高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西南寧市2024-2025學年高一上學期期末教學質量調研數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設有.故選：B.2.設a，b，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A，當時不成立，B，當，時不成立，C，當，時，不成立，D，在R上單調遞增，又，則成立.故選：D．3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】設扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：.所以扇形的周長為：.故選：C.4.已知函數，“，”是“最大值為2024”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“，”不一定有“最大值為2024”，有可能不存在，使得，所以不滿足充分性；若“最大值為2024”，則“，”恒成立，所以必要性成立，所以“，”是“最大值為2024”的必要不充分條件.故選：B.5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由誘導公式得，故A正確.故選：A.6.標準的圍棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況；而我國北宋學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，研究過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即，下列數據最接近的是（）（參考數據：）A. B. C. D.【答案】C【解析】對取對數得，故，而與最接近，故C正確.故選：C.7.已知定義在R上的奇函數在單調遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數是定義在上的奇函數，且，所以，因為函數在上單調遞增，則該函數在上也為增函數，當時，，由可得，解得；當時，，由可得，可得，此時不存在；當時，，由可得，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.8.設函數在區間恰有三個最值點和兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，令，，則函數中大于的最值點與零點依次是：，又函數在區間恰有三個最值點和兩個零點，所以只需，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的定義域是 B.的值域是RC.是奇函數 D.在，上單調遞減【答案】ACD【解析】對于A項，分式中分母不等于0，所以，解得：，所以的定義域是；故A項正確；對于B項，的值域是，故B項錯誤；對于C項，，令，定義域為，，所以是奇函數，即是奇函數，故C項正確；對于D項，的單調遞減區間為，，將向右平移一個單位得到，故在，上單調遞減，故D項正確．故選：ACD．10.下列計算或化簡結果正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若為第二象限角，則【答案】ABD【解析】若，則，故A正確；若，則，故B正確；若，則，所以，故C錯；若為第二象限角，則，，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數定義域為R，對稱中心是，且滿足，下列說法正確的是（）A.B.函數的圖象關于軸對稱C.D.若函數滿足，則【答案】AB【解析】對于A，因為的對稱中心是，且在x=1有定義，所以，因為，所以令，得到，故A正確，對于B，因為的對稱中心是，所以是奇函數，得到，即，而，則，得到，故，即是偶函數，則函數的圖象關于軸對稱，故B正確，對于C，因為，所以，則，故C錯誤，對于D，因為，所以，故，即是周期為的周期函數，因為，所以，則，故是周期為的周期函數，而，，，，故，因為，所以，故，即，故，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數是冪函數，且該函數是奇函數，則的值是__________．【答案】1【解析】因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，，由一次函數性質得該函數是奇函數，當時，，，故，得到該函數是偶函數，不符合題意，排除，綜上，的值是.13.已知，則__________．【答案】【解析】由二倍角公式得，因為，所以.14.如圖，平行于軸的直線分別與函數及的圖像交于點和，點為函數圖像上一點．若為正三角形，則__________．【答案】【解析】因為平行于軸的直線分別與兩個函數的圖像交于點和，所以設，故，若為正三角形，如圖，作，則到的距離，故，因為點為函數圖像上一點，所以，因為在圖像上，所以，而，即，，故，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，且．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．解：（1），，，即，當且僅當，即時，取得最大值.（2），當且僅當，即時，取得最小值．16.已知函數，．（1）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于x的不等式．解：（1）由題意得對任意的恒成立，當時，，而，此時對任意的不成立，故排除，故我們討論的開口，當時，此時開口向下，不符合題意，故排除，當時，此時開口向上，符合題意，令，故，解得，得到實數的取值范圍為.（2）當時，，令，解得當時，我們討論如下，因為，所以，令，解得或，當時，解得，此時，故得到的解集為，當時，我們做出如下討論，令，解得，此時，令，解得，令，解得，此時令，解得，當時，恒成立，令，解得，綜上，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為.17.函數（，）的部分圖象如圖所示．（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）若，，求的值．解：（1）由圖象可知：，解得：，，；，，解得：，又，，，令，解得：；∴fx的最小正周期為，單調遞增區間為.（2），，又，，又，.18.為踐行“綠水青山，就是金山銀山”的理念，我省決定凈化閩江上游水域的水質省環保局于年年底在閩江上游水域投入一些蒲草，這些蒲草在水中的蔓延速度越來越快，年月底測得蒲草覆蓋面積為，年月底測得蒲草覆蓋面積為，蒲草覆蓋面積單位：與月份單位：月的關系有兩個函數模型與可供選擇．（1）分別求出兩個函數模型的解析式；（2）若年年底測得蒲草覆蓋面積為，從上述兩個函數模型中選擇更合適的一個模型，說明理由，并估算至少到哪一年的幾月底蒲草覆蓋面積能達到？參考數據：解：（1）若選擇模型，則，解得，，故函數模型為．若選擇模型，則，解得，，故函數模型為．（2）把代入，可得，把代入，可得，可知與相差比較大，故選擇模型更合適．令，可得，兩邊取對數可得，即，所以，至少到年月底蒲草覆蓋面積能達到．19.布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間并構成了一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾．該理論中有如下定義：對于函數，若其定義域中存在一個，使得，那么我們稱該函數為“不動點函數”，而稱為該函數的一個“不動點”．現新定義：若滿足，則稱為的“次不動點”．（1）判斷函數是否是不動點函數，若是，求出其不動點，若不是，請說明理由；（2）已知函數，若非零實數a是在內的次不動點，求a的值；（3）若函數在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數b的取值范圍．解：（1）若是不動點函數，則假設為該函數的一個“不動點”，故，即，解得或，所以是不動點函數，不動點為和.（2）若非零實數是在內的次不動點，則，故，即，解得，即a的值為.（3）設分別是在上的一個不動點和一個次不動點，且唯一，故，得到，兩邊同時取指數得，整理得，令，故與在上有唯一交點，由指數函數性質得在上單調遞增，而，由指數函數性質得在上單調遞增，故在上單調遞增，而，得到，故，由得，，兩邊同時取指數得，整理得，令，故與在上有唯一交點，由指數函數性質得在上單調遞增，而，故，得到，綜上可得，，即實數b的取值范圍為.廣西南寧市2024-2025學年高一上學期期末教學質量調研數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設有.故選：B.2.設a，b，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A，當時不成立，B，當，時不成立，C，當，時，不成立，D，在R上單調遞增，又，則成立.故選：D．3.已知扇形的面積為6，圓心角為3rad，則此扇形的周長為（）A.2cm B.6cm C.10cm D.12cm【答案】C【解析】設扇形半徑為，弧長為，由題意：，解得：.所以扇形的周長為：.故選：C.4.已知函數，“，”是“最大值為2024”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】“，”不一定有“最大值為2024”，有可能不存在，使得，所以不滿足充分性；若“最大值為2024”，則“，”恒成立，所以必要性成立，所以“，”是“最大值為2024”的必要不充分條件.故選：B.5.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由誘導公式得，故A正確.故選：A.6.標準的圍棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現“黑”“白”“空”三種情況，因此有種不同的情況；而我國北宋學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，研究過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即，下列數據最接近的是（）（參考數據：）A. B. C. D.【答案】C【解析】對取對數得，故，而與最接近，故C正確.故選：C.7.已知定義在R上的奇函數在單調遞增，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為函數是定義在上的奇函數，且，所以，因為函數在上單調遞增，則該函數在上也為增函數，當時，，由可得，解得；當時，，由可得，可得，此時不存在；當時，，由可得，解得.綜上所述，不等式的解集為.故選：A.8.設函數在區間恰有三個最值點和兩個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以，令，，則函數中大于的最值點與零點依次是：，又函數在區間恰有三個最值點和兩個零點，所以只需，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，則（）A.的定義域是 B.的值域是RC.是奇函數 D.在，上單調遞減【答案】ACD【解析】對于A項，分式中分母不等于0，所以，解得：，所以的定義域是；故A項正確；對于B項，的值域是，故B項錯誤；對于C項，，令，定義域為，，所以是奇函數，即是奇函數，故C項正確；對于D項，的單調遞減區間為，，將向右平移一個單位得到，故在，上單調遞減，故D項正確．故選：ACD．10.下列計算或化簡結果正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若為第二象限角，則【答案】ABD【解析】若，則，故A正確；若，則，故B正確；若，則，所以，故C錯；若為第二象限角，則，，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知函數定義域為R，對稱中心是，且滿足，下列說法正確的是（）A.B.函數的圖象關于軸對稱C.D.若函數滿足，則【答案】AB【解析】對于A，因為的對稱中心是，且在x=1有定義，所以，因為，所以令，得到，故A正確，對于B，因為的對稱中心是，所以是奇函數，得到，即，而，則，得到，故，即是偶函數，則函數的圖象關于軸對稱，故B正確，對于C，因為，所以，則，故C錯誤，對于D，因為，所以，故，即是周期為的周期函數，因為，所以，則，故是周期為的周期函數，而，，，，故，因為，所以，故，即，故，故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數是冪函數，且該函數是奇函數，則的值是__________．【答案】1【解析】因為函數是冪函數，所以，解得或，當時，，由一次函數性質得該函數是奇函數，當時，，，故，得到該函數是偶函數，不符合題意，排除，綜上，的值是.13.已知，則__________．【答案】【解析】由二倍角公式得，因為，所以.14.如圖，平行于軸的直線分別與函數及的圖像交于點和，點為函數圖像上一點．若為正三角形，則__________．【答案】【解析】因為平行于軸的直線分別與兩個函數的圖像交于點和，所以設，故，若為正三角形，如圖，作，則到的距離，故，因為點為函數圖像上一點，所以，因為在圖像上，所以，而，即，，故，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，且．（1）求xy的最大值；（2）求的最小值．解：（1），，，即，當且僅當，即時，取得最大值.（2），當且僅當，即時，取得最小值．16.已知函數，．（1）若對任意的恒成立，求實數的取值范圍；（2）解關于x的不等式．解：（1）由題意得對任意的恒成立，當時，，而，此時對任意的不成立，故排除，故我們討論的開口，當時，此時開口向下，不符合題意，故排除，當時，此時開口向上，符合題意，令，故，解得，得到實數的取值范圍為.（2）當時，，令，解得當時，我們討論如下，因為，所以，令，解得或，當時，解得，此時，故得到的解集為，當時，我們做出如下討論，令，解得，此時，令，解得，令，解得，此時令，解得，當時，恒成立，令，解得，綜上，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為，當時，解集為.17.函數（，）的部分圖象如圖所示．（1）求的最小正周期和單調遞增區間；（2）若，，求的值．解：（1）由圖象可知：，解得：，，；，，解得：，又，，，令，解得：；∴fx的最小正周期為，單調遞增區間為.（2），，又，，又，.18.為踐行“綠水青山，就是金山銀山”的理念，我省決定凈化閩江上游水域的水質省環保局于年年底在閩江上游水域投入一些蒲草，這些蒲草在水中的蔓延速度越來越快，年月底測得蒲草覆蓋面積為，年月底測得蒲草覆蓋面積為，蒲草覆蓋面積單位：與月份單位：月的關系有兩個函數模型與可供選擇．（1）分別求出兩個函數模型的解析式；（2）若年年底測得蒲草覆蓋面積為，從上述