5．5三角恒等變換第五章三角函數5．5三角恒等變換例1利用公式證明：（1）；（2）.證明：（1）.（2）.例2已知，，，是第三象限角，求的值.解：由，，得.又由，是第三象限角，得.所以.例3已知，是第四象限角，求，，的值.解：由，是第四象限角，得，所以.于是有；；.例4利用和（差）角公式計算下列各式的值：（1）；（2）；（3）.分析：和、差角公式把的三角函數式轉化成了，的三角函數式.如果反過來，從右到左使用公式，就可以將上述三角函數式化簡.解：（1）由公式，得.（2）由公式，得.（3）由公式及，得.例5已知，，求，，的值.分析：已知條件給出了的正弦函數值.由于是的二倍角，因此可以考慮用倍角公式.解：由，得.又，所以.于是；；.例6在中，，，求的值.解法1：在中，由，，得，所以，.又，所以.于是.解法2：在中，由，，得，所以，又，所以，.所以.例7試以表示，，.解：是的二倍角.在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.①在倍角公式中，以代替，以代替，得，所以.②將①②兩個等式的左右兩邊分別相除，得.例8求證：（1）；（2）.證明：（1）因為，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得，即.（2）由（1）可得.①設，，那么，.把，的值代入①，即得.例9求下列函數的周期，最大值和最小值：（1）；（2）.分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數式是，利用和角公式將其展開，可化為的形式.反之，利用和（差）角公式，可將轉化為的形式，進而就可以求得其周期和最值了.解：（1）.因此，所求周期為，最大值為2，最小值為-2.（2）設，則.于是，，于是，所以.取，則，.由可知，所求周期為，最大值為5，最小值為-5.例10如圖5.5-2，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動點，是扇形的內接矩形.記，求當角取何值時，矩形的面積最大？并求出這個最大面積.分析：可先建立矩形的面積S與之間的函數關系，再求函數的最大值.解：在中，，.在中，.所以，.設矩形的面積為S，則.由，得，所以當，即時，.因此，當時，矩形的面積最大，最大面積為.5．5．1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式練習1．利用公式證明：（1）；

（2）．2．利用公式求的值.3．已知，，求的值．4．已知，是第二象限角，求的值.5．已知，，，，求的值.練習6．利用和（差）角公式，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．7．（1）已知，，求的值；（2）已知，是第三象限角，求的值；（3）已知，求值．8．求下列各式的值：(1)；(2)(3)(4)；(5)；(6)．9．化簡：（1）；（2）；（3）；（4）.10．已如，是第三象限角，求的值.練習11．已知，，求，，的值.12．已知，求的值.13．已知，，求的值.14．已知，求的值.15．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）.5．5．2簡單的三角恒等變換練習16．求證：.17．已知，且，試求和的值.18．已知等腰三角形的頂角的余弦等于，求這個三角形的一個底角的正切.19．求證：（1）；（2）；（3）．20．求證：（1）；（2）；（3）.練習21．求下列函數的周期，最大值和最小值：（1）；（2）.22．要在半徑為R的圓形場地內建一個矩形的花壇，應怎樣截取，才能使花壇的面積最大？23．已知正n邊形的邊長為a，內切圓的半徑為r，外接圓的半徑為R.求證.習題5．5復習鞏固24．已知，，，，求的值.25．已知都是銳角，，求的值.（提示：.）26．已知，，求的值.27．在中，，求的值.28．已知，求的值.29．化簡：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.30．已知，求的值（精確到0.01）.31．求證：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.32．已知；（1）求證：；（2）求證：．33．已知，求證.34．已知一段圓弧所對的圓心角的正弦值等于，求這段圓弧所對的圓周角的正弦、余弦和正切.35．化簡（1）；（2）；（3）；（4）.綜合運用36．在中，已知是x的方程的兩個實根，求.37．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．38．求證：（1）；（2）.39．是否存在銳角，使得：，同時成立？若存在，求出銳角的值；若不存在，說明理由.40．（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；（2）求函數的最大值和最小值.拓廣探索41．觀察以下各等式：，，分析