1.3二項(xiàng)式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過從特殊到一般探究二項(xiàng)式定理；2.會(huì)運(yùn)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)（如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)）；3.能說出“項(xiàng)”、“項(xiàng)的系數(shù)”、“項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”等概念的區(qū)別。【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】1.通過從特殊到一般探究二項(xiàng)式定理；2.會(huì)運(yùn)用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中指定的項(xiàng)（如常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)）；【考綱要求】①能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理②會(huì)用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理與二項(xiàng)式展開式有關(guān)的簡單問題【學(xué)習(xí)過程】（一）自主學(xué)習(xí)任務(wù)1：溫故知新復(fù)習(xí)1：積展開后，共有項(xiàng).復(fù)習(xí)2：在n=1,2,3時(shí)，寫出的展開式.=,=,=，①展開式中項(xiàng)數(shù)為2，每項(xiàng)的次數(shù)為1；②展開式中項(xiàng)數(shù)為3，每項(xiàng)的次數(shù)為2，的次數(shù)規(guī)律是降冪，的次數(shù)規(guī)律是升冪.③展開式中項(xiàng)數(shù)為4，每項(xiàng)的次數(shù)為3，的次數(shù)規(guī)律是降冪，的次數(shù)規(guī)律升冪.（二）合作探究任務(wù)2探究任務(wù)一：二項(xiàng)式定理問題1：猜測展開式中共有多少項(xiàng)？分別有哪些項(xiàng)？【答案】展開式中共有n+1項(xiàng);分別有:問題2：從乘法運(yùn)算的角度分析結(jié)合排列組合相關(guān)知識(shí)解釋下，各項(xiàng)系數(shù)分別是什么？【答案】上述運(yùn)算就是n個(gè)（a+b）的乘法運(yùn)算，我們可以利用乘法分配律分布完成運(yùn)算，每次從n個(gè)（a+b）中的每項(xiàng)中取出一個(gè)a或者b參與運(yùn)算得到一項(xiàng)并合并同類項(xiàng)，如從n個(gè)（a+b）中的某一項(xiàng)取出一個(gè)a，其余的n-1個(gè)（a+b）中均取b，得到，從b被抽到的個(gè)數(shù)結(jié)合組合的角度思考這樣的同類項(xiàng)共有故各項(xiàng)系數(shù)分別是:新知：（）上面公式叫做二項(xiàng)式定理，公式右邊的多項(xiàng)式叫做的展開式，其中（r＝0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用符號(hào)表示，即通項(xiàng)為展開式的第r項(xiàng).試試：寫出，⑴展開式共有項(xiàng)，⑵展開式的通項(xiàng)公式是；⑶展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，第四項(xiàng)系數(shù)是.【答案】;7;;由知展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是，第四項(xiàng)系數(shù)是.反思：的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)相同嗎？【答案】不一定任務(wù):3:二項(xiàng)式定理應(yīng)用例1．已知的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).（1）求的值；（2）求展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)；【答案】（1），（2），（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)第六項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，的冪指數(shù)為0，求得的值（2）在通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)為2，可得展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)【詳解】（1）由題意可得為常數(shù)項(xiàng)所以，即（2）展開式的通項(xiàng)公式為令，得所以展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為變式練習(xí)1.在的展開式中.（1）求第3項(xiàng)；（2）求含項(xiàng)的系數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.（2）直接利用二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】（1），（2），令，解得.所以.所以含項(xiàng)的系數(shù)為.任務(wù)4：楊輝三角與二項(xiàng)式定理的性質(zhì)問題1：在展開式中，當(dāng)n＝1，2，3，…時(shí)，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)有何規(guī)律？11121133114641151010511615201561新知1：上述二項(xiàng)式系數(shù)表叫做“楊輝三角”，表中二項(xiàng)式系數(shù)關(guān)系是【答案】第n行第i個(gè)數(shù)與第i+1的數(shù)學(xué)的和等于第n+1行第i+1個(gè)數(shù)探究任務(wù)二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)問題2：設(shè)函數(shù)，函數(shù)的定義域是正整數(shù)，函數(shù)圖象有何性質(zhì)？（以n＝6為例）【答案】關(guān)于n=3對(duì)稱新知3：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)⑴對(duì)稱性:【答案】與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等,圖象的對(duì)稱軸是.試試：①在(a＋b)展開式中，與倒數(shù)第三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等是(B)A第２項(xiàng)B第３項(xiàng)C第４項(xiàng)D第５項(xiàng)②若的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n＝.反思：為什么二項(xiàng)式系數(shù)有對(duì)稱性？【答案】組合數(shù)的對(duì)稱性：如從n個(gè)（a+b）中的某一項(xiàng)取出r個(gè)a，其余的n-r個(gè)（a+b）中均取b，得到，從b被抽到的個(gè)數(shù)結(jié)合組合的角度思考這樣的同類項(xiàng)共有，對(duì)應(yīng)的從a被抽到的個(gè)數(shù)結(jié)合組合的角度思考這樣的同類項(xiàng)共有，所以⑵增減性與最大值：從圖象得知，中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，左邊二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大，右邊二項(xiàng)式系數(shù)逐漸減小.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)共有1項(xiàng)，是第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)是，取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間項(xiàng)共有2項(xiàng)，分別是第項(xiàng)和第項(xiàng)，它的二項(xiàng)式系數(shù)分別是和，二項(xiàng)式系數(shù)都取得最大值.⑶各二項(xiàng)式系數(shù)的和：在展開式中，若，則可得到即-1例2已知(n∈N*)的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)的與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是10∶1.(1)求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；(2)求展開式中含的項(xiàng)；(3)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）1；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）已知的展開式中第五項(xiàng)系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是，由此關(guān)系建立起方程，求出；(2)由（1)，利用展開式中項(xiàng)的公式,令的指數(shù)為解出,即可得到的項(xiàng)；(3)利用,得出展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】解：由題意知，第五項(xiàng)系數(shù)為C·(－2)4，第三項(xiàng)的系數(shù)為C·(－2)2，則，化簡得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．(1)令x＝1得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)8＝1.(2)通項(xiàng)公式Tr＋1＝C()8－r＝C(－2)rx－2r，令－2r＝，則r＝1.故展開式中含的項(xiàng)為.(3)設(shè)展開式中的第r項(xiàng)，第r＋1項(xiàng)，第r＋2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，若第r＋1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則解得5≤r≤6.又T6的系數(shù)為負(fù)，所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T7＝1792x－11由n＝8知第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，此時(shí).小結(jié)：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.變式練習(xí)2．已知展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)恰好是它的前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，且等于它后一項(xiàng)系數(shù)的，試求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】【解析】【分析】【詳解】試題分析：先求出的展開式的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)某一項(xiàng)的系數(shù)恰好是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，是它后一項(xiàng)系數(shù)的倍，建立方程組，解之即可求出n的值，從而求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．由題意設(shè)展開式中第k＋1項(xiàng)系數(shù)是第k項(xiàng)系數(shù)的2倍，是第k＋2項(xiàng)系數(shù)的，∴解得，∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)．故系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)例3：證明：在展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.證明：（）令a=1，b=-1得所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.變式練習(xí)3.已知；求：（1）；（2）.【答案】（1）-2；（2）【解析】【分析】（1）令，得出，，得出，即可求出；（2）令，得出①，令②，再對(duì)分解因式，代入求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，展開式變?yōu)椋?dāng)時(shí)，（2）由展開式知：均為負(fù)，均為正，令①令②例4：若能被9整除，則的最小值為（）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】將利用二項(xiàng)式定理展開，根據(jù)題意得到能被9整除，從而得到滿足題意的的最小值.【詳解】由二項(xiàng)式定理可得，其中能被9整除，所以要使能被9整除，則能被9整除，則當(dāng)時(shí)，最小，且能被9整除.故選：B．變式練習(xí)4．若能被3整除，則a=（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】把17用代換，然后用二項(xiàng)式定理展開，根據(jù)題意求出a的值.【詳解】因?yàn)椋梢阎傻茫?故選：B（三）總結(jié)反思（四）當(dāng)堂檢測。在的展開式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）各項(xiàng)系數(shù)的和；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（4）奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和與的偶次項(xiàng)系數(shù)和.【答案】（1）；（2）1；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為；（4）奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為；（5）的奇次項(xiàng)系數(shù)和為，的偶次項(xiàng)系數(shù)和為【解析】【分析】設(shè)，各項(xiàng)系數(shù)和為，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，奇次項(xiàng)