2025年信號與系統專業考試試題及答案一、選擇題（每題2分，共12分）

1.下列關于拉普拉斯變換的描述，錯誤的是（）

A.拉普拉斯變換可以解決線性常系數微分方程

B.拉普拉斯變換可以處理初始條件

C.拉普拉斯變換是一種復變函數

D.拉普拉斯變換不能處理非齊次微分方程

答案：D

2.下列關于傅里葉變換的描述，錯誤的是（）

A.傅里葉變換可以處理連續時間信號

B.傅里葉變換可以處理離散時間信號

C.傅里葉變換是一種復變函數

D.傅里葉變換不能處理非周期信號

答案：D

3.下列關于信號頻譜的描述，錯誤的是（）

A.信號頻譜可以反映信號的能量分布

B.信號頻譜可以反映信號的功率分布

C.信號頻譜可以反映信號的時域特性

D.信號頻譜可以反映信號的頻域特性

答案：C

4.下列關于卷積運算的描述，錯誤的是（）

A.卷積運算是一種線性運算

B.卷積運算可以處理信號處理中的濾波問題

C.卷積運算是一種時域運算

D.卷積運算可以處理信號處理中的系統分析問題

答案：C

5.下列關于線性系統的描述，錯誤的是（）

A.線性系統滿足疊加原理

B.線性系統滿足時不變性

C.線性系統滿足非齊次性

D.線性系統滿足有界輸入有界輸出（BIBO）穩定性

答案：C

6.下列關于系統響應的描述，錯誤的是（）

A.系統響應可以反映系統的動態特性

B.系統響應可以反映系統的穩定性

C.系統響應可以反映系統的頻率特性

D.系統響應可以反映系統的時域特性

答案：C

二、填空題（每題2分，共12分）

1.拉普拉斯變換的數學表達式為：（）

答案：\(F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\)

2.傅里葉變換的數學表達式為：（）

答案：\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omegat}dt\)

3.卷積運算的數學表達式為：（）

答案：\(y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

4.線性系統的沖激響應為：（）

答案：\(h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\)

5.系統的頻率響應為：（）

答案：\(H(\omega)=\frac{F(\omega)}{X(\omega)}\)

6.系統的傳遞函數為：（）

答案：\(H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\)

三、判斷題（每題2分，共12分）

1.拉普拉斯變換可以處理非齊次微分方程。（）

答案：√

2.傅里葉變換可以處理非周期信號。（）

答案：√

3.卷積運算可以處理信號處理中的系統分析問題。（）

答案：√

4.線性系統滿足有界輸入有界輸出（BIBO）穩定性。（）

答案：√

5.系統響應可以反映系統的時域特性。（）

答案：√

6.系統的頻率響應可以反映系統的功率分布。（）

答案：×（應為能量分布）

四、簡答題（每題6分，共36分）

1.簡述拉普拉斯變換的收斂域及其意義。

答案：

拉普拉斯變換的收斂域是指復變函數的積分在實數域內收斂的區域。拉普拉斯變換的收斂域對于求解線性常系數微分方程、分析系統的穩定性等具有重要意義。具體如下：

（1）收斂域可以判斷拉普拉斯變換的存在性；

（2）收斂域可以確定系統穩定性的條件；

（3）收斂域可以分析系統的時域特性。

2.簡述傅里葉變換的性質。

答案：

傅里葉變換具有以下性質：

（1）線性性質：傅里葉變換滿足線性疊加原理；

（2）時移性質：傅里葉變換滿足時移性質，即信號時移后，其頻譜相應地發生相移；

（3）頻移性質：傅里葉變換滿足頻移性質，即信號頻移后，其頻譜相應地發生平移；

（4）時間尺度性質：傅里葉變換滿足時間尺度性質，即信號時間尺度變化后，其頻譜相應地發生縮放；

（5）能量性質：傅里葉變換滿足能量性質，即信號的能量在時域和頻域內保持不變。

3.簡述卷積運算的性質。

答案：

卷積運算具有以下性質：

（1）線性性質：卷積運算滿足線性疊加原理；

（2）時移性質：卷積運算滿足時移性質，即信號時移后，其卷積結果相應地發生時移；

（3）頻移性質：卷積運算滿足頻移性質，即信號頻移后，其卷積結果相應地發生頻移；

（4）交換性質：卷積運算滿足交換性質，即信號交換后，其卷積結果不變；

（5）卷積定理：卷積運算滿足卷積定理，即兩個函數的卷積可以轉換為它們的傅里葉變換的乘積。

4.簡述線性系統的性質。

答案：

線性系統具有以下性質：

（1）疊加原理：線性系統滿足疊加原理，即輸入信號疊加后，系統響應等于各個輸入信號單獨引起的響應之和；

（2）時不變性：線性系統滿足時不變性，即系統在時域內移動，其響應不變；

（3）無源性：線性系統滿足無源性，即系統輸出的能量不超過輸入的能量；

（4）有界輸入有界輸出（BIBO）穩定性：線性系統滿足有界輸入有界輸出穩定性，即輸入信號有界時，系統輸出也有界。

5.簡述系統響應的性質。

答案：

系統響應具有以下性質：

（1）時域特性：系統響應的時域特性反映了系統的動態特性，包括上升時間、下降時間、過渡過程等；

（2）頻域特性：系統響應的頻域特性反映了系統的頻率特性，包括頻率響應、幅度響應、相位響應等；

（3）穩定性：系統響應的穩定性反映了系統的穩定性，包括暫態穩定性、穩態穩定性等；

（4）能量特性：系統響應的能量特性反映了系統的能量分布，包括能量譜、功率譜等。

6.簡述系統傳遞函數的性質。

答案：

系統傳遞函數具有以下性質：

（1）線性性質：系統傳遞函數滿足線性性質，即傳遞函數滿足疊加原理；

（2）時不變性：系統傳遞函數滿足時不變性，即傳遞函數在時域內移動，其響應不變；

（3）因果性：系統傳遞函數滿足因果性，即傳遞函數的輸出只與當前及過去的輸入有關；

（4）穩定性：系統傳遞函數滿足穩定性，即傳遞函數的極點位于復平面的左半平面。

五、計算題（每題10分，共50分）

1.已知信號\(f(t)=e^{-at}u(t)\)，其中\(a>0\)，求其拉普拉斯變換。

答案：

\(F(s)=\frac{1}{s+a}\)

2.已知信號\(f(t)=\cos(2\pif_0t)u(t)\)，求其傅里葉變換。

答案：

\(F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\left[\delta(\omega-2\pif_0)+\delta(\omega+2\pif_0)\right]\)

3.已知信號\(x(t)=e^{at}u(t)\)，其中\(a>0\)，求其卷積\(y(t)=x(t)*h(t)\)，其中\(h(t)\)為單位沖激函數。

答案：

\(y(t)=\frac{1}{a}e^{at}u(t)\)

4.已知信號\(f(t)=\sin(2\pif_0t)u(t)\)，求其拉普拉斯變換。

答案：

\(F(s)=\frac{a}{s^2+a^2}\)

5.已知信號\(f(t)=e^{-at}u(t)\)，其中\(a>0\)，求其傅里葉變換。

答案：

\(F(\omega)=\frac{1}{\omega+a}\)

6.已知信號\(x(t)=e^{at}u(t)\)，其中\(a>0\)，求其卷積\(y(t)=x(t)*h(t)\)，其中\(h(t)\)為單位沖激函數。

答案：

\(y(t)=\frac{1}{a}e^{at}u(t)\)

六、綜合題（每題20分，共40分）

1.已知系統傳遞函數\(H(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}\)，求該系統的單位沖激響應\(h(t)\)。

答案：

\(h(t)=e^{-t}u(t)\)

2.已知系統輸入信號\(f(t)=e^{-at}u(t)\)，其中\(a>0\)，系統傳遞函數\(H(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}\)，求系統的輸出信號\(y(t)\)。

答案：

\(y(t)=\frac{1}{a}e^{-at}u(t)\)

3.已知系統輸入信號\(f(t)=\cos(2\pif_0t)u(t)\)，其中\(f_0>0\)，系統傳遞函數\(H(s)=\frac{s}{s^2+2s+1}\)，求系統的輸出信號\(y(t)\)。

答案：

\(y(t)=\frac{1}{2\pif_0}\left[\sin(2\pif_0t)u(t)+\cos(2\pif_0t)u(t)\right]\)

4.已知系統輸入信號\(f(t)=e^{-at}u(t)\)，其中\(a>0\)，系統傳遞函數\(H(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}\)，求系統的頻率響應\(H(\omega)\)。

答案：

\(H(\omega)=\frac{1}{\omega^2+2\omega+1}\)

5.已知系統輸入信號\(f(t)=\cos(2\pif_0t)u(t)\)，其中\(f_0>0\)，系統傳遞函數\(H(s)=\frac{s}{s^2+2s+1}\)，求系統的頻率響應\(H(\omega)\)。

答案：

\(H(\omega)=\frac{1}{\omega^2+2\omega+1}\)

6.已知系統輸入信號\(f(t)=e^{-at}u(t)\)，其中\(a>0\)，系統傳遞函數\(H(s)=\frac{1}{s^2+2s+1}\)，求系統的單位階躍響應\(y(t)\)。

答案：

\(y(t)=\frac{1}{a}e^{-t}u(t)\)

本次試卷答案如下：

一、選擇題（每題2分，共12分）

1.答案：D

解析：拉普拉斯變換可以處理線性常系數微分方程，包括非齊次微分方程，因此選項D錯誤。

2.答案：D

解析：傅里葉變換可以處理連續時間信號和離散時間信號，因此選項D錯誤。

3.答案：C

解析：信號頻譜反映的是信號的頻域特性，而不是時域特性，因此選項C錯誤。

4.答案：C

解析：卷積運算是一種時域運算，因此選項C錯誤。

5.答案：C

解析：線性系統滿足疊加原理和時不變性，但不滿足非齊次性，因此選項C錯誤。

6.答案：C

解析：系統響應反映的是系統的時域特性，包括上升時間、下降時間等，因此選項C錯誤。

二、填空題（每題2分，共12分）

1.答案：\(F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\)

解析：這是拉普拉斯變換的定義。

2.答案：\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omegat}dt\)

解析：這是傅里葉變換的定義。

3.答案：\(y(t)=x(t)*h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau\)

解析：這是卷積運算的定義。

4.答案：\(h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau\)

解析：這是系統沖激響應的定義。

5.答案：\(H(\omega)=\frac{F(\omega)}{X(\omega)}\)

解析：這是系統的頻率響應的定義。

6.答案：\(H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}\)

解析：這是系統傳遞函數的定義。

三、判斷題（每題2分，共12分）

1.答案：√

解析：拉普拉斯變換可以處理非齊次微分方程。

2.答案：√

解析：傅里葉變換可以處理非周期信號。

3.答案：√

解析：卷積運算可以處理信號處理中的系統分析問題。

4.答案：√

解析：線性系統滿足有界輸入有界輸出（BIBO）穩定性。

5.答案：√

解析：系統響應可以反映系統的時域特性。

6.答案：×（應為能量分布）

解析：系統的頻率響應反映的是信號的能量分布，而不是功率分布。

四、簡答題（每題6分，共36分）

1.答案：