專題8立體幾何

第1節

空間幾何體的三視圖、表面積和體積第2節空間直線、平面平行與垂直的判定及其性質第3節空間中的計算問題11.多面體的結構特征2.正棱柱與正棱錐的結構特征3.旋轉體的結構特征4.三視圖考點42空間幾何體的結構、三視圖1.多面體的結構特征正棱錐：

頂點在底面內的射影是底面中心，底面是正多邊形；

側棱長相等；

側面是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高(稱為斜高)相等；④棱錐的高、斜高和斜足與底面中心的連線組成一個直角三角形，棱錐的高、側棱和側棱在底面內的射影組成一個直角三角形．2.正棱柱與正棱錐的結構特征3.旋轉體的結構特征4.三視圖正棱柱:

側棱與底面垂直(直棱柱)底面是正多邊形考點42空間幾何體的結構、三視圖1.多面體的結構特征2.正棱柱與正棱錐的結構特征3.旋轉體的結構特征4.三視圖考點42空間幾何體的結構、三視圖1.多面體的結構特征定義：從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體，描繪出的平面圖形，分別稱為正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖．2.正棱柱與正棱錐的結構特征3.旋轉體的結構特征4.三視圖畫圖規則：

長對正（正視圖與俯視圖一樣長）

高平齊（正視圖與側視圖一樣高）

寬相等（側視圖與俯視圖一樣寬）重疊的線只畫一條，被擋住的線(看不見的線)要畫成虛線．排列順序：先畫正(主)視圖俯視圖放在正(主)視圖的下方側(左)視圖放在正(主)視圖的右方考點42空間幾何體的結構、三視圖61.計算有關線段的長2.外接球、內切球的計算問題

觀察幾何體的特征

利用一些常用定理與公式(如正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數公式等)結合題目的已知條件求解考法1空間幾何體的結構特征71.計算有關線段的長2.外接球、內切球的計算問題

認真分析圖形，明確切點和接點的位置，

確定有關“元素”間的數量關系，作出合適的截面圖

當球內切于正方體時，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；考法1空間幾何體的結構特征81.計算有關線段的長2.外接球、內切球的計算問題

球與旋轉體的組合通常作軸截面解題.球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心(或“切點”“接點”)作出截面圖解題．設球O的半徑為R，截面圓O′的半徑為r，M為截面圓上任一點，球心O到截面圓O′的距離為d，則在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.考法1空間幾何體的結構特征910B11c121314151.識別三視圖的步驟2.判斷余下視圖3.求原幾何體（或其他視圖）的基本量考法2空間幾何體的三視圖（1）弄清結構，明確位置（2）先畫正視圖，再畫俯視圖，最后畫側視圖（3）被遮住的輪廓線要畫成虛線【注意】若相鄰兩個物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線；對于簡單組合體，要注意它們的組合方式，特別是它們的交線的位置．1.識別三視圖的步驟2.判斷余下視圖3.求原幾何體（或其他視圖）的基本量考法2空間幾何體的三視圖確定其是一個平面的投影,還是面與面的交線,或者是旋轉體的輪廓線的投影.（1）分析視圖的意義（2）利用線框分析表面的相對位置關系視圖中的一個封閉線框一般情況下表示一個面的投影.若出現線框套線框,則可能有一個面是凸出的、凹下的、傾斜的或者是有打通的孔,兩個線框相連,表示兩個面高低不平或者相交.（3）將幾個視圖聯系起來觀察,確定物體的形狀.（4）注意三視圖中虛線和實線的變化,從而區別不同的物體形狀.161.識別三視圖的步驟2.判斷余下視圖一般先通過三視圖還原出實物圖,畫出該幾何體的直觀圖,從而根據幾何體的結構特征，結合相關數據求出幾何體的基本量.3.求原幾何體（或其他視圖）的基本量考法2空間幾何體的三視圖171819D20B21C常見幾何體的側面積與表面積的計算公式考點43幾何體表面積的計算

1.由三視圖求相關幾何體的表面積2.根據幾何體的特征求表面積常用方法：還原空間幾何體，確定點、線、面位置關系及線段的長度，利用公式進行計算.考法3幾何體表面積的計算231.由三視圖求相關幾何體的表面積2.根據幾何體的特征求表面積（1）對于規則幾何體直接利用公式求解.對于多面體通過“裁”“展”分解為若干個平面圖形的面積之和.對于旋轉體確定底面半徑、母線長、側面展開圖的形狀與邊長利用公式求解.（2）對于不規則幾何體通過“割”或“補”轉化成常規的柱、錐、臺等，再通過求和或作差求得原幾何體的表面積.【說明】正四面體的表面積是（a是正四面體的棱長）.【注意】對于組合體的表面積，求解時要注意“表面”的構成，計算時不要重復也不要遺漏.考法3幾何體表面積的計算2425C26C27B28C29B考點44幾何體體積的計算

1.由三視圖求相關幾何體的體積2.根據幾何體的特征求體積注意三視圖中的垂直關系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關系，利用公式求解．考法4幾何體體積的計算311.由三視圖求相關幾何體的體積2.根據幾何體的特征求體積關鍵：找相應的底面面積和高途徑：利用截面和軸截面,將空間問題轉化為平面問題.方法：（1）直接法

（2）割補法

（3）等體積法【說明】正四面體的體積是（a是正四面體的棱長）.將三棱錐還原為三棱柱或長方體,將三棱柱還原為平行六面體,將臺體還原為錐體.

求體積時，關鍵是選擇恰當的底面

求點到面的距離,關鍵是構造三棱錐考法4幾何體體積的計算3233C34A35C36公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內.公理2：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.公理2的三個推論：推論1：經過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面.推論2：經過兩條相交直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條平行直線，有且只有一個平面.公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.1.平面的基本性質及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關系空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.考點45點、線、面的位置關系1.平面的基本性質及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關系考點45點、線、面的位置關系1.平面的基本性質及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關系(2)空間中直線和平面的位置關系考點45點、線、面的位置關系1.平面的基本性質及其推論2.等角定理3.線線、線面、面面的位置關系(3)空間中兩個平面的位置關系考點45點、線、面的位置關系判斷方法（1）結合選項通過論證或排除法求解.（2）注意性質定理的使用前提和條件；注意符合條件的圖形是否不止一個.（3）借助幾何圖形，尤其是長方體、錐體等特殊幾何體，來判斷位置關系.（4）判斷一個選項的說法是正確的，需要對所有可能的情況進行推理；只要存在反例，那么這個說法就是不正確的.對點、線、面的位置關系的判斷,常采用窮舉法,即對各種關系都進行考慮,要充分發揮模型的直觀性作用，也要非常明確點、線、面之間的各種位置關系.考法1點、線、面的位置關系4142D4344【解析】對于A，垂直于同一個平面的兩個平面可以相交或平行，A不正確；對于B，平行于同一平面的兩直線可以相交、異面或平行，B不正確；對于C，在α內存在平行于β的直線，C不正確.D45A【解析】直線CE在正方體的下底面所在平面內,與正方體的上底面所在平面平行,與正方體的左右兩個側面、前后兩個側面所在平面都相交,故m=4.取CD的中點G，連接EG,FG,顯然易證平面EFG與正方體的左右兩個側面所在平面平行,所以直線EF與正方體的左右兩個側面所在平面平行.易知△EFG的底邊EG上的高線與正方體的前后兩個側面所在平面平行,故直線EF一定與正方體的前后兩個側面所在平面相交.另外,直線EF顯然與正方體的上下兩個底面所在平面相交.綜上,直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面個數為4，故n=4.所以m+n=8.故選A.46【易錯警示】通過圖象直觀觀察,容易誤判直線EF與正方體的前后兩個側面所在平面平行；或者誤判直線EF與正方體的左右兩個側面所在平面相交.1.直線與平面平行的判定與性質2.平面與平面平行的判定與性質3.直線的方向向量和平面的法向量考點46線面、面面平行的判定與性質

1.直線與平面平行的判定與性質2.平面與平面平行的判定與性質3.直線的方向向量和平面的法向量考點46線面、面面平行的判定與性質

1.直線與平面平行的判定與性質2.平面與平面平行的判定與性質3.直線的方向向量和平面的法向量考點46線面、面面平行的判定與性質

50證明直線與平面平行的常用方法1.利用直線與平面平行的判定定理（主要方法）【關鍵】找到平面內與已知直線平行的直線.可先直觀判斷題中是否存在這樣的直線.若不存在,則需作出直線,常考慮:①三角形的中位線（即給出中點時,常通過取某邊的中點作出中位線）;②平行四邊形的對邊平行;③面面平行的性質.考法2線面平行的判定與性質51證明直線與平面平行的常用方法考法2線面平行的判定與性質52證明直線與平面平行的常用方法3.利用空間向量證明線面平行（1）證明直線的方向向量與平面的某一個法向量垂直；(2)證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行；(3)證明直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示.【注意】向量法證明問題時，要注意直線不在目標平面內.考法2線面平行的判定與性質53541.證明平面與平面平行的常用方法2.空間平行關系之間的轉化

考法3面面平行的判定與性質551.證明平面與平面平行的常用方法2.空間平行關系之間的轉化

這是立體幾何中證明平行關系常用的思路,三種平行關系的轉化可結合下圖記憶考法3面面平行的判定與性質561.直線與平面垂直的判定與性質2.兩個平面垂直考點47線面、面面垂直的判定與性質

1.直線與平面垂直的判定與性質2.兩個平面垂直(2)兩個平面垂直的判定和性質(1)定義：兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.考點47線面、面面垂直的判定與性質

59（1）判定定理（常用方法）：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.判定定理中的兩條相交直線必須保證“在平面內相交”這一條件.（2）性質：①應用面面垂直的性質（常用方法）：若兩平面垂直,則在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面，是證明線面垂直的主要方法；②（客觀題常用）若兩條平行直線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.1.證明直線與平面垂直的方法2.線面垂直的性質與線線垂直考法4線面垂直的判定與性質60（3）利用空間向量（常用方法）：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或者利用線面垂直的判斷定理轉化為證明線線垂直(利用空間向量證明線線垂直問題，證明兩直線所在的方向向量互相垂直或數量積為0).（4）（客觀題常用）若一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,則它必垂直于另一個平面.（5）（客觀題常用）若兩相交平面同時垂直于第三個平面,則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.1.證明直線與平面垂直的方法2.線面垂直的性質與線線垂直考法4線面垂直的判定與性質1.證明直線與平面垂直的方法2.線面垂直的性質與線線垂直證明相交直線垂直常用的方法：等腰三角三線合一，矩形的內角、直徑所對的圓周角為90°,菱形的對角線互相垂直，兩條直線的方向向量的數量積為0，直角三角形(或給出線段長度,經計算滿足勾股定理)或直角梯形的性質等.證明異面直線垂直，往往先證線面垂直，再由線面垂直的性質得到.已知線面垂直,則直線與平面內任一直線垂直的性質又為證明線線垂直提供了依據.注意重視兩個平面垂直的性質定理.

注意題中隱含的垂直關系.證明方法：

通過計算.根據已知的垂直關系.核心：線線垂直考法4線面垂直的判定與性質616263（1）（不常用）利用面面垂直的定義.（3）（客觀題常用）若兩個平行平面中的一個平面垂直于第三個平面,則另一個平面也垂直于第三個平面.(4)（常用方法）利用空間向量：證明兩個平面的法向量垂直，或者利用面面垂直的判定定理轉化為證明線面垂直.1.證明面面垂直的思路2.空間垂直關系之間的轉化一般方法：先從現有的直線中尋找平面的垂線,若圖中存在這樣的直線,則可通過線面垂直來證明面面垂直；若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.（2）（常用方法）可以考慮證線面垂直,即設法先找到其中一個平面的一條垂線,再證這條垂線在另一個平面內或與另一個平面內的一條直線平行.考法5面面垂直的判定與性質641.證明面面垂直的思路2.空間垂直關系之間的轉化考法5面面垂直的判定與性質65651.條件追溯型2.存在探索型3.方法類比探索型特征：知道結論,求條件解題策略：先假設結論成立,然后以該結論作為一個已知條件,再結合題目的其他已知條件,逆推（即從后往前推）,一步一步推出所要求的條件.注意推理的可逆性，不要認為所有的條件都是充要條件.綜合點1與平行、垂直有關的開放性問題661.條件追溯型2.存在探索型3.方法類比探索型特征：要判斷某一對象(數值、圖形、函數等)是否存在或某一結論是否成立，解題策略：假定存在，然后進行邏輯推理，若由此導出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論.假設存在，設出參數，將已知條件合理轉化并求解.若能求出符合要求的參數的值，則存在所求的點或線；否則不存在.“存在”就是有，證明有或者舉出一例；“不存在”就是沒有，常用反證法加以論證.“是否存在”的問題，結論有兩種：如果存在，找出一個來；如果不存在，需說明理由.這類問題常用“肯定順推”.綜合點1與平行、垂直有關的開放性問題671.條件追溯型2.存在探索型3.方法類比探索型特征：知道一個命題,要求類比得出與之類似的一個命題解題策略：從命題的結構形式及特征入手,再進行證明說理.可運用已知信息,通過延伸和推廣,對某些真命題進行深化和拓展,從而得出新的命題.綜合點1與平行、垂直有關的開放性問題6869701.異面直線所成的角2.直線與平面所成的角3.二面角考點48求空間角

1.異面直線所成的角2.直線與平面所成的角3.二面角規定：①若直線垂直于平面,則它們所成的角是直角；②若直線和平面平行,或在平面內,則它們所成的角是0°的角；③當直線與平面斜交時,它們所成的角是銳角.考點48求空間角

1.異面直線所成的角2.直線與平面所成的角3.二面角考點48求空間角

741.平移法2.向量法

通過作圖(如結合中位線、平行四邊形等)來構造平行線，作出異面直線所成的角，通過解三角形來求解．簡記為：作(找)角→證明→求值→取舍．考法1異面直線所成的角1.平移法2.向量法考法1異面直線所成的角7576A771.幾何法2.向量法作出直線與平面所成的平面角，再通過解三角形求解．具體步驟為：(1)尋找過斜線上一點與平面垂直的直線，或過斜線上一點作平面的垂線，確定垂足的位置；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面內的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；(3)將該角歸結為某個三角形的內角(一般是直角三角形)，通過解三角形(可能需要解多個三角形)求得該角或其三角函數值．【說明】立體幾何中的垂足常是特殊點，如圖形的中心、垂心、重心、中點等．考法2

求線面所成的角781.幾何法2.向量法考法2

求線面所成的角79801.幾何法2.向量法考法3

求二面角811.幾何法2.向量法考法3

求二面角82（1）兩點間的距離——連接兩點的線段的長度．（2）點到直線的距離——從直線外一點向直線引垂直相交的直線,點到垂足之間線段的長度．（3）點到平面的距離——從平面外一點向平面引垂線,點到垂足間線段的長度．連接平面α外一點與平面α內任一點的線段中,垂線段最短．（4）平行直線間的距離——從兩條平行線中一條上任意取一點向另一條直線引垂線,該點到垂足間線段的長度．（5）異面直線間的距離——兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度．（6）直線與平面間的距離——如果一條直線和一個平面平行,從直線上任意一點向平面引垂線,該點到垂足間線段的長度，轉化為點到平面的距離．（7）兩平行平面間的距離——兩個平面的公垂線段的長度．空間的距離考點49求空間距離841.幾何法2.向量法直接法：利用線線垂直、線面垂直、面面垂直等的性質定理與判定定理,作出表示所求的空間距離的垂線段,再通過解三角形求出距離.其中,找垂足是確定垂線段的關鍵,一般可借助線面垂