高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得又，故，故選：A2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”為特稱量詞命題，其否定為：.故選：A3.函數的一個零點所在區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，，，所以，所以在上存在一個零點.故選：B4.下列各組函數表示同一函數的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】對A,的值域為的值域為，不是同一函數，故錯誤；對B,定義域為的定義域為，不是同一函數，故錯誤；對C,定義域為的定義域為，不是同一函數，故錯誤；對D,，二者的定義域、對應法則均相同，為同一函數，故正確.故選：D5.下列函數中，既是偶函數又在上是增函數的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A：的定義域為，為偶函數，但是函數在上單調遞減，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為偶函數，當時，所以函數在上單調遞減，故B錯誤；對于C：為奇函數，故C錯誤；對于D：定義域，且，所以為偶函數，且函數在上單調遞增，故D正確.故選：D6.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則，即可以推導出，故充分性成立；由推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來研究函數圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數的定義域為，函數的定義域為，函數與的定義域均為.由圖知的定義域為，排除選項A、D，對于，當時，，不符合圖象，所以排除選項C.故選：B.8.若關于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區間(1，4)內有解，則實數a的取值范圍是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在區間(1，4)內有解等價于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，對稱軸為所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故選：A9.已知函數的圖象關于直線對稱，當時，恒成立．設，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當且，時，恒成立，可得在上單調遞減，且關于對稱，所以在上單調遞增，，，，即.故選：B10.對于任意的表示不超過的最大整數．十八世紀，被“數學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數，人們更習慣稱為“取整函數”．下列說法正確的是（）A.函數為奇函數B.函數的值域為C.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對于A，當時，，當，，所以不是奇函數，所以A錯誤，對于B，因為表示不超過的最大整數，所以當時，，所以函數的值域為，所以B正確，對于C，因為時，，所以，所以C正確，對于D，由，得，因為表示不超過的最大整數，所以，所以D正確.故選：BCD二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數的定義域是_______．【答案】【解析】對于函數，令，解得且，所以函數的定義域為.故答案為：12.不等式的解集為_______．【答案】【解析】移項得：，通分化簡得到分式不等式：；兩邊同時乘以分母得平方，結合分母不為零，得到不等式組：解得.原不等式解集為.故答案為：13.已知，若，則的值為_______．【答案】或【解析】因為，所以，又，所以或，解得或或，當時，集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當或時，經檢驗均符合題意；綜上可得或故答案為：或14.若函數是上的減函數，則a的取值范圍是_______【答案】【解析】由題意得，且，解得；當時，，解得；綜上得實數的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數，其中，下列結論正確的是_______．①存在實數a，使得函數為奇函數②存在實數a，使得函數為偶函數③當時，的單調增區間為④當時，若方程有三個不等實根，則【答案】【解析】由，顯然當a＝0時有f-x=-f但不存在實數a使f-x=fx成立，所以存在實數a不存在實數，使得函數為偶函數.所以①正確，②錯誤；且在處連續，當時，易知：在上遞增，遞減，上遞增，③正確；由解析式，當時在上遞增，遞減，上遞增，又，，要使有三個不等實根，即與有三個交點，所以，又，可得，④正確.故答案為：.三、解答題：本題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知全集，求．解：由題意知，或，所以，，或，所以17.已知函數．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解關于的不等式．解：（1）因為且，所以，即，又，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為；（2）當時，不等式，即為，即；當時，解得，所以不等式的解集為；當時，不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為；當時，不等式即為，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；綜上可得：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.18.已知函數．（1）證明：為奇函數．（2）判斷在上的單調性，并證明你的結論．（3）解關于t的不等式．（1）證明：由已知函數的定義域關于原點對稱，且對于定義域內任意的，都有：，為奇函數.（2）解：在是增函數，證明如下：選擇任意的，滿足，則，通分化簡：，由可得：，，，；即，有.證得在是增函數.（3）解：，則，由是奇函數，則，又由是增函數，則；結合定義域，得到不等式組：，解得.故解集為：19.對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足下列兩個條件：①在區間上是單調的；②當定義域是時，的值域也是．則稱是函數的一個“黃金區間”．（1）請證明：函數不存在“黃金區間”．（2）已知函數在上存在“黃金區間”，請求出它的“黃金區間”．（3）如果是函數的一個“黃金區間”，請求出的最大值．（1）證明：由為(0,+∞)上的增函數，則有，∴，無解，∴不存在“黃金區間”；（2）解：記是函數的一個“黃金區間”，由及此時函數值域為，可知而其對稱軸為，∴在上必為增函數，令，∴，∴，故該函數有唯一一個“黃金區間”；（3）解：由在和(0,+∞)上均為增函數，已知在“黃金區間”上單調，所以或，且在上為單調遞增，則同理可得，，即是方程的兩個同號的實數根，等價于方程有兩個同號的實數根，又，則只要，∴或，而由韋達定理知，，所以，其中或，所以當時，取得最大值．北京市海淀區2024-2025學年高一上學期期中考試數學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得又，故，故選：A2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”為特稱量詞命題，其否定為：.故選：A3.函數的一個零點所在區間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與均在上單調遞增，所以在上單調遞增，又，，，所以，所以在上存在一個零點.故選：B4.下列各組函數表示同一函數的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】對A,的值域為的值域為，不是同一函數，故錯誤；對B,定義域為的定義域為，不是同一函數，故錯誤；對C,定義域為的定義域為，不是同一函數，故錯誤；對D,，二者的定義域、對應法則均相同，為同一函數，故正確.故選：D5.下列函數中，既是偶函數又在上是增函數的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A：的定義域為，為偶函數，但是函數在上單調遞減，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為偶函數，當時，所以函數在上單調遞減，故B錯誤；對于C：為奇函數，故C錯誤；對于D：定義域，且，所以為偶函數，且函數在上單調遞增，故D正確.故選：D6.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則，即可以推導出，故充分性成立；由推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.我國著名數學家華羅庚曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數的性質，也常用函數的解析式來研究函數圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數的定義域為，函數的定義域為，函數與的定義域均為.由圖知的定義域為，排除選項A、D，對于，當時，，不符合圖象，所以排除選項C.故選：B.8.若關于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區間(1，4)內有解，則實數a的取值范圍是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在區間(1，4)內有解等價于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，對稱軸為所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故選：A9.已知函數的圖象關于直線對稱，當時，恒成立．設，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當且，時，恒成立，可得在上單調遞減，且關于對稱，所以在上單調遞增，，，，即.故選：B10.對于任意的表示不超過的最大整數．十八世紀，被“數學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數，人們更習慣稱為“取整函數”．下列說法正確的是（）A.函數為奇函數B.函數的值域為C.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對于A，當時，，當，，所以不是奇函數，所以A錯誤，對于B，因為表示不超過的最大整數，所以當時，，所以函數的值域為，所以B正確，對于C，因為時，，所以，所以C正確，對于D，由，得，因為表示不超過的最大整數，所以，所以D正確.故選：BCD二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數的定義域是_______．【答案】【解析】對于函數，令，解得且，所以函數的定義域為.故答案為：12.不等式的解集為_______．【答案】【解析】移項得：，通分化簡得到分式不等式：；兩邊同時乘以分母得平方，結合分母不為零，得到不等式組：解得.原不等式解集為.故答案為：13.已知，若，則的值為_______．【答案】或【解析】因為，所以，又，所以或，解得或或，當時，集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當或時，經檢驗均符合題意；綜上可得或故答案為：或14.若函數是上的減函數，則a的取值范圍是_______【答案】【解析】由題意得，且，解得；當時，，解得；綜上得實數的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數，其中，下列結論正確的是_______．①存在實數a，使得函數為奇函數②存在實數a，使得函數為偶函數③當時，的單調增區間為④當時，若方程有三個不等實根，則【答案】【解析】由，顯然當a＝0時有f-x=-f但不存在實數a使f-x=fx成立，所以存在實數a不存在實數，使得函數為偶函數.所以①正確，②錯誤；且在處連續，當時，易知：在上遞增，遞減，上遞增，③正確；由解析式，當時在上遞增，遞減，上遞增，又，，要使有三個不等實根，即與有三個交點，所以，又，可得，④正確.故答案為：.三、解答題：本題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知全集，求．解：由題意知，或，所以，，或，所以17.已知函數．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解關于的不等式．解：（1）因為且，所以，即，又，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為；（2）當時，不等式，即為，即；當時，解得，所以不等式的解集為；當時，不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為；當時，不等式即為，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；綜上可得：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.18.已知函數．（1）證明：為奇函數．（2）判斷在上的單調性，并證明你的結論．（3）解關于t的不等式．（1）證明：由已知函數的定義域關于原點對稱，且對于定義域內任意的，都有：，為奇函數.（2）解：在是增函數，證明如下：選擇任意的，滿足，則，通分化簡：，由可得：，，，；即，有.證得在是增函數.（3）解：，則，由是奇函數，則，又由是增函數，則；結合定義域，得到不等式組：，解得.故解集為：19.對于定義域為的函數，如果存在區間，同時滿足下列兩個條件：①在區間上是單調的；②當定義域是時，的值域也是．則稱是函數的一個“黃金區間”．（1）請證明：函