高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省蕪湖市2024-2025學年高一上學期1月教學質量監控期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由全稱命題的否定可得命題“”的否定是“”.故選：D.2.圓心角為，半徑為2的扇形，其弧長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則.故選：C.3.“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】或，故“”是“”的必要不充分條件．故選：B.4.荷花定律是一個非常著名的定律.據研究者收集的信息，池塘里荷花開放的程度，有如下規律，第一天開放的只是一小部分，第二天，它們會以前一天的兩倍速度開放.到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘.下列函數能較好反映池塘里荷花開放的程度y與時間x（1-30天）之間的變化規律的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意“到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘”可得當時的值是時的值的二倍，所以只有指數函數符合.故選：B.5.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.6.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.7.冪函數過點，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，由題意可得，解得，所以在上單調遞增，且，為偶函數，所以，解得，所以不等式的解集為.故選：C.8.已知函數，方程的根記為，且的最小值為，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】令可得，所以或，因為的最小值為，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，由不等式的性質可得，故B正確；對于C，若，由不等式的性質可得，若，則，故C正確；對于D，若，由指數函數的單調遞增性質可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，則下列各式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，，又，所以，所以，故A錯誤；對于B，；故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.11.已知是定義在上的奇函數，且滿足，若當時，，則下列選項正確的是（

）A．圖象關于點中心對稱B．8為的周期C．D．方程在上共有1526個不同的實數解【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，又是定義在上的奇函數，所以，即，所以圖象關于點中心對稱，故A正確；對于B，，所以，所以，又是定義在上的奇函數，所以，所以，所以，所以8不為的周期，故B錯誤；對于C，因為，所以，又當時，，所以，所以，故C正確；對于D，因為，設，則，所以4為的周期，又是定義在上的奇函數，所以，如圖，所以方程等價于在上共有個不同的實數解.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則.【答案】【解析】.13.化簡：.【答案】【解析】.14.已知函數，如果存在區間，使得函數在上單調，且值域是，則的取值范圍是.【答案】【解析】由函數，顯然該函數在上單調遞增，由函數在上的值域為，則，等價于存在兩個不相等且大于等于的實數根，令，則，令，則所以的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合為實數.（1）當時，求；（2）若，求的值.解：（1）時，，.（2），（ⅰ）當時，.此時，不符合題意舍去.（ⅱ）當時，或2.當時，，不符合題意舍去.當時，符合.綜上：.16.已知函數是偶函數，當時，.（1）當時，求函數的解析式；（2）當時，求函數的值域.解：（1），則，結合題意得，是偶函數，，時，.（2）由（1）知，當，當，的值域為.17.已知關于的不等式.（1）當不等式的解集為時，求的值；（2）若且不等式恒成立，求的最小值.解：（1）由題意可知：為方程的根，或，.（2）不等式恒成立，，即，.（當且僅當時取等號），的最小值為4.18.如圖，在扇形中，半徑，圓心角是扇形弧上的動點，是半徑所在直線上的動點，且.記.（1）當點與點重合時，求的值；（2）記的面積為.（i）當時，求的值；（ii）若方程在的解為且.求的值.解：（1），當與點重合時，，.（2）（i）在中，，.當時，.（ii）在中，，.當時，結合題意知：，，.19.給定兩個函數和，則稱為由這兩個函數復合而成的復合函數，其中為內函數，為外函數，為自變量，為中間變量，為函數值，復合函數的單調性滿足以下原則：已知函數在內單調，在內單調，且集合.若是增函數，是增（減）函數，則是增（減）函數；若是減函數，是增（減）函數，則是減（增）函數.已知函數.（1）求證：函數為奇函數；（2）請直接寫出函數的單調區間；（3）若函數，求證：函數恰有兩個零點，且.解：（1），定義域為，，則，故，故函數為奇函數.（2）函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，理由如下：當時，，令，任取，則，因為，所以，，故，，所以在上單調遞增，又在上單調遞增，由復合函數性質可知，在上單調遞增；當時，，令，任取，則，因為，所以，，故，，所以在上單調遞減，又在上單調遞增，由復合函數性質可知，在上單調遞減，同理可證在上單調遞減.（3）函數，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，在區間上滿足，由零點的存在性定理可知在區間上有一個零點；在區間上滿足，由零點的存在性定理可知在區間上有一個零點，函數恰有兩個零點；設是函數的零點，又，則也是函數的零點，又恰有兩個零點，所以且，因此.安徽省蕪湖市2024-2025學年高一上學期1月教學質量監控期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由全稱命題的否定可得命題“”的否定是“”.故選：D.2.圓心角為，半徑為2的扇形，其弧長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，則.故選：C.3.“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】或，故“”是“”的必要不充分條件．故選：B.4.荷花定律是一個非常著名的定律.據研究者收集的信息，池塘里荷花開放的程度，有如下規律，第一天開放的只是一小部分，第二天，它們會以前一天的兩倍速度開放.到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘.下列函數能較好反映池塘里荷花開放的程度y與時間x（1-30天）之間的變化規律的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意“到第29天時荷花恰好開滿了一半，到第30天才會開滿整個池塘”可得當時的值是時的值的二倍，所以只有指數函數符合.故選：B.5.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.6.已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選：B.7.冪函數過點，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，由題意可得，解得，所以在上單調遞增，且，為偶函數，所以，解得，所以不等式的解集為.故選：C.8.已知函數，方程的根記為，且的最小值為，則的值為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】令可得，所以或，因為的最小值為，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】BCD【解析】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，由不等式的性質可得，故B正確；對于C，若，由不等式的性質可得，若，則，故C正確；對于D，若，由指數函數的單調遞增性質可得，故D正確.故選：BCD.10.已知，則下列各式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對于A，，又，所以，所以，故A錯誤；對于B，；故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：BC.11.已知是定義在上的奇函數，且滿足，若當時，，則下列選項正確的是（

）A．圖象關于點中心對稱B．8為的周期C．D．方程在上共有1526個不同的實數解【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，又是定義在上的奇函數，所以，即，所以圖象關于點中心對稱，故A正確；對于B，，所以，所以，又是定義在上的奇函數，所以，所以，所以，所以8不為的周期，故B錯誤；對于C，因為，所以，又當時，，所以，所以，故C正確；對于D，因為，設，則，所以4為的周期，又是定義在上的奇函數，所以，如圖，所以方程等價于在上共有個不同的實數解.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數，則.【答案】【解析】.13.化簡：.【答案】【解析】.14.已知函數，如果存在區間，使得函數在上單調，且值域是，則的取值范圍是.【答案】【解析】由函數，顯然該函數在上單調遞增，由函數在上的值域為，則，等價于存在兩個不相等且大于等于的實數根，令，則，令，則所以的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合為實數.（1）當時，求；（2）若，求的值.解：（1）時，，.（2），（ⅰ）當時，.此時，不符合題意舍去.（ⅱ）當時，或2.當時，，不符合題意舍去.當時，符合.綜上：.16.已知函數是偶函數，當時，.（1）當時，求函數的解析式；（2）當時，求函數的值域.解：（1），則，結合題意得，是偶函數，，時，.（2）由（1）知，當，當，的值域為.17.已知關于的不等式.（1）當不等式的解集為時，求的值；（2）若且不等式恒成立，求的最小值.解：（1）由題意可知：為方程的根，或，.（2）不等式恒成立，，即，.（當且僅當時取等號），的最小值為4.18.如圖，在扇形中，半徑，圓心角是扇形弧上的動點，是半徑所在直線上的動點，且.記.（1）當點與點重合時，求的值；（2）記的面積為.（i）當時，求的值；（ii）若方程在的解為且.求的值.解：（1），當與點重合時，，.（2）（i）在中，，.當時，.（ii）在中，，.當時，結合題意知：，，.19.給定兩個函數和，則稱為由這兩個函數復合而成的復合函數，其中為內函數，為外函數，為自變量，為中間變量，為函數值，復合函數的單調性滿足以下原則：已知函數在內單調，在內單調，且集合.若是增函數，是增（減）函數，則是增（減）函數；若是減函數，是增（減）函數，則是減（增）函數.已知函數.（1）求證：函數為奇函數；（2）請直接寫出函數的單調區間；（3）若函數，求證：函數恰有兩個零點，且.解：（1），定義域為，，則，故，故函數為奇函數.（2）函數在上單調遞減，在上單調遞增，在