③質量力與表面力的比較質量力與表面力有著本質差別。本質上，矢量是質量力的分布密度，它是時間點和空間點的函數，因而構成一個矢量場。而矢量為流體的應力矢量，它不但是時間點和空間點的函數，并且在空間的每一點還隨著受力面元的取向不同而變化，所以要確定應力矢，必須考慮點的矢徑，該點受力面元的方向（或者說面元的法向單位矢）以及時間t。確切地說應力矢量是兩個矢量和一個標量t的函數，即。應力張量取流體四面體體元M-ABC，三角形ABC為其底面，這個四面體是由一個斜面和三個坐標面相交而成的，其底面積為，跟坐標面平行的三個側面面積分別為，首先分析四面體元M-ABC所受到的力，其受到質量力，四個側面受到的表面力分別為。說明：應力矢量的下標取其受力面元的外法向，并規定為外法線方向流體對另一部分流體的作用應力。應力分量的物理含義：第一個下標表示面元的外法線方向（且規定應力為外法線方向流體對另一部分流體的作用；第二個下標表示應力所投影的方向。說明：應力矢量的下標取其受力面元的外法向，并規定為外法線方向流體對另一部分流體的作用應力。應力分量的物理含義：第一個下標表示面元的外法線方向（且規定應力為外法線方向流體對另一部分流體的作用；第二個下標表示應力所投影的方向。按照牛頓第二定律，可得：根據作用力與反作用力原理：當四面體元向內收縮時，即時，上式為作用于小四面體元的應力矢量之間的相互關系。考慮到面元間的關系：于是，可以改寫為：引進應力張量：利用應力張量，可將改寫成：另外，應力矢量也可以表示為：以上分析表明：對于以為外法線方向面元上的應力矢量，可以用三個坐標面平行的應力矢量和進行線性表示，也可以將其表示為沿三個坐標軸的分量形式的組合。通常應力矢量也可以表示為：法應力為為切應力。應力張量與流體運動間的關系流體中的應力與流體的運動狀態（主要是形變率）之間有著非常密切的對應關系。設有兩無界平行平板間的黏性流體運動，保持下板不動，使上板以速度U作勻速直線運動。實驗表明，兩平板上的流體質點黏附在平板上，隨平板一起運動。因此，下平板的流體處于靜止，上平板的流體速度為U，且流體的流速隨距上板距離的增加而減小。經過實踐測定此流動中黏性應力處處相同，與速度梯度成正比：實驗表明，兩平板上的流體質點黏附在平板上，隨平板一起運動。因此，下平板的流體處于靜止，上平板的流體速度為U，且流體的流速隨距上板距離的增加而減小。經過實踐測定此流動中黏性應力處處相同，與速度梯度成正比：牛頓歸納上述實驗，提出牛頓黏性定律：式中μ稱為動力學黏性系數，簡稱黏性系數。一般情況下，需以流體的切形變率代替上式的速度梯度。對確定地流體，切應力與切形變率成正比，不論流體的黏性如何，只要流體無切形變就無黏性應力存在。當流體作任意形式流動時，廣義牛頓黏性假設為：§3.運動方程流體的運動方程小體元運動時，周圍流體通過6個表面有表面力的作用。通過六個側面作用于小體元沿x向的表面力分別為：在運動流體中選取一小六面體體元，其邊長小體元運動時，周圍流體通過6個表面有表面力的作用。通過六個側面作用于小體元沿x向的表面力分別為：因此，周圍流體通過側面作用于小體元的x向表面力合力為：小六面體體元運動時，還受到質量力的作用，并且小體元所受x向質量力為考慮小體元沿x方向的運動加速度為，根據牛頓第二定律，則這就是單位質量流體塊x向運動方程。同理，可以得到y和z方向的運動方程為：將其寫成矢量的形式：或者其中，這就是流體運動方程的一般形式。納維--斯托克斯方程將廣義牛頓黏性假設條件下的應力張量的具體形式代入流體運動的一般形式，有納維--斯托克斯方程：這就是適合牛頓黏性假設的流體運動方程，是牛頓第二定律在流體力學的一種表示式，表明了作用力與流體運動變量之間的關系。各物理量的意義說明：是單位質量流體的加速度是單位質量流體所受的質量力可做如下變換：即為周圍流體通過單位質量流體的表面，對其所產生的壓力的合力矢量，其效果相當于作用于單位質量流體上的質量力，將其稱為壓力梯度力。對于不可壓縮（），并將定義為流體的運動學黏性系數，記作，于是方程簡化為：方程的最后一項，表示單位質量流體所受到的黏性力的合力，稱之為黏性力。歐拉方程對于理想流體（μ=0）運動方程可寫為上式為理想流體的運動方程，又稱為歐拉方程。壓力梯度力可以引起運動狀態的變化，反之流動結果又會使原來的壓力分布狀況發生變化（或者說壓力梯度發生變化）靜力方程流體靜止時，即和均等于零時，作用于流點的力應該達到平衡，于是流體運動方程變成假設作用于單位質量流體的質量力就是重力，上式可以轉化為或對于密度只與z有關的流體，積分上式可得如流體是均勻不可壓縮的（密度保持常數），上式化簡為§4.能量方程能量守恒定律是自然界的普遍規律，流體在運動過程中也是遵循上述規律的。對一個孤立的流體塊或系統而言，流體在運動過程中可以伴隨著各種形式能量的互相轉化，但其總能量是不變的，對非孤立系統而言，其總能量的變化等于外力（包括質量力和系統外部的表面力）對系統