試題試題2024北京西城外國語學校初一12月月考數學滿分100分；考試時間：90分鐘；注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題（每題2分，共20分）1．如圖1，A、B兩個村莊在一條河l（不計河的寬度）的兩側，現要建一座碼頭，使它到A、B兩個村莊的距離之和最小．如圖2，連接AB，與l交于點C，則C點即為所求的碼頭的位置，這樣做的理由是（

）A．垂線段最短 B．兩點確定一條直線C．兩點之間，線段最短 D．平行于同一條直線的兩條直線平行2．下列方程中，方程的解為的是（

）A． B． C． D．3．如圖框圖內表示解方程3－5x＝2（2－x）的過程，其中依據“等式性質”是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④4．如圖，A地和地都是海上觀測站，A地在燈塔的北偏東30°方向，，則地在燈塔的（

）A．南偏東方向 B．南偏東方向 C．南偏西方向 D．東偏南方向5．如圖，在中，，，，是的外接圓，則下列說法正確的個數是（

）①和都是劣弧；②是中最長的弦；③，，三點能確定一個圓；④的半徑為．A． B． C． D．6．線段，延長AB到C，使，再延長到D，使，則線段CD的長為（

）A． B． C． D．7．學習了多邊形后，我們知道過多邊形的一個頂點可作若干條對角線（三角形除外）．如圖，過一個頂點，四邊形有1條對角線，五邊形有2條對角線，六邊形有3條對角線……按照此規律，過十二邊形一個頂點的對角線有（

）A．11條 B．10條 C．9條 D．8條8．如圖，直線上的四個點A，B，C，D分別代表四個小區，其中A小區和B小區相距50m，B小區和C小區相距200m，C小區和D小區相距50m，某公司的員工在A小區有30人，B小區有5人，C小區有20人，D小區有6人，現公司計劃在A，B，C，D四個小區中選一個作為班車停靠點，為使所有員工步行到停靠點的路程總和最小，那么停靠點的位置應設在（

）A．A小區 B．B小區 C．C小區 D．D小區9．如圖，將一個三角板角的頂點與另一個三角板的直角頂點重合，，則的度數是（

）A． B． C． D．10．楊輝三角形，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列．我國南宋數學家場輝所著《詳解九章算術》（1261年）一書中用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律．觀察下列各式及其展開式：……請你推算展開式的第10項是（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題（每題2分，共12分）11．若某多邊形的一個頂點與和它不相鄰的其他各頂點相連結，可將多邊形分成7個三角形，則該多邊形是邊形．12．王小毛同學做教室衛生時，發現座位很不整齊，他思考了一下，將第一座和最后一座固定之后，沿著第一座最后一座這條線就把座位擺整齊了！他利用了數學原理：．13．如圖，將一副三角板疊放在一起，使直角的頂點重合于點O，若∠AOC＝120°，則∠BOD等于．14．選擇邊長相等的正多邊形鋪地面，下列組合能既不留縫隙也不重疊地鋪滿地面的是．①正三角形和正四邊形；②正六邊形和正三角形；③正方形和正八邊形；④正三角形和正八邊形．15．若關于x的方程的解與關于x的方程的解互為相反數，則k=．16．如圖，有公共端點的兩條線段，組成一條折線，若該折線上一點把這條折線分成相等的兩部分，我們把這個點叫做這條折線的“折中點”．已知點是折線的“折中點”，點為線段的中點，，，則線段的長為．三、解答題（共68分）17．（8分）解方程：(1)(2)．18．（6分）知識是用來為人類服務的，我們應該把它們用于有意義的方面．下面就兩個情境請你作出判斷．情境一：從教室到圖書館，總有少數同學不走校園道路而橫穿草坪，這是為什么呢？試用所學數學知識來說明這個問題．.情境二：要整齊地栽一行樹，只要確定了兩端的樹坑的位置，就能確定這一行樹坑所在的直線，這里用到的數學知識是．你贊同以上哪種做法？（填情境一或情境二）19．（6分）已知：點，，P在同一條直線上，線段，且線段，畫圖并計算：(1)若點P在線段上，求的長；(2)若點P在射線上，點是的中點，求線段的長．20．（6分）如圖，已知線段，借助圓規和直尺作一條線段，使得（保留作圖痕跡，不要求寫出作法）．

21．（8分）已知關于x的方程與方程的解互為相反數，求m的值．22．（8分）如圖，已知輪船在燈塔的北偏西的方向上，輪船在燈塔的南偏東的方向上．(1)求從燈塔看兩輪船的視角（即）的度數；(2)輪船在的平分線上，則輪船在燈塔的什么方向上？23．（8分）請在括號中注明根據，在橫線上補全步驟．如圖，直線AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分線，∠COF＝34°，求∠BOD的度數．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），∴∠EOF＝°．∵OF是∠AOE的角平分線，∴∠AOF＝＝56°（角平分線的性質）．∴∠AOC＝°．∵∠AOC+＝90°，∠BOD+∠EOB＝90°，∴∠BOD＝∠AOC＝°（）．24．（8分）如圖，線段在射線上運動，，且．(1)求線段、的長；(2)點M、N分別為線段、的中點，若，求的長；(3)當運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段延長線上任意一點求證：．25．（10分）已知直線，點P為平面上一點，連接與．

(1)如圖①，點P在直線、之間，說明：；(2)如圖②，點P在直線、之間，與的平分線相交于點Q，利用（1）中的結論，寫出與∠BQD之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖③，點P落在與外，與的角平分線相交于點Q，（2）中與∠BQD之間的數量關系是否仍然成立？并說明理由．

參考答案第I卷（選擇題）一、單選題（每題2分，共20分）1．【答案】C【分析】利用線段的性質解答即可．【詳解】解：A，B兩個村莊在一條河l（不計河的寬度）的兩側，現要建一座碼頭，使它到A、B兩個村莊的距離之和最小，圖2中所示的C點即為所求的碼頭的位置，那么這樣做的理由是兩點之間，線段最短.故選：C．【點睛】此題主要考查了線段的性質，關鍵是掌握兩點之間，線段最短．2．【答案】D【分析】將逐一代入各方程，判斷方程左右兩邊是否相等，即可作出判斷．【詳解】解：A、當時，，故不是此方程的解；B、當時，，故不是此方程的解；C、當時，，故不是此方程的解；D、當時，，故是此方程的解；故選：D．【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．3．【答案】D【分析】利用等式的性質判斷即可．【詳解】解：如圖框圖內表示解方程3-5x=2（2-x）的流程，其中依據“等式性質”是②④，故選：D．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．【答案】B【分析】此題考查了方向角的求解，解題的關鍵是熟練掌握方向角的有關知識．設正南方向，正北方向以及正東方向分別為點，根據題意求得的度數即可求解．【詳解】解：設正南方向，正北方向以及正東方向分別為點，如下圖：由題意可得：，，，∴，即地在燈塔的南偏東方向，故選：B．5．【答案】C【分析】本題考查了圓的相關知識，涉及劣弧的定義，弦長，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握相關的知識．根據劣弧的定義，弦長，勾股定理逐一判斷即可．【詳解】①和都用兩個字母表示，是小于半圓的弧，是劣弧，故①正確；②，是的直徑，又直徑是圓中最長的弦，故②正確；③過同一條直線上的三個點不能作圓，故③錯誤；④，，，，的半徑為，故④正確．故選:C．6．【答案】D【分析】根據已知分別求出、CD的長，即可得出結論．【詳解】解：如圖，

∵，，∴，又∵，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查線段的和差，根據已知畫出圖形是解題的關鍵．7．【答案】C【分析】本題考查了多邊形對角線的條數問題，根據從一個多邊形一個頂點出發，可以連的對角的條數是邊數，即可得出答案，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：四邊形從一個頂點出發，可以畫條對角線，五邊形從一個頂點出發，可以畫條對角線，六邊形從一個頂點出發，可以畫條對角線，∴十二邊形從一個頂點出發，可以畫條對角線，故選：C．8．【答案】B【分析】根據題意分別計算停靠點分別在A、B、D、C各點時員工步行的路程和，選擇最小的即可求解．【詳解】解：當停靠點在A區時，所有員工步行到停靠點路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)，當停靠點在B區時，所有員工步行到停靠點路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)，當停靠點在C區時，所有員工步行到停靠點路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)，當停靠點在D區時，所有員工步行到停靠點路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)，因為7000＜7050＜8800＜11900，所以當停靠點在B小區時，所有員工步行到停靠點路程和最小，那么停靠點的位置應該在B區．故選：B．【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，理清題意，正確列出算式是解答本題的關鍵．9．【答案】C【分析】本題主要考查了度分秒的換算，三角板內角度的求解，根據，，求出的度數，再根據，即可求出的度數．【詳解】解：，，，，故選：C．10．【答案】C【分析】此題考查了數字變化規律，通過觀察、分析、歸納發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題的能力．根據圖形中的規律即可求出的展開式的第10項．【詳解】解：找規律發現展開式的第二項為；展開式的第三項為；展開式的第四項為；展開式的第五項為；；∴展開式的第n項為；∴展開式的第十項是．故選：C．第II卷（非選擇題）二、填空題（每題2分，共12分）11．【答案】九【分析】本題主要考查了多邊形對角線的問題，經過邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成個三角形，根據此關系式求邊數【詳解】解：設多邊形有條邊，則，解得．故這個多邊形是九邊形．故答案為：九．12．【答案】兩點確定一條直線【分析】由題知，將教室座位看作一個個點，座位整齊否，只需要觀察每個點是否在同一條直線即可，根據直線的性質解答．【詳解】王小毛利用的數學原理：兩點確定一條直線；故答案為：兩點確定一條直線．【點睛】本題考查直線的性質及定義，難點在于對實際問題數學模型化，尋找對應的原理．13．【答案】60°【分析】由圖可知∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC+∠BOD=∠COD，依此角之間的和差關系，即可求解．【詳解】∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∵∠AOC=120°，∴∠BOD=60°，故答案為：60°．【點睛】本題考查了余角和補角，掌握余角和補角的定義，根據題意列出式子是解題關鍵．14．【答案】①②③【分析】分別求出各個正多邊形的每個內角的度數，結合鑲嵌的條件即可作出判斷．【詳解】①正三角形的每個內角是60°，正方形的每個內角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能鋪滿；②正三角形的每個內角是60°，正六邊形每個內角120度，1×120+4×60＝360度，所以能鋪滿；③正方形每個內角90度，正八邊形每個內角135度，135×2+90＝360度，能鋪滿；④正三角形的每個內角是60°，正八邊形每個內角135度，135×2+60≠360度，所以不能鋪滿．故答案為：①②③．【點睛】此題考查鑲嵌問題，幾何圖形鑲嵌成平面的關鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內角加在一起恰好組成一個周角．15．【答案】15【分析】分別解兩個方程，根據方程的解互為相反數，列出方程，解出k即可；【詳解】解：，，，，，解方程：，，，，根據題意列出方程，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次方程，依據解方程步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1進行計算，解題關鍵正確應用運算法則．16．【答案】4或16【分析】根據題意分兩種情況畫圖解答即可．【詳解】解：①如圖，，，點是折線的“折中點”，點為線段的中點，；②如圖，，，點是折線的“折中點”，點為線段的中點，．綜上所述，的長為4或16．故答案為：4或16．【點睛】本題考查了兩點間的距離，解決本題的關鍵是根據題意畫出兩個圖形進行解答．三、解答題（共68分）17．【答案】(1)x=2；(2)x=1【分析】本題考查了解一元一次方程；（1）按照去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解一元一次方程；（2）按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：，去括號，，移項，，合并同類項，，化系數為，x=2；（2）去分母得：，移項、合并同類項得：，系數化為，得：x=1．18．【答案】兩點之間，線段最短；兩點確定一條直線；情境二【分析】此題考查兩點之間線段最短的應用，兩點確定一條直線，掌握線段的性質是解題的關鍵．教室和圖書館、兩個樹坑之間的路線可看做是一條線段，接下來，根據根據線段的性質來分析得出即可．【詳解】解：情景一：因為教學樓和圖書館處于同一條直線上，兩點之間的所有連線中，線段最短；情景二：兩個樹坑可以抽象成兩個點，是根據兩點確定一條直線的原理來做的；我們必須注意保護我們周圍賴以生存的生態環境，所以贊同情景二．故答案為：兩點之間，線段最短；兩點確定一條直線；情境二．19．【答案】(1)圖見解析，4；(2)圖見解析，2或4；【分析】（1）在線段MN上截取PN=2，再計算線段的差即可；（2）分兩種情況討論：①當點在點左側時，由線段差求得MP，再由線段中點計算求值即可；②當點在點右側時，由線段和求得MP，再由線段中點計算求值即可；【詳解】（1）解：如圖，點在線段上時，；（2）解：①當點在點左側時，如圖所示：，∵點為的中點，∴；②當點在點右側時，如圖所示：由圖形可知：，∵點為的中點，∴，綜上所述，的長為2或4；【點睛】本題考查了線段的和差計算，線段中點的有關計算；根據線段位置關系分情況討論是解題關鍵．20．【答案】見解析【分析】）根據作一條線段等于已知線段的作圖步驟解答即可；【詳解】解：如圖所示，即為所求．

【點睛】本題考查了尺規作圖，解題的關鍵是用圓規依次截取一條線段等于已知線段即可．21．【答案】【分析】此題主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一個方程的解，再代入第二個含有的方程，從而求出即可．先將的解求出，然后將的相反數代入求出的值．【詳解】解：，∴，∴，∴，解得：，是方程的解，∴，∴，整理得：，解得：，答：的值為．22．【答案】(1)(2)輪船在燈塔的北偏東方向上【分析】（1）根據即可求出；（2）根據平分求出，然后根據即可解答．本題主要考查方向角的知識點，解答本題的關鍵是搞懂方向角的概念和利用好角平分線的知識點．【詳解】（1）解：如圖所示，因為輪船在燈塔的北偏西的方向上，輪船在燈塔的南偏東的方向上，所以．（2）解：因為平分，所以，所以，所以輪船在燈塔的北偏東方向上．23．【答案】56；∠EOF；22；∠EOB；22；同角的余角相等【分析】根據角平分線的定義、余角的概念解答．【詳解】解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°-∠COF=90°-34°=56°，∵OF是∠AOE的角平分線，∴∠AOF＝∠EOF＝56°，∴∠AOC＝∠AOF-∠COF＝56°-34°=22°