試題試題2024北京首都師大附中高一10月月考數學（成達部）2024年10月12月第I卷（共40分）一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.設集合，則（）A. B. C. D.2.函數的定義域是（）A. B.C. D.3.下列函數既是奇函數又在區間上是增函數的是（）A. B.C. D.4.為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上的所有點（）A.向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度B.向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度C.向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度D.向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度5.下列結論正確的個數是（）①若，則；②若，則；③不全為零；④A.0個 B.1個 C.2個 D.3個6.函數的大致圖像是（）A. B.C. D.7.若“”是“”充分不必要條件，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知關于的不等式的解集是，則下列結論中錯誤的是（）A. B.C. D.9.已知函數，若對于任意正數，關于的方程都恰有兩個不相等的實數根，則滿足條件的實數的個數為（）A. B. C. D.無數10.設A，B為兩個非空有限集合，定義，其中表示集合S的元素個數.某學校甲?乙?丙?丁四名同學從思想政治?歷史?地理?物理?化學?生物這6門高中學業水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設這四名同學的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學，生物}，{地理，物理，化學}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個結論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學}其中正確結論的個數是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個第II卷（共60分）二?填空題（本大題共8小題，每小題4分，其32分）11.函數的值域為__________.12.已知函數，若對于任意的正實數都滿足，則__________.13.已知函數是定義在上的偶函數，當時，，則當x∈0,+∞時，______.14.已知關于的方程的兩根為，滿足，則實數的取值范圍為__________.15.若函數有4個零點，實數m的取值范圍為________.16.設關于的方程和的實根分別為，若，則實數的取值范圍是__________.17.李明自主創業，經營一家網店，每售出一件商品獲利8元．現計劃在“五一”期間對商品進行廣告促銷，假設售出商品的件數（單位：萬件）與廣告費用（單位：萬元）符合函數模型．若要使這次促銷活動獲利最多，則廣告費用應投入_______萬元．18.已知函數，對于任意實數，當時，記的最大值為.①若，則__________；②若則的取值范圍是__________．三?解答題（本大題共2小題，共28分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）19.解關于的方程：20.已知函數.（1）證明：函數是奇函數；（2）用定義證明：函數在上是增函數；（3）若關于的不等式對于任意實數恒成立，求實數的取值范圍.

參考答案第I卷（共40分）一?選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題所列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.【答案】B【分析】根據集合的表達式，可求出集合是的奇數倍，是的整數倍，即可得出的關系.【詳解】由可知，集合表示的是的奇數倍；由可知，集合表示的是的整數倍；即可知是的真子集，即.故選：B2.【答案】B【分析】由題意，分子根號下的式子大于或等于零，分母不為零，據此列出的不等式組，求解即可．【詳解】解：要使原式有意義只需：，解得且，故函數的定義域為．故選B．【點睛】求函數的定義域分兩類，一是實際問題中函數的定義域，有變量的實際意義確定；二是一般函數的定義域，由使式子有意的的范圍確定，一般是列出不等式組求解．注意結果要寫成集合或區間的形式．3.【答案】C【分析】根據題意，結合函數的奇偶性的定義和判定方法，以及初等函數的單調性，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由冪函數的性質，可得函數在區間上是減函數，不符合題意；對于B中，由對數函數的性質，可得在區間上是減函數，不符合題意；對于C中，由函數的定義域為，關于原點對稱，且，所以函數為奇函數，又由函數在為增函數，所以在區間上也是增函數，符合題意；對于D中，由函數，當時，，根據二次函數的圖象與性質，可得在區間上是減函數，不符合題意.故選：C.4.【答案】D【分析】按照左加右減，上加下減，結合對數運算法則進行計算，得到答案.【詳解】A選項，向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到，錯誤；B選項，向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度得到，錯誤；C選項，向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，錯誤；D選項，向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，正確.故選：D5.【答案】C【分析】利用特殊值，可以直接判斷①②，用作差法判斷③④，進而確定選項.【詳解】對于①②，，則，但是，，故①②錯誤；對于③，因為不全為0，則a2+b2?ab=a?對于④，，則，故④正確.故選：C.6.【答案】B【分析】由排除兩個選項，再由時，排除一個選項后可得正確選項．【詳解】∵，所以，故排除C，D，當時，恒成立，排除A，故選：B．7.【答案】C【分析】首先解出絕對值不等式，再根據充分不必要條件得到集合的包含關系，即可得到不等式組，解得即可.【詳解】由，即，解得，因為“”是“”充分不必要條件，所以真包含于，所以（等號不能同時取得），解得，所以實數的取值范圍為.故選：C8.【答案】ACD【分析】由不等式及其解集得出，然后結合二次函數的大致圖象及直線可得關于的性質．【詳解】根據不等式的解集得，原不等式化為，作出函數的大致圖象，及直線，如圖，函數圖象的對稱軸是，由圖象知：，即，A正確；，B錯；，即x1?x2，即，D正確．故選：ACD．9.【答案】B【分析】分、、三種情況討論，作出函數的圖象，根據已知條件可得出關于實數的等式與不等式，進而可求得實數的取值.【詳解】當時，，作出函數的圖象如下圖所示：由圖可知，當時，關于的方程有且只有一個實根，不合乎題意；當時，，如下圖所示：函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞增，由題意可得，解得；若，則，如下圖所示：函數在單調遞減，在上單調遞減，在上單調遞增，由題意可得，此時無解.綜上所述，.故選：B.【點睛】方法點睛：已知函數有零點（方程有根）求參數值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.10.【答案】B【分析】對于①③，直接根據定義計算，即可判定；對于②，通過定義計算得到必為偶數，討論和，兩種情況下的求解，即可判定；對于④，通過舉例{物理，地理，歷史}，即可判定.【詳解】對于①中，由，所以，所以，又由{地理，物理，化學}，所以{思想政治，歷史，生物}，所以①正確；對于②，由，即，所以，所以必為偶數，又，當時，，不符合，所以且，此時情況較多，比如：{物理，地理，生物}，所以②錯誤；對于③中，若{思想政治，物理，生物}，則，所以，所以③正確；對于④中，當{物理，地理，歷史}時，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學}，所以④錯誤.故選：B.第II卷（共60分）二?填空題（本大題共8小題，每小題4分，其32分）11.【答案】【分析】根據二次函數的性質求解．【詳解】由已知，它在上單調遞增，在上單調遞減，時，，又時，，時，，所以所求的值域為.故答案為：．12.【答案】【分析】根據題意，令，求得，再令，即可求得的值，得到答案.【詳解】因為函數，對于任意的正實數都滿足，令，可得，令，可得.故答案為：.13.【答案】【分析】當x∈0,+∞時，可得，根據題意，結合，即可求解.【詳解】當x∈0,+∞時，可得因為函數是定義在上的偶函數，且時，，可得，即當x∈0,+∞時，故答案為：.14.【答案】【分析】利用一元二次方程根的分布知識求解．【詳解】由一元二次方程根的分布得，解得，故答案為：．15.【答案】【分析】由，得到，作出函數的圖像，利用數形結合解求出m的取值范圍.【詳解】解：有4個零點，方程有4個根，得到，則函數與直線有4個交點，作出函數的圖像如下：由圖像可知，當，即時，函數與直線有4個交點.故答案為：.【點睛】本題考查了函數的零點問題，屬于中檔題.含參數的函數零點問題，要先分離參數，將函數零點問題轉化成曲線的交點問題，利用數形結合思想解決零點問題.16.【答案】【分析】根據題意，求得，設函數，結合二次函數的性質，得到，進而求得實數的取值范圍.【詳解】由題意，關于的方程和的實根分別為，可得，則方程的解為，設函數又因為，可得，整理得，解得或，即實數的取值范圍是.故答案為：.17.【答案】【分析】設李明獲得的利潤為萬元，求出關于的表達式，利用基本不等式可求得的最小值及其對應的的值.【詳解】設李明獲得的利潤為萬元，則，則，當且僅當，因為，即當時，等號成立.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方.18.【答案】①.3②.【分析】①先計算，利用數形結合，畫出圖像，根據新定義，可得結果；②先計算，利用數形結合，畫出圖像，根據新定義，結合分類討論的方法，可得結果.【詳解】①當時，，則，作出的圖像，如下圖：可知當時，取到最大值，最大值；②由題意得：，∴，，又，可得的圖象如圖所示，∵，∴區間長度為2，當時，，所以；當時，，所以，∴的取值范圍為：.故答案為：；.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查函數與方程的應用，求出函數的解析式，利用數形結合以及函數最值的性質是解決本題的關鍵.三?解答題（本大題共2小題，共28分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟）19.【答案】答案見解析【分析】根據題意，化簡不等式為，結合分式不等式的解法，分類討論，即可求解.【詳解】由不等式，可得，（1）若，即時，，解得，所以不等式的解集為；（2）若，即時，因為，解得或，不等式的解集為；（3）若，即時，不等式即為，當時，可得，解得，不等式的解集為；當時，可得，此時不等式的解集為；當時，可得，解得，不等式的解集為，綜上可得，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.20.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）根據函數奇偶性的定義和判定方法，即可可證；（2）根據函數單調性的定義和判定方法，即可得證；（3）根據題意，得到函數為定義域上的奇函數，且為單調遞增函數，不等式轉化為對于任意實數恒成立，分和，結合二次函數的性質，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】證明：由函數，可得其定義