~1~第十一章Numpy數值計算目錄Numpy概述NumPy基礎數組運算邏輯運算與條件篩選排序、搜索與計數Numpy的向量化案例：線性回歸分析-2-1.Numpy概述數值計算：在現代科學和工程計算中，處理大規模數據和執行復雜的數值計算已成為常態。Python作為一種高效、易學的編程語言，其在數據科學領域的廣泛應用部分歸功于NumPy庫Numpy的主要功能：NumPy（NumericalPython）：Python編程語言的一個核心庫，專為處理大規模的數值數據而設計，其主要功能包括：多維數組對象（ndarray）：提供對多維數組的高效操作。數值計算的高性能函數：支持快速的數學運算，包括線性代數、傅里葉變換等。強大的廣播機制：允許對不同形狀的數組進行靈活的運算。NumPy的優勢體現在：高效的數值計算：NumPy的核心是其多維數組對象，提供了快速、靈活的數組操作，這在處理大型數據集時尤為重要。Python科學計算的基礎：NumPy是許多其他科學計算庫（如SciPy、Pandas、Matplotlib、TensorFlow等）的基礎，這些庫廣泛用于數據分析、機器學習和人工智能領域。跨語言性能優勢：NumPy在底層使用C和Fortran編寫，以確保性能接近于純C或Fortran程序，同時保留了Python的靈活性和易用性。32.NumPy基礎2.1NumPy的安裝與配置在開始使用NumPy之前，需要先進行安裝和配置。NumPy可以通過Python包管理工具pip進行安裝。要使用pip安裝NumPy，打開命令行或終端，輸入以下命令：pipinstallnumpy安裝NumPy后，通過Python解釋器導入NumPy來驗證安裝是否成功：importnumpyasnpprint(np.__version__)執行上述代碼，如果輸出了NumPy的版本號，則表示安裝成功。42.2ndarray對象ndarray（N-dimensionalarray）：是NumPy的核心數據結構，支持多維數組和矩陣運算。與Python的列表list相比，ndarray具有更高的性能和更豐富的功能。創建ndarray有兩種方法。方法一：從Python列表或元組創建：NumPy可將Python的列表或元組轉換為ndarray對象：importnumpyasnp#從列表創建一維數組array_1d=np.array([1,2,3,4,5])print(array_1d)#從嵌套列表創建二維數組array_2d=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])print(array_2d)5方法二：使用NumPy內置函數：NumPy提供了多種內置函數用于創建特定類型的數組。(1)np.zeros(shape):創建全零數組。zeros_array=np.zeros((3,3))print(zeros_array)(2)np.ones(shape):創建全一數組。ones_array=np.ones((2,4))print(ones_array)(3)np.eye(N):創建N×N的單位矩陣。eye_array=np.eye(4)print(eye_array)（4）np.arange(start,stop,step):用于創建一個等差數列的數組，從start開始（包含）到stop結束（不包含），以step為步長。arange_array=np.arange(0,10,2)print(arange_array)（5）np.linspace(start,stop,num):用于創建一個等間隔數列的數組，從start開始到stop結束（包含），生成的數組具有num個元素。linspace方法名稱來源于linearspace（線性空間）的縮寫。linspace_array=np.linspace(0,1,5)print(linspace_array)62.3ndarray的屬性和方法NumPy數組對象具有豐富的屬性和方法，用于獲取數組的基本信息和執行常見操作：ndarray的屬性ndarray.shape:數組的形狀ndarray.size:數組的元素總數ndarray.dtype:數組元素的數據類型ndarray.ndim:數組的維數array=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])print(array.shape)#輸出：(2,3)print(array.size)#輸出：6print(array.dtype)#輸出：int64（根據系統不同，可能不同）print(array.ndim)#輸出：27ndarray的方法ndarray.reshape(shape):改變數組形狀，將一個數組的形狀從一個維度變換為另一個維度，其中shape用一個整數元組表示。該方法是按照元素的行優先順序（即按行主序，也叫C-order）來重新排列數組的形狀。這意味著元素在內存中的存儲順序不會改變，而是將這些元素按照新的形狀進行重新解釋。array=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])reshaped_array=array.reshape((3,2))print(reshaped_array)ndarray.flatten():將多維數組展開為一維。flattened_array=array.flatten()print(flattened_array)ndarray.transpose():轉置數組。transposed_array=array.transpose()print(transposed_array)ndarray.astype(dtype):轉換數組的數據類型，返回一個新數組，數組的數據類型為指定的類型，其中dtype參數指定要轉換成的數據類型。float_array=array.astype(float)print(float_array)82.4數組的索引和切片NumPy支持豐富的索引和切片操作，允許對數組進行靈活的訪問和修改。（1）基本索引：使用整數索引訪問和修改數組中的單個元素。array=np.array([10,20,30,40,50])print(array[0])#輸出：10array[1]=25print(array)#輸出：[1025304050]（2）切片操作：使用切片訪問數組的子集，語法類似于Python的list，但在NumPy中切片返回的是視圖（view）而非副本，這意味著對切片的修改會直接影響原數組。NumPy支持多維切片，允許在每個維度上進行靈活的切片操作。array=np.array([10,20,30,40,50])sub_array=array[1:4]print(sub_array)#輸出：[203040]#二維數組切片array_2d=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])sub_array_2d=array_2d[:2,1:]print(sub_array_2d)#輸出：[[23][56]]9（3）布爾索引：根據條件表達式直接從數組中提取滿足特定條件的元素。具體來說，布爾索引是利用布爾數組對原數組進行索引的一種方法。布爾數組與原數組形狀相同，其中的布爾值(True或False)用于指示是否選擇對應位置的元素。當布爾值為True時，選擇該位置的元素；否則，忽略該元素。importnumpyasnparr=np.array([1,2,3,4,5])#創建一個布爾索引條件，生成布爾數組bool_index=arr>3print(bool_index)可以使用布爾索引從數組中選擇元素。#使用布爾索引從數組中選擇元素filtered_arr=arr[bool_index]print(filtered_arr)在上例中，布爾索引條件是通過布爾條件表達式來生成布爾數組，用于篩選原數組中滿足特定條件的元素。這個布爾條件表達式可以是任何返回布爾值的比較操作，比如等于（==）、大于（>）、以及組合多個條件的邏輯操作符（&,|,~)）等。例如，布爾表達式arr>3會遍歷arr數組的每個元素，并對每個元素返回相應的布爾值True或False，這與map()函數對每個元素應用一個函數非常相似。10運行結果：[FalseFalseFalseTrueTrue]運行結果：[45]3.數組運算NumPy提供了豐富的數組運算功能，支持各種數學運算、統計分析和線性代數計算(1)基本數學運算NumPy中的數組運算允許用戶在數組間執行各種數學操作，而無需顯式編寫循環。這些運算支持標量與數組間的運算以及數組間的元素級運算。（1）標量與數組運算：NumPy支持對數組中的每個元素執行標量運算。例如，數組可以與標量相加、相減、相乘或相除，這些運算將應用于數組的每個元素。importnumpyasnp

#創建一個數組array=np.array([1,2,3,4])

#標量加法result_add=array+10print(result_add)#輸出：[11121314]

#標量乘法result_mul=array*2print(result_mul)#輸出：[2468]113.數組運算（2）數組間運算：對于數組間的運算，NumPy支持逐元素的加、減、乘、除。這要求參與運算的兩個數組具有相同的形狀。array1=np.array([1,2,3])array2=np.array([4,5,6])

#數組加法result_sum=array1+array2print(result_sum)#輸出：[579]

#數組乘法result_prod=array1*array2print(result_prod)#輸出：[41018]12（3）廣播機制：允許不同形狀的數組之間執行運算，前提是它們的形狀在某些維度上兼容。廣播機制會自動擴展較小的數組，使其與較大的數組匹配。array=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])scalar=10

#廣播機制將標量擴展為數組形狀result_broadcast=array+scalarprint(result_broadcast)如果兩個數組的形狀在最后幾維相同，或者其中一個數組的維度為1，則可以執行廣播。array1=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])#形狀(2,3)array2=np.array([10,20,30])#形狀(1,3)

result_broadcast=array1+array2print(result_broadcast)上例中，array1的形狀是(2,3)，而array2的形狀是(1,3)。由于它們的形狀在最后一維相同，且array2的第一維是1，根據廣播規則，array2可以在計算時沿第一個維度自動擴展，變成形狀(2,3)，即[[10,20,30],[10,20,30]]，從而與array1相加得到結果。13[[111213][141516]][[112233][142536]]（2）統計函數：NumPy提供了多種統計函數，用于分析數組數據的分布特征。這些函數可以用于計算數組的均值、標準差、方差、最大值、最小值等。1）均值、標準差、方差均值（mean）:數組元素的平均值。array=np.array([1,2,3,4,5])mean_value=np.mean(array)print(mean_value)#輸出：3.0標準差（standarddeviation）:描述數據的離散程度。std_deviation=np.std(array)print(std_deviation)#輸出：1.4142135623730951方差（variance）:標準差的平方，表示數據分布的離散程度。variance_value=np.var(array)print(variance_value)#輸出：2.014這些函數可以通過指定axis參數來沿數組的特定軸進行計算。在NumPy中，axis參數用于指定數組操作的方向，它決定了在哪個方向上壓縮數組。以二維數組為例：axis=0:沿著列的方向（垂直方向）進行操作，跨行進行運算，對于axis=0，操作會在每一列上進行，這意味著結果是對每一列的值進行聚合。axis=1:沿著行的方向（水平方向）進行操作，跨列進行運算。對于axis=1，操作會在每一行上進行，這意味著結果是對每一行的值進行聚合。array_2d=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])#沿列計算均值mean_along_axis0=np.mean(array_2d,axis=0)print(mean_along_axis0)#輸出：[2.53.54.5]#沿行計算標準差std_along_axis1=np.std(array_2d,axis=1)print(std_along_axis1)#輸出：[0.816496580.81649658]2）最大值、最小值最大值（max）:數組中的最大元素。max_value=np.max(array)print(max_value)#輸出：5最小值（min）:數組中的最小元素。min_value=np.min(array)print(min_value)#輸出：1同樣，axis參數可以用于在特定軸上計算最大值和最小值：#沿列計算最大值max_along_axis0=np.max(array_2d,axis=0)print(max_along_axis0)#輸出：[456]#沿行計算最小值min_along_axis1=np.min(array_2d,axis=1)print(min_along_axis1)#輸出：[14]15（3）線性代數運算：（1）矩陣乘法：使用np.dot()函數或@運算符進行矩陣乘法matrix1=np.array([[1,2],[3,4]])matrix2=np.array([[5,6],[7,8]])#矩陣乘法product=np.dot(matrix1,matrix2)#product=matrix1@matrix2#同理print(product)運行結果：[[1922][4350]]16（2）逆矩陣與特征值：矩陣A的逆矩陣是一個矩陣B，使得AB=I（單位矩陣），計算逆矩陣需要確保矩陣是方陣且可逆。NumPy庫中numpy.linalg模塊提供的函數inv()用于計算矩陣的逆矩陣。fromnumpy.linalgimportinv

matrix=np.array([[1,2],[3,4]])inverse_matrix=inv(matrix)print(inverse_matrix)運行結果：[[-2.1.][1.5-0.5]]（3）特征值與特征向量:特征值是線性變換不變的標量值，特征向量是在變換下保持方向不變的向量。使用np.linalg.eig()計算特征值和特征向量。fromnumpy.linalgimporteig

matrix=np.array([[1,2],[2,1]])eigenvalues,eigenvectors=eig(matrix)print("特征值:",eigenvalues)print("特征向量:\n",eigenvectors)運行結果：特征值:[3.-1.]特征向量:[[0.70710678-0.70710678][0.707106780.70710678]]174.邏輯運算與條件篩選NumPy支持靈活的邏輯運算與條件篩選功能，允許用戶基于條件高效地過濾和操作數組數據。（1）布爾數組：是由布爾值（True或False）組成的數組，用于邏輯運算和條件篩選。布爾數組通常由比較操作生成，#創建一個數組array=np.array([1,2,3,4,5])

#生成布爾數組bool_array=array>3print(bool_array)#輸出：[FalseFalseFalseTrueTrue]布爾數組可以用于數組的元素級邏輯運算array1=np.array([True,False,True])array2=np.array([False,False,True])

#布爾與result_and=np.logical_and(array1,array2)print(result_and)#輸出：[FalseFalseTrue]

#布爾或result_or=np.logical_or(array1,array2)print(result_or)#輸出：[TrueFalseTrue]18（2）條件索引與過濾：使用布爾數組對數組進行條件索引和過濾，從數組中提取滿足特定條件的元素。array=np.array([10,20,30,40,50])

#使用布爾索引過濾數組元素filtered_array=array[array>30]print(filtered_array)#輸出：[4050]在此例中，array>30會返回一個布爾數組[False,False,False,True,True]，表示每個元素是否大于30。使用array[array>30]，利用布爾索引的方法只提取布爾數組中值為True的位置對應的元素。條件篩選也可以結合其他操作進行更復雜的數據處理。array=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])#使用條件篩選替換數組中的特定值array[array%2==0]=0print(array)運行結果：[[103][050]]5.排序、搜索與計數NumPy提供了一系列函數用于對數組進行排序、搜索和計數操作，高效組織和分析數據。（1）數組排序：NumPy的sort()函數用于對數組進行排序，返回排序后的數組：array=np.array([3,1,2,5,4])

#對數組進行排序sorted_array=np.sort(array)print(sorted_array)#輸出：[12345]NumPy也支持對多維數組的特定軸進行排序：array_2d=np.array([[10,1,8],[9,5,6]])

#沿列排序sorted_array_along_axis0=np.sort(array_2d,axis=0)print(sorted_array_along_axis0)運行結果：[[916][1058]]19（2）唯一值與去重：NumPy提供unique()函數用于查找數組中的唯一值，并去除重復項。array=np.array([1,2,2,3,3,3,4])

#查找唯一值unique_values=np.unique(array)print(unique_values)#輸出：[1234]6.Numpy的向量化向量化是NumPy的一個核心特性，通過批量操作替代逐元素的標量運算或循環處理，以顯著提升性能、減少代碼復雜性，并充分利用底層硬件（如SIMD指令、并行計算等）20（2）逐元素操作的批量化將標量的逐元素運算擴展為數組的批量操作，例如算術運算、數學函數等。#標量方式x=2result=x**2

#向量化方式arr=np.array([1,2,3,4])result=arr**2#[1,4,9,16]（1）消除顯式循環避免Python層面的for循環，減少解釋器的開銷。通過NumPy的批量操作，直接對數組整體進行計算。importnumpyasnp

#循環方式lst=[1,2,3,4,5]result=[x*2forxinlst]

#向量化方式arr=np.array(lst)result=arr*2#[2,4,6,8,10]（3）內置數學函數NumPy提供的數學函數（如sin、cos、sqrt）可以直接應用于數組，這些函數本身是向量化的。arr=np.array([0,np.pi/2,np.pi])result=np.sin(arr)#[0.0,1.0,0.0]（4）簡化復雜運算邏輯通過廣播、內置函數和高級索引，將復雜的多步驟操作合并為單步或少量操作。#循環方式arr=[1,2,3,4]result=sum([x**2forxinarr])

#向量化方式arr=np.array([1,2,3,4])result=np.sum(arr**2)#更高效217.案例：線性回歸分析線性回歸：在數據科學中，線性回歸是一種常用的預測模型，通過擬合一個線性方程來描述自變量和因變量之間的線性關系。例：使用線性回歸模型分析并預測GDP使用線性回歸模型來對模擬的GDP數據進行分析，并預測未來兩年的GDP。整個過程包括數據準備、年度增長率計算、回歸模型訓練和未來數據的預測。22（1）導入庫并模擬GDP數據首先導入NumPy庫，并模擬一組GDP時間序列數據作為輸入。importnumpyasnp#模擬GDP時間序列數據（單位：萬億美元）gdp_data=np.array([18.57,18.71,18.83,18.96,19.08,19.21,19.33,19.45,19.57,19.70])（2）計算年度增長率年度增長率用于衡量經濟增長情況。計算方法為相鄰年份的GDP差值除以前一年的GDP。#計算GDP的年度增長率gdp_growth_rate=np.diff(gdp_data)/gdp_data[:-1]*100print("GDP年度增長率:",gdp_growth_rate)np.diff()方法用于計算數組中相鄰元素的差值。它會返回一個新數組，其中的每個元素是原數組中相鄰元素的差值。在此例中，np.diff(gdp_data)計算了GDP數據中相鄰年份之間的差值，用以衡量年度GDP的變化。23（3）準備回歸模型的數據線性回歸模型通過擬合直線方程，描述自變量與因變量之間的關系。這里將年份數據作為自變量（X），GDP數據作為因變量（y）。為了進行回歸分析，還需要為自變量增加偏置項（截距），以便模型可以更好地擬合。#準備回歸模型的數據，X為自變量（年份），y為因變量（GDP）X=np.arange(len(gdp_data)).reshape(-1,1)y=gdp_data#增加偏置項（截距）X_b=np.c_[np.ones((X.shape[0],1)),X]X使用np.arange()函數生成表示年份的數據，并通過reshape(-1,1)轉換為列向量，表示10年的數據序列。y為前面創建的gdp_data，表示GDP的實際數值。然后通過np.ones()生成一個全是1的列向量，用作偏置項，并與X拼接在一起，生成包含偏置項的特征矩陣X_b，以確保模型中包含截距項。np.c_[]是NumPy提供的一種方便的拼接操作，可以將多個數組沿著列方向拼接在一起。24

25（5）預測未來的GDP通過已擬合的線性回歸模型，對未來年份進行預測。只需將未來年份的數據輸入回歸方程，結合計算出的回歸系數，即能得出未來的GDP預測值。#預測未來GDPX_new=np.array([[len(gdp_data)],[len(gdp_data)+1]])#未來兩年X_new_b=np.c_[np.ones((X_new.shape[0],1)),X_new]gdp_predict=X_new_b.dot(theta_best)print("未來GDP預測:",gdp_predict)首先創建了未來兩年的年份數據X_new，并與偏置項拼接為矩陣X_new_b。然后將該矩陣與回歸系數theta_best相乘，得到了未來兩年的GDP預測值。通過這種方式，利用線性回歸模型可以預測未來的經濟增長情況。運行結果：GDP年度增長率:[0.753904150.641368250.690387680.632911390.681341720.624674650.620796690.616966580.66428206]回歸系數:[18.581090910.12442424]未來GDP預測:[19.8253333319.94975758]26Numpy的方法與屬性匯總表類別方法/屬性說明數組創建np.array()從Python列表或元組創建數組。np.zeros()創建全零數組，指定形狀。np.ones()創建全一數組，指定形狀。np.arange()創建等差序列數組，類似于range函數。np.linspace()在指定范圍內創建等距數值數組。np.eye()創建單位矩陣。np.random.rand()創建0到1之間均勻分布的隨機數數組。np.random.randint()創建整數隨機數數組，指定范圍和形狀。數組屬性ndarray.shape返回數組的形狀（行數和列數）。ndarray.size返回數組的元素總數。ndarray.ndim返回數組的維數。ndarray.dtype返回數組元素的數據類型。ndarray.itemsize返回數組中每個元素的字節大小。數組索引和切片ndarray[index]根據索引訪問數組元素，支持負索引。ndarray[start:end:step]進行切片操作，支持步長選擇。np.where()根據條件返回滿足條件的索引或替換值。np.take()從數組中提取指定位置的元素，支持多維數組。數組運算np.add()元素逐一相加。np.subtract()元素逐一相減。np.multiply()元素逐一相乘。np.divide()元素逐一相除。np.power()對每個元素求冪。np.exp()計算數組中所有元素的指數。np.sqrt()計算數組中所有元素的平方根。np.log()計算數組中所有元素的自然對數。np.abs()計算數組中所有元素的絕對值。統計函數np.sum()計算數組的總和，可以指定軸（axis）求和。np.mean()計算數組的均值。np.median()計算數組的中位數。np.std()計算數組的標準差。np.var()計算數組的方差。np.min()找到數組中的最小值。np.max()找到數組中的最大值。np.cumsum()計算數組的累積和。np.cumprod()計算數組的累積積。27類別方法/屬性說明數組創建np.array()從Python列表或元組創建數組。線性代數運算np.dot()計算兩個數組的點積（矩陣乘法）。np.matmul()矩陣乘法，支持多維矩陣相乘。np.linalg.