高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省泉州市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量監測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，.故選：C.2.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】令，解得，令，解得，得到，即可以推出，推不出，得到“”是“”的充分不必要條件，故A正確.故選：A.3.下列函數中，既是奇函數又在上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項：函數定義域為，，函數是偶函數，A選項排除；B選項：函數定義域為，，函數是奇函數，且函數在單調遞增，B選項正確；C選項：函數定義域為，，函數偶函數，C選項排除；D選項：函數定義域為，D選項排除.故選：B.4.已知，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，∴，當且僅當，即時，取等號.故選：D.5.函數且的圖象如圖所示，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖象可知，在定義域上單調遞增，而是增函數，根據復合函數單調性同增異減可知，，，所以，，由圖可知當時，，所以A選項正確.故選：A.6.《九章算術》在卷一《方田》題[三五]中提到弧田面積的計算問題.弧田是由圓弧和弦所圍成的弓形部分（如圖陰影部分所示）.有一弧田的弧長為10，且所在的扇形圓心角為2，則該弧田的面積約為（）（參考數據：）A.10 B.12.5 C.13 D.26【答案】C【解析】扇形的半徑，面積為，，三角形的面積為，所以弧田的面積約為.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，所以，，所以.故選：D.8.若函數的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數在上單調遞增，∴當時，，令，，當時，函數對稱軸，則函數在上單調遞增，則，即函數的值域為，要想函數的值域為，則，即，∴，當時，函數對稱軸，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即函數值域為，∵，∴此時函數的值域為，即，綜上所述：.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】A選項，若，由不等式的性質可知，A選項正確.B選項，若，當時，，所以B選項錯誤.C選項，若，則，C選項正確.D選項，若，則，D選項錯誤.故選：AC.10.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.在區間上單調遞增C.在區間上的取值范圍為D.使得成立的的取值集合為【答案】ACD【解析】由解析式知道，則周期，故A選項正確；令，解得，∴在區間上單調遞增，在上遞減，故B選項錯誤；當時，，即，故C選項正確；令，解得或，由函數單調性可知成立的的取值集合為，故D選項正確.故選：ACD.11.已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意，當時，都有，則（）A.B.C.直線是函數的一條對稱軸D.若在區間上有8個零點，則所有零點的和為32【答案】ACD【解析】因為的圖象關于直線對稱，根據函數圖象平移規律，將的圖象向左平移個單位得到的圖象，所以的圖象關于對稱，即是偶函數，，已知，令，則，由于，所以，故A正確，由，可得，進而，所以函數是周期為的周期函數，對任意，當時，，移項得到，這意味著當，即時，，所以在上單調遞增，因為是偶函數，所以在上單調遞減，，，由于在上單調遞減，所以，即，故B錯誤，函數的周期為，又因為的圖象關于直線對稱，所以的圖象關于軸對稱，即，因為的圖象關于軸對稱，所以，又因為的周期為，則，再根據，可得，同樣，，而，，所以，設，則，因為是偶函數，所以，那么，所以直線是函數的一條對稱軸，C選項正確，令，即，設，，關于對稱，是周期為的偶函數，由在區間上有個零點，這個零點兩兩關于對稱，設這個零點為，則，，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.使得有意義的的取值集合為__________.【答案】或【解析】若有意義，則且，即的取值集合為或.13.寫出同時滿足下列條件的一個函數的解析式__________.①為冪函數；②為偶函數；③在區間上單調遞減.【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，是冪函數，偶函數，且在區間上單調遞減，所以中，是偶數且為負數，所以符合題意.14.在平面直角坐標系中，已知角為第一象限角，其終邊和單位圓的交點與點關于直線對稱，則__________.【答案】【解析】由已知點的坐標為，且，，又點與點關于直線對稱，所以，，所以，所以，所以，所以，又為銳角，所以，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）計算：；（3）已知，求的值.解：（1）原式.（2）原式.（3）由，可得，所以.16.已知集合，集合.（1）若，求和；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，令，解得，所以，故或.（2）由得到，（i）當時，，因為，所以，解得.（ii）當時，，因為，所以，解得.（iii）當時，，因為，所以，解得.綜上所述，實數的取值范圍為.17.已知函數為奇函數.（1）求實數，判斷并根據定義證明的單調性；（2）求不等式的解集.解：（1）求解法一：函數的定義域為，因為為奇函數，所以，所以，所以，解得.求解法二：由即，解得，此時.因為，所以為奇函數，符合題意.以下用定義證明是增函數：任取，且，則，又因為在上單調遞增，且，所以，故，又，所以，所以函數在上單調遞增.（2）由，可得，又因為為奇函數，所以，所以，又函數在上單調遞增，所以，即，即，解得，所以不等式解集為.18.已知函數其中.（1）當時，（i）按關鍵點列表，并畫出函數的簡圖；（ii）寫出的單調區間；（2）是否存在實數，使得的圖象是中心對稱圖形？若存在，寫出的值并對圖象的對稱性加以證明；若不存在，說明理由.解：（1）（i）當時，列表如下：描點如圖：（ii）由圖可知，單調遞增區間：；單調遞減區間：.（2）存在實數，使得的圖象是中心對稱圖形；對稱中心為.下證明：①對于任意.所以；②對于任意，.所以；綜上所述，存在實數，使得的圖象關于中心對稱.19.函數和的定義域分別為，如果對于中的任意一個數，按照的對應關系，在中都有且僅有個確定的數與之對應，則稱為的“函數”.例如：，則為的“函數”.（1）設，判斷以下兩種說法是否正確，并說明理由：①是的“函數”；②是的“函數”；（2）設，判斷是否為的“函數”，若是，求；若不是，請說明理由；（3）設，若為的“函數”，求的取值范圍.解：（1）①是正確的，因為對，按照的對應關系，即，所以，所以，對，按照的對應關系，在中都有且僅有1個確定的數與之對應所以，是的“函數”，所以，①正確；②是錯誤的，因為當時，，因為，按照的對應關系，此時不存在，使得.所以，不是的“函數”，所以，②錯誤.（2），且，，因為，當，有，所以在上單調遞減；當，有，所以在上單調增減.因為，所以，在上單調遞減，在上單調遞增.所以，有.因為，所以，問題等價于對于中的任意一個數，關于的方程在內都恰有幾個解的問題，令，則，問題等價于判斷對于，方程在內都恰有幾個解，記，因為，當，又在單調遞增，所以在都恰有1個解；當，又在單調遞減，所以在都恰有1個解；當，此時方程沒有解，所以，方程在內恰有2個解，即一個周期內方程都恰有2個解.所以，方程在內恰有4個解，所以對于中的任意一個數，按照的對應關系，在中都有且僅有4個確定的數與之對應，即為的“函數”，所以.（3）由（2）可知有.，因為為的“函數”，即對于中的任意一個數，按照的對應關系，在中都有且僅有4個確定的數與之對應，即對于，關于的方程都恰有4個解.令，則，此時問題等價于對于，關于的方程在上都恰有4個解，令，由（2）可知，要使在上都恰有4個解，則關于的方程在必有2個不同的解，記，因為的對稱軸，所以，關于的方程的兩根應滿足，所以即即因為，所以所以.福建省泉州市2024-2025學年高一上學期1月期末教學質量監測數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，.故選：C.2.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】令，解得，令，解得，得到，即可以推出，推不出，得到“”是“”的充分不必要條件，故A正確.故選：A.3.下列函數中，既是奇函數又在上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項：函數定義域為，，函數是偶函數，A選項排除；B選項：函數定義域為，，函數是奇函數，且函數在單調遞增，B選項正確；C選項：函數定義域為，，函數偶函數，C選項排除；D選項：函數定義域為，D選項排除.故選：B.4.已知，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，∴，當且僅當，即時，取等號.故選：D.5.函數且的圖象如圖所示，則必有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖象可知，在定義域上單調遞增，而是增函數，根據復合函數單調性同增異減可知，，，所以，，由圖可知當時，，所以A選項正確.故選：A.6.《九章算術》在卷一《方田》題[三五]中提到弧田面積的計算問題.弧田是由圓弧和弦所圍成的弓形部分（如圖陰影部分所示）.有一弧田的弧長為10，且所在的扇形圓心角為2，則該弧田的面積約為（）（參考數據：）A.10 B.12.5 C.13 D.26【答案】C【解析】扇形的半徑，面積為，，三角形的面積為，所以弧田的面積約為.故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，所以，，所以.故選：D.8.若函數的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵函數在上單調遞增，∴當時，，令，，當時，函數對稱軸，則函數在上單調遞增，則，即函數的值域為，要想函數的值域為，則，即，∴，當時，函數對稱軸，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，即函數值域為，∵，∴此時函數的值域為，即，綜上所述：.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】A選項，若，由不等式的性質可知，A選項正確.B選項，若，當時，，所以B選項錯誤.C選項，若，則，C選項正確.D選項，若，則，D選項錯誤.故選：AC.10.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.在區間上單調遞增C.在區間上的取值范圍為D.使得成立的的取值集合為【答案】ACD【解析】由解析式知道，則周期，故A選項正確；令，解得，∴在區間上單調遞增，在上遞減，故B選項錯誤；當時，，即，故C選項正確；令，解得或，由函數單調性可知成立的的取值集合為，故D選項正確.故選：ACD.11.已知函數對任意都有，若的圖象關于直線對稱，且對任意，當時，都有，則（）A.B.C.直線是函數的一條對稱軸D.若在區間上有8個零點，則所有零點的和為32【答案】ACD【解析】因為的圖象關于直線對稱，根據函數圖象平移規律，將的圖象向左平移個單位得到的圖象，所以的圖象關于對稱，即是偶函數，，已知，令，則，由于，所以，故A正確，由，可得，進而，所以函數是周期為的周期函數，對任意，當時，，移項得到，這意味著當，即時，，所以在上單調遞增，因為是偶函數，所以在上單調遞減，，，由于在上單調遞減，所以，即，故B錯誤，函數的周期為，又因為的圖象關于直線對稱，所以的圖象關于軸對稱，即，因為的圖象關于軸對稱，所以，又因為的周期為，則，再根據，可得，同樣，，而，，所以，設，則，因為是偶函數，所以，那么，所以直線是函數的一條對稱軸，C選項正確，令，即，設，，關于對稱，是周期為的偶函數，由在區間上有個零點，這個零點兩兩關于對稱，設這個零點為，則，，，，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.使得有意義的的取值集合為__________.【答案】或【解析】若有意義，則且，即的取值集合為或.13.寫出同時滿足下列條件的一個函數的解析式__________.①為冪函數；②為偶函數；③在區間上單調遞減.【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，是冪函數，偶函數，且在區間上單調遞減，所以中，是偶數且為負數，所以符合題意.14.在平面直角坐標系中，已知角為第一象限角，其終邊和單位圓的交點與點關于直線對稱，則__________.【答案】【解析】由已知點的坐標為，且，，又點與點關于直線對稱，所以，，所以，所以，所以，所以，又為銳角，所以，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）計算：；（3）已知，求的值.解：（1）原式.（2）原式.（3）由，可得，所以.16.已知集合，集合.（1）若，求和；（2）若，求實數的取值范圍.解：（1）當時，，令，解得，所以，故或.（2）由得到，（i）當時，，因為，所以，解得.（ii）當時，，因為，所以，解得.（iii）當時，，因為，所以，解得.綜上所述，實數的取值范圍為.17.已知函數為奇函數.（1）求實數，判斷并根據定義證明的單調性；（2）求不等式的解集.解：（1）求解法一：函數的定義域為，因為為奇函數，所以，所以，所以，解得.求解法二：由即，解得，此時.因為，所以為奇函數，符合題意.以下用定義證明是增函數：任取，且，則，又因為在上單調遞增，且，所以，故，又，所以，所以函數在上單調遞增.（2）由，可得，又因為為奇函數，所以，所以，又函數在上單調遞增，所以，即，即，解得，所以不等式解集為.18.已知函數其中.（1）當時，（i）按關鍵點列表，并畫出函數的簡圖；（ii）寫出的單調區間；（2）是否存在實數，使得的圖象是中心對稱圖形？若存在，寫出的值并對圖象的對稱性加以證明；若不存在，說明理由.解：（1）（i）當時，列表如下：描點如圖：（ii）由圖可知，單調遞增區間：；單調遞減區間：.（2）存在實數，使得的圖象是中心對稱圖形；對稱中心為.下證明：①對于任意.所以；②對于任意，.所以；綜上所述，存在實數，使得的圖象關于中心對稱.19.函數和的定義域分別為，如果對于中的任意一個數，按照的