年研究生入學考試《數學一》新版真題卷（附詳細解析）一、單項選擇題：1-10題，每小題5分，共50分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的。設函數f(x)=sinxx+1A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.振蕩間斷點答案：C解析：當x→0時，sinxx→1，而1x2已知函數y=y(x)A.-1B.0C.1D.2答案：A解析：對方程兩邊求導得ex+y(1+y′)?y?xy′=0，將x=0代入原方程得e0+y?0=1，即y=0。再將x=0，y=0代入求導后的方程得設L為從點(0,0)到點(1,1)的直線段，則曲線積分L?A.2B.2C.2D.4答案：C解析：直線L的方程為y=x，0≤x≤1，則設級數n=1A.nB.nC.nD.n答案：C解析：因為n=1∞an收斂，所以其前n項和Sn收斂，設limn→∞Sn=S。則n=1∞(a設矩陣A=12A.1B.2C.3D.0答案：B解析：對矩陣A進行初等行變換，A=12設向量組α1=(1,2,3)，α2A.1B.2C.3D.0答案：B解析：將向量組組成矩陣12設隨機變量X服從正態分布N(1,4)，則PA.0.1359B.0.3413C.0.5D.0.6826答案：C解析：正態分布N(μ,σ2設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從參數為1的指數分布，則E(A.1B.2C.3D.4答案：B解析：指數分布的期望為1λ，參數為1時期望為1，所以E(X設A和B為兩個隨機事件，且P(A)=0.6，P(BA.0.6B.0.7C.0.8D.0.9答案：C解析：根據概率的加法公式，P(設總體X服從正態分布N(μ,σ2)，X1,XA.XB.XC.(D.(答案：B解析：根據t分布的定義，X―二、填空題：11-16題，每小題5分，共30分。limx答案：?解析：利用泰勒展開式，ln(1+x)=設函數f(x)=答案：xcosx+sinx解析：先求一階導數，f′(x微分方程y″答案：y=(C1解析：特征方程為r2?2r+1=0，解得設矩陣A=1002答案：1解析：二階矩陣的逆矩陣，主對角線元素互換，副對角線元素變號，再除以行列式的值，行列式|A|=1×2?0×0=2，所以逆矩陣為設隨機變量X的概率密度函數為其他f(x)=答案：1解析：P{設二維隨機變量(X,Y)的聯合分布函數為其他F(x,答案：0解析：先求邊緣分布函數，FX(x)=F(x,+∞)=1?e?x三、解答證明題：17-22題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）求函數f(x)=解：首先，對函數f(x)求導，f′(x)=3x2接下來，計算函數在區間端點和駐點處的值：f(?1)=(?1f(0)=f(2)=f(3)=比較這些值可得，函數在區間[?1,3]上的最大值為1，最小值為-3。18.（12分）計算二重積分D?x2ydxdy，其中D是由直線y=0解：首先，確定積分區域D的范圍。由題意可知，D在x軸上的范圍是0≤x≤1，在y軸上的范圍是則二重積分可以表示為累次積分：D先計算內層積分：0再計算外層積分：0所以，二重積分的值為11019.（12分）求冪級數n=1解：首先，求收斂半徑。對于冪級數n=1∞anxR所以，收斂半徑R=1接下來，求收斂域。當x=1時，冪級數變為n=1∞1n所以，收斂域為[?1,1)。最后，求和函數。設S(x)=S′(再對S′S(x所以，冪級數的和函數為S(x)=?ln(1?20.（12分）設向量組α1=(1,1,1,1)，α2=(1,2,3,4)，解：將向量組組成矩陣A=A行階梯形矩陣中非零行的行數為2，所以向量組的秩為2。極大線性無關組可以取α1，α接下來，將α3，α4用α1設α3k由前兩個方程可得：k1=1?k2，代入第二個方程得1?k驗證后兩個方程：?1+3×2=5，?1+4×2=7，均成立，所以α3設α4m由前兩個方程可得：m1=1?m2，代入第二個方程得1?m驗證后兩個方程：?2+3×3=7，?2+4×3=10，均成立，所以α421.（12分）設隨機變量X的概率密度函數為其他f(x)=ax+b,0<x解：首先，根據概率密度函數的性質，?∞+∞0計算積分：01其次，已知E(X)=0計算積分：01聯立方程①和②，得到方程組：1將方程①乘以2，得到a+將方程②乘以6，得到2a+用方程④減去方程③乘以2，可得：2a2a?解得b將b=2代入方程③，可得a+2×2=2所以，常數a=?2，b接下來，求方差D(X)。根據方差的計算公式，DE所以，D(22.（12分）設總體X的概率密度函數為其他f(x;θ)=θx解：（1）矩估計量首先，計算總體的一階矩