第二章

一元二次方程2.5一元二次方程的根與系數的關系復習導入數學與生活息息相關，前面，我們主要研究了一元二次方程的解法，回顧一元二次方程的解法一共有幾種？1．一元二次方程的解法：(1)配方法；(2)直接開平方法；(3)公式法；(4)因式分解法．2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根．(1)x2－2x－3＝0；

(2)x2＋4x＋3＝0；(3)x2－5x－6＝0；(4)x2＋7x＋12＝0.解：(1)(x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1；(2)(x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1；

(3)(x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1；

(4)(x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4．3．根據方程的根的情況，完成下列問題．(1)x2－2x－3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(2)x2＋4x＋3＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(3)x2－5x－6＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___；(4)x2＋7x＋12＝0；x1＝___，x2＝___，x1＋x2＝___，x1x2＝___．3－12－3－1－3－436－15－6－3－4－712你發現了什么規律？1.解下列方程，將得到的解填入下面的表格中，觀察表中x1＋x2，x1·x2的值，它們與對應的一元二次方程的各項系數之間有什么關系？從中你能發現什么規律？一元二次方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋3x－4＝0x2－2x－5＝02x2－3x＋1＝06x2＋x－2＝0112－4－3－4－5實踐探究2.在前面學過利用公式法求解一元二次方程，對于一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，它的求根公式是能得出以下結果：證一證：歸納總結一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）如果方程

ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個實數根x1、x2，那么，滿足上述關系的前提條件b2-4ac≥0應用舉例

利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：(1)x2+7x+6=0；

(2)2x2-3x-2=0.例1方法指導：利用一元二次方程根與系數的關系求兩根之和、兩根之積時，要先利用根的判別式b2－4ac判斷方程根的情況．解：這里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有兩個實數根.設方程的兩個實數根是x1,x2,那么x1+x2=-7,x1x2=6.(1)x2+7x+6=0;(2)2x2-3x-2=0.解：這里a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有兩個實數根.

設方程的兩個實數根是x1,

x2,

那么x1+x2=,

x1x2=-1.

關于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的兩個實數根分別為x1，x2.(1)求m的取值范圍；(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．例2方法指導：(1)由一元二次方程有兩個實數根結合根的判別式，即可得出關于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；(2)根據根與系數的關系，可得出x1＋x2，x1x2的值，結合已知條件可得出關于m的方程，解之即可得出m的值．解：(1)∵關于x的一元二次方程x2＋3x＋m－1＝0的兩個實數根分別為x1，x2，∴Δ≥0，即32－4(m－1)≥0.解得m≤；(2)由根與系數的關系，得x1＋x2＝－3，x1x2＝m－1.∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，∴2×(－3)＋m－1＋10＝0.∴m＝－3.

若關于x的一元二次方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的兩個根互為倒數，則k＝_____．例3方法指導：應用根與系數關系時，注意還要考慮根的判別式．解：設方程x2＋(k－2)x＋k2＝0的兩個根為x1，x2.由一元二次方程根與系數的關系，得x1x2＝k2＝1，解得k＝±1.當k＝1時，Δ＜0；當k＝－1時，Δ＞0.綜上所述，k＝－1.－1練一練1．設一元二次方程x2－6x＋4＝0的兩實根分別為x1和x2，則(x1＋x2)－x1·x2＝(

)A．－10

B．10

C．2

D．－22．設a，b是方程x2＋x－2016＝0的兩個不相等的實數根，則a2＋2a＋b的值為________．C20153.設x1,x2為方程x2–4x+1=0的兩個根，則:(1)x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)x12+x22=

,(4)(x1–x2)2=

.411412內容如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么應用根與系數的關系（韋達定理）課堂小結與作業隨堂練習知識點1

利用根與系數的關系直接求兩根之和與兩根之積1.設x1，x2是一元二次方程x2－2x－3＝0的兩個根，則x1＋x2的值為()A.－2 B.－3 C.2 D.3C2.已知一元二次方程x2－4x＋3＝0的兩個根為x1，x2，則x1x2＝____.33.利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積：(1)x2＋4x－5＝0；

3.利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積：(2)2x2＋4x＝3；

3.利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積：(3)(3x＋1)(x－2)＝x－1.

D5.(2025·葫蘆島綏中月考)若方程x2－2x－3＝0的兩個實數根為x1，x2，則(x1－1)(x2－1)的值為

()A.7 B.3 C.－4 D.－5C

A

58.已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的兩個實數根，則(x1－x2)2＋3x1x2的值是_____.

14知識點3

利用根與系數的關系求方程的另一個根或參數的值9.(教材P51習題T3變式)已知關于x的一元二次方程x2＋mx－6＝0的一個根是2，則它的另一個根是()A.2 B.－2 C.3 D.－3[變式]若關于x的一元二次方程x2－3x＋t＝0的一個根是－1，則另一個根是_________，t＝___________.D

4

－4

10.已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的兩個根，且x1x2＝－3，則k的值為()A.1 B.2 C.3 D.4B

A

易錯點

已知根與系數的關系求參數時，忽略Δ≥012.(2025·鞍山鐵東區月考)已知關于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2＝0的兩個實數根為x1，x2.若(x1＋1)(x2＋1)＝3，則m的值為()A.－3 B.－1C.－3或1 D.－1或3A13.小影與小冬一起寫作業，在解一道一元二次方程的題目時，小影在化簡過程中寫錯了常數項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數，因而得到方程的兩個根是－2和－5.原來的方程是()A.x2＋6x＋5＝0 B.x2－7x＋10＝0C.x2－5x＋2＝0 D.x2－6x－10＝0B14.【整體思想】如果關于x的一元二次方程x2＋3x－7＝0的兩個根分別為α，β，那么α2＋4α＋β＝_____.[變式]

已知α，β是方程x2＋3x＋1＝0的兩個根，則(1＋5α＋α2)(1＋5β＋β2)的值為_____.

4

4

15.已知關于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2－1＝0有實數根.(1)求實數k的取值范圍；

16.【新考法·閱讀理解】閱讀材料，解答問題：已知實數m，n滿足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2－x－1＝0的兩個不相等的實數根，由根與系數的關系可以知道m與n的和，m與n的積.(1)材料理解：m＋n＝_____，mn＝______；

1

－1

16.【新考法·閱讀理解】閱讀材料，解答問題：已知實數m，n滿足m2－m－1＝0，n2－n－1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2－x－1＝0的兩個不相等的實數根，由根與系數的關系可以知道m與n的和，m與n的積.