高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省郴州市2024-2025學年高一上學期期末教學質量監測數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（·）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，故.故選：B.2.已知實數滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，故，即.故選：D.3.已知，則是（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，但，故是的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，在R上單調遞增，故，即，所以.故選：A.5.函數的單調遞增區間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的圖象如下：顯然的單調遞增區間為.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.7.已知函數，方程恰有三個不同的實數解，則可能的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫出的圖象，顯然當時，方程恰有三個不同的實數解，C正確，ABD錯誤.故選：C.8.已知函數為上的奇函數，且，當時，，則的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因為函數是上的奇函數，那么.已知當時，，所以，解得.此時.已知，則.用代替可得：.所以，這表明函數的周期.因為，所以.由可得.又因為是奇函數，所以.當時，，則，所以.因為，所以.那么.所以的值為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，取，，A錯誤；對于B，若，則，，B正確；對于C，若，，則，C正確；對于D，若，則，則，D錯誤.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數（且）的圖象過定點C.方程的根所在區間為D.若命題“恒成立”為假命題，則“或”【答案】BCD【解析】A選項，命題“”的否定形式是“”，A錯誤；B選項，令，故，此時，（且）的圖象過定點2,1，B正確；C選項，令，顯然其在R上單調遞減，又，，故的零點在內，故方程的根所在區間為，C正確；D選項，命題“恒成立”為假命題，則命題“成立”為真命題，故，解得或，D正確.故選：BCD.11.函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.B.C.若上恰好有三個零點，則D.【答案】ACD【解析】A選項，設的最小正周期為，由圖象可知，，即，A正確；B選項，由圖象可知，故，將代入解析式得，即，又，故，解得，B錯誤；C選項，由B知，，當時，，在上恰好有三個零點，故，解得，C正確；D選項，由A知，的最小正周期為6，其中，，，，故，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數為偶函數，則___________．【答案】【解析】根據冪函數定義知，，解得或，當時，，為奇函數，不合要求，當時，，定義域為，故，滿足為偶函數，滿足要求.13.將函數的圖象向左平移個單位后，得到的圖象，則的最小值為___________．【答案】【解析】的圖象向左平移個單位后，得到，從而，解得，又，故當時，取得最小值，最小值為.14.已知函數，且，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】設.證明是奇函數：，則.根據對數運算法則，可得.由于.所以，即，所以是奇函數.證明是增函數：在上單調遞增，在上單調遞增，則在上單調遞增,又因為對數函數在上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，在上單調遞增.又是奇函數，故在上單調遞增.已知，即，也就是.因為是奇函數，所以.因為在上單調遞增，，所以.移項可得，即，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1），當時，，解得，當時，，解得，綜上，實數的取值范圍為或.（2），當時，，解得，當時，或，解得或，故實數的取值范圍為或.16.已知．（1）求的最小正周期與單調遞增區間；（2）已知，角的終邊與單位圓交于點，求．解：（1），故的最小正周期為，令，，解得，，故單調遞增區間為.（2），即，因為，所以，故，解得，角的終邊與單位圓交于點，故，所以.17.某地開展鄉村振興計劃，鼓勵村民返鄉創業.老李響應政府號召，打算回家鄉種植某種水果．經調研發現該果樹的單株產量（單位：千克）與施肥量（單位：千克）滿足函數關系：且單株果樹的肥料成本投入為元，其他成本（如樹苗費、人工費等）元．已知單株施肥量為7千克時，產量為千克，這種水果的市場售價為20元/千克，且都能賣完，記該果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的值及函數的解析式；（2）當單株施肥量為多少千克時，該果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）已知單株施肥量為7千克時，產量為千克，故，解得，，當時，，當時，，故.（2）當時，，對稱軸為，開口向上，故當時，取得最大值，最大值為，當時，，由基本不等式得，故，當且僅當，即時，等號成立，由于，故當單株施肥量為4千克時，該果樹的單株利潤最大，最大利潤是400元.18.已知為偶函數．（1）求；（2）設，對，都有成立，求的取值范圍．解：（1）因為為偶函數，所以，即，即，其中，故，解得.（2）對，都有成立，只需在上的最大值小于等于在上的最小值，其中，由復合函數性質得在上單調遞增，故最小值為，開口向下，對稱軸，當時，在上單調遞減，最大值為，故，解得，結合與可得；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故最大值為，故，解得，結合與可得，當時，在上單調遞增，故最大值為，故，解得，結合和，此時無解，綜上，的取值范圍為.19.若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使得成立，則稱該函數是“依賴函數”．（1）判斷是否是“依賴函數”，并說明理由；（2）若在定義域上是“依賴函數”，求的值；（3）已知函數中在定義域上是“依賴函數”，記，若的解集中恰有兩個整數，求實數的取值范圍．解：（1）不是“依賴函數”，理由如下：當時，，則，故，解得，所以不是“依賴函數”.（2）時，，顯然，解得，在定義域上單調遞增，且，由題意得，當時，，要想滿足存在唯一的使得，則，，解得.（3）當時，，故對于，不存在，使得，在定義域上不是“依賴函數”，當時，在上單調遞增，要想在定義域上是“依賴函數”，需滿足，即，解得（舍去）或0，故，若，則的解集為，的解集中恰有兩個整數，故，若，此時的解集為，不合要求，若，則的解集為，的解集中恰有兩個整數，故，綜上，實數的取值范圍是或.湖南省郴州市2024-2025學年高一上學期期末教學質量監測數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（·）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，故.故選：B.2.已知實數滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，又，故，即.故選：D.3.已知，則是（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，但，故是的充分不必要條件.故選：B.4.已知，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，又，在R上單調遞增，故，即，所以.故選：A.5.函數的單調遞增區間是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的圖象如下：顯然的單調遞增區間為.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選：A.7.已知函數，方程恰有三個不同的實數解，則可能的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】畫出的圖象，顯然當時，方程恰有三個不同的實數解，C正確，ABD錯誤.故選：C.8.已知函數為上的奇函數，且，當時，，則的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因為函數是上的奇函數，那么.已知當時，，所以，解得.此時.已知，則.用代替可得：.所以，這表明函數的周期.因為，所以.由可得.又因為是奇函數，所以.當時，，則，所以.因為，所以.那么.所以的值為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對于A，取，，A錯誤；對于B，若，則，，B正確；對于C，若，，則，C正確；對于D，若，則，則，D錯誤.故選：BC.10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定形式是“”B.函數（且）的圖象過定點C.方程的根所在區間為D.若命題“恒成立”為假命題，則“或”【答案】BCD【解析】A選項，命題“”的否定形式是“”，A錯誤；B選項，令，故，此時，（且）的圖象過定點2,1，B正確；C選項，令，顯然其在R上單調遞減，又，，故的零點在內，故方程的根所在區間為，C正確；D選項，命題“恒成立”為假命題，則命題“成立”為真命題，故，解得或，D正確.故選：BCD.11.函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.B.C.若上恰好有三個零點，則D.【答案】ACD【解析】A選項，設的最小正周期為，由圖象可知，，即，A正確；B選項，由圖象可知，故，將代入解析式得，即，又，故，解得，B錯誤；C選項，由B知，，當時，，在上恰好有三個零點，故，解得，C正確；D選項，由A知，的最小正周期為6，其中，，，，故，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數為偶函數，則___________．【答案】【解析】根據冪函數定義知，，解得或，當時，，為奇函數，不合要求，當時，，定義域為，故，滿足為偶函數，滿足要求.13.將函數的圖象向左平移個單位后，得到的圖象，則的最小值為___________．【答案】【解析】的圖象向左平移個單位后，得到，從而，解得，又，故當時，取得最小值，最小值為.14.已知函數，且，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】設.證明是奇函數：，則.根據對數運算法則，可得.由于.所以，即，所以是奇函數.證明是增函數：在上單調遞增，在上單調遞增，則在上單調遞增,又因為對數函數在上單調遞增，根據復合函數同增異減的原則，在上單調遞增.又是奇函數，故在上單調遞增.已知，即，也就是.因為是奇函數，所以.因為在上單調遞增，，所以.移項可得，即，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．解：（1），當時，，解得，當時，，解得，綜上，實數的取值范圍為或.（2），當時，，解得，當時，或，解得或，故實數的取值范圍為或.16.已知．（1）求的最小正周期與單調遞增區間；（2）已知，角的終邊與單位圓交于點，求．解：（1），故的最小正周期為，令，，解得，，故單調遞增區間為.（2），即，因為，所以，故，解得，角的終邊與單位圓交于點，故，所以.17.某地開展鄉村振興計劃，鼓勵村民返鄉創業.老李響應政府號召，打算回家鄉種植某種水果．經調研發現該果樹的單株產量（單位：千克）與施肥量（單位：千克）滿足函數關系：且單株果樹的肥料成本投入為元，其他成本（如樹苗費、人工費等）元．已知單株施肥量為7千克時，產量為千克，這種水果的市場售價為20元/千克，且都能賣完，記該果樹的單株利潤為（單位：元）．（1）求的值及函數的解析式；（2）當單株施肥量為多少千克時，該果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？解：（1）已知單株施肥量為7千克時，產量為千克，故，解得，，當時，，當時，，故.（2）當時，，對稱軸為，開口向上，故當時，取得最大值，最大值為，當時，，由基本不等式得，故，當且僅當，即時，等號成立，由于，故當單株施肥量為4千克時，該果樹的單株利潤最大，最大利潤是400元.18.已知為偶函數．（1）求；（2）設，對，都有成立，求的取值范圍．解：（1）因為為偶函數，所以，即，即，其中，故，解得.（2）對，都有成立，只需在上的最大值小于等于在上的最小值，其中，由復合函數性質得在上單調遞增，故最小值為，開口向下，對稱軸，當時，在上單調遞減，最大值為，故，解得，結合與可得；當時，在上單調遞增，在上單調遞減，故最大值為，故，解得，結合與可得，當時，在上單調遞增，故最大值為，故，解得，結合和，此時無解，綜上，的取值范圍為.19.若函數對定義域內的每一個值，在其定義域內都存在唯一的，使得成立，則稱該函數是“依賴函數”．（1）判斷是否是“依賴函數”，并說明理由；（2）若在定義域上