高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市宜興市2024-2025學年高二下學期期中調研考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.展開后，共有項數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】展開后每一項都必須在以及兩式中任取一項相乘，故有項．故選：C．2.函數在處的導數為（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以函數在處的導數為.故選：.3.已知隨機變量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若，則，故為充要條件，故選：C.4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽共有種，所選3人中沒有1名女生的情況有，所以所選3人中至少有1名女生的概率是.故選：D．5.對一排7個相鄰的格子進行染色，每個格子均可從紅、藍兩種顏色中選擇一種，要求不能有相鄰的格子都染紅色，則滿足要求的染色的方法共有（）A.35種 B.34種 C.33種 D.32種【答案】B【解析】因為不能有相鄰的格子都染紅色，所以我們對紅色格子的個數進行分類討論，當染個紅色格子時，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，我們采用插空法，先將個藍色格子排列好，產生了個空，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，我們采用插空法，先將個藍色格子排列好，產生了個空，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，我們采用插空法，先將個藍色格子排列好，產生了個空，共有種滿足要求的染色的方法，當有個或個以上的紅色格子時，紅色格子一定會相鄰，不符合題意，故排除，綜上，由分類加法計數原理得共有種方法滿足，故B正確.故選：B6.已知隨機變量，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，且，，所以，解得，即，所以.故選：D7.小明等5名同學準備分別從竹海風景區、善卷洞、云湖這3個景點隨機選擇一個游玩，設事件“每個景點都有人去”,事件“小明獨自去了一個景點”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】5名同學從3個景點隨機選擇一個游玩，選法共有種，小明選擇一個景點的方法共有種，將剩下的4名同學分成兩組并分配到2個景點，選法共有種，所以，小明獨自去一個景點，剩下的4名同學從剩下的2個景點中任選1個，選法共有種，所以，所以.故選：.8.已知函數，若恒成立，則正整數的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】原不等式等價于，由圖可知若滿足題意，只需小于與兩個函數相切時的的值即可，設公切點為，因為，，所以，所以，所以，令，所以，所以單調遞增，因為，，所以存在，使得，所以，令，則，根據對勾函數的性質知單調遞減，所以，所以正整數的最大值為.故選：.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量服從兩點分布，且，則下列說法正確的是（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】因為隨機變量服從兩點分布，所以，對于A，由兩點分布的期望公式得，故A正確，對于B，由兩點分布的方差公式得，故B錯誤，對于C，由兩點分布的性質得，故C正確，對于D，由兩點分布的性質得，故D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.在處取得極大值 B.在上單調遞增C.時， D.時，【答案】BC【解析】由已知可得，，則.解，可得.當變化時，變化情況如下表1+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由上表可知，A項錯誤；B項正確.且在處取得極小值，在處取得極大值.又，，所以，時，在處取得最小值，在處取得最大值，即.故C正確；對于D項，易知時，，，此時有.故D項錯誤.故選：BC.11.已知口袋中有個黑球和個白球，這個球除顏色外完全相同，每次不放回地隨機摸出一個球，連續摸兩次．記事件表示“第一次摸得黑球”，記事件表示“第二次摸得黑球”．則下列說法正確的是（）A. B.C.存在，，使得事件與獨立 D.存在，使得【答案】ABD【解析】由已知可得，，所以，故正確；，，所以不存在，，使得，所以事件與不獨立，故錯誤；，，若，則，所以，即，所以存在，滿足，使得，故正確；，，所以，故正確.故選：.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中，項的系數為_________．【答案】【解析】的展開式的通項為，則項的系數為.故答案為：.13.已知函數滿足，則________．【答案】【解析】因為，所以，所以，解得，所以，所以.故答案為：.14.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球，5個白球，乙箱中有8個紅球，2個白球．擲一枚質地均勻的骰子，如果點數為1或2，則從甲箱子中隨機摸出1個球觀察后放回；如果點數為3，4，5，6，則從乙箱子中隨機摸出一個球觀察后放回．如此重復操作三次，其中恰有一次摸出紅球的概率為________．【答案】【解析】從甲中摸紅球：擲到1或2的概率為，則再從甲中摸到紅球的概率為，故從甲中摸到紅球的概率為；從乙中摸到紅球：擲到3，4，5，6的概率為，則再從乙中摸到紅球的概率為，故從乙中摸到紅球的概率為，綜上所述：每次摸到紅球的概率為，設事件“三次摸球中恰有一次摸出紅球”，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個宿舍的6位同學被邀請參加一個晚會．（1）如果必須有人去，去幾個人自行決定，有多少種不同的去法？（2）如果其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，有多少種不同的去法？（3）該晚會分，兩個區，現在決定由甲，乙，丙，丁四位同學參加該晚會，每區都要有人去，且甲和乙不能去同一個區，有多少種不同去法?解：（1）由題意，可以去的人數有共種情況，則去法共有種；（2）把甲乙兩個人看成一個人，則去法共有種；（3）先安排甲乙兩人，去法共有種，丙丁兩人從，兩個區中任選一個，去法共有種，根據分步乘法計數原理可得有種不同去法.16已知函數．（1）當時，求證：恒成立；（2）若恒成立，求的取值范圍．解：（1）當時，，則，且的定義域為，令，，令，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，得到恒成立.（2）若恒成立，則恒成立，得到恒成立，易得，故恒成立，令，得到恒成立，令，則恒成立，而，令，，令，，得到在上單調遞增，在上單調遞減，則，即.17.設，，．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由二項式定理可得展開式的通項為，所以，所以.整理可得，解得或（舍去負值），所以.（2）由（1）可得，.令，可得，所以.（3）對兩邊同時求導可得，整理可得.代入，可得.18.某科研團隊研發了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區（人數眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了一次檢測，結果如下：抽樣人群陽性人數陰性人數患者364非患者258（1）試估計使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率；（2）若從該地區患者中抽取4人進行一次檢測，求至多有一人檢測結果錯誤的概率；（3）若從該地區的患者和非患者中分別抽取2人進行一次檢測，求恰有一人檢測結果錯誤的概率．解：（1）總檢測人數為人.檢測結果正確的人數為患者中檢測為陽性的36人加上非患者中檢測為陰性的58人，即人.根據古典概型概率公式，使用該試劑盒進行一次檢測結果正確的概率.（2）從患者中抽取一人檢測結果錯誤的概率為，檢測結果正確的概率為.“至多有一人檢測結果錯誤”包含“人檢測結果錯誤”和“人檢測結果錯誤”兩種情況.“人檢測結果錯誤”概率：根據獨立重復試驗概率公式，.“人檢測結果錯誤”的概率：.所以至多有一人檢測結果錯誤的概率.（3）非患者中抽取一人檢測結果錯誤的概率為，檢測結果正確的概率為.分兩種情況：情況一：患者中有一人檢測結果錯誤，非患者檢測結果都正確.患者中一人錯誤的概率為，非患者兩人都正確概率為，這種情況的概率.情況二：非患者中有一人檢測結果錯誤，患者檢測結果都正確.非患者中一人錯誤的概率為，患者兩人都正確概率為，則這種情況概率為.所以恰有一人檢測結果錯誤的概率.19.已知函數在點處的切線方程為．（1）求實數，的值；（2）求函數的單調區間和極值；（3）若兩個不相等的實數，滿足：，求證：．解：（1）因為，所以，切線方程為即，由題意，解得；（2）由（1）可知，，令得，令得，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以是的極大值點，所以有極大值為，無極小值；（3）因為，所以，設，則，令得，令得，令得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，不妨取，欲證，即證，又因為在上單調遞減，故只需證，又因為，故也即證，構造函數，則等價于證明對恒成立．，因為，所以，所以，則在上單調遞增，所以，即已證明對恒成立，故原不等式成立．江蘇省無錫市宜興市2024-2025學年高二下學期期中調研考試數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.展開后，共有項數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】展開后每一項都必須在以及兩式中任取一項相乘，故有項．故選：C．2.函數在處的導數為（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以，所以函數在處的導數為.故選：.3.已知隨機變量，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由知，可知，故，故成立；反之，若，則，故為充要條件，故選：C.4.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，則所選3人中至少有1名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽共有種，所選3人中沒有1名女生的情況有，所以所選3人中至少有1名女生的概率是.故選：D．5.對一排7個相鄰的格子進行染色，每個格子均可從紅、藍兩種顏色中選擇一種，要求不能有相鄰的格子都染紅色，則滿足要求的染色的方法共有（）A.35種 B.34種 C.33種 D.32種【答案】B【解析】因為不能有相鄰的格子都染紅色，所以我們對紅色格子的個數進行分類討論，當染個紅色格子時，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，我們采用插空法，先將個藍色格子排列好，產生了個空，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，我們采用插空法，先將個藍色格子排列好，產生了個空，共有種滿足要求的染色的方法，當染個紅色格子時，我們采用插空法，先將個藍色格子排列好，產生了個空，共有種滿足要求的染色的方法，當有個或個以上的紅色格子時，紅色格子一定會相鄰，不符合題意，故排除，綜上，由分類加法計數原理得共有種方法滿足，故B正確.故選：B6.已知隨機變量，且，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，且，，所以，解得，即，所以.故選：D7.小明等5名同學準備分別從竹海風景區、善卷洞、云湖這3個景點隨機選擇一個游玩，設事件“每個景點都有人去”,事件“小明獨自去了一個景點”，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】5名同學從3個景點隨機選擇一個游玩，選法共有種，小明選擇一個景點的方法共有種，將剩下的4名同學分成兩組并分配到2個景點，選法共有種，所以，小明獨自去一個景點，剩下的4名同學從剩下的2個景點中任選1個，選法共有種，所以，所以.故選：.8.已知函數，若恒成立，則正整數的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】原不等式等價于，由圖可知若滿足題意，只需小于與兩個函數相切時的的值即可，設公切點為，因為，，所以，所以，所以，令，所以，所以單調遞增，因為，，所以存在，使得，所以，令，則，根據對勾函數的性質知單調遞減，所以，所以正整數的最大值為.故選：.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共計18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量服從兩點分布，且，則下列說法正確的是（）A. B.C D.【答案】ACD【解析】因為隨機變量服從兩點分布，所以，對于A，由兩點分布的期望公式得，故A正確，對于B，由兩點分布的方差公式得，故B錯誤，對于C，由兩點分布的性質得，故C正確，對于D，由兩點分布的性質得，故D正確.故選：ACD10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.在處取得極大值 B.在上單調遞增C.時， D.時，【答案】BC【解析】由已知可得，，則.解，可得.當變化時，變化情況如下表1+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增由上表可知，A項錯誤；B項正確.且在處取得極小值，在處取得極大值.又，，所以，時，在處取得最小值，在處取得最大值，即.故C正確；對于D項，易知時，，，此時有.故D項錯誤.故選：BC.11.已知口袋中有個黑球和個白球，這個球除顏色外完全相同，每次不放回地隨機摸出一個球，連續摸兩次．記事件表示“第一次摸得黑球”，記事件表示“第二次摸得黑球”．則下列說法正確的是（）A. B.C.存在，，使得事件與獨立 D.存在，使得【答案】ABD【解析】由已知可得，，所以，故正確；，，所以不存在，，使得，所以事件與不獨立，故錯誤；，，若，則，所以，即，所以存在，滿足，使得，故正確；，，所以，故正確.故選：.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中，項的系數為_________．【答案】【解析】的展開式的通項為，則項的系數為.故答案為：.13.已知函數滿足，則________．【答案】【解析】因為，所以，所以，解得，所以，所以.故答案為：.14.甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球，5個白球，乙箱中有8個紅球，2個白球．擲一枚質地均勻的骰子，如果點數為1或2，則從甲箱子中隨機摸出1個球觀察后放回；如果點數為3，4，5，6，則從乙箱子中隨機摸出一個球觀察后放回．如此重復操作三次，其中恰有一次摸出紅球的概率為________．【答案】【解析】從甲中摸紅球：擲到1或2的概率為，則再從甲中摸到紅球的概率為，故從甲中摸到紅球的概率為；從乙中摸到紅球：擲到3，4，5，6的概率為，則再從乙中摸到紅球的概率為，故從乙中摸到紅球的概率為，綜上所述：每次摸到紅球的概率為，設事件“三次摸球中恰有一次摸出紅球”，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.一個宿舍的6位同學被邀請參加一個晚會．（1）如果必須有人去，去幾個人自行決定，有多少種不同的去法？（2）如果其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，有多少種不同的去法？（3）該晚會分，兩個區，現在決定由甲，乙，丙，丁四位同學參加該晚會，每區都要有人去，且甲和乙不能去同一個區，有多少種不同去法?解：（1）由題意，可以去的人數有共種情況，則去法共有種；（2）把甲乙兩個人看成一個人，則去法共有種；（3）先安排甲乙兩人，去法共有種，丙丁兩人從，兩個區中任選一個，去法共有種，根據分步乘法計數原理可得有種不同去法.16已知函數．（1）當時，求證：恒成立；（2）若恒成立，求的取值范圍．解：（1）當時，，則，且的定義域為，令，，令，，則在上單調遞減，在上單調遞增，故，得到恒成立.（2）若恒成立，則恒成立，得到恒成立，易得，故恒成立，令，得到恒成立，令，則恒成立，而，令，，令，，得到在上單調遞增，在上單調遞減，則，即.17.設，，．（1）若，求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由二項式定理可得展開式的通項為，所以，所以.整理可得，解得或（舍去負值），所以.（2）由（1）可得，.令，可得，所以.（3）對兩邊同時求導可得，整理可得.代入，可得.18.某科研團隊研發了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準確性，科研團隊從某地區（人數眾多）隨機選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對他們進行了一次檢測，結果如下：抽樣人群陽性人數陰性人數患者364非患者258（1）