§1.1集合課標要求1.了解集合的含義，了解全集、空集的含義.2.理解元素與集合的屬于關系，理解集合間的包含和相等關系.3.會求兩個集合的并集、交集與補集.4.能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關系和基本運算．知識梳理1．集合與元素(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數集的記法集合非負整數集(或自然數集)正整數集整數集有理數集實數集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本關系(1)子集：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)．(2)真子集：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算表示運算集合語言圖形語言記法并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B補集{x|x∈U，且x?A}?UA常用結論1．若集合A有n(n≥1)個元素，則集合A有2n個子集，2n－1個真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.4．?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列舉法表示為{－1,0,1}．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若1∈{x2，x}，則x＝－1或x＝1.(×)(4)對任意集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)．(√)2．(必修第一冊P14T4改編)設集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，則(?RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}答案C解析因為?RA＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|2<x<10}，所以(?RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．3．(必修第一冊P35T9改編)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，則實數a＝________.答案2解析因為A∪B＝A，所以B?A，所以a＋2∈A.當a＋2＝3，即a＝1時，A＝{1,3,1}，不滿足集合中元素的互異性，不符合題意；當a＋2＝a2時，a＝－1(舍去)或a＝2，此時A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，符合題意．綜上，實數a＝2.4．(必修第一冊P9T5改編)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B?A，則實數a的取值范圍為________．答案[2，＋∞)解析因為B?A，所以利用數軸分析法(如圖)，可知a≥2.題型一集合的含義與表示例1(1)(2023·長春模擬)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，則A∩B的子集個數為()A．1B．2C．3D．4答案D解析集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}表示以(0,0)為圓心，2為半徑的圓上的所有點，集合B＝{(x，y)|x＋y＝0}表示直線x＋y＝0上的所有點，因為直線x＋y＝0經過圓心(0,0)，所以直線與圓相交，所以A∩B的元素個數為2，則A∩B的子集個數為4.(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則實數m的值為()A．2B．3C．0D．－2答案B解析因為集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，則m＝2或m2－3m＋2＝2，解得m∈{0,2,3}．當m＝0時，集合A中的元素不滿足互異性；當m＝2時，m2－3m＋2＝0，集合A中的元素不滿足互異性；當m＝3時，A＝{0,3,2}，符合題意．綜上所述，m＝3.思維升華解決集合含義問題的關鍵點(1)一是確定構成集合的元素．(2)確定元素的限制條件．(3)根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題．跟蹤訓練1(1)(2023·蘇州模擬)設集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個數為()A．3B．4C．5D．6答案B解析因為集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的個數為4.(2)若含有3個實數的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，則a2024＋b2024＝________.答案1解析因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，顯然a≠0，所以eq\f(b,a)＝0，即b＝0；此時兩集合分別是{a,1,0}，{a，a2,0}，則a2＝1，解得a＝1或a＝－1.當a＝1時，不滿足互異性，故舍去；當a＝－1時，滿足題意．所以a2024＋b2024＝(－1)2024＋02024＝1.題型二集合間的基本關系例2(1)(2023·海口質檢)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，則()A．A?B B．B?AC．A∩B＝? D．A∪B＝R答案A解析因為集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|1－log2x<0}＝{x|x>2}，所以A?B.(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B?A，則實數a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)答案A解析∵B?A，∴①若B＝?，即ax＋1≤0無解，此時a＝0，滿足題意．②若B≠?，即ax＋1≤0有解，當a>0時，可得x≤－eq\f(1,a)，要使B?A，則需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－\f(1,a)<－1，))解得0<a<1；當a<0時，可得x≥－eq\f(1,a)，要使B?A，則需要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－\f(1,a)≥3，))解得－eq\f(1,3)≤a<0，綜上，實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1)).思維升華(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解．(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．跟蹤訓練2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，則集合M，N的關系是()A．MN B．NMC．M??RN D．N??RM答案B解析因為M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以NM.(2)設集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，當x∈Z時，集合A的非空真子集的個數為________；當B?A時，實數m的取值范圍是________．答案254{m|m≤－2或－1≤m≤2}解析易得A＝{x|－2≤x≤5}．若x∈Z，則A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A中含有8個元素，∴A的非空真子集的個數為28－2＝254.①當m－1≥2m＋1，即m≤－2時，B＝?，B?A；②當m>－2時，B＝{x|m－1<x<2m＋1}≠?，因此，要使B?A，則需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5，))解得－1≤m≤2.綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤－2或－1≤m≤2}．題型三集合的基本運算命題點1集合的運算例3(1)(2022·新高考全國Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，則M∩N等于()A．{x|0≤x<2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))答案D解析因為M＝{x|eq\r(x)<4}，所以M＝{x|0≤x<16}；因為N＝{x|3x≥1}，所以N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3))))).所以M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))).(2)(多選)已知M，N均為實數集R的子集，且N∩(?RM)＝?，則下列結論中正確的是()A．M∩(?RN)＝?B．M∪(?RN)＝RC．(?RM)∪(?RN)＝?RMD．(?RM)∩(?RN)＝?RM答案BD解析∵N∩(?RM)＝?，∴N?M，如圖，若N是M的真子集，則M∩(?RN)≠?，故A錯誤；由N?M可得M∪(?RN)＝R，故B正確；由N?M可得?RN??RM，故C錯誤，D正確．命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)例4(1)(多選)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，則m的值可能為()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)答案BCD解析由題意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因為A∪B＝A，所以B?A，當B＝?時，m＝0，滿足題意；當B≠?時，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，－eq\f(1,m)＝2或－eq\f(1,m)＝－3，解得m＝－eq\f(1,2)或m＝eq\f(1,3)，綜上，m＝0或－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).(2)(2024·本溪模擬)設集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(?RB)＝A，則實數a的取值范圍為()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)答案A解析因為B＝{x|x>a}，所以?RB＝{x|x≤a}，又A∩(?RB)＝A，所以A??RB，又A＝{x|x<a2}，所以a2≤a，解得0≤a≤1，即實數a的取值范圍為[0,1]．思維升華對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況．跟蹤訓練3(1)(多選)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，則()A．(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(?RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集答案ACD解析由x2－2x>0，得x<0或x>2，所以A＝{x|x<0或x>2}，所以?RA＝{x|0≤x≤2}，對于A，因為B＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∪B＝{x|0≤x<3}，所以A正確；對于B，因為B＝{x|1<x<3}，所以(?RA)∩B＝{x|1<x≤2}，所以B錯誤；對于C，因為A＝{x|x<0或x>2}，B＝{x|1<x<3}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，所以C正確；對于D，因為A∩B＝{x|2<x<3}，所以A∩B是{x|2<x<5}的真子集，所以D正確．(2)已知集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝?，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)答案B解析因為集合A，B滿足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝?，則a－1≤1，解得a≤2.題型四集合的新定義問題例5(多選)群論是代數學的分支學科，在抽象代數中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數運算，即對所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①?a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②?e∈G，使得?a∈G，有e·a＝a·e＝a；③?a∈G，?b∈G，使a·b＝b·a＝e，則稱G關于“·”構成一個群．則下列說法正確的有()A．G＝{－1,0,1}關于數的乘法構成群B．G＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)，k∈Z，k≠0))))∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}關于數的乘法構成群C．實數集關于數的加法構成群D．G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}關于數的加法構成群答案CD解析對于A，若G＝{－1,0,1}，則對所有的a，b∈G，有a·b∈{1,0，－1}＝G，滿足乘法結合律，即①成立，滿足②的e為1，但當a＝0時，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A錯誤；對于B，因為a＝eq\f(1,2)∈G，且b＝3∈G，但a·b＝eq\f(1,2)×3＝eq\f(3,2)?G，故B錯誤；對于C，若G＝R，則對所有的a，b∈R，有a＋b∈R，滿足加法結合律，即①成立，滿足②的e為0，?a∈R，?b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正確；對于D，若G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}，則對所有的a＝m1＋eq\r(2)n1，b＝m2＋eq\r(2)n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋eq\r(2)(n1＋n2)∈G，?a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，當a＝b＝0時，a＋eq\r(2)b＝0，滿足②的e＝0，即②成立，?a＝m＋eq\r(2)n∈G，?b＝－m－eq\r(2)n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正確．思維升華集合新定義問題的“三定”(1)定元素：確定已知集合中所含的元素，利用列舉法寫出所有元素．(2)定運算：根據要求及新定義運算，將所求解集合的運算問題轉化為集合的交集、并集或補集的基本運算問題，或轉化為數的有關運算問題．(3)定結果：根據定義的運算進行求解，利用列舉法或描述法寫出所求集合中的所有元素．跟蹤訓練4(多選)設A為非空實數集，若對任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，則稱A為封閉集．下列敘述中，正確的為()A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}為封閉集B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集C．封閉集一定是無限集D．若A為封閉集，則一定有0∈A答案BD解析對于A，在集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，∴集合A不是封閉集，故A錯誤；對于B，集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}，設x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，∴x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，∴集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集，故B正確；對于C，封閉集不一定是無限集，如：{0}為封閉集，故C錯誤；對于D，若A為封閉集，則取x＝y，得x－y＝0∈A，故D正確．課時精練一、單項選擇題1．(2022·全國乙卷)設全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M滿足?UM＝{1,3}，則()A．2∈MB．3∈MC．4?MD．5?M答案A解析由題意知M＝{2,4,5}．2．(2023·新高考全國Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N等于()A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2}C．{－2} D．{2}答案C解析方法一因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，而M＝{－2，－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－2}．方法二因為M＝{－2，－1,0,1,2}，將－2，－1，0,1,2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．3．(2024·南京模擬)集合A＝{x∈N|1<x<4}的子集個數為()A．2B．4C．8D．16答案B解析A＝{x∈N|1<x<4}＝{2,3}，故子集個數為22＝4.4．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且滿足A∪B＝B，則下列集合中表示空集的是()A．(?UA)∩B B．A∩BC．(?UA)∩(?UB) D．A∩(?UB)答案D解析由Venn圖表示集合U，A，B如圖，由圖可得(?UA)∩B＝?BA，A∩B＝A，(?UA)∩(?UB)＝?UB，A∩(?UB)＝?.5．(2024·綿陽模擬)已知A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，若B?A，則m等于()A．0或4 B．1或4C．0 D．4答案A解析∵B?A且A＝{1,4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，當m＝4時，A＝{1,4,16}，B＝{1,4}，滿足題意；當m＝m2時，得m＝0或m＝1，當m＝0時，A＝{1,4,0}，B＝{1,0}，滿足題意；當m＝1時，代入集合中，不滿足集合的互異性．綜上，m可取0,4.6．已知M，N均為R的子集，若存在x使得x∈M，且x??RN，則()A．M∩N≠? B．M?NC．N?M D．M＝N答案A解析因為x??RN，所以x∈N，又因為x∈M，所以x∈M∩N，故M∩N≠?，故A正確；由于題目條件是存在x，所以不能確定集合M，N之間的包含關系，故B，C，D錯誤．7.已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x2－x>0}，則圖中的陰影部分表示的集合為()A．(－∞，1]∪(2，＋∞) B．(－∞，0)∪(1,2)C．[1,2) D．(1,2]答案A解析B＝{x|x2－x>0}＝{x|x<0或x>1}，由題意可知陰影部分對應的集合為?U(A∩B)∩(A∪B)，所以A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝R，即?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}，所以?U(A∩B)∩(A∪B)＝(－∞，1]∪(2，＋∞)．8．設集合I＝{1,3,5,7}，若非空集合A同時滿足：①A?I；②|A|≤min(A)(其中|A|表示A中元素的個數，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為I的一個“好子集”，則I的所有“好子集”的個數為()A．7B．8C．9D．10答案B解析當|A|＝1時，即集合A中元素的個數為1時，A的可能情況為{1}，{3}，{5}，{7}；當|A|＝2時，即集合A中元素的個數為2時，A的可能情況為{3,5}，{3,7}，{5,7}；當|A|＝3時，即集合A中元素的個數為3時，A的可能情況為{3,5,7}，綜上所述，I的所有“好子集”的個數為8.二、多項選擇題9．已知I為全集，集合M，N?I，若M?N，則()A．M∪N＝N B．M∩N＝NC．?IM??IN D．(?IN)∩M＝?答案AD解析因為M?N，則M∪N＝N，M∩N＝M，則A正確，B錯誤；又I為全集，集合M，N?I，則?IM??IN，(?IN)∩M＝?，C錯誤，D正確．10．已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，且A∪B＝A，則實數a的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，集合B表示關于x的方程ax＝1的解集，因為A∪B＝A，所以B?A，當a＝0時方程ax＝1無解，此時B＝?，符合題意；當B＝{1}時，a＝1；當B＝{－1}時，－a＝1，解得a＝－1，綜上可得a＝0或±1.三、填空題11．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數為________．答案4解析根據題意，A∩B的元素是x＋y＝8上滿足x，y∈N*且y≥x的點，即點(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．12．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{m,4,5}，且A∪B中的所有元素的和為12，則m＝________.答案－3解析當m＝1或m＝2或m＝3時，A∪B＝{1,2,3,4,5}，所有元素的和為15，不符合題意；當m≠1且m≠2且m≠3時，A∪B＝{1,2,3，m,4,5}，由題意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.13．高三某班共有55人，其中有14人參加了球類比賽，16人參加了田徑比賽，4人既參加了球類比賽，又參加了田徑比賽，則該班這兩項比賽都沒有參加的人數是________．答案29解析由題意畫出Venn圖，如圖所示，由Venn圖知，參加比賽的人數為26，所以該班這兩項比賽都沒有參加的人數是29.14．對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，記A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，則B－A＝________，A*B＝________.答案{x|－3<x<0}{x|－3<x<0或x≥3}解析由題意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3<x<3}，所以A－B＝{x|x≥3}，B－A＝{x|－3<x<0}．因此A*B＝{x|x≥3}∪{x|－3<x<0}＝{x|－3<x<0或x≥3}．15．(多選)由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀，直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數(史稱戴德金分割)，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數Q劃分為兩個非空的子集M與N，且滿足M∪N＝Q，M∩N＝?，M中的每一個元素小于N中的每一個元素，則稱(M，N)為戴德金分割．下列選項中可能成立的是()A．M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，(M，N)是一個戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個最小元素C．M有一個最大元素，N有一個最小元素D．M沒有最大元素，N也沒有最小元素答案BD解析對于A，因為M＝{x|x<0}，N＝{x|x>0}，M∪N＝{x|x≠0}≠Q，故A錯誤；對于B，設M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，滿足戴德金分割，則M中沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；對于C，若M有一個最大元素，N有一個最小元素，則不能同時滿足M∪N＝Q，M∩N＝?，故C錯誤；對于D，設M＝{x∈Q|x<eq\r(2)}，N＝{x∈Q|x≥eq\r(2)}，滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確．16．設集合M＝{1,2,3，…，12}，現對M的任一非空子集A，令xA為A中最大數與最小數之和，則所有這樣的xA的算術平均值為________．答案13解析集合M的非空子集共有(212－1)個，其中，最小值為1的子集可視為{2,3，…，12}的子集與集合{1}的并集，共有211個，同上可知，最小值為2的子集共有210個，最小值為3的子集共有29個，…，最小值為12的子集共有20個．最大值為12的子集可視為{1,2,3，…，11}的子集與集合{12}的并集，共有211個，同上可知，最大值為11的子集共有210個，最大值為10的子集共有29個，…，最大值為1的子集共有20個．所以M的所有非空子集中的最小值之和為211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，最大值之和為12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，所以xA的算術平均值為eq\f(211＋2×210＋3×29＋…＋12×20＋12×211＋11×210＋10×29＋…＋20,212－1)＝eq\f(13211＋210＋29＋…＋20,212－1)＝eq\f(13×\f(1－212,1－2),212－1)＝13.

§1.2常用邏輯用語課標要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質定理與必要條件、數學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進行否定．知識梳理1．充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示．(2)存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．3．全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結構對M中任意一個x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)常用結論1．充分、必要條件與對應集合之間的關系設A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分條件，則A?B；(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；(3)若p是q的必要不充分條件，則BA；(4)若p是q的充要條件，則A＝B.2．含有一個量詞命題的否定規律是“改變量詞，否定結論”．3．命題p與p的否定的真假性相反．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)當p是q的充分條件時，q是p的必要條件．(√)(2)“三角形的內角和為180°”是全稱量詞命題．(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件．(√)(4)命題“?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命題．(×)2．(必修第一冊P30例4(1)改編)(多選)已知命題p：?x∈R，x＋2≤0，則下列說法正確的是()A．p是真命題B．綈p：?x∈R，x＋2>0C．綈p是真命題D．綈p：?x∈R，x＋2>0答案CD解析當x＝0時，x＋2≤0不成立，故p是假命題，故A錯誤；由含量詞命題的否定可知，p：?x∈R，x＋2≤0的否定為綈p：?x∈R，x＋2>0，故D正確，B錯誤；綈p是真命題，故C正確．3．(必修第一冊P22T2(5)改編)設x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要條件，則a的取值范圍為________．答案(－∞，3)解析由題意知，x∈A?x∈B，x∈B?x∈A，即AB，所以a<3.題型一充分、必要條件的判定例1(1)(2023·葫蘆島模擬)已知向量n為平面α的一個法向量，向量m為直線l的一個方向向量，則m∥n是l⊥α的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案C解析當m∥n時，l⊥α，當l⊥α時，m∥n，綜上所述，m∥n是l⊥α的充要條件．(2)在等比數列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析當a1>0，且q>1時，有an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)>0，所以an＋1>an(n∈N*)，即{an}為遞增數列；當{an}為遞增數列時，即對一切n∈N*，有an＋1>an恒成立，所以an＋1－an＝a1qn－1(q－1)>0，但a1<0且0<q<1時，上式也成立，顯然無法得出a1>0，且q>1.則“a1>0，且公比q>1”是“{an}為遞增數列”的充分不必要條件．思維升華充分、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據p?q，q?p是否成立進行判斷．(2)集合法：根據p，q成立對應的集合之間的包含關系進行判斷．(3)等價轉化法：對所給題目的條件進行一系列的等價轉化，直到轉化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止．跟蹤訓練1(1)(2024·貴陽模擬)已知函數f(x)＝cos(2x＋φ)，則“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函數”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析f(x)是奇函數等價于cos(－2x＋φ)＝－cos(2x＋φ)，即cos(－2x＋φ)＝cos(π－2x－φ)，故－2x＋φ＝π－2x－φ＋2kπ，k∈Z，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.則“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函數”的充分不必要條件．(2)當命題“若p，則q”為真命題，則“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分條件．也可以這樣說，若q不成立，那么p一定不成立，q對p成立也是很必要的．王安石在《游褒禪山記》中也說過一段話：“世之奇偉、瑰怪，非常之觀，常在于險遠，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．從數學邏輯角度分析，“有志”是“能至”的()A．充分條件B．必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析因為“非有志者不能至也”即“有志”不成立時“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分條件，“有志”是“能至”的必要條件．題型二充分、必要條件的應用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分條件；②“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件這兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并求解下列問題．問題：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)當a＝2時，求A∩B；(2)若________，求實數a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝{x|－1<x<3}，當a＝2時，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)選①“x∈A”是“x∈B”的充分條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；選②“x∈?RA”是“x∈?RB”的必要條件，則A?B，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a＋2<3，))解得－1<a<1，即a∈(－1,1)．充分不必要條件的等價形式p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件．典例已知命題p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為________________________________________________________________________．答案(1，＋∞)解析由|x|≤1，即－1≤x≤1，由題意知p是q的充分不必要條件，所以a＞1.思維升華求參數問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區間端點值的檢驗．跟蹤訓練2從①“充分不必要條件”，②“必要不充分條件”這兩個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，并解答下列問題：已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤2x≤32))))，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正實數m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正實數m的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解(1)依題意，得2－2≤2x≤25，解得－2≤x≤5，即A＝{x|－2≤x≤5}，當m＝3時，解不等式x2－4x－5≤0，得－1≤x≤5，即B＝{x|－1≤x≤5}，所以A∪B＝{x|－2≤x≤5}．(2)選①，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因為“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要條件，則有AB，于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m<－2，,2＋m≥5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m≤－2，,2＋m>5，))解得m>4或m≥4，即有m≥4，所以正實數m的取值范圍是m≥4.選②，由(1)知，A＝{x|－2≤x≤5}，m>0，解不等式x2－4x＋4－m2≤0，得2－m≤x≤2＋m，即B＝{x|2－m≤x≤2＋m}，因為“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分條件，則有BA，于是得－2<2－m<2＋m≤5或－2≤2－m<2＋m<5，解得0<m≤3或0<m<3，即有0<m≤3，所以正實數m的取值范圍是0<m≤3.題型三全稱量詞與存在量詞命題點1含量詞的命題的否定例3(1)(多選)下列說法正確的是()A．“正方形是菱形”是全稱量詞命題B．?x∈R，ex<ex＋1C．命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命題“?x>1，都有2x＋1>5”的否定為“?x≤1，使得2x＋1≤5”答案ABC解析對于A，“正方形是菱形”等價于“所有的正方形都是菱形”，是全稱量詞命題，故A正確；對于B，當x＝1時，e<e＋1成立，故B正確；對于C，命題“?x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定為“?x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正確；對于D，命題“?x>1，都有2x＋1>5”的否定為“?x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正確．(2)寫出“所有實數都不是無理數”的否定形式：________________________.答案至少有一個實數是無理數命題點2含量詞的命題的真假判斷例4(多選)下列命題中的真命題是()A．?x∈R,2x－1>0B．?x∈N*，(x－1)2>0C．?x∈R，lgx<1D．?x∈R，tanx＝2答案ACD解析指數函數的值域為(0，＋∞)，所以?x∈R,2x－1>0，故A正確；當x＝1時，(x－1)2＝0，所以?x∈N*，(x－1)2>0是假命題，故B錯誤；當x＝1時，lgx＝0<1，所以?x∈R，lgx<1，故C正確；函數y＝tanx的值域為R，所以?x∈R，tanx＝2，故D正確．命題點3含量詞的命題的應用例5(1)若命題“?x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題，則實數m的取值范圍是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．(－∞，2] D．(－∞，5]答案B解析由“?x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命題可知，不等式m≤x2＋1，對?x∈[－1,2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]，易知函數y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值為1，所以m≤1.即實數m的取值范圍是(－∞，1]．(2)(多選)命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題，則實數m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2答案ABC解析若命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為真命題，則Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以當命題p：?x∈R，x2＋2x＋2－m<0為假命題時，m≤1，符合條件的為A，B，C選項．思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個成立即可．當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假．(2)由命題真假求參數的范圍，一是直接由命題的真假求參數的范圍；二是可利用等價命題求參數的范圍．跟蹤訓練3(1)下列命題為真命題的是()A．任意兩個等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．?x∈R，x＋|x|≥0D．?x∈R，x2－x＋1＝0答案C解析對于A，任意兩個等腰三角形不一定相似，故A錯誤；對于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命題，故B錯誤；對于C，因為?x∈R，|x|≥－x，即x＋|x|≥0，故C正確；對于D，因為?x∈R，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，故D錯誤．(2)(多選)已知命題p：?x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命題q：?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，則下列說法正確的是()A．命題p的否定是“?x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”B．命題q的否定是“?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”C．當命題p為真命題時，1≤m≤2D．當命題q為假命題時，a<4答案ACD解析命題p的否定是“?x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”，故A正確；命題q的否定是“?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0”，故B錯誤；若命題p為真命題，則當x∈[0,1]時，(2x－2)min≥m2－3m，即m2－3m＋2≤0，解得1≤m≤2，故C正確；若命題q為假命題，則?x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4>0為真命題，即a<x＋eq\f(4,x)恒成立，因為x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝4，當且僅當x＝eq\f(4,x)，即x＝2時取等號，所以a<4，故D正確．課時精練一、單項選擇題1．命題“?x>0，sinx－x≤0”的否定為()A．?x≤0，sinx－x>0B．?x>0，sinx－x≤0C．?x>0，sinx－x>0D．?x≤0，sinx－x>0答案C解析由題意知命題“?x>0，sinx－x≤0”為存在量詞命題，其否定為全稱量詞命題，即?x>0，sinx－x>0.2．下列命題中，p是q的充分條件的是()A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：eq\r(a)>eq\r(b)答案A解析對于A，ab≠0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))?a≠0，故p是q的充分條件；對于B，a2＋b2≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a∈R，,b∈R))?a≥0且b≥0，故p不是q的充分條件；對于C，x2>1?x>1或x<－1?x>1，故p不是q的充分條件；對于D，當a>b時，若b<a<0，則不能推出eq\r(a)>eq\r(b)，故p不是q的充分條件．3．設λ∈R，則“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析若直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行，則3(1－λ)－λ(λ－1)＝0，解得λ＝1或λ＝－3，經檢驗，當λ＝1或λ＝－3時，兩直線平行．即“λ＝1”是“直線3x＋(λ－1)y＝1與直線λx＋(1－λ)y＝2平行”的充分不必要條件．4．已知p：eq\f(1,x)>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實數m的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，1]答案C解析由eq\f(1,x)>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1，記A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分條件，則A是B的子集，所以m≤0，所以實數m的取值范圍是(－∞，0]．5．下列說法正確的是()A．“對任意一個無理數x，x2也是無理數”是真命題B．“xy>0”是“x＋y>0”的充要條件C．命題“?x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“?x∈R，x2＋1<0”D．若“1<x<3”的一個必要不充分條件是“m－2<x<m＋2”，則實數m的取值范圍是[1,3]答案D解析eq\r(2)是無理數，x2＝2是有理數，A錯誤；當x＝－2，y＝－1時，xy>0，但x＋y＝－3<0，不是充要條件，B錯誤；命題“?x∈R，使得x2＋1>0”的否定是“?x∈R，x2＋1≤0”，C錯誤；“1<x<3”的必要不充分條件是“m－2<x<m＋2”，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤1，,m＋2≥3，))兩個不等式的等號不同時取到，解得1≤m≤3，D正確．6．設p：關于x的不等式x2＋ax＋1>0對一切x∈R恒成立，q：對數函數y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調遞減，那么p是q的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件答案C解析若關于x的不等式x2＋ax＋1>0對一切x∈R恒成立，則Δ＝a2－4<0，即－2<a<2；若對數函數y＝log(4－3a)x在(0，＋∞)上單調遞減，則0<4－3a<1，即1<a<eq\f(4,3).∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(4,3)))(－2,2)，∴p是q的必要不充分條件．7．已知命題p：?x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，則實數a的取值范圍是()A．－4<a<0 B．－4≤a<0C．－4<a≤0 D．－4≤a≤0答案C解析命題p：?x∈R，ax2＋2ax－4≥0為假命題，即命題綈p：?x∈R，ax2＋2ax－4<0為真命題，當a＝0時，－4<0恒成立，符合題意；當a≠0時，則a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.綜上可知，－4<a≤0.8．(2023·新高考全國Ⅰ)記Sn為數列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數列；乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列，則()A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案C解析方法一甲：{an}為等差數列，設其首項為a1，公差為d，則Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列，即eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝eq\f(nSn＋1－n＋1Sn,nn＋1)＝eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)為常數，設為t，即eq\f(nan＋1－Sn,nn＋1)＝t，則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，因此{an}為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．方法二甲：{an}為等差數列，設數列{an}的首項為a1，公差為d，即Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，則eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，因此eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數列，設數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差為D，則eq\f(Sn＋1,n＋1)－eq\f(Sn,n)＝D，eq\f(Sn,n)＝S1＋(n－1)D，即Sn＝nS1＋n(n－1)D，當n≥2時，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，當n＝1時，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數，因此{an}為等差數列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件．二、多項選擇題9．下列命題是真命題的是()A．?a∈R，使函數y＝2x＋a·2－x在R上為偶函數B．?x∈R，函數y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)的值恒為正數C．?x∈R,2x＜x2D．?x∈(0，＋∞)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＞答案AC解析當a＝1時，y＝2x＋2－x為偶函數，故A為真命題；y＝sinx＋cosx＋eq\r(2)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＋eq\r(2)，當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－1時，y＝0，故B為假命題；當x∈(2,4)時，2x＜x2，故C為真命題；當x＝eq\f(1,3)時，∈(0,1)，＝1，∴，故D為假命題．10．下列命題中正確的是()A．“A∪B＝A”是“B?A”的充分不必要條件B．“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負根”的充要條件是“m<0”C．“冪函數y＝為反比例函數”的充要條件是“m＝0”D．“函數f(x)＝－x2＋2mx在區間[1,3]上不單調”的一個必要不充分條件是“1≤m≤3”答案BCD解析對于A，由A∪B＝A可得B?A，故充分性成立，由B?A可得A∪B＝A，故必要性成立，所以“A∪B＝A”是“B?A”的充要條件，故A錯誤；對于B，方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負根，設為x1，x2，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m－32－4m>0，,x1x2＝m<0，))解得m<0，滿足必要性，當m<0時，Δ＝(m－3)2－4m>0，x1x2＝m<0，則方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負根，滿足充分性，所以“方程x2－(m－3)x＋m＝0有一正一負根”的充要條件是“m<0”，故B正確；對于C，若冪函數y＝為反比例函數，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＝1，,m2＋m－1＝－1，))解得m＝0，滿足必要性，當m＝0時，函數y＝x－1為冪函數，也為反比例函數，滿足充分性，所以“冪函數y＝為反比例函數”的充要條件是“m＝0”，故C正確；對于D，若函數f(x)＝－x2＋2mx在區間[1,3]上不單調，則1<m<3，所以“函數f(x)＝－x2＋2mx在區間[1,3]上不單調”的一個必要不充分條件是“1≤m≤3”，故D正確．三、填空題11．在△ABC中，“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充要解析在△ABC中，∠A＝∠B?a＝b?sinA＝sinB，故“∠A＝∠B”是“sinA＝sinB”的充要條件．12．為了證明“所有的素數都是奇數”是假命題，只要證明：________________.答案存在一個素數不是奇數解析因為命題“所有的素數都是奇數”是假命題，則命題“存在一個素數不是奇數”為真命題，所以為了證明“所有的素數都是奇數”是假命題，只要證明存在一個素數不是奇數．13．設p：4x－3<1，q：x－2a－1<0，若p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是________．答案(0，＋∞)解析由4x－3<1，解得x<1，即p：x<1，記A＝{x|x<1}；由x－(2a＋1)<0，解得x<2a＋1，即q:x<2a＋1，記B＝{x|x<2a＋1}，因為p是q的充分不必要條件，所以AB，即2a＋1>1，解得a>0，所以a的取值范圍是(0，＋∞)．14．《墨子·經說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然，體也，若有端，大故，有之必然，若見之成見也．”這一段文字蘊含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”指的是邏輯中的________________．(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”或“既不充分也不必要條件”)答案必要不充分條件解析由“小故，有之不必然，無之必不然”，知“小故”只是構成某一結果的幾個條件中的一個或一部分條件，故“小故”是邏輯中的必要不充分條件．15．已知等比數列{an}的首項為1，則“a2021<a2024”是“a2023<a2025”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析設等比數列的公比為q，若a2021<a2024，則a2021－a2024<0，即a2021(1－q3)<0.因為a1＝1>0，所以a2021＝a1q2020>0，所以q3>1，所以q>1；若a2023<a2025，則a2023－a2025<0，即a2023(1－q2)<0.因為a1＝1>0，所以a2023＝a1q2022>0，所以q2－1>0，解得q>1或q<－1.所以“a2021<a2024”是“a2023<a2025”的充分不必要條件．16．已知函數f(x)＝x＋eq\f(4,x)，g(x)＝2x＋a，若?x1∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，?x2∈[2,3]，使得f(x1)≤g(x2)，則實數a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析依題意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋eq\f(4,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調遞減，∴f(x)max＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(17,2).又g(x)＝2x＋a在[2,3]上單調遞增，∴g(x)max＝8＋a，因此eq\f(17,2)≤8＋a，則a≥eq\f(1,2).

§1.3等式性質與不等式性質課標要求1.掌握等式性質.2.會比較兩個數的大小.3.理解不等式的性質，并能簡單應用．知識梳理1．兩個實數比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b))(a，b∈R)．2．等式的性質性質1對稱性：如果a＝b，那么b＝a；性質2傳遞性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質3可加(減)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性質5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質性質1對稱性：a>b?b<a；性質2傳遞性：a>b，b>c?a>c；性質3可加性：a>b?a＋c>b＋c；性質4可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc；性質5同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；性質6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd；性質7同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．常用結論不等式的兩類常用性質(1)倒數性質①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0?eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有關分數的性質若a>b>0，m>0，則①真分數的性質eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分數的性質eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．自主診斷1．判斷下列結論是否正確．(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個實數a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關系中的一種．(√)(2)若eq\f(b,a)>1，則b>a.(×)(3)同向不等式具有可加性和可乘性．(×)(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則b<a.(×)2．(必修第一冊P43T8改編)已知非零實數a，b滿足a<b，則下列不等式中一定成立的是()A．lna<lnb B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2<b2 D．a3<b3答案D解析對于A，當a<b<0時，不等式無意義，故A錯誤；對于B，當a<0<b時，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故B錯誤；對于C，當a<b<0時，a2>b2，故C錯誤；對于D，當a<b時，a3<b3成立，故D正確．3．(必修第一冊P43T10改編)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假設全部溶解)，糖水變甜了．請將這一事實表示成一個不等式為________．答案eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m)解析eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).證明：eq\f(a,b)－eq\f(a＋m,b＋m)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,bb＋m)＝eq\f(ma－b,bb＋m)，∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，∴eq\f(ma－b,bb＋m)<0，∴eq\f(a,b)<eq\f(a＋m,b＋m).4．(必修第一冊P42T5改編)已知2<a<3，－2<b<－1，則a＋2b的取值范圍為________．答案(－2,1)解析因為－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1.題型一數(式)的大小比較例1(1)(多選)下列不等式中正確的是()A．x2－2x>－3(x∈R)B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C．a2＋b2>2(a－b－1)D．若a>b>0，則a2－b2>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)答案AD解析∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正確；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．∵(a－b)2≥0，a＋b的符號不確定，∴a3＋b3與a2b＋ab2的大小不確定，故B錯誤；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C錯誤；a2－b2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝(a－b)(a＋b)－eq\f(b－a,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b＋\f(1,ab)))>0，故選項D正確．(2)若正實數a，b，c滿足c<cb<ca<1，則()A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa答案C解析∵c是正實數，且c<1，∴0<c<1，由c<cb<ca<1，得0<a<b<1，∵eq\f(aa,ab)＝aa－b>1，∴ab<aa，∵eq\f(aa,ba)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a,0<eq\f(a,b)<1，a>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a<1，即aa<ba，綜上可知，ab<aa<ba.思維升華比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小．跟蹤訓練1(1)若lna>lnb，則()A.eq\f(1,a2)>eq\f(1,b2)B.eq\f(b,a)<eq\f(b－2023,a－2023)C．πa－b<3a－bD．a－b>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)答案D解析因為lna>lnb，所以a>b>0，eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)＝eq\f(b2－a2,a2b2)＝eq\f(b＋ab－a,a2b2)<0，所以eq\f(1,a2)<eq\f(1,b2)，故A錯誤；eq\f(b,a)－eq\f(b－2023,a－2023)＝eq\f(ba－2023－ab－2023,aa－2023)＝eq\f(2023a－b,aa－2023)，無法確定符號，故B錯誤；因為a－b>0，函數y＝xa－b在(0，＋∞)上單調遞增，所以πa－b>3a－b，故C錯誤；a－b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))＝a－b－eq\f(b－a,ab)＝a－b＋eq\f(a－b,ab)＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))＝eq\f(a－bab＋1,ab)，其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，所以a－b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)－\f(1,b)))>0，a－b>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)，故D正確．(2)已知M＝eq\f(e2023＋1,e2024＋1)，N＝eq\f(e2024＋1,e2025＋1)，則M，N的大小關系為________．答案M>N解析方法一∵M－N＝eq\f(e2023＋1,e2024＋1)－eq\f(e2024＋1,e2025＋1)＝eq\f(e2023＋1e2025＋1－e2024＋12,e2024＋1e2025＋1)＝eq\f(e2023＋e2025－2e2024,e2024＋1e2025＋1)＝eq\f(e2023e－12,e2024＋1e2025＋1)>0.∴M>N.方法二令f(x)＝eq\f(ex＋1,ex＋1＋1)＝eq\f(\f(1,e)ex＋1＋1＋1－\f(1,e),ex＋1＋1)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1－\f(1,e),ex＋1＋1)，顯然f(x)是R上的減函數，∴f(2023)>f(2024)，即M>N.題型二不等式的基本性質例2(1)若實數a，b滿足a<b<0，則()A．a＋b>0 B．a－b<0C．|a|<|b| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))答案B解析由a<b<0，可得a＋b<0，故A錯誤；由a<b<0，可得a－b<0，故B正確；由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C錯誤；由a<b<0，可得|a|>|b|>0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))，故D錯誤．(2)(多選)已知a，b，c為實數，則下列說法正確的是()A．若a>b，則ac2>bc2B．若a>b，則a＋c>b＋cC．若a>b>c>0，則eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)D．若a>b>c>0，則eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)答案BCD解析當c＝0時，ac2＝bc2，故A錯誤；由不等式的可加性可知，B正確；若a>b>c>0，則a－b>0，b＋c>0，∴eq\f(a,b)－eq\f(a＋c,b＋c)＝eq\f(ab＋c－ba＋c,bb＋c)＝eq\f(ca－b,bb＋c)>0，∴eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)，故C正確；若a>b>c>0，則a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，∴eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a－c)>0，又b>c>0，由可乘性知，eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)，故D正確．思維升華判斷不等式的常用方法(1)利用不等式的性質逐個驗證．(2)利用特殊值法排除錯誤選項．(3)作差法．(4)構造函數，利用函數的單調性．跟蹤訓練2(1)設a，b，c，d為實數，且c<d，則“a<b”是“a－c<b－d”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，滿足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立；當a－c<b－d時，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立，所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分條件．(2)(多選)若a>b>0，則下列不等式中正確的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．－a2<－abC．ln|a－1|>ln|b－1|D．2a－b>1答案ABD解析因為a>b>0，eq\f(1,ab)>0，所以eq\f(a,ab)>eq\f(b,ab)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故A正確；因為a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正確；若a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)，ln|a－1|＝ln|b－1|＝lneq\f(1,2)，故C不正確；因為a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正確．題型三不等式性質的綜合應用例3(1)已知0<x<5，－1<y<1，則x－2y的取值范圍是()A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7答案D解析因為－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7.延伸探究若將條件改為“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范圍．解設x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,m－n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)，,n＝\f(3,2)，))∴x－2y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(3,2)(x－y)，∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，∴－1≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，－3≤eq\f(3,2)(x－y)≤eq\f(3,2)，∴－4≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(3,2)(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2.(2)為了加強家校聯系，王老師組建了一個由學生、家長和教師組成的微信群．已知該群中男學生人數多于女學生人數，女學生人數多于家長人數，家長人數多于教師人數，教師人數的兩倍多于男學生人數．則該微信群人數的最小值為()A．20B．22C．26D．28答案B解析設教師人數為x，家長人數為y，女學生人數為z，男學生人數為t，x，y，z，t∈N*，則y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，則x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教師人數的兩倍多于男學生人數，∴2x>x＋3，解得x>3，當x＝4時，x＋y＋z＋t≥22，此時微信群人數的最小值為22.思維