高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市六縣市一中教聯(lián)體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱(chēng)為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類(lèi).現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購(gòu)1種，則不同的選購(gòu)方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】依題意，每個(gè)人的選購(gòu)方式有3種，所以不同的選購(gòu)方式有種.故選：A2.若，則的值為（）A.2 B.8 C.2或8 D.2或4【答案】A【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故選：A.3.下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可知，A，B，D求導(dǎo)正確，，C錯(cuò)誤．故選：C．4.在等差數(shù)列中，若其前項(xiàng)和為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，∴a5＝5，45，故選：C．5.的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得；所以含項(xiàng)的系數(shù)為，即，解得.故選：C.6.已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由于，，成等差數(shù)列，則，即，因?yàn)?，整理得，即，，解得，因此?故選：A.7.若函數(shù)的圖象與的圖象恰好有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.8.已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)得，，設(shè)，，則，當(dāng)即時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，所以，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍去；當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍去，綜上，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.是的極小值點(diǎn)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.是的極小值點(diǎn)【答案】BC【解析】根據(jù)圖象知當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故A錯(cuò)誤，故C正確；當(dāng)時(shí)，取得極小值，是的極小值點(diǎn)，故B正確；當(dāng)時(shí)，取得是極大值，不是的極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.現(xiàn)有3個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子和3個(gè)編號(hào)為1，2，3的小球，要求把3個(gè)小球全部放進(jìn)盒子中，則下列結(jié)論正確的有（）A.沒(méi)有空盒子的方法共有6種B.所有的放法共有21種C.恰有1個(gè)盒子不放球的方法共有9種D.沒(méi)有空盒子且小球均不放入自己編號(hào)的盒子的方法有2種【答案】AD【解析】對(duì)于A，沒(méi)有空盒子即相當(dāng)于3個(gè)編號(hào)為1，2，3的小球分別放入3個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有種，A正確；對(duì)于B，所有的放法，即每個(gè)球都有3種放法，故共有（種）放法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，恰有1個(gè)盒子不放球，即有2個(gè)球放入一個(gè)盒子中，另一個(gè)球放入另一個(gè)盒子中，那么先3個(gè)盒子選一個(gè)作為空盒，在把3個(gè)球選出2個(gè)綁在一起，在排列，共有（種）放法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，沒(méi)有空盒子且小球均不放入自己編號(hào)的盒子，則只有以下2種情況：即1號(hào)球放入2號(hào)盒子，2號(hào)球放入3號(hào)盒子，3號(hào)球放入1號(hào)盒子；1號(hào)球放入3號(hào)盒子，3號(hào)球放入2號(hào)盒子，2號(hào)球放入1號(hào)盒子，D正確，故選：AD11.設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．【答案】-8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.13.甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有______種.【答案】【解析】利用捆綁法可得，丙和丁相鄰的排法有種，然后將乙、戊和丙、丁4人進(jìn)行排列，排法有種，因?yàn)榧撞徽驹趦啥?，且乙、戊和丙、丁排完?huì)形成2個(gè)空位，利用插空法排列甲，排法有種，所以不同排列方法有種.故答案：14.已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以令函?shù)，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且由題干可知，，即，若，則恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，恒成立，故.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值，所以；綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，各項(xiàng)系數(shù)之和為．（1）求正整數(shù)和實(shí)數(shù)的值；（2）求的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)．解：（1）由題意可得；各項(xiàng)系數(shù)之和為，即令，則，故；（2）由（1）可知即，其通項(xiàng)公式為，令，故展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.16.已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2），，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，則，而滿(mǎn)足上式，所以的通項(xiàng)公式是.（3）由（2）知，，所以.17.（1）已知函數(shù)，.在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.解：（1）由題意，，在中，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),∴當(dāng)時(shí),恒成立,即當(dāng)時(shí),恒成立,故當(dāng)時(shí)恒成立，設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則，∴當(dāng)時(shí),，解得：.∴的取值范圍是.（2）由題意，在中，當(dāng)時(shí),則,在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),由，解得.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.19.已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；（3）證明：.（參考數(shù)據(jù)：）解：（1），，在處的切線為.（2），，則，所以，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以，則，的最大值為.（3）設(shè)，，上單調(diào)遞增，，，使，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，.湖北省十堰市六縣市一中教聯(lián)體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱(chēng)為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈等種類(lèi).現(xiàn)有4名學(xué)生，每人從宮燈、紗燈、吊燈中選購(gòu)1種，則不同的選購(gòu)方式有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】A【解析】依題意，每個(gè)人的選購(gòu)方式有3種，所以不同的選購(gòu)方式有種.故選：A2.若，則的值為（）A.2 B.8 C.2或8 D.2或4【答案】A【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得，又，所以或，解得（舍去）或.故選：A.3.下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則可知，A，B，D求導(dǎo)正確，，C錯(cuò)誤．故選：C．4.在等差數(shù)列中，若其前項(xiàng)和為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，∴a5＝5，45，故選：C．5.的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，可得；所以含項(xiàng)的系數(shù)為，即，解得.故選：C.6.已知等比數(shù)列中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由于，，成等差數(shù)列，則，即，因?yàn)?，整理得，即，，解得，因此?故選：A.7.若函數(shù)的圖象與的圖象恰好有四個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.8.已知函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題設(shè)得，，設(shè)，，則，當(dāng)即時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，所以，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍去；當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍去，綜上，.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.是的極小值點(diǎn)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)D.是的極小值點(diǎn)【答案】BC【解析】根據(jù)圖象知當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.故A錯(cuò)誤，故C正確；當(dāng)時(shí)，取得極小值，是的極小值點(diǎn)，故B正確；當(dāng)時(shí)，取得是極大值，不是的極小值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.現(xiàn)有3個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子和3個(gè)編號(hào)為1，2，3的小球，要求把3個(gè)小球全部放進(jìn)盒子中，則下列結(jié)論正確的有（）A.沒(méi)有空盒子的方法共有6種B.所有的放法共有21種C.恰有1個(gè)盒子不放球的方法共有9種D.沒(méi)有空盒子且小球均不放入自己編號(hào)的盒子的方法有2種【答案】AD【解析】對(duì)于A，沒(méi)有空盒子即相當(dāng)于3個(gè)編號(hào)為1，2，3的小球分別放入3個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中的全排列，故方法共有種，A正確；對(duì)于B，所有的放法，即每個(gè)球都有3種放法，故共有（種）放法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，恰有1個(gè)盒子不放球，即有2個(gè)球放入一個(gè)盒子中，另一個(gè)球放入另一個(gè)盒子中，那么先3個(gè)盒子選一個(gè)作為空盒，在把3個(gè)球選出2個(gè)綁在一起，在排列，共有（種）放法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，沒(méi)有空盒子且小球均不放入自己編號(hào)的盒子，則只有以下2種情況：即1號(hào)球放入2號(hào)盒子，2號(hào)球放入3號(hào)盒子，3號(hào)球放入1號(hào)盒子；1號(hào)球放入3號(hào)盒子，3號(hào)球放入2號(hào)盒子，2號(hào)球放入1號(hào)盒子，D正確，故選：AD11.設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________．【答案】-8【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入①可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.13.甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有______種.【答案】【解析】利用捆綁法可得，丙和丁相鄰的排法有種，然后將乙、戊和丙、丁4人進(jìn)行排列，排法有種，因?yàn)榧撞徽驹趦啥耍乙?、戊和丙、丁排完?huì)形成2個(gè)空位，利用插空法排列甲，排法有種，所以不同排列方法有種.故答案：14.已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)?，所以令函?shù)，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且由題干可知，，即，若，則恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，恒成立，故.令函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以最大值，所以；綜上所述，正實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，各項(xiàng)系數(shù)之和為．（1）求正整數(shù)和實(shí)數(shù)的值；（2）求的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)．解：（1）由題意可得；各項(xiàng)系數(shù)之和為，即令，則，故；（2）由（1）可知即，其通項(xiàng)公式為，令，故展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.16.已知數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式；（3