高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省清遠市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】全集，而，則，又，所以．故選：A．2.已知角，則角的終邊在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】，故與的角終邊相同，其中在第三象限，故角的終邊在第三象限．故選：C．3.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【答案】D【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，若且，則，C錯誤；對于D，若，則，D正確．故選：D．4.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得，解得或．故選：B．5.已知，設，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，當時，單調遞增，所以，，又，所以，即．故選：D．6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，得．所以．故選：B．7.已知實數，且，則的最小值為（）A.16 B.18 C.22 D.26【答案】C【解析】因為，所以，因為，當且僅當，即時等號成立，此時的最小值為22．故選：C.8.已知函數，若關于的方程有5個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以或因為關于的方程共有5個不同的實數根．所以的圖象與直線和直線共有5個不同的交點．如圖，的圖象與直線有2個交點，所以只需的圖象與直線有3個交點，所以．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，且，則【答案】BCD【解析】對于A，若，取，，則，A錯誤；對于B，若，則，B正確；對于C，，兩邊同乘以得，，C正確；對于D，由知，則，故，D正確．故選：BCD．10.已知函數的圖象關于點中心對稱，則（）A.B.直線是圖象的對稱軸C.在區間上只有2個零點D.在區間上單調遞增【答案】ABD【解析】將代入，得，，即．又，故A正確；由上知，則，則直線是圖象的對稱軸，故B正確；由，得，又在上有3個零點，所以函數在區間上有且僅有3個零點，C錯誤；處于余弦函數的遞增區間內，D正確．故選：ABD．11.已知函數是定義在上的偶函數，若滿足，且在上單調遞增，則以下說法一定正確的是（）A.B.為周期函數C.D.在上單調遞增【答案】BC【解析】對于A，由，得的圖象關于對稱，又因為定義域為，所以，故A不正確；對于B，因為是偶函數，，，所以的一個周期為8，故B正確；對于C，由于周期性和奇偶性，，故C正確；對于D，因為是偶函數且在上單調遞增，所以在上單調遞減，又的圖象關于對稱，所以在上單調遞減，由于周期為8，在上的單調性與上的單調性相同，所以在上單調遞減，故D不正確．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為，弧長為，則此扇形的圓心角（正角）的弧度數是______．【答案】【解析】設扇形的圓心角為，由扇形的弧長公式，可得．13.已知，且為第三象限角，則______．【答案】【解析】因為，且為第三象限角，所以，所以.14.已知是定義在上的奇函數，當時，恒成立，，則滿足的的取值范圍為__________________．【答案】【解析】因為，所以，所以，令，則，所以函數在上單調遞增，因為是定義在上的奇函數，所以，所以對，所以函數為上的奇函數，且．由，可得，即，所以或，解得．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的最小正周期．（1）求的值；（2）求在區間上的最大值與最小值．解：（1）因為，所以，又因為，所以．（2）當時，，所以當，即時，；當，即時，．所以在區間上的最大值為，最小值為．16.已知函數是定義在上的偶函數，當時，．（1）求函數的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）若，則，由題意可得，所以．（2）當時，令，即，解得，則；當時，令，即，解得，則．綜上所述，不等式的解集為．17.根據市場調查，某供應商某產品的售價定為元時，銷售量可達到萬件．已知該產品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分．其中固定價格為40元/件，浮動價格（單位：元/件）與銷售量（單位：萬件）成反比，比例系數為20．假設不計其他成本，即銷售每件產品的利潤=售價供貨價格．（1）當每件產品的售價定為80元時，求該供應商銷售該產品可獲得的總利潤；（2）該產品的售價定為多少元時，單件產品的利潤最大？并求出該最大值．解：（1）當每件產品的售價定為80元時，銷售量為萬件，該供應商可獲得的總利潤為（萬元）．（2）設該商品的售價為元，由，得．設單件商品的利潤為元，則，當且僅當，即時，等號成立．所以該產品的售價定為150元時，單件產品的利潤最大為100元．18.已知函數的圖象經過兩點．（1）求函數的解析式；（2）判斷函數在上的單調性并用定義進行證明；（3）已知函數，函數且．若對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．解：（1）函數的圖象經過兩點，，，解得，.（2）在上單調遞增，證明如下：任取，且，則，，且，，，，即，所以函數在上單調遞增．（3），由（2）可得在上單調遞增，所以的值域為．因對使得成立，所以只需在上恒成立．當時，，設，則在上是減函數，所以，所以．當時，，設，則在上為減函數，所以，所以，此不等式組無解．綜上，實數的取值范圍是．19.若對定義域內任意，都有，則稱函數“步長”增函數．（1）已知函數，判斷是否為“2步長”增函數，并說明理由；（2）若函數是“步長”增函數，求的最小值；（3）若函數為上的“2024步長”增函數，求實數的取值范圍．解：（1）函數是“2步長”增函數．理由如下：因為的定義域為在上都是單調遞增，所以在上單調遞增，所以，所以是“2步長”增函數．（2）因為是“步長”增函數，所以恒成立，所以恒成立，即恒成立，由，解得或，因為，所以．（3）若，在上單調遞增，則恒成立，符合題意；若，分以下情況：①當時，單調遞增，則恒成立；②當時，，單調遞增，則恒成立；③當時，若，則，解得；④當或時，若，則．綜上，的取值范圍是．廣東省清遠市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】全集，而，則，又，所以．故選：A．2.已知角，則角的終邊在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】，故與的角終邊相同，其中在第三象限，故角的終邊在第三象限．故選：C．3.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若且，則D.若，則【答案】D【解析】對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，若且，則，C錯誤；對于D，若，則，D正確．故選：D．4.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意得，解得或．故選：B．5.已知，設，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為，當時，單調遞增，所以，，又，所以，即．故選：D．6.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，得．所以．故選：B．7.已知實數，且，則的最小值為（）A.16 B.18 C.22 D.26【答案】C【解析】因為，所以，因為，當且僅當，即時等號成立，此時的最小值為22．故選：C.8.已知函數，若關于的方程有5個不同的實數根，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，所以或因為關于的方程共有5個不同的實數根．所以的圖象與直線和直線共有5個不同的交點．如圖，的圖象與直線有2個交點，所以只需的圖象與直線有3個交點，所以．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，，則D.若，且，則【答案】BCD【解析】對于A，若，取，，則，A錯誤；對于B，若，則，B正確；對于C，，兩邊同乘以得，，C正確；對于D，由知，則，故，D正確．故選：BCD．10.已知函數的圖象關于點中心對稱，則（）A.B.直線是圖象的對稱軸C.在區間上只有2個零點D.在區間上單調遞增【答案】ABD【解析】將代入，得，，即．又，故A正確；由上知，則，則直線是圖象的對稱軸，故B正確；由，得，又在上有3個零點，所以函數在區間上有且僅有3個零點，C錯誤；處于余弦函數的遞增區間內，D正確．故選：ABD．11.已知函數是定義在上的偶函數，若滿足，且在上單調遞增，則以下說法一定正確的是（）A.B.為周期函數C.D.在上單調遞增【答案】BC【解析】對于A，由，得的圖象關于對稱，又因為定義域為，所以，故A不正確；對于B，因為是偶函數，，，所以的一個周期為8，故B正確；對于C，由于周期性和奇偶性，，故C正確；對于D，因為是偶函數且在上單調遞增，所以在上單調遞減，又的圖象關于對稱，所以在上單調遞減，由于周期為8，在上的單調性與上的單調性相同，所以在上單調遞減，故D不正確．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知扇形的半徑為，弧長為，則此扇形的圓心角（正角）的弧度數是______．【答案】【解析】設扇形的圓心角為，由扇形的弧長公式，可得．13.已知，且為第三象限角，則______．【答案】【解析】因為，且為第三象限角，所以，所以.14.已知是定義在上的奇函數，當時，恒成立，，則滿足的的取值范圍為__________________．【答案】【解析】因為，所以，所以，令，則，所以函數在上單調遞增，因為是定義在上的奇函數，所以，所以對，所以函數為上的奇函數，且．由，可得，即，所以或，解得．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的最小正周期．（1）求的值；（2）求在區間上的最大值與最小值．解：（1）因為，所以，又因為，所以．（2）當時，，所以當，即時，；當，即時，．所以在區間上的最大值為，最小值為．16.已知函數是定義在上的偶函數，當時，．（1）求函數的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）若，則，由題意可得，所以．（2）當時，令，即，解得，則；當時，令，即，解得，則．綜上所述，不等式的解集為．17.根據市場調查，某供應商某產品的售價定為元時，銷售量可達到萬件．已知該產品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分．其中固定價格為40元/件，浮動價格（單位：元/件）與銷售量（單位：萬件）成反比，比例系數為20．假設不計其他成本，即銷售每件產品的利潤=售價供貨價格．（1）當每件產品的售價定為80元時，求該供應商銷售該產品可獲得的總利潤；（2）該產品的售價定為多少元時，單件產品的利潤最大？并求出該最大值．解：（1）當每件產品的售價定為80元時，銷售量為萬件，該供應商可獲得的總利潤為（萬元）．（2）設該商品的售價為元，由，得．設單件商品的利潤為元，則，當且僅當，即時，等號成立．所以該產品的售價定為150元時，單件產品的利潤最大為100元．18.已知函數的圖象經過兩點．（1）求函數的解析式；（2）判斷函數在上的單調性并用定義進行證明；（3）已知函數，函數且．若對任意，總存在，使得成立，求實數的取值范圍．解：（1）函數的圖象經過兩點，，，解得，.（2）在上單調遞增，證明如下：任取，且，則，，且，，，，即，所以函數在上單調遞增．（3），由（2）可得在上單調遞增，所以的值域為．因對使得成立，所以只需在上恒成立．當時，，設，則在上是減函數，所以，所以．當時，，設，則在上為減函數，所以，所以，此不等式組無解．綜上，實數的取值范圍是．19.若對定義域內任意，都有，則稱函數“步