高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，解得，，又，.故選：B.2.若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，化簡得.故選：A.3.已知向量，，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】由已知得：，，所以，解得.故選：D4.已知是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則等于（）A.63 B.72 C.81 D.90【答案】C【解析】由是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，代入，故.故選：C.5.設為銳角，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C6.已知直線和圓，則直線與圓的位置關系是（）A.相切 B.相交 C.相離 D.相交或相切【答案】D【解析】由題意，直線可化為：，直線過定點，代入圓中，易知該點為圓上一點，所以直線1與圓相交或相切.故選：D.7.已知函數(shù)且，若在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，單調(diào)遞減，此時，若當時，單調(diào)遞減，則，此時，因為在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以.故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)滿足,,則不等式的解集為（）A B. C. D.【答案】B【解析】設，則，因為，所以，又，所以恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增．故原不等式可轉(zhuǎn)化為，又，所以，所以，所以，故不等式的解集為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的命題為（）A.已知隨機變量服從二項分布，若，，則B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差可能會變C.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.對于回歸分析，相關系數(shù)的絕對值越大，說明擬合效果越好【答案】AD【解析】A選項：，，，正確；B選項：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變，錯誤；C選項：隨機變量服從正態(tài)分布，則，若，則，則，錯誤；D選項：對于回歸分析，相關系數(shù)的絕對值越大，說明擬合效果越好，正確.故選：AD10.已知函數(shù)，則下列選項正確的有（）A.不是的周期B.成立的充要條件是，C.的圖象可通過的圖象上所有點向左平移個單位長度得到D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】A：是的最小正周期，故是的周期，錯．B：當時，，，則，，正確．C：把的圖象上所有點向左平移個單位長度得到，正確．D：，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確．故選：BCD11.已知定義在上的函數(shù)滿足,若時，，則下列選項正確的有（）A.的最小正周期B.圖象關于對稱C.D.函數(shù)在區(qū)間上所有的零點之和為2【答案】BC【解析】因為，所以是奇函數(shù)；因為，所以的圖象關于對稱，所以，則，因而，所以的最小正周期，故A錯誤；由，則的一個對稱中心為，故B正確；，故C正確；當時，單調(diào)遞增且值域為，因為的圖象關于對稱，所以在單調(diào)遞減且值域為，又因為是奇函數(shù)，所以在的圖象關于對稱且值域為，所以函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，且所有零點之和為-2，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中常數(shù)項為_____．【答案】【解析】二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以，即展開式中的常數(shù)項為.故答案為：13.如圖,在中，，，為的中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_____．【答案】【解析】在中，，，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，且，平面，又，取的中點，連接，則，過作，則平面，設三棱錐的外接球球心為，則球心必位于上，如圖：設其半徑為，則，，，解得，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：14.甲、乙、丙3臺機床加工統(tǒng)一型號的零件，它們加工的零件依次占總數(shù)的，,，已知甲機床加工的次品率為0.05，乙機床加工的次品率為0.15，丙機床加工的次品率為0.15，加工出來的零件混放在一起，現(xiàn)從中任取一個零件為次品的概率為_____，該次品來自乙機床的概率為_____．【答案】0.1；0.3【解析】記為事件“零件為第臺車床加工”，則，，，B為事件“任取一個零件為次品”，由全概率公式得：，由貝葉斯公式得：.故答案為：0.1；0.3.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中,角，，對應的邊分別為，，,滿足.（1）求；（2）若，求的取值范圍．解：（1），，在中，由正弦定理得，因為，則,，則．因為，所以．（2）由（1）知，又，則由正弦定理，，，，又中，,則，，，，故.16.已知橢圓,為的左焦點,右頂點到的距離為，且離心率為，直線過點．（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點（、異于左、右頂點），求直線與的斜率之積．解：（1）設橢圓的半焦距為，由已知點、，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可得直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，設點、，由得，，可得，由韋達定理可得，?，已知，則，同理可得，所以.17.如圖,在四棱錐中，底面為直角梯形,,，側(cè)面為等腰直角三角形，平面平面，且，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）底面為直角梯形，，為直角，，，，，得，所以，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，，又側(cè)面為等腰直角三角形，，，又，平面，又平面，所以，．（2）平面平面，平面平面，可過點作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，，，則，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.慢跑是一項簡單且高效的有氧運動，長期堅持能顯著提升身體健康水平，它通過增強心肺功能、促進代謝、改善情緒等多方面作用，成為大眾健身的首選方式之一．某志愿者協(xié)會隨機對全市100位居民的跑步時間進行了問卷調(diào)查，并將問卷中的這100人根據(jù)其跑步時長分組統(tǒng)計如圖所示．（1）求的取值以及這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）已知跑步時長在分鐘內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)之比為，若在該區(qū)間的人中隨機抽取2人進行采訪，求2人均為男生的概率；（3）用樣本估計總體，在全市慢跑居民中隨機抽取3人，記抽取的3人中時長在區(qū)間中的人數(shù)為，求的分布列及期望．解：（1）根據(jù)題意可得，解得；因為前3組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，，所以中位數(shù)在50和60之間，設中位數(shù)為，則，解得，所以該市群眾每天慢跑時長的中位數(shù)約為56.7.（2）慢跑時長在分鐘內(nèi)有人，因為男生數(shù)與女生數(shù)之比為，所以其中男生6人，女生4人，記“隨機抽取2人進行采訪，2人均為男生”為事件，所以.（3）因為用樣本估計總體，所以任取1人時長在的概率為，隨機變量服從二項分布，即，的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列如下表：X0123P.19.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求證：總存在唯一的極小值點，且．解：（1）函數(shù)的定義域為．當時，，所以，易知在上單調(diào)遞增，且．則在上，在上，從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2），所以，且．設，則，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，由即，設，則在上單調(diào)遞增且．則當時，都恰有一個，使得，且當時，當時，因此總有唯一的極小值點．所以，從而，極小值由，可得當時，即，隨增大而增大，易得．令，則，設，，所以在上單調(diào)遞減，且，從而．即．湖南省婁底市部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，解得，，又，.故選：B.2.若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，化簡得.故選：A.3.已知向量，，若，則（）A. B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】由已知得：，，所以，解得.故選：D4.已知是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則等于（）A.63 B.72 C.81 D.90【答案】C【解析】由是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，可得，即，解得，代入，故.故選：C.5.設為銳角，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C6.已知直線和圓，則直線與圓的位置關系是（）A.相切 B.相交 C.相離 D.相交或相切【答案】D【解析】由題意，直線可化為：，直線過定點，代入圓中，易知該點為圓上一點，所以直線1與圓相交或相切.故選：D.7.已知函數(shù)且，若在上為減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，單調(diào)遞減，此時，若當時，單調(diào)遞減，則，此時，因為在上單調(diào)遞減，所以，解得，又，所以.故選：A.8.已知定義在上的函數(shù)滿足,,則不等式的解集為（）A B. C. D.【答案】B【解析】設，則，因為，所以，又，所以恒成立，所以在定義域上單調(diào)遞增．故原不等式可轉(zhuǎn)化為，又，所以，所以，所以，故不等式的解集為．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題中，正確的命題為（）A.已知隨機變量服從二項分布，若，，則B.將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差可能會變C.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.對于回歸分析，相關系數(shù)的絕對值越大，說明擬合效果越好【答案】AD【解析】A選項：，，，正確；B選項：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上同一個常數(shù)后，方差恒不變，錯誤；C選項：隨機變量服從正態(tài)分布，則，若，則，則，錯誤；D選項：對于回歸分析，相關系數(shù)的絕對值越大，說明擬合效果越好，正確.故選：AD10.已知函數(shù)，則下列選項正確的有（）A.不是的周期B.成立的充要條件是，C.的圖象可通過的圖象上所有點向左平移個單位長度得到D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】A：是的最小正周期，故是的周期，錯．B：當時，，，則，，正確．C：把的圖象上所有點向左平移個單位長度得到，正確．D：，則，在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確．故選：BCD11.已知定義在上的函數(shù)滿足,若時，，則下列選項正確的有（）A.的最小正周期B.圖象關于對稱C.D.函數(shù)在區(qū)間上所有的零點之和為2【答案】BC【解析】因為，所以是奇函數(shù)；因為，所以的圖象關于對稱，所以，則，因而，所以的最小正周期，故A錯誤；由，則的一個對稱中心為，故B正確；，故C正確；當時，單調(diào)遞增且值域為，因為的圖象關于對稱，所以在單調(diào)遞減且值域為，又因為是奇函數(shù)，所以在的圖象關于對稱且值域為，所以函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，且所有零點之和為-2，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中常數(shù)項為_____．【答案】【解析】二項式展開式的通項為（且），令，解得，所以，即展開式中的常數(shù)項為.故答案為：13.如圖,在中，，，為的中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_____．【答案】【解析】在中，，，為的中點，則，平面平面，平面平面，平面，且，平面，又，取的中點，連接，則，過作，則平面，設三棱錐的外接球球心為，則球心必位于上，如圖：設其半徑為，則，，，解得，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：14.甲、乙、丙3臺機床加工統(tǒng)一型號的零件，它們加工的零件依次占總數(shù)的，,，已知甲機床加工的次品率為0.05，乙機床加工的次品率為0.15，丙機床加工的次品率為0.15，加工出來的零件混放在一起，現(xiàn)從中任取一個零件為次品的概率為_____，該次品來自乙機床的概率為_____．【答案】0.1；0.3【解析】記為事件“零件為第臺車床加工”，則，，，B為事件“任取一個零件為次品”，由全概率公式得：，由貝葉斯公式得：.故答案為：0.1；0.3.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中,角，，對應的邊分別為，，,滿足.（1）求；（2）若，求的取值范圍．解：（1），，在中，由正弦定理得，因為，則,，則．因為，所以．（2）由（1）知，又，則由正弦定理，，，，又中，,則，，，，故.16.已知橢圓,為的左焦點,右頂點到的距離為，且離心率為，直線過點．（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于、兩點（、異于左、右頂點），求直線與的斜率之積．解：（1）設橢圓的半焦距為，由已知點、，依題意得，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意可得直線的斜率存在且不為，設直線的方程為，設點、，由得，，可得，由韋達定理可得，?，已知，則，同理可得，所以.17.如圖,在四棱錐中，底面為直角梯形,,，側(cè)面為等腰直角三角形，平面平面，且，．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）底面為直角梯形，，為直角，，，，，得，所以，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，，又側(cè)面為等腰直角三角形，，，又，平面，又平面，所以，．（2）平面平面，平面平面，可過點作垂足為，由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，設平面的一個法向量為，則，即，取，，所以，設平面的一個法向量為，則，即，取，，，則，設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.慢跑是一項簡單且高效的有氧運動，長期堅持能顯著提升身體健康水