高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，集合，則，有.故選：C.2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【解析】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差.故選：B.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，可得：，若，則，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.4.若向量，且，則實數(shù)m的值為（）A.－2 B.－ C.1 D.－2或1【答案】D【解析】因為向量，且，所以，解得m=－2或1，故A，B，C錯誤.故選：D.5.用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則零點所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因為，，所以零點所在的區(qū)間，再計算的符號.故選：C.6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于x軸對稱 D.關(guān)于原點對稱【答案】A【解析】的反函數(shù)滿足，化簡可得，所以，因為反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，即與關(guān)于直線對稱.故選：A.7.已知平行四邊形ABCD，點E是CD的中點，點F滿足，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，，由于點E是CD的中點，所以，，，故.故選：B.8.已知函數(shù)定義域為，，對任意的，，當(dāng)時，有.若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，當(dāng)時，有，即，即，令，則當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有標(biāo)號分別為1~8的8個大小形狀相同的小球，現(xiàn)抽獎?wù)邚闹谐槿?個小球.事件“取出的小球編號為奇數(shù)”，事件“取出的小球編號為偶數(shù)”，事件“取出的小球編號小于6”，事件“取出的小球編號大于6”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與B互斥 B.A與B相互對立C.C與D相互對立 D.B與D相互獨立【答案】ABD【解析】抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件，事件，事件，事件，且，則與互斥，且與互為對立事件，AB正確；且真包含于，事件C與D不相互對立，C錯誤；，，事件B與D相互獨立，D正確.故選：ABD.10.下列關(guān)于向量說法，正確的是（）A.若，，則B.在△ABC中，若，則△AOC與△ABC的面積之比為C.兩個非零向量，，若，則與共線且反向D.若，則存在唯一實數(shù)使得【答案】BC【解析】對于A，當(dāng)時，因為零向量與任意向量都平行，所以，成立，而此時不一定平行，所以A錯誤，對于B，因為，所以，設(shè)為的中點，連接，則，所以，所以點到的距離等于點到的距離的3倍，所以△AOC與△ABC的面積之比為，所以B正確，對于C，由，得，化簡得，所以，所以與的夾角為，所以與共線且反向，所以C正確，對于D，當(dāng)時，不存在唯一實數(shù)使得，所以D錯誤.故選：BC.11.已知若方程有四個不同的解，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：方程有四個不同的解，則，，故A錯誤，C正確；，所以，故B正確；設(shè)，所以，因為，所以，則，則的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：kg）的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計這個學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)為________kg.【答案】48【解析】這10個數(shù)從小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60，因為，所以這10個數(shù)的40%分位數(shù)為，所以這個學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)約為48kg.13.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則________.【答案】【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，符合題意.14.不等式的解集為________.【答案】【解析】原不等式等價于，令，則，所以，因為，和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以原不等式的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）是定義域為的偶函數(shù).（1）求的解析式，并直接寫出的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）解不等式.解：（1）因為是偶函數(shù)，所以對，都有，即，整理得，所以，，令，則，由可得，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，的最小值是.（2）因為是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，所以等價于，解得：，所以不等式的解集是.16.甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．（1）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．解：（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，由題設(shè)條件有即解得，，．即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率分別是，，.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，則．故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為．17.如圖，在中，.（1）若E是BD的中點，試用和表示；（2）若G是AD上一點，且，過點G的直線交AB于點F，交AC于點H.若，，其中，均為正實數(shù)，求的最小值.解：（1）因為，所以，所以，因為E是BD的中點，所以.（2）由，，得，，因為，，所以，因為F，G，H三點共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.18.某公司生產(chǎn)A、B兩種型號電動汽車電機(jī)，為了了解電機(jī)的某項指標(biāo)，從這兩種電機(jī)中各抽取100臺進(jìn)行檢測，獲得該項指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）估計B型電機(jī)該項指標(biāo)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）；（2）從A型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取2件，B型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取4件，再從這6件中任意抽取2件，求指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件的概率；（3）根據(jù)檢測結(jié)果確定該項指標(biāo)的一個臨界值m，且，某汽車廠準(zhǔn)備用A、B兩種型號電機(jī)生產(chǎn)C牌和D牌汽車各1萬輛，有以下兩種方案可供選擇：方案一：將A型電機(jī)用于生產(chǎn)C牌汽車，其中該指標(biāo)小于等于臨界值m的電機(jī)會導(dǎo)致每臺汽車損失7000元；將B型電機(jī)用于生產(chǎn)D牌汽車，其中該指標(biāo)大于等于臨界值m的電機(jī)會導(dǎo)致每臺汽車損失3000元；方案二：重新檢測所用的電機(jī)，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需1010萬元.請從汽車廠節(jié)約成本的角度考慮，選擇合理的方案，并說明理由.解：（1）由頻率分布直方圖得B型電機(jī)該項指標(biāo)的平均值為：.（2）根據(jù)分層抽樣得，來自A型電機(jī)指標(biāo)在和的各1臺，分別記為x，y，來自B型電機(jī)指標(biāo)在和分別為3臺和1臺，分別記為，，和p.從中任意抽取兩件，樣本空間可記為，共15個樣本點，記事件M：指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件，則共含3個樣本點，所以.（3）設(shè)將A、B兩種型號電機(jī)應(yīng)用C牌、D牌汽車時，該汽車廠損失y（萬元），，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)臨界值時，選擇方案二；當(dāng)臨界值時，選擇方案一或二都行；當(dāng)臨界值時，選擇方案一.19.兩個定義域相同的函數(shù)和，存在實數(shù)m，n，使，則稱為和的函數(shù).（1）函數(shù)為和的函數(shù)，且.判斷函數(shù)的圖象是否有對稱中心，并說明理由.（2）函數(shù)為和的函數(shù)，且.①判斷單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；②證明：函數(shù)有且只有兩個零點，，且.解：（1），因為，所以，有對稱中心，理由如下：的定義域為，且，都有，，所以的圖象關(guān)于中心對稱.（2），因為，所以，，定義域為，因為，①在和都是單調(diào)遞增函數(shù)，證明：任取，，且，，因為，所以，，，所以，所以在是單調(diào)遞增函數(shù)，同理，當(dāng)時，，所以在是單調(diào)遞增函數(shù).②證明：因為，所以，，取，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，因為在是單調(diào)遞增函數(shù)，若，則是在的唯一零點，若，則，使得，由單調(diào)性可得是在的唯一零點，因為，都有，且，所以是的零點，由單調(diào)性可得是在的唯一零點，綜上所述，函數(shù)有且只有兩個零點，，因為，又，所以.遼寧省大連市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，集合，則，有.故選：C.2.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)【答案】B【解析】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差.故選：B.3.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，可得：，若，則，則“”是“”的充分必要條件.故選：C.4.若向量，且，則實數(shù)m的值為（）A.－2 B.－ C.1 D.－2或1【答案】D【解析】因為向量，且，所以，解得m=－2或1，故A，B，C錯誤.故選：D.5.用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則零點所在的區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因為，，所以零點所在的區(qū)間，再計算的符號.故選：C.6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于直線對稱 B.關(guān)于y軸對稱C.關(guān)于x軸對稱 D.關(guān)于原點對稱【答案】A【解析】的反函數(shù)滿足，化簡可得，所以，因為反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，即與關(guān)于直線對稱.故選：A.7.已知平行四邊形ABCD，點E是CD的中點，點F滿足，則等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，，由于點E是CD的中點，所以，，，故.故選：B.8.已知函數(shù)定義域為，，對任意的，，當(dāng)時，有.若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可知，當(dāng)時，有，即，即，令，則當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場組織了一次幸運抽獎活動，袋中裝有標(biāo)號分別為1~8的8個大小形狀相同的小球，現(xiàn)抽獎?wù)邚闹谐槿?個小球.事件“取出的小球編號為奇數(shù)”，事件“取出的小球編號為偶數(shù)”，事件“取出的小球編號小于6”，事件“取出的小球編號大于6”，則下列結(jié)論正確的是（）A.A與B互斥 B.A與B相互對立C.C與D相互對立 D.B與D相互獨立【答案】ABD【解析】抽獎?wù)邚闹腥稳∫粋€球的樣本空間為，事件，事件，事件，事件，且，則與互斥，且與互為對立事件，AB正確；且真包含于，事件C與D不相互對立，C錯誤；，，事件B與D相互獨立，D正確.故選：ABD.10.下列關(guān)于向量說法，正確的是（）A.若，，則B.在△ABC中，若，則△AOC與△ABC的面積之比為C.兩個非零向量，，若，則與共線且反向D.若，則存在唯一實數(shù)使得【答案】BC【解析】對于A，當(dāng)時，因為零向量與任意向量都平行，所以，成立，而此時不一定平行，所以A錯誤，對于B，因為，所以，設(shè)為的中點，連接，則，所以，所以點到的距離等于點到的距離的3倍，所以△AOC與△ABC的面積之比為，所以B正確，對于C，由，得，化簡得，所以，所以與的夾角為，所以與共線且反向，所以C正確，對于D，當(dāng)時，不存在唯一實數(shù)使得，所以D錯誤.故選：BC.11.已知若方程有四個不同的解，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：方程有四個不同的解，則，，故A錯誤，C正確；，所以，故B正確；設(shè)，所以，因為，所以，則，則的取值范圍為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了快速了解某學(xué)校學(xué)生體重（單位：kg）的大致情況，隨機(jī)抽取了10名學(xué)生稱重，得到的數(shù)據(jù)整理成莖葉圖如圖所示，估計這個學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)為________kg.【答案】48【解析】這10個數(shù)從小到大依次45，46，46，47，49，49，51，58，59，60，因為，所以這10個數(shù)的40%分位數(shù)為，所以這個學(xué)校學(xué)生體重的40%分位數(shù)約為48kg.13.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則________.【答案】【解析】因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，符合題意.14.不等式的解集為________.【答案】【解析】原不等式等價于，令，則，所以，因為，和在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以原不等式的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（其中a為常數(shù)）是定義域為的偶函數(shù).（1）求的解析式，并直接寫出的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）解不等式.解：（1）因為是偶函數(shù)，所以對，都有，即，整理得，所以，，令，則，由可得，所以，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇偶性可得的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，的最小值是.（2）因為是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，所以等價于，解得：，所以不等式的解集是.16.甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．（1）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，求至少有一個一等品的概率．解：（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，由題設(shè)條件有即解得，，．即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工零件是一等品的概率分別是，，.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗至少有一個一等品的事件，則．故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗，至少有一個一等品的概率為．17.如圖，在中，.（1）若E是BD的中點，試用和表示；（2）若G是AD上一點，且，過點G的直線交AB于點F，交AC于點H.若，，其中，均為正實數(shù)，求的最小值.解：（1）因為，所以，所以，因為E是BD的中點，所以.（2）由，，得，，因為，，所以，因為F，G，H三點共線，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為.18.某公司生產(chǎn)A、B兩種型號電動汽車電機(jī)，為了了解電機(jī)的某項指標(biāo)，從這兩種電機(jī)中各抽取100臺進(jìn)行檢測，獲得該項指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）估計B型電機(jī)該項指標(biāo)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）；（2）從A型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取2件，B型電機(jī)指標(biāo)在內(nèi)采用分層抽樣方式抽取4件，再從這6件中任意抽取2件，求指標(biāo)在和內(nèi)各抽取1件的概率；（3）根據(jù)檢測結(jié)果確定該項指標(biāo)的一個臨界值m，且，某汽車廠準(zhǔn)備用A、B兩種型號電機(jī)生產(chǎn)C牌和D牌汽車各1萬輛，有以下兩種方案可供選