臂不易求出時，常將力正交分解為兩個易確定力臂的分力，然后應用合力矩定理計算力矩。

【例1.1】如圖1.9所示，力F=150N,作用在錘柄上，柄長l=320mm，試求(a)、(b)兩種情況下力F對支點O的力矩。圖1.9

解在(a)種情況下，支點O到力F作用線的垂直距離h=l，力F使錘柄繞O點逆時針轉動，則力F對O點的力矩為MＯ(F)=Fh=150×320=48000N·mm=48N·m

在(b)種情況下，支點O到力F作用線的垂直距離h=lcos30°，力F使錘柄繞O點順時針轉動，則力F對O點的力矩為MＯ(F)=-Fh=-150×320×cos30°=-41568N·mm=-41.568N·m

【例1.2】一齒輪受到與它相嚙合的另一齒輪的法向壓力Fn=1400N的作用，如圖1.10所示，已知壓力角（作用在嚙合點的力與嚙合點的絕對速度之間所夾的銳角）α=20°,節圓直徑D=0.12m，求法向壓力Fn對齒輪軸心O之矩。

解用兩種方法計算。

(1)用力矩定義求解，如圖1.10(a)所示。(2)用合力矩定理求解，如圖1.10(b)所示。將力Fn在嚙合點處分解為圓周力Ft=Fncosα和徑向力Fr=Fnsinα，由合力矩定理，得圖1.101.2.2力偶圖1.11

我們把這一對等值、反向、不共線的平行力組成的特殊力系稱為力偶，用符號(F,F′)表示。力偶兩力作用線之間的垂直距離d稱為力偶臂，如圖1.11（d）所示，力偶的兩力作用線所決定的作用面稱為力偶作用面，力偶使物體轉動的方向稱為力偶的轉向。力偶對物體的轉動效應，可用力偶中的力與力偶臂的乘積再冠以適當的正負號來確定，稱為力偶矩，記作M(F,F′)或簡寫為M，即M(F,F′)=M=±Fd(1.13)

力偶矩與力矩一樣是一個代數量。式中的正負號表示力偶的轉向，通常規定，力偶的轉向為逆時針時取正，反之取負。力偶矩的單位是N·m或kN·m。力偶矩的大小、力偶轉向和力偶作用面稱為力偶的三要素，凡三要素相同的力偶彼此等效。根據力偶的定義，力偶具有以下一些性質。

性質一力偶在任意軸上投影的代數和為零，故不能合成為一個力，也不能與一個力等效。力偶的這一性質說明了力偶不能與一個力相互平衡，只能與一個力偶平衡。可見，力與力偶是靜力學的兩個基本要素。

性質二力偶對其作用面內任意點之矩，恒等于其力偶矩，而與矩心的位置無關。如圖1.12所示，已知力偶(F,F′)的力偶矩為M(F,Ｆ′)=Fd，在力偶作用平面內任取一點O為矩心，設O點到力F的垂直距離為x，則(F,F′)對O之矩的代數和為

MO(F)+MO(F′)=-Fx+F′(x+d)=Fd=M(F,F′)(1.14)顯然,力偶矩M(F,F′)與x無關,即與矩心無關。圖1.12

性質三只要保持力偶的轉向和力偶矩的大小不變，力偶可以在其作用面內任意轉動和移動，而不改變它對剛體的作用效應。這一性質說明力偶對物體的作用與力偶在作用面內的位置無關。

性質四只要保持力偶矩的大小和轉向不變，可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不會改變力偶對剛體的作用效應。這一性質說明了力偶中的力或力偶臂都不是力偶的特征量，只有力偶矩才是力偶作用的度量參數。因此，力偶常用一帶箭頭的折線或弧線來表示，其中折線弧線所在的平面代表力偶的作用面，箭頭的指向表示力偶的轉向，再標注力偶矩的大小，如圖1.13所示。圖1.13

當物體在某平面內作用有兩個或兩個以上的力偶時即組成平面力偶系，從上面的力偶性質可知，力偶對剛體只產生轉動效應，且轉動效應的大小完全取決于力偶矩的大小和轉向，那么，力偶系可以簡化，其簡化結果也應是一個力偶。力偶系簡化所得到的結果稱為力偶系的合力偶。可以證明，合力偶矩的大小等于各個分力偶矩的代數和，即M=M1+M2+…+Mn=∑Mi

(1.15)1.3約束與約束反力1.3.1柔索約束由繩索、鏈條、膠帶等柔性物體所構成的約束稱為柔索約束。柔索約束只能限制物體沿柔索伸長的方向運動，而不能限制其他方向的運動，所以柔索約束反力的方向總是沿柔索中心線且背離被約束物體，即為拉力，通常用符號FT表示，如圖1.14所示。圖1.141.3.2光滑接觸面約束當兩物體接觸面之間的摩擦很小，可以忽略不計時，則構成光滑接觸面約束。光滑接觸面對被約束物體在過接觸點處的公切面內任意方向的運動不加限制，同時也不限制物體沿接觸面處的公法線脫離接觸面，但阻礙物體沿該公法線方向進入約束內部，因此，光滑接觸面約束的約束反力必沿接觸面處的公法線指向被約束物體，即為壓力（支持力），用符號FN表示，如圖1.15所示。圖1.151.3.3光滑圓柱鉸鏈約束1.中間鉸約束圖1.162.固定鉸鏈支座約束圖1.173.活動鉸鏈支座約束圖1.181.3.4固定端約束固定端約束又稱為插入端約束，是工程實際中常見的一種約束類型，如插入墻體的外伸涼臺、固定在車床卡盤上的車刀、立于路邊的電線桿等，如圖1.19（a）、(b)、(c)所示。它們有一個共同的特點是:構件一端被固定，既不允許固定端的任意移動，又不允許繞固定端隨意轉動，這種約束就是固定端約束。平面問題中通常用簡圖1.19（d）、（e）表示，其約束反力在外力作用面內可用簡化了的兩個正交分力Fx、Fy和力偶矩M來表示，如圖1.19（f）所示。圖1.19021.4物體的受力圖

畫受力圖的步驟一般為:明確研究對象，取分離體。

(2)畫出全部主動力。在分離體上畫出全部主動力。

(3)畫出全部約束反力。在畫約束反力時，應特別注意以下幾點:①將每一種約束按照它們的特點歸入典型約束類型，如上節講的柔索約束、光滑接觸面約束、光滑圓柱鉸鏈約束（中間鉸、固定鉸鏈支座、活動鉸鏈支座）和固定端約束，再根據典型約束的約束反力的表示方法畫出約束反力。②在畫每一個約束反力時，一定要明確是哪個物體施加的，不要多畫力、少畫力或隨意移動力。

③要熟練使用規定的字母和符號，標記各個約束反力，對作用力和反作用力一般用相同的字母，反作用力加一個上標“′”,如FAB與FAB′互為作用力與反作用力。

④在畫相鄰兩物體間作用力與反作用力的方向時，若其中一個力的方向已經明確或假定，則另一個力的方向應隨之而定。⑤運用二力平衡條件或三力平衡匯交定理確定某些約束反力。凡是二力構件必須按二力平衡條件來畫約束反力；當物體受三個共面但不平行的力作用處于平衡時，已知其中兩力作用線的交點，第三個力為未知的約束反力，則此約束反力的作用線必通過此交點。

⑥當所取分離體是由某幾個物體組成的物體系統時，通常將物體系統內部各物體之間的相互作用力稱為內力，而物體系統外的周圍物體對系統內每個物體作用的力稱為外力。在畫物體系統的受力圖時，約定只畫外力不畫內力。

【例1.3】如圖1.20（a）所示，一球C用繩AB掛靠在光滑的鉛垂墻上，試畫出球C的受力圖。

解

(1)選取球C為研究對象，畫出其分離體圖。

(2)畫主動力:在球心點C處畫上重力G。

(3)畫約束反力:球在B點受到柔索約束，在D點受到光滑接觸面約束。在解除約束的B點畫上沿繩索中心線背離球的拉力FTB，在D點畫上沿接觸面公法線并指向球的壓力FND。球受同平面的三個不平行力的作用而平衡，這三個力的作用線必匯交于一點即C點。如圖1.20(b)所示。圖1.2003

【例1.4】梁AB的A端為固定端，B端為活動鉸鏈支座，梁上C、D處分別受到力F與力偶M的作用，如圖1.21（a)所示，梁的自重不計，試畫出梁AB的受力圖。圖1.21

解（1）選取梁AB為研究對象，畫出其分離體圖。（2）畫主動力:作用在C點的力F和D處的力偶M。（3）畫約束反力:梁AB在A處受到固定端約束，在B處受到活動鉸鏈支座約束。在解除約束的A處約束反力可用兩個正交力FAx、FAy和力偶MA來表示，指向和轉向是假定的。在解除約束的B處約束反力為垂直于支承面的FNB，指向為假定的。梁AB的受力圖如圖1.21（b）所示。

【例1.5】如圖1.22（a）所示的結構由桿AC、CD與滑輪B鉸接而成。物體重為G，用繩子掛在滑輪上。如桿、滑輪及繩子的自重不計，并忽略各處的摩擦，試分別畫出滑輪B（包括繩索）、桿AC、CD及整個系統的受力圖。

解

(1)滑輪及繩索的受力圖。

①取滑輪及繩索為研究對象，畫出分離體圖。

②畫主動力:無。

③畫約束反力:在B處受中間鉸鏈支座約束，在E處受柔索約束，在H處受柔索約束。在解除約束的B處可用兩個正交分力FBx、FBy來表示，在E處畫上沿繩索中心線背離滑輪的拉力FTE，在H處畫上沿繩索中心線背離滑輪的拉力FTH。滑輪及繩索受力圖如圖1.22（b）所示。(2)桿CD的受力圖。①取桿CD為研究對象，畫出分離體圖。②畫主動力:無。

③畫約束反力:CD桿為一個二力構件，據上可知，二力構件上的兩個力必沿兩力作用點的連線，且等值、反向。假設CD桿受拉，在C、D處畫上拉力FCD、FDC，且FCD=-FDC，桿CD受力圖如圖1.22（c）所示。(3)桿AC的受力圖。①取桿AC為研究對象，畫出分離體圖。②畫主動力:無。

③畫約束反力:桿AC在A處受固定鉸鏈支座約束，在B、C處受中間鉸約束。在解除約束的A處可用兩個正交分力FAx、FAy

來表示；在B處畫上FBx′、FBy′，它們分別與FBx、FBy互為作用力與反作用力；在C處畫上FCD′，它與FCD互為作用力與反作用力。桿AC的受力圖如圖1.22（d）所示。(3)桿AC的受力圖。①取桿AC為研究對象，畫出分離體圖。②畫主動力:無。

③畫約束反力:桿AC在A處受固定鉸鏈支座約束，在B、C處受中間鉸約束。在解除約束的A處可用兩個正交分力FAx、FAy

來表示；在B處畫上FBx′、FBy′，它們分別與FBx、FBy互為作用力與反作用力；在C處畫上FCD′，它與FCD互為作用力與反作用力。桿AC的受力圖如圖1.22（d）所示。(4)整個系統的受力圖。①取整個系統為研究對象，畫出分離體圖。②畫主動力:重力G。

③畫約束反力:在A處受固定鉸鏈支座約束，在E處受柔索約束，在D處受固定鉸鏈支座約束。系統中桿AC與桿CD在C處鉸接不分開，滑輪與桿AC在B處鉸接不分開，故這兩處的約束反力互為作用與反作用力，并成對出現，為系統的內力，不必畫出。只需在解除約束的A處用兩個正交分力FAx、FAy來表示；在E處畫上與沿繩索中心線背離滑輪的拉力FTE；在D處畫上拉力FDC。整個系統的受力圖如圖1.22(e)所示。圖1.2204第2章平面力系的平衡2.1平面任意力系向一點簡化2.2平面任意力系的平衡方程及應用2.3幾種特殊平面力系的平衡問題2.4物系的平衡2.5考慮摩擦時的平衡問題思考與練習2.1平面任意力系向一點簡化圖2.12.1.1力的平移定理設在剛體上A點有一個力F，現要將它平行移動到剛體內的任意指定點B，而不改變它對剛體的作用效應。為此，可在B點加上一對平衡力F′，F″，如圖2.2所示，并使它們的作用線與力F的作用線平行，且F=F′=F″，根據加減平衡力系公理，三個力與原力F對剛體的作用效應相同。力F、F″組成一個力偶M，其力偶矩的大小等于原力F對B點之矩，即M=MB(F)=Fd(2.1)

這樣就把作用在A點的力平行移動到了任意點B，但必須同時在該力與指定點B所決定的平面內加上一個相應的力偶M，稱為附加力偶。由此可得力的平移定理:作用于剛體上的力可以平行移動到剛體上的任意指定點，但必須同時在該力與指定點所決定的平面內附加一力偶，其力偶矩的大小等于原力對指定點之矩。圖2.2

根據力的平移定理，可以將一個力分解為一個力和一個力偶；也可以將同一平面內的一個力和一個力偶合成為一個力。力的平移定理揭示了力與力偶在對物體作用效應之間的區別和聯系:一個力不能與一個力偶等效，但一個力可以和另一個與它平行的力及一個力偶的聯合作用等效。2.1.2平面任意力系向一點簡化圖2.3

1.力系的主矢平移力 組成的平面匯交力系的合力,稱為原平面任意力系的主矢。作用點在簡化中心O點，大小等于各分力的矢量和，即（2.2）在平面直角坐標系中，則有（2.3）(2.4)

式中，Fx,Fy分別為主矢FR′和各力在x,y軸上的投影；FR′為主矢的大小；α為FR′與x軸所夾的銳角，FR′的指向由∑Fx和∑Fy的正負來確定。

2.力系的主矩

附加的平面力偶系M1=MO(F1），M2=MO(F2),…,Mn=MO(Fn）的合力偶矩的大小為MO，稱為原平面任意力系對簡化中心O點的主矩，MO等于力系中各力對簡化中心O點之矩的代數和，即MO=M1+M2+…+Mn=∑MO(Fi)=∑Mi （2.5）值得注意的是，選取不同的簡化中心，主矢不會改變，因為主矢總是等于原力系中各力的矢量和，也就是說主矢與簡化中心的位置無關；而主矩等于原力系中各力對簡化中心之矩的代數和，一般來說主矩與簡化中心有關，提到主矩時一定要指明是對哪一點的主矩。主矢與主矩的共同作用才與原力系等效。2.1.3簡化結果的討論

(1)FR′≠0,MO≠0。根據力的平移定理的逆過程，可將主矢FR′與主矩MO簡化為一個合力FR，合力FR的大小、方向與主矢FR′相同，FR的作用線與主矢的作用線平行，但相距 ，如圖2.3（e）所示。此合力FR與原力系等效，即平面任意力系簡化為一個合力。

(2)FR′≠0,MO=0。原力系與一個力等效，即原力系可簡化為一個合力。合力等于主矢，合力的作用線通過簡化中心。(3)FR′=0,MO≠0。原力系與一個力偶等效，即原力系可簡化為一個合力偶。合力偶矩等于主矩，此時，主矩與簡化中心的位置無關。

(4)FR′=0,MO=0。原力系處于平衡狀態，即原力系為一平衡力系。

【例2.1】如圖2.4（a）所示，正方形平面板的邊長為4a，在板上A、O、B、C處分別作用有力F1,F2,Ｆ3,F4，其中F1=F, ,F3=2F,F4=3F。求作用在板上此力系的合力。

解（1）選O點為簡化中心，建立如圖2.4（a）所示的直角坐標系，求力系的主矢和主矩。由式（2.2）、(2.3)、(2.4)和式（2.5）可得：主矢的大小為主矢的方向為由于∑Ｆx和∑Fy都為正，主矢FR′指向第一象限。主矩的大小為MO=∑MO(Fi)=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)+MO(F4)=F1a+0+F3×2a-F4×a

=Fa+4Fa-3Fa

=2Fa

主矩的轉向為逆時針方向。圖2.4

（2）由于FR′≠0，MO≠0，根據力的平移定理的逆過程，可將主矢FR′與主矩MO簡化為一個合力FR。合力FR的大小、方向與主矢FR′相同，FR的作用線與主矢的作用線平行，但相距d

力系合力的作用線通過D點，如圖2.4（c）所示。2.2平面任意力系的平衡方程及應用

由上節的討論結果可知，如果平面任意力系向任一點簡化后的主矢和主矩同時為零，則該力系處于平衡。反之，要使平面任意力系處于平衡，主矢和主矩都必須等于零。因此，平面任意力系平衡的必要與充分條件為:FR′=0，MO=0。即

由此可得平面任意力系的平衡方程為

式（2.6）是平面任意力系平衡方程的基本形式，也稱為一力矩式方程。它說明平面任意力系平衡的解析條件是:力系中各力在平面內任選兩個坐標軸上的投影的代數和分別為零，以及各力對平面內任意一點之矩的代數和也等于零。這三個方程是各自獨立的三個平衡方程，只能求解三個未知量。

【例2.2】如圖2.5（a）所示為簡易起吊機的平面力系簡圖。已知橫梁AB的自重G1=4kN，起吊總量G2=20kN，AB的長度l=2m；斜拉桿CD的傾角α=30°，自重不計；當電葫蘆距A端距離a=1.5m時，處于平衡狀態，試求拉桿CD的拉力和A端固定鉸鏈支座的約束反力。

解（1）以橫梁AB為研究對象，取分離體畫受力圖。作用在橫梁上的主動力:在橫梁中點的自重G1、起吊重量G2。作用在橫梁上的約束反力:拉桿CD的拉力FCD、鉸鏈A點的約束反力FAx、FAy，如圖2.5（b）所示。（2）建立直角坐標系，列平衡方程。(a)(b)(c)圖2.5（3）求解未知量。由式(a)得

將FCD代入式（b）得將FCD代入式（c）得FCD、FAx、FAy都為正值，表示力的實際方向與假設方向相同；若為負值，則表示力的實際方向與假設方向相反。

（4）討論。本題若寫出對A、B兩點的力矩方程和對x軸的投影方程，則同樣可求解。即由解得FCD=34kN,FAx=29.44kN,FAy=7kN若寫出對A、B、C三點的力矩方程則也可得出同樣的結果。

由上面例題的討論可知，平面任意力系的平衡方程除了式（2.6）所示的基本形式以外，還有二力矩形式和三力矩形式，其形式如下:(2.7)其中A、B、C三點不能共線。(2.8)其中A、B兩點的連線不能與x軸（或y軸）垂直。

由上面例題可知，求解平面任意力系平衡問題的步驟如下:1）取研究對象，畫受力圖根據問題的已知條件和未知量，選擇合適的研究對象；取分離體，畫出全部作用力（主動力和約束反力）。

2）選取投影軸和矩心，列平衡方程為了簡化計算，通常盡可能使力系中多數未知力的作用線平行或垂直于投影軸；盡可能把未知力的交點作為矩心，力求做到列一個平衡方程解一個未知數，以避免聯立解方程，但是應注意，不管列出哪種形式的平衡方程，對于同一個平面力系來說，最多能列出三個獨立的平衡方程，因而只能求解三個未知數。3）解平衡方程，校核結果將已知條件代入方程求出未知數。但應注意由平衡方程求出的未知量的正、負號的含義，正號說明求出的力的實際方向與假設方向相同，負號說明求出的力的實際方向與假設方向相反，不要去改動受力圖中原假設的方向。必要時可根據已得出的結果，代入再列出的任何一個平衡方程，檢驗其正誤。2.3幾種特殊平面力系的平衡問題2.3.1平面匯交力系的平衡

1.平面匯交力系的平衡方程由于平面匯交力系中各力的作用線匯交于一點，∑MO(Fi)=0自然滿足，因此其平衡的必要且充分條件為:力系中各力在兩個坐標軸上投影的代數和分別為零。即（2.9）式（2.9）為平面匯交力系的平衡方程，只有兩個獨立的平衡方程，只能求出兩個未知量。

2.平面匯交力系的平衡方程的應用【例2.3】如圖2.6（a）所示，圓球重G=100

Ｎ，放在傾角為α=30°的光滑斜面上，并用繩子AB系住，繩子AB與斜面平行。試求繩子AB的拉力和斜面對球的約束力。

解（1）選圓球為研究對象，取分離體畫受力圖。主動力:重力G。約束反力:繩子AB的拉力FT、斜面對球的約束力FN。受力圖如圖2.6（b）所示。（2）建立直角坐標系Oxy，列平衡方程并求解。

∑Fx=0 FT-Gsin30°=0

FT=50N(方向如圖所示）

∑Fy=0 FN-Gcos30°=0

FN=86.6N（方向如圖所示）

（3）若選取如圖2.6（c）所示的直角坐標系，列平衡方程得:

∑Fx=0 FTcos30°-FNcos60°=0

∑Fy=0 FTsin30°+FNsin60°-G=0

聯立求解方程組得:

FT=50N（方向如圖所示）

ＦN=86.6N（方向如圖所示）由此可見，建立直角坐標系時，坐標軸應盡量選在與未知力垂直的方向上，這樣可以簡化計算。

【例2.4】如圖2.7（a）所示三角支架由桿AB、BC組成，A、B、C處均為光滑鉸鏈，在銷釘B上懸掛一重物，已知重物的重量G=10kN，桿件自重不計。試求桿件AB、BC所受的力。

解（1）取研究對象，畫受力圖。取銷釘B為研究對象；主動力:重力G；約束反力:由于桿件AB、BC的自重不計，且桿兩端均為鉸鏈約束，故AB、BC均為二力桿件，桿件兩端受力必沿桿件的軸線，根據作用與反作用力關系，兩桿的B端對于銷釘有反作用力F1、F2，受力圖如圖2.7（b）所示。（2）建立直角坐標系Bxy，列平衡方程并求解。∑Fy=0 F2sin30°-G=0

Ｆ2=20kN

∑Fx=0 F2cos30°-F1=0

F1=17.32kN

根據作用力與反作用力定律，桿件AB所受的力為17.32kN，且為拉力；BC所受的力為20kN，且為壓力。圖2.72.3.2平面力偶系的平衡根據式（1.15）平面力偶系可簡化為一個合力偶，故平面力偶系平衡的必要和充分條件為:力偶系中各力偶矩的代數和等于零。即∑Mi=0式（2.10）稱為平面力偶系的平衡方程，一個力矩方程只能解一個未知數。（2.10）

【例2.5】用多軸鉆床在一水平放置的工件上加工四個直徑相同的孔，鉆孔時每個鉆頭的主切削力組成一力偶，各力偶矩的大小M1=M2=M3=M4=15N·m,兩個固定螺栓A、B之間的距離為200mm，如圖2.8所示。試求加工時兩個固定螺栓A、B所受的力。

解（1）取工件為研究對象，畫受力圖。主動力:四個已知的力偶。約束反力:固定螺栓A、B所給的約束反力FA、FB，根據力偶只能與力偶平衡，因此B處約束反力FB必和A處約束反力FA組成一力偶，即兩力平行、等值、反向，力偶臂長為200mm，受力圖如圖2.8（b）所示。

（2）列平衡方程并求解。

∑Mi=0-4M1+M(FA,ＦB)=0

FA=FB=300N(方向如圖所示)

根據作用與反作用定律，兩個固定螺栓A、B所受的力分別為FA=FB=300N，方向與圖示方向相反。圖2.82.3.3平面平行力系的平衡在平面平行力系中，若選擇直角坐標軸的y(或x)軸與力系各力作用線平行，則每個力在x(或y)軸上的投影均為零，即∑Fx≡0(或∑Fy≡0)。于是平行力系只有兩個獨立的平衡方程，即（2.11）式（2.11）為平面平行力系的平衡方程，它表明平面平行力系平衡的必要和充分條件是力系中各力在與力平行的坐標軸上的投影的代數和為零，各力對任意點之矩的代數和也為零或二力矩式:(A、B兩點連線不能與各力平行)（2.12）

【例2.6】塔式起重機如圖2.9（a）所示，已知軌距為4m，機身重G=500kN，其作用線至機架中心線的距離為4m；起重機最大起吊載荷G1=260kN，其作用線至機架中心線的距離為12m;平衡塊G2至機架中心線的距離為6m，欲使起重機滿載時不向右傾倒，空載時不向左傾倒，試確定平衡塊重G2

；當平衡塊重G2=600kN時，試求滿載時軌道對輪子的約束反力。

解（1）取起重機為研究對象，畫受力圖。主動力:機身重力G，起吊載荷G1

，平衡塊重G2

。約束反力:軌道對輪子的約束反力FA、FB。受力圖如圖2.9（b）所示。

（2）列平衡方程，求平衡塊重。

①滿載時的情況。滿載時，若平衡塊太輕，起重機將會繞B點向右翻倒，在平衡的臨界狀態時，FA等于零，平衡塊重達到允許的最小值Ｇ2min。∑MB(Fi)=0 G2min×(6+2)-G×(4-2)-G1×(12-2)=0

G2min=450kN圖2.9②空載時的情況。空載時，起重機在平衡塊的作用下，將會繞A點向左翻倒，在平衡的臨界狀態時，FB等于零，平衡塊重達到允許的最大值G2max。∑ＭA(Fi)=0G2max×(6-2)-G×(4+2)=0

G2max=750kN因此，要保證起重機在滿載和空載時均不致翻倒，平衡塊重應滿足如下條件:450kN≤G2≤750kN

（3）列平衡方程，求G2=600kN，滿載時輪軌對機輪的約束反力。∑MB(Fi)=0G2×(6+2)-FA×4-G×(4-2)-G1×(12-2)=0

FA=300kN（方向如圖）

∑MA(Fi)=0G2×(6-2)+FB×4-G×(4+2)-G1×(12+2)=0

FB=1060kN（方向如圖）

【例2.7】一端固定的懸臂梁AB如圖2.10（a）所示。已知:q=10kN/m，F=20kN，M=10kN·m，l=2m,試求梁支座A的約束反力。

解

(1)取懸臂梁AB為研究對象，畫受力圖。主動力:集中力F，分布載荷q，力偶M。物體所受的力，如果是沿著一條線連續分布且相互平行的力系稱為線分布載荷，如圖中載荷q稱為載荷集度，表示單位長度上所受的力，其單位為N/m或kN/m，如果分布載荷為一常量，則該分布載荷稱為均布力或均布載荷。列平衡方程時，常將均布載荷簡化為一個集中力，其大小為FＱ=ql（l為載荷作用長度），作用線通過作用長度的中點。約束反力:A端受一固定端約束，其約束反力為FAx、FAy、

MA。受力圖如圖2.10（b）所示。圖2.10

（2）建立坐標系Axy，列平衡方程并求解。

∑Fx=0 FAx=0

∑Fy=0 FAy-FQ-F=0

其中:ＦQ=ql=10×2=20kN，作用在AB段中點位置。FAy=FQ+F=20+20=40kN（方向如圖）∑MA(F)=02.4物系的平衡2.4.1靜定與靜不定問題的概念由前面介紹的平衡計算可知，每一種力系的獨立平衡方程的數目都是一定的。例如:平面力偶系只有一個，平面匯交力系和平面平行力系各有兩個，平面任意力系有三個。因此，對每一種力系來說，所能解出的未知數也是一定的。如果所研究的平衡問題的未知量數目少于或等于獨立平衡方程的數目，則所有未知量可全部由平衡方程求出，這類問題稱為靜定問題，如圖2.11（a）、（b）所示。圖2.11圖2.122.4.2物系的平衡所謂物系就是指由若干個物體通過約束按一定方式聯接而成的系統。當整個物系處于平衡時，系統中每一個物體或某一個局部一定平衡，因此，可取整個系統為研究對象，也可取單個物體或系統中部分物體的組合為研究對象。作用于研究對象上的力系都滿足平衡方程，所有未知量也均可通過平衡方程求出。在研究物系的平衡問題時，不僅要分析外界物體對于整個系統作用的外力，同時還應研究系統內各物體間相互作用的內力。由于內力總是成對出現，因此當取整體為研究對象時，可不考慮內力，但內力與外力的概念又是相對的，當研究物系中某一個物體或某一部分的平衡時，物系中其他物體或其他部分對所研究物體或部分的作用力就成為外力，必須考慮。

【例2.8】多跨靜定梁由AC和CE用中間鉸C聯接而成，支承和載荷情況如圖2.13（a）所示。已知:F=10kN,q=5kN/m,M=10kN·m,l=8m。試求支座A、B、E及中間鉸C的約束反力。

解對整體進行受力分析，共有四個未知力，而獨立的平衡方程只有三個，這表明以整體為研究對象不能求得全部約束反力。為此可將整體從中間鉸處分開，分成左、右兩部分，取研究對象進行分析。（1）取梁CE為研究對象，畫受力圖，建立坐標系，列平衡方程并求解。受力圖如圖2.13（b）所示。其中:作用在CD段的中點。

（2）取梁AC為研究對象，畫受力圖，建立坐標系，列平衡方程并求解。受力圖如圖2.13（c）所示。其中: ，作用在BC段的中點； ， 方向如圖2.13（c）所示。圖2.13

【例2.9】三鉸拱每半拱重G=300kN，跨長l=32m，拱高h=10m，如圖2.14(a)所示，試求:鉸鏈支座A、B、C的約束反力。圖2.14

解第一種解法:先取三鉸拱整體為研究對象，再取半拱AC（或BC）為研究對象進行求解。第二種解法:分別取半拱AC、BC為研究對象進行求解。第一種解題方法比較簡單，下面就介紹第一種。

(1)先取三鉸拱整體為研究對象，畫出受力圖。主動力:兩個半拱重力各為G。約束反力:鉸鏈支座A、B出的約束反力FAx、

FAy、FＢx、FBy。受力圖如2.14(b)所示。(2)建立坐標系Oxy，列平衡方程。(3)取半拱AC為研究對象，畫出受力圖。半拱AC上作用有主動力G，約束反力有FAx、FＡy、FCx、FCy，受力圖如圖2.14(c)所示。

【例2.10】如圖2.15(a)所示為一曲柄連桿機構，它由活塞、連桿、曲柄及飛輪組成，設曲柄處于圖示鉛垂位置時系統平衡，已知飛輪重G，曲柄OA長為r，連桿AB長為l，作用于活塞B上的總壓力為F，不計各構件自重及摩擦。試求阻力偶矩M和軸承O的約束反力。圖2.15

解本題是物系平衡的另一類問題，屬于運動機構，一般可以按照力的傳遞順序，依次取研究對象。（1）以活塞為研究對象，畫受力圖，建立坐標系，列平衡方程并求解。受力圖如圖2.15（b）所示。

（2）以飛輪連同曲柄一起為研究對象，畫受力圖，建立坐標系，列平衡方程并求解,其中FAB′=-FAB，它們互為作用力與反作用力，受力圖如圖2.15（c）所示。2.5考慮摩擦時的平衡問題2.5.1滑動摩擦當兩物體接觸面間有相對滑動的趨勢時，物體接觸表面產生的摩擦力稱為靜滑動摩擦力，簡稱靜摩擦力。當兩物體接觸面間產生相對滑動時，物體接觸表面產生的摩擦力稱為動滑動摩擦力，簡稱動摩擦力。由于摩擦對物體的運動起阻礙作用，因此摩擦力總是作用在接觸面（點），沿接觸處的公切線，與物體相對滑動或相對滑動趨勢方向相反。摩擦力的計算方法一般根據物體的運動情況而定，通過實驗可得如下結論:

（1）靜摩擦定律（或庫侖定律）:當主動力增到某一數值時，物體處于將動而未動的臨界平衡狀態，這時的靜摩擦力達到靜摩擦力的最大值，稱為最大靜摩擦力，用Ffmax表示，其大小與接觸面間的正壓力（即法向反力）FN的大小成正比，即Ffmax=fsFN

式中，比例系數fs稱為靜摩擦因數，其大小與接觸面的材料、粗糙度、濕度、溫度等情況有關，而與接觸面積的大小無關。各種材料在不同情況下的靜摩擦因數是由實驗測定的，幾種常見材料的靜摩擦因數如表2.1所示。（2.13）表2.1常見材料的滑動摩擦因數

（2）一般靜止狀態下的靜摩擦力Ff隨主動力的變化而變化，其大小由平衡方程確定，介于零和最大靜摩擦力之間，即0≤Ff≤Ffmax

（2.14）

（3）當物體處于滑動狀態時，在接觸面上產生的滑動摩擦力Ff′的大小與接觸面的正壓力（即法向反力）ＦN成正比，即Ff′=fFN

(2.15)

式中，比例系數f稱為動摩擦因數，其大小與接觸面的材料、粗糙度、濕度、溫度等情況有關，而與接觸面積的大小無關。一般fs＞f，這說明推動物體從靜止開始滑動比較費力，一旦滑動起來，要維持滑動就省力些。各種材料在不同情況下的動摩擦因數是由實驗測定的，幾種常見材料的動摩擦因數如表2.1所示。2.5.2摩擦角與自鎖現象存在摩擦時，平衡物體受到的約束反力包括法向反力FN和切向反力（即靜摩擦力）Ff，兩者的合力稱為全約束反力簡稱全反力，用符號FR表示。全反力與接觸面法線之間的夾角為φ，如圖2.16（a）所示。全反力FR和夾角φ的大小隨靜摩擦力Ff的增大而增大，當物體處于平衡的臨界狀態時，靜摩擦力達到最大值Ff=Ffmax，夾角φ也達到最大值φ=φm，這時的全反力與接觸面法線夾角的最大值φm稱為摩擦角，如圖2.16（b）所示。由此可得(2.16)

即摩擦角的正切值等于靜摩擦因數。摩擦角和靜摩擦因數是兩接觸物體同一摩擦性能的兩種不同度量方式。圖2.16

物體平衡時，靜摩擦力總是小于或等于最大靜摩擦力，因此，全反力FR與接觸面法線間的夾角φ也總是小于或等于摩擦角φm，即全反力的作用線不可能超出摩擦角的范圍。若物體與支承面的靜摩擦因數在各個方向都相同，則這個范圍在空間就形成一個錐體，稱為摩擦錐，如圖2.16（c）所示。若主動力的合力FQ作用線在摩擦錐范圍內，約束面必產生一個與之等值、共線、反向的全反力FR與之相平衡，不論FQ怎樣增大，物體總能處于靜止平衡狀態。這種只需主動力的合力作用線在摩擦錐范圍內，物體依靠摩擦總能靜止而與主動力大小無關的力學現象稱為自鎖現象。自鎖的條件為α≤φm,φ≤φm

（2.17）

自鎖現象在工程實際中有很重要的應用，如工人用螺旋千斤頂頂起重物，為保證螺旋千斤頂在被升起的重物重力G作用下不會自動下降，則千斤頂的螺旋升角α≤φm，如圖2.17所示；工廠生產線上用傳送帶輸送物料，就是通過自鎖來阻止物料相對于傳送帶的滑動的，等等。相反，在工程實際中有時又要設法避免自鎖現象的發生，如自卸貨車的車斗能升起的仰角必須大于摩擦角φm，卸貨時才能處于非自鎖狀態；機器正常運行時的運動零部件就不能因自鎖而造成零部件相對卡住等。圖2.172.5.3考慮摩擦時物體的平衡問題考慮摩擦時物體的平衡問題，其解題方法、步驟與不考慮摩擦時基本相同，所不同的是:在畫物體受力圖時，一定要畫出摩擦力，并要注意摩擦力總是沿著接觸面的公切線并與物體相對滑動或相對滑動趨勢方向相反，其方向要正確畫出，不能隨意假定；除列出物體的平衡方程外，還應附加靜摩擦力的求解條件作為補充方程，因靜摩擦力有一個變化范圍，故所得結果也是一個范圍值，稱為平衡范圍，在臨界狀態時，補充方程為Ff=Ffmax=fsFN，所得的結果也是平衡范圍的極限值。

一般考慮有摩擦時的平衡問題可分為下述三種類型:

(1)已知作用于物體上的主動力，需判斷物體是否處于平衡狀態，并計算所受的摩擦力。

(2)已知物體處于臨界的平衡狀態，需求主動力的大小或物體平衡時的位置（距離或角度）。

(3)求物體的平衡范圍。由于靜摩擦力的值可以隨主動力變化而變化，因此物體平衡時，主動力的大小或平衡位置允許在一定范圍內變化。

【例2.11】一重為G=200Ｎ的梯子AB一端靠在鉛垂的墻壁上，另一端擱置在水平地面上，θ=arctan(4/3)，梯子長為l，如圖2.18（a）所示。假設梯子與墻壁間為光滑約束，而與地面之間存在摩擦，靜摩擦因數fs=0.5。問梯子是處于靜止還是會滑倒？此時摩擦力的大小為多少？

解解這類問題時，可先假設物體靜止，求出此時物體所受的約束反力與靜摩擦力Ff，把所求得的Ff與可能達到的最大靜摩擦力Ffmax進行比較，判斷物體的狀態。（1）取梯子為研究對象，畫受力圖。如圖2.18

(b)所示。圖2.18（2）建立坐標系，列平衡方程。解得（3）補充方程。（4）比較。FfA＜FfmaxA，梯子處于靜止狀態。此時，摩擦力的大小為75N，方向如圖所示。

【例2.12】一重為G的物體放在傾角為α的斜面上，如圖2.19(a)所示。物體與斜面間的靜摩擦因數為fs，摩擦角為φm，且α＞φm。試求使物體保持靜止時水平推力F的大小。

解因為α＞φm，物體處于非自鎖狀態，當物體上沒有力作用時物體將沿斜面下滑。要使物體在斜面上保持靜止，作用于物體上的水平推力F不能太小也不能太大，當作用于物體上的水平推力F太小時，物體有可能沿斜面下滑；F太大時，物體有可能沿斜面向上滑動。因此，F的大小應在某一個范圍內，即Fmin≤F≤Fmax

（1）求Fmin。當物體處于下滑趨勢的臨界狀態時，F為最小值Fmin，受力圖如圖2.19(b)所示。因為物體有向下的滑動趨勢，所以摩擦力Ffmax應沿斜面向上。沿斜面方向建立直角坐標系，列出平衡方程∑Fx=0Fmincosα-Gsinα+Ffmax=0

∑Fy=0FN-Fminsinα-Gcosα=0列補充方程Ffmax=fsFN=FNtanφm

解得

（2）求Fmax。當物體處于上滑趨勢的臨界狀態時，F為最大值Fmax，受力圖如圖2.19(c)所示。因為物體有向上的滑動趨勢，所以摩擦力Ffmax應沿斜面向下。沿斜面方向建立直角坐標系，列出平衡方程∑Ｆx=0Fmaxcosα-Gsinα-Ffmax=0

∑Fy=0FN-Fmaxsinα-Gcosα=0列補充方程Ffmax=fsFN=FNtanφm

解得

綜合以上結果可知，使物體保持靜止時水平推力F的取值范圍為Gtan（α-φm)≤F≤Gtan(α+φm)圖2.19

【例2.13】摩擦制動器的構造和主要尺寸如圖2.20(a)所示，已知摩擦塊與輪之間的靜摩擦因數為fs，作用于輪上的轉動力矩為M，輪半徑為R。在制動桿B處作用一力F，制動桿尺寸為a、l，摩擦塊的厚度為δ。求制動輪子所需的最小力Fmin。

解當輪子剛能停止轉動，摩擦塊與輪子處于臨界平衡狀態時，這時制動輪子所需的F的大小為Fmin。分別取輪子、制動桿為研究對象，畫受力圖，如圖2.20(b)、(c)所示。對于輪子，列平衡方程∑MO(F)=0M-FfmaxＲ=0列補充方程Ffmax=fsFN

解得對于制動桿，列平衡方程又有解得圖2.202.5.4滾動摩擦簡介圖2.21

滾動阻力小于滑動阻力的原因，可以用車輪在地面上的滾動來分析。如圖2.22

(a)所示，將一重為G的輪子放在地面上并在輪心施加一微小的水平力F，這時在輪子與地面的接觸處就會產生一摩擦阻力Ff以阻止輪子朝前滾動，Ff與F等值、反向，組成一個力偶，其力偶矩大小為Fr，它將驅使輪子產生轉動趨勢。當力F不大時，轉動并沒有發生而是保持平衡，這說明還存在一個阻礙轉動的力偶矩，稱為滾動摩擦力偶矩。

其原因是輪子和地面都是變形體，都要產生變形，由于它們的變形，其上的約束反力分布在接觸的曲面上，形成一個平面的任意力系，如圖2.22(b)所示。將這些任意分布的力向點A簡化，即可得到一個力和一個力偶，其中這個力可分解為法向約束反力（正壓力）FN′和靜摩擦力Ff，而這個力偶的矩即為滾動摩擦力偶矩Mf，如圖2.22(c)所示。再將法向約束反力FN′和滾動摩擦力偶矩Mf進一步按力的平移定理的逆定理進行合并，即可得到約束反力FN，其作用線向滾動方向偏移一段距離e，如圖2.22

(d)所示。

當輪子達到開始滾動尚未滾動的臨界狀態時，偏移值e也增大到最大值δ，試驗表明，最大滾動摩擦力偶矩與兩個相互接觸物體間的法向約束反力成正比，即Mfmax=emaxFN=δFN

圖2.22思考與練習

2.1

一力系由力F1,F2,F3,F4組成，已知F1=F2=F3=F4，各力方向如練習2.1圖所示，試問力系向A點和B點簡化的結果是什么？二者是否等效？

練習2.1圖2.2如練習2.2圖所示，在物體上A、B、C三點處分別有等值且互成60°夾角的力F1,F2,F3

，試問此物體是否平衡？為什么?練習2.2圖2.3列平衡方程時，坐標軸選在什么方向上可使投影方程簡便？矩心應選在什么點上可使力矩方程簡便？

2.4已知沙石與皮帶間的靜摩擦因數fs=0.5，試問如練習2.4圖所示輸送帶的最大傾角應為多少？練習2.4圖2.5如練習2.5圖所示平面力系，已知F1=F2=F,F3=F4=，每個方格邊長為a。求力系向O點簡化的結果。練習2.5圖2.6如練習2.6圖所示三角支架的鉸鏈A處銷釘上懸掛一重物G，各桿自重不計，已知G=10kN，試求桿AB、AC所受的力。練習2.6圖2.7如練習2.7圖所示，簡易起重機用鋼絲繩吊起重物，已知G=5kN，不計桿件自重及滑輪的大小，A、B、C三處均為光滑鉸鏈聯接，試求桿件AB、AC所受的力。練習2.7圖2.8構件的支承和載荷情況如練習2.8圖所示，l=4m，求支座A、B的約束反力。練習2.8圖2.9鍛壓機在工作時，由于鍛錘受到工件的反作用力有偏心，使鍛錘發生偏斜，如練習2.9圖所示。已知鍛打力F=150kN，偏心距e=20mm，錘頭高度h=300mm，試求錘頭加給兩側導軌的壓力。練習2.9圖2.10鉸鏈四桿機構OABO1，在如練習2.10圖所示位置處于平衡，已知M1=1N·m，lOA=0.4m，lO1B=0.6m,不計各桿的自重，試求力偶矩M2的大小及連桿AB所受的力。練習2.10圖

2.11

如練習2.11圖所示為汽車起重機的平面簡圖。已知車重G１=26kＮ，臂重G2=4.5kN，起重機旋轉及固定部分的重量G3=31kN。試求在圖示位置時汽車不致翻倒的最大起重量G。練習2.11圖2.12如練習2.12圖所示，自重G=160kN的水塔固定在支架A、B、C、D上，若水塔左側面受風載作用，q=16kN/m，為保證水塔平衡，試求A、B間的最小距離。練習2.12圖

2.13

如練習2.13圖所示為組合梁，已知q、a,且F=qa,M=qa2,求各梁A、B處的約束反力。練習2.13圖2.14如練習2.14圖所示一構架由桿件AB和BC所組成。載荷G=6kN，不計滑輪和桿件重量，求A、C兩鉸鏈處的約束反力。練習2.14圖2.15如練習2.15圖所示為破碎機傳動機構，設破碎時礦石對活動顎板AB的作用力沿垂直于AB方向的分力F=1kN，其作用點為H。已知AB=0.6m，AH=0.4m，OE=0.1m，BC=CD=0.6m

,求在圖示位置時電機作用于桿OE的轉矩M。練習2.15圖2.16如練習2.16圖一重G=1kN的物體放在傾角α=30°的斜面上，已知接觸面間的靜摩擦因數fs=0.2，現用F=6