河南省TOP二十名校2025屆高三猜題大聯考數學試題數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知平面向量，，則（

）A． B． C． D．3．設甲：；乙：，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若把滿足的正整數組稱為“勾股平方數組”，則在不大于13的正整數中隨機選取3個不同的數，能組成“勾股平方數組”的概率為（

）A． B． C． D．5．棱長均為2的正三棱柱的各個頂點都在球的球面上，則球的體積為（

）A． B． C． D．6．已知首項為的等比數列的前項和為，若也為等比數列，則的公比為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，，則（

）A．3 B．2 C．-2 D．-38．過雙曲線右支上的點作的切線l，，分別為的左、右焦點，為切線上的一點，且（O為坐標原點）.若，則（

）A． B．2 C．3 D．4二、多選題9．記為首項為2的數列的前項和，已知，則（

）A． B．C． D．10．已知關于復數的方程組有且僅有一個復數解，則的值可能是（

）A． B． C． D．11．已知函數，，則（

）A．與的值域相同B．與的值域相同C．D．三、填空題12．已知橢圓的左頂點與上頂點之間的距離為焦距的倍，則的離心率為.13．曲線的對稱中心為．14．現有各項均為正整數的遞增數列2，3，4，，，20，30，40，若從中任取4項構成的遞增數列都不是等差數列，則有序數對的個數為.四、解答題15．設拋物線的焦點為，過的直線與交于A，B兩點.（1）求的準線方程；（2）設為準線上一點，且，求.16．記的內角的對邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若邊上的中線長為，求的最大值.17．如圖，四棱錐中，，，且.（1）當平面平面時，證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.18．已知平面內有n個紅點、n個藍點、n個黃點（），這3n個點中任意兩點都不重合.（1）在顏色不同的任意兩點之間連接一條線段，顏色相同的兩點之間不連接線段，直接寫出連接線段條數的最大值；（2）若3n個點中任意三點都不共線，在所有互異的點之間連線，端點顏色相同的線段賦值1，端點顏色不同的線段賦值2.（ⅰ）記每條線段的賦值為隨機變量X，在所有線段中任取一條線段，按兩個端點的顏色進行分類（端點無序），求X的分布列及數學期望；（ⅱ）從3n個點中任取三個點構成三角形，記構成的三角形三邊的賦值之和的數學期望為，證明：.19．若兩個集合M，N滿足：，，且，，則稱M，N互為對偶集．已知函數，定義，．（1）若，，，證明：；（2）證明：存在，使得無論t取何值，與均互為對偶集；（3）若，求b的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】因為，故.故選C.2．【答案】A【詳解】由題意可得.故選A.3．【答案】D【詳解】由可得，由可得，所以由推不出，即充分性不成立；由也推不出，即必要性不成立.所以甲是乙的既不充分也不必要條件.故選:D.4．【答案】B【詳解】由題意可知基本事件的總數為，能組成“勾股平方數組”的有,,，共3個，故所求概率為.故選:B.5．【答案】D【詳解】如圖所示，因為正三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，設的外接圓的半徑為，正三棱柱的外接球的半徑為，可得，則，所以正三棱柱外接球的體積為.故選D6．【答案】B【詳解】設的公比為，當時，，，可得，所以不是等比數列，當時，，可得，因為是等比數列，所以，所以.故選B7．【答案】C【詳解】由，得①，由，得，即，所以②，由①②得，化簡得，所以.故選C.8．【答案】B【詳解】設，則雙曲線在點處的切線方程為，在中，令，得，故，故，又，故，其中，又，故，因為，所以，即，整理得，顯然，所以，解得.故選B.9．【答案】AC【詳解】由題意可得，可得下表：所以數列的最小正周期，，故A正確，，故B錯誤，由，則，故C正確；，故D錯誤.故選AC.10．【答案】AC【詳解】由方程組在復平面上的幾何意義可知，問題等價于以為圓心，5為半徑的圓與點與所連線段的垂直平分線相切，易求得垂直平分線為，由點到直線距離公式有，即，解得或.故選AC.11．【答案】ABD【詳解】對于A，，故的圖象可看作的圖象向右平移個單位長度得到的，左右平移不影響值域，故A正確；對于B，，，，故的圖象可看作的圖象向左平移個單位長度得到的，左右平移不影響值域，故B正確；對于C，，，由，，可知，，，，，所以，，，故C錯誤；對于D，，，，而，故，故，故D正確.故選:ABD12．【答案】/【詳解】設橢圓的半焦距為，由題意可得，整理得，因此，所以的離心率為.13．【答案】【詳解】設，設函數的對稱中心為，則，等式兩邊求導得，即，所以，函數的圖象關于直線對稱，因為，故函數的圖象關于直線對稱，則，因為，所以，函數的對稱中心為.14．【答案】76【詳解】由題意可知的取值可從6，7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18中選取（時，2，3，4，5成等差數列，時，10，20，30，40成等差數列，不合題意），的取值可從7，8，9，11，12，13，14，15，16，17，18，19中選取（時，10，20，30，40成等差數列，不合題意），且需滿足，當時，的取法有12種；當時，的取法有11種；當時，的取法有10種；當時，的取法有9種；當時，的取法有8種，依次類推，當時，的取法有1種，此時的取法有（種），其中當，時，2，4，6，8成等差數列，不合題意；當，時，2，8，14，20成等差數列，不合題意.綜上所述，滿足題意的有（個）15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為拋物線的方程為，所以拋物線的準線方程為（2）因為在的準線上，所以，即，易得的坐標為，此時，因為，所以，解得，所以的方程為，設，，聯立消去并整理得，由韋達定理得，所以16．【答案】（1）證明見解析（2）4【詳解】（1）由余弦定理，得，故，即，當且僅當時等號成立，由正弦定理可得，又，故，即.（2）設為的中點，則有，兩邊平方得，，即，故，即，當且僅當時等號成立，所以的最大值為4.17．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：因為平面平面，且平面平面，，平面，可得平面，又，平面，故，，又，所以由，，得，，，，如圖1，取中點，連接BM，DM，有，，又，，所以，故因為，，，平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面（2）取中點，以為原點，為軸，過且平行于的直線為軸，過且垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系因為，O為的中點，所以在平面內.可設，，可得，，，，，，因為，所以，即，解得，得，，，，設平面與平面的法向量分別為，，由題意可得即可取，同理可得，設平面與平面的夾角為，故，故平面與平面的夾角的余弦值為.18．【答案】（1）（2）（ⅰ）分布列見解析，；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）紅藍、藍黃、黃紅三對里，每對中兩種顏色均有個點，則當個點中任意三點都不共線時，連接線段條數取最大值.（2）（ⅰ）端點顏色的所有可能情況為紅藍、藍黃、黃紅、紅紅、藍藍、黃黃，端點顏色相同的線段有條，端點顏色不同的線段有條，線段總條數為，則，，的分布列為：12所以數學期望.（ⅱ）共有三種可能，當三個同色點構成三角形時，賦值和為3，有種可能，當兩個同色點和一個異色點構成三角形時，賦值和為5，有種可能，當三個異色點構成三角形時，賦值和為6，有種可能，從個點中任取三個點，共有種可能，則，所以，因為，所以，，即.19．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【詳解】（1）由題意知，，則，

因此在上單調遞減．，，又，故．（2）觀察發現，，

取，下證與互為對