高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市九校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)變量間對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為－0.92，0.46，0.79，0.85，則（）A.甲組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強 B.乙組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強C.丙組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強 D.丁組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強【答案】A【解析】設(shè)變量間的線性相關(guān)系數(shù)為，當越接近1時，相關(guān)程度越強，因為，所以甲組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強，乙組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最弱．故選：A.2.已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量．若l1∥l2，則（）A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝【答案】D【解析】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.故選：D3.完全展開后的項數(shù)是（）A.7 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為.故選：C4.在三棱錐中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，連接，因為，，則，，所以.故選：D.5.若隨機變量，則（）A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.9.6【答案】D【解析】因為，所以，，所以，故選：D.6.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相鄰情況有：所有排列為：,甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：,所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為，故選：C7.將這9個數(shù)字填在的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小.若將4填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法數(shù)為（）4A.12 B.24 C.36 D.48【答案】A【解析】由每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小，得在左上角，在右下角，如圖，

排在位置，有種方法，從余下的4個數(shù)字中任取2個按從左到右由大到小排在位置，有種方法，最后兩個數(shù)字從上到下由大到小排在位置，有1種方法，所以填寫方格表的方法共有（種）.故選：A8.為迎接五一假期，某公司開展抽獎活動，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的5個紅球和4個白球，每位員工從中摸出2個小球．若摸到一紅球一白球，可獲得價值a百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價值b百元代金券；摸到兩白球，可獲得價值ab百元代金券（a，b均為整數(shù)）．已知每位員工平均可得6百元代金券，則運氣最好者獲得至多（）百元代金券.A.12 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】若摸到一紅球一白球的概率，若摸到2白球的概率，若摸到2紅球的概率，設(shè)可獲得百元代金券為變量分布列如下，ababP，手氣最好者獲得百元代金券即，，又a，b均為正整數(shù)，所以當時，有，即舍去；當時，有，即，此時運氣最好者獲得至多百元代金券；當時，有，即舍去；當時，有，即，此時運氣最好者獲得至多百元代金券；當時，有，即舍去；當時，有，即舍去；當時，有，即舍去；當時，有，即舍去；當時，可得舍去；綜上，運氣最好者獲得至多16百元代金券.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某科技公司統(tǒng)計了一款App最近5個月的下載量，如下表所示，若與線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為，則（）月份編號12345下載量萬次54.543.52.5A.與負相關(guān) B.C.第7個月的下載量估計為1.8萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2【答案】ABD【解析】對于A，由，則回歸直線斜向下，故A正確；對于B，由，，即樣本中心為，則，解得，故B正確；對于C，將代入回歸方程，解得，故C錯誤；對于D，由題意可得下表：則最大值為，故D正確.故選：ABD.10.甲罐中有4個紅球，2個白球，乙罐中有5個紅球，3個白球．整個取球過程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，記事件為“取出的是紅球”，事件為“取出的是白球”；（2）再從乙罐中隨機取出兩個球，記事件B為“取出的兩球都是紅球”，事件C為“取出的兩球為一紅一白”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，，，，故A正確；，，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)，則（）A.B.C.D.若表示正數(shù)的整數(shù)部分，則【答案】ACD【解析】對于A，令，可得，故A正確；對于B，令，可得，故B錯誤；對于C，令，可得，所以，所以，所以，故C正確；對于D，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.學校運動會需要從5名男生和2名女生中選取4名志愿者，則選出的志愿者中至少有一名女生的不同選法的種數(shù)是____________（請用數(shù)字作答）【答案】30【解析】選出的志愿者中，1個女生3個男生時，方法數(shù)有種，2個女生2個男生時，方法數(shù)有種，所以不同選法有種.故答案為：30.13.某班有40名學生,一次考試后數(shù)學成績,若，則估計該班學生數(shù)學成績超過120分的人數(shù)為______．【答案】10【解析】由題意得數(shù)學成績，所以由，可得，所以，所以估計該班學生數(shù)學成績超過120分的人數(shù)為.故答案為：10.14.甲，乙兩人玩“石頭、剪刀、布”游戲（石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭），每輪贏的得3分，輸?shù)牡?分，若兩人出拳一樣，各得1分，記第n輪后，甲、乙兩人的累計得分分別為，，則_________，若第1輪甲得3分，則_________．【答案】;【解析】由題知每一輪甲得3分的概率為，得0分的概率為，得1分的概率為，所以；若第1輪甲得3分，則對應(yīng)的甲乙得分情況可能為所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在的展開式中，第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項，并指出是第幾項；解：（1）依題意可得第2項的二項式系數(shù)為，第3項的二項式系數(shù)為，∴，即，由，解得；（2）展開式的通項為，令，解得，∴，∴常數(shù)項為60，為第5項.16.如圖，在直三棱柱中，AB⊥AC，，點E，F(xiàn)分別為棱AB、的中點．（1）求直線與直線AF的夾角的余弦值；（2）求點F到平面的距離．解：（1）因為丄平面ABC，AB⊥AC，以點A為坐標原點，AB、AC、所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為，則A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)，所以，，，，所以，直線與直線AF的夾角的余弦值為．（2）易知，，，設(shè)平面的法向量為，則，取x=2，可得，所以平面的一個法向量為，且，所以，點F到平面的距離為．17.預防接種是預防掌握傳染病最經(jīng)濟、最有效的手段，是預防疾病傳播和保護群眾的重要措施.為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物（數(shù)量較大）進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)（單位；只）：發(fā)病沒發(fā)病合計接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計262450（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關(guān)？（2）從該地區(qū)此動物群中任取一只，記表示此動物發(fā)病，表示此動物沒發(fā)病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢，利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，求的估計值.（3）若把表中的頻率視作概率，現(xiàn)從該地區(qū)沒發(fā)病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中接種疫苗的只數(shù)為，求隨機變量的分布列、數(shù)學期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）根據(jù)列聯(lián)表可得，所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關(guān).（2）由于.所以，，,由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以.（3）由題可知，抽取的24只沒發(fā)病的動物中接種疫苗和沒接種疫苗的動物分別為18只和6只，所以從沒發(fā)病的動物中隨機抽取1只，抽取的是接種了疫苗的概率為，則由題意可知，且，，，，，所以隨機變量的分布列為0123所以隨機變量的數(shù)學期望為.18.如圖，在四棱錐中，平面PAD，．（1）證明：平面ABCD；（2）若底面ABCD是正方形，．E為PB中點，點F在棱PD上，且平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為．（ⅰ）求PF；（ⅱ）平面AEF交PC于點G，點M在平面PBC上，求EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍．解：（1）因為平面PAD，平面PAD，所以．又，平面ABCD，平面ABCD，，所以平面ABCD．（2）以A原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，如圖．（ⅰ），，，，，，設(shè)，則．設(shè)平面AEF的法向量為，則即，取，得，，所以是平面AEF的一個法向量，因為平面ABCD，所以是平面ABCD的一個法向量．因為平面AEF與平面ABCD的夾角的余弦值為，所以，得，所以．（ⅱ）設(shè)，則．因為為平面AEGF的一個法向量，所以，所以，即，得，所以，．，，，，，，因為M在平面PBC上，所以，所以．設(shè)平面MAD的法向量，則即，取得，所以是平面MAD的一個法向量，設(shè)EG與平面MAD所成角為，則因為，所以即EG與平面MAD所成角的正弦值的取值范圍為．19.從五個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中隨機選擇三個進行數(shù)據(jù)傳輸測試．（1）若三個核心節(jié)點中被選中的數(shù)量為隨機變量，求的分布列；（2）若現(xiàn)只有三個節(jié)點進行數(shù)據(jù)傳輸測試.每次傳輸規(guī)則如下：數(shù)據(jù)在節(jié)點時：擲骰子，若點數(shù)大于3，則傳輸至節(jié)點；否則保留在節(jié)點；數(shù)據(jù)在節(jié)點時：擲骰子，若點數(shù)大于4，則傳回節(jié)點；否則傳輸至節(jié)點；數(shù)據(jù)在節(jié)點時：擲骰子，若點數(shù)大于3，則傳回節(jié)點；否則傳回B節(jié)點.初始時數(shù)據(jù)在節(jié)點，設(shè)經(jīng)過次骰子投擲（即次傳輸）后，數(shù)據(jù)在節(jié)點的概率為，①求②求解：（1）的可能取值為1，2，3，，所以得分布列為：X123P（2）①由題意，當投擲3次骰子后，點數(shù)大于3的概率為，若點數(shù)大于4的概率為，數(shù)據(jù)在中，共有4種情況：，其概率為；，概率為；，概率為；，概率為；所以投擲3次后，數(shù)據(jù)在中的概率為．②設(shè)投擲次后，數(shù)據(jù)仍在中的概率為，所以當時，，，所以，，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，，所以，所以．江蘇省淮安市九校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知甲、乙、丙、丁四組數(shù)據(jù)變量間對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)分別為－0.92，0.46，0.79，0.85，則（）A.甲組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強 B.乙組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強C.丙組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強 D.丁組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強【答案】A【解析】設(shè)變量間的線性相關(guān)系數(shù)為，當越接近1時，相關(guān)程度越強，因為，所以甲組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最強，乙組數(shù)據(jù)變量間的線性相關(guān)程度最弱．故選：A.2.已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分別是直線l1、l2的方向向量．若l1∥l2，則（）A.x＝6，y＝15 B.x＝3，y＝C.x＝3，y＝15 D.x＝6，y＝【答案】D【解析】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.故選：D3.完全展開后的項數(shù)是（）A.7 B.9 C.12 D.18【答案】C【解析】由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為.故選：C4.在三棱錐中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如圖所示，連接，因為，，則，，所以.故選：D.5.若隨機變量，則（）A.1.2 B.2.4 C.4.8 D.9.6【答案】D【解析】因為，所以，，所以，故選：D.6.甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相鄰情況有：所有排列為：,甲和乙相鄰，丙和丁也相鄰的情況有：,所以在甲和乙相鄰的條件下，丙和丁也相鄰的概率為，故選：C7.將這9個數(shù)字填在的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小.若將4填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法數(shù)為（）4A.12 B.24 C.36 D.48【答案】A【解析】由每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小，得在左上角，在右下角，如圖，

排在位置，有種方法，從余下的4個數(shù)字中任取2個按從左到右由大到小排在位置，有種方法，最后兩個數(shù)字從上到下由大到小排在位置，有1種方法，所以填寫方格表的方法共有（種）.故選：A8.為迎接五一假期，某公司開展抽獎活動，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的5個紅球和4個白球，每位員工從中摸出2個小球．若摸到一紅球一白球，可獲得價值a百元代金券；摸到兩紅球，可獲得價值b百元代金券；摸到兩白球，可獲得價值ab百元代金券（a，b均為整數(shù)）．已知每位員工平均可得6百元代金券，則運氣最好者獲得至多（）百元代金券.A.12 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】若摸到一紅球一白球的概率，若摸到2白球的概率，若摸到2紅球的概率，設(shè)可獲得百元代金券為變量分布列如下，ababP，手氣最好者獲得百元代金券即，，又a，b均為正整數(shù)，所以當時，有，即舍去；當時，有，即，此時運氣最好者獲得至多百元代金券；當時，有，即舍去；當時，有，即，此時運氣最好者獲得至多百元代金券；當時，有，即舍去；當時，有，即舍去；當時，有，即舍去；當時，有，即舍去；當時，可得舍去；綜上，運氣最好者獲得至多16百元代金券.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某科技公司統(tǒng)計了一款App最近5個月的下載量，如下表所示，若與線性相關(guān)，且經(jīng)驗回歸方程為，則（）月份編號12345下載量萬次54.543.52.5A.與負相關(guān) B.C.第7個月的下載量估計為1.8萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2【答案】ABD【解析】對于A，由，則回歸直線斜向下，故A正確；對于B，由，，即樣本中心為，則，解得，故B正確；對于C，將代入回歸方程，解得，故C錯誤；對于D，由題意可得下表：則最大值為，故D正確.故選：ABD.10.甲罐中有4個紅球，2個白球，乙罐中有5個紅球，3個白球．整個取球過程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，記事件為“取出的是紅球”，事件為“取出的是白球”；（2）再從乙罐中隨機取出兩個球，記事件B為“取出的兩球都是紅球”，事件C為“取出的兩球為一紅一白”，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由題意知，，，，故A正確；，，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.11.設(shè)，則（）A.B.C.D.若表示正數(shù)的整數(shù)部分，則【答案】ACD【解析】對于A，令，可得，故A正確；對于B，令，可得，故B錯誤；對于C，令，可得，所以，所以，所以，故C正確；對于D，所以，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.學校運動會需要從5名男生和2名女生中選取4名志愿者，則選出的志愿者中至少有一名女生的不同選法的種數(shù)是____________（請用數(shù)字作答）【答案】30【解析】選出的志愿者中，1個女生3個男生時，方法數(shù)有種，2個女生2個男生時，方法數(shù)有種，所以不同選法有種.故答案為：30.13.某班有40名學生,一次考試后數(shù)學成績,若，則估計該班學生數(shù)學成績超過120分的人數(shù)為______．【答案】10【解析】由題意得數(shù)學成績，所以由，可得，所以，所以估計該班學生數(shù)學成績超過120分的人數(shù)為.故答案為：10.14.甲，乙兩人玩“石頭、剪刀、布”游戲（石頭贏剪刀，剪刀贏布，布贏石頭），每輪贏的得3分，輸?shù)牡?分，若兩人出拳一樣，各得1分，記第n輪后，甲、乙兩人的累計得分分別為，，則_________，若第1輪甲得3分，則_________．【答案】;【解析】由題知每一輪甲得3分的概率為，得0分的概率為，得1分的概率為，所以；若第1輪甲得3分，則對應(yīng)的甲乙得分情況可能為所以．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在的展開式中，第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是.（1）求的值；（2）求展開式中的常數(shù)項，并指出是第幾項；解：（1）依題意可得第2項的二項式系數(shù)為，第3項的二項式系數(shù)為，∴，即，由，解得；（2）展開式的通項為，令，解得，∴，∴常數(shù)項為60，為第5項.16.如圖，在直三棱柱中，AB⊥AC，，點E，F(xiàn)分別為棱AB、的中點．（1）求直線與直線AF的夾角的余弦值；（2）求點F到平面的距離．解：（1）因為丄平面ABC，AB⊥AC，以點A為坐標原點，AB、AC、所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，因為，則A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)，所以，，，，所以，直線與直線AF的夾角的余弦值為．（2）易知，，，設(shè)平面的法向量為，則，取x=2，可得，所以平面的一個法向量為，且，所以，點F到平面的距離為．17.預防接種是預防掌握傳染病最經(jīng)濟、最有效的手段，是預防疾病傳播和保護群眾的重要措施.為了考查一種新疫苗預防某一疾病的效果，研究人員對一地區(qū)某種動物（數(shù)量較大）進行試驗，從該試驗群中隨機抽查了50只，得到如下的樣本數(shù)據(jù)（單位；只）：發(fā)病沒發(fā)病合計接種疫苗71825沒接種疫苗19625合計262450（1）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關(guān)？（2）從該地區(qū)此動物群中任取一只，記表示此動物發(fā)病，表示此動物沒發(fā)病，表示此動物接種疫苗，定義事件的優(yōu)勢，在事件發(fā)生的條件下的優(yōu)勢，利用抽樣的樣本數(shù)據(jù)，求的估計值.（3）若把表中的頻率視作概率，現(xiàn)從該地區(qū)沒發(fā)病的動物中抽取3只動物，記抽取的3只動物中接種疫苗的只數(shù)為，求隨機變量的分布列、數(shù)學期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）根據(jù)列聯(lián)表可得，所以，在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認為接種該疫苗與預防該疾病有關(guān).（2）由于.所以，，,由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以.（3）由題可知，抽取的24只沒發(fā)病的動物中接種疫苗和沒接種疫苗的動物分別為18只和6只，所以從沒發(fā)病的動物中隨機抽取1只，抽取的是接種了疫苗的概率為，則由題意可知，且，，，，，所以隨機變量的分布列為0123所以隨機變量的