試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年河北省邢臺(tái)市第三中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，小明從點(diǎn)觀測(cè)對(duì)面的山，下列說法正確的是（

）A．從點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的仰角是 B．從點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的俯角是C．從點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的仰角是 D．從點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的俯角是2．已知，則的值為（

）A． B． C． D．53．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體可能是（

）A． B．C． D．4．一個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)的整數(shù)數(shù)位有（

）A．7位 B．6位 C．3位 D．1位5．為了驗(yàn)證如圖所示的四邊形中與所在直線的夾角是否為，如下方案，方案一：測(cè)量出和的度數(shù)；方案二：測(cè)量出和的度數(shù)．下列判斷正確的是（

）A．方案一正確、方案二正確 B．方案一不正確、方案二正確C．方案一正確、方案二不正確 D．方案一不正確、方案二不正確6．已知關(guān)于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，則的值為（

）A．或1 B．或 C． D．17．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)，物價(jià)各幾何？”意思是現(xiàn)有幾個(gè)人共買一件物品，每人出8錢．多出3錢；每人出7錢，差4錢．問人數(shù)，物價(jià)各是多少？若設(shè)共有人，物價(jià)是錢，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．8．為了解七年級(jí)學(xué)生一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)情況，隨機(jī)選取15名學(xué)生，其成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)都是85分，后來發(fā)現(xiàn)在登記成績(jī)時(shí)，將一名學(xué)生的成績(jī)由74分誤寫成84分，再經(jīng)過重新計(jì)算后，正確的平均成績(jī)?yōu)榉郑煽?jī)的中位數(shù)為分，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．9．已知，下列結(jié)論正確的是（

）A．的計(jì)算結(jié)果為 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的值為負(fù)數(shù) D．若為正整數(shù)，則可能為310．如圖，平行四邊形的對(duì)角線交于點(diǎn)，點(diǎn)分別在的四條邊上（不與頂點(diǎn)重合）．如下方案中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．使B．使，均經(jīng)過點(diǎn)C．使經(jīng)過點(diǎn)，且D．點(diǎn)分別為各自所在邊的中點(diǎn)11．【規(guī)定】一列數(shù)中任意相鄰的三個(gè)數(shù)滿足，則這個(gè)數(shù)列為“漂亮數(shù)列”．如下結(jié)論：①若是“漂亮數(shù)列”，則；②若不論取何值，數(shù)列都是“漂亮數(shù)列”，則；③若數(shù)列…，…是“漂亮數(shù)列”，則．其中正確的是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③12．如圖，在矩形紙片中，為邊上一點(diǎn)，將沿折疊，得到．點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于對(duì)稱，若，則（

）A． B．或 C．或 D．或二、填空題13．若反比例函數(shù)經(jīng)過，則的值為．14．將克糖放入水中，得到克糖水，已知．再往杯中加入克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了，這是因?yàn)樘撬泻堑臐舛茸兇罅耍?qǐng)你用含x，y和的數(shù)量關(guān)系式表示“糖水中含糖的濃度變大”的事實(shí)：．15．刻度尺在數(shù)軸上的位置擺放如圖所示，刻度尺右端點(diǎn)B的刻度為“0”，刻度“”和“”分別與數(shù)軸上表示數(shù)0和的點(diǎn)重合，現(xiàn)將刻度尺沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)5個(gè)單位，如圖2，使刻度尺的左端點(diǎn)與數(shù)軸上表示的數(shù)1重合，則刻度尺的長(zhǎng)度為．16．如圖，在正六邊形中除點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)外，其他各點(diǎn)均在軸上方，將正三角形在正六邊形外連續(xù)作如下運(yùn)動(dòng)：起始位置，與重合；第一次運(yùn)動(dòng)：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合；第二次運(yùn)動(dòng)：繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合；……如此運(yùn)動(dòng)，共完成六次運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P，O之間距離的最大值為．三、解答題17．已知四個(gè)數(shù)：．(1)直接用“”將這四個(gè)數(shù)連接起來；(2)從中任意選取兩個(gè)數(shù)，設(shè)其中乘積最大的結(jié)果為，這四個(gè)數(shù)的和為，求的值．18．已知，，（為常數(shù)）．(1)若，①對(duì)整式進(jìn)行因式分解；②化簡(jiǎn)．(2)若，且的計(jì)算結(jié)果是非負(fù)數(shù)，求的取值范圍．19．如圖2是一款臺(tái)燈（如圖1）的側(cè)面示意圖，底座長(zhǎng)，燈板長(zhǎng)，支桿的高度可調(diào)節(jié)，已知于點(diǎn)，連接．(1)如圖2，當(dāng)與平行時(shí)，求的高度由下降時(shí)減少的度數(shù)；(2)固定的高度為，當(dāng)燈板從圖2的位置開始繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，求點(diǎn)到底座的距離．（參考數(shù)據(jù)：．）20．在正方形網(wǎng)格中已有個(gè)位置放入了涂色的方塊，已知方塊與正方形網(wǎng)格中的小正方形的邊長(zhǎng)相等，將方塊、隨機(jī)放入網(wǎng)格，已知只能放在位置、、、中的一個(gè)位置，只能放在位置、、、中的一個(gè)位置，根據(jù)方塊、的位置不同，所有涂色的個(gè)方塊組成不同的圖案．(1)固定方塊在位置上，隨機(jī)移動(dòng)方塊，求個(gè)方塊組成的圖案是軸對(duì)稱圖形的概率；(2)同時(shí)移動(dòng)方塊、方塊，用畫樹狀圖或列表的方法求6個(gè)方塊組成軸對(duì)稱圖形的概率；直接寫出移動(dòng)方塊、方塊后的個(gè)方塊組成的圖案既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的概率．21．如圖1，圖2，在菱形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)N是邊上一點(diǎn)．(1)如圖1，若，①在圖1中，尺規(guī)作圖：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；（不寫作法，保留作圖痕跡）②求證：．(2)如圖2，連接．若，求的長(zhǎng)．22．某商場(chǎng)為推廣新品，對(duì)商品采取分段折扣促銷策略，以下是相關(guān)信息：【基礎(chǔ)應(yīng)用】若某商品原價(jià)為400元，折扣后價(jià)格為320元，則該商品應(yīng)打幾折？【函數(shù)建模】設(shè)商品原價(jià)為元，折扣后價(jià)格為元，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，與滿足的關(guān)系為．當(dāng)時(shí)，與成一次函數(shù)關(guān)系，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（1）求當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)表達(dá)式；（2）若小麗在該商場(chǎng)購買了一件商品，共花費(fèi)240元，求該商品的原價(jià)．【方案決策】為進(jìn)一步刺激消費(fèi)，商場(chǎng)推出兩種新方案：方案一：全店商品統(tǒng)一打折．方案二：所購商品按原價(jià)每滿300元減元（，不滿300元部分不優(yōu)惠）．若某商品原價(jià)為600元，分別按方案一和方案二的優(yōu)惠后價(jià)格相同，直接寫出與的關(guān)系．23．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)O是射線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作，交射線于點(diǎn)，連接，設(shè)的半徑為．(1)當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)是上的點(diǎn)，滿足，判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)若的外心在內(nèi)部（包括邊界），求的最小值；(4)當(dāng)與直線相切時(shí)，求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：取）24．如圖，點(diǎn)在拋物線（為常數(shù)）上．拋物線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），在拋物線上，已知點(diǎn)，其中．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)拋物線在點(diǎn)和點(diǎn)之間的部分（包括端點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為時(shí)，求的值；(4)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接．若四邊形的邊和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)（不包括四邊形的頂點(diǎn)），設(shè)這兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)、點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．當(dāng)以點(diǎn)（或以點(diǎn)）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是四邊形面積的一半時(shí)，直接寫出所有滿足條件的的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年河北省邢臺(tái)市第三中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷》參考答案題號(hào)12345678910答案DCABADDBCC題號(hào)1112答案BB1．D【分析】本題主要考查了仰角和俯角的定義，仰視角線與水平線的夾角為仰角，俯視角線與水平線的夾角為俯角，據(jù)此即可作答．【詳解】解：根據(jù)仰角與俯角的概念，可知從點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的仰角是，從點(diǎn)觀測(cè)點(diǎn)的俯角是，故選：D．2．C【分析】本題考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，已知字母的值求代數(shù)式的值，解題關(guān)鍵是正確求得字母的值．先將所給的式子左邊化簡(jiǎn)與右邊比較，得出，，代入待求式子計(jì)算后得出結(jié)果．【詳解】解：，∵，∴，，∴，故選：C．3．A【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查．由主視圖和左視圖確定是有3列，2層，再由俯視圖確定具體形狀，即可得到答案．【詳解】解：觀察幾何體的三視圖可知，該幾何體有3列，2層，再由俯視圖可以知道這個(gè)幾何體可能是故選：A．4．B【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)還原成原數(shù)時(shí)，時(shí)，是幾，小數(shù)點(diǎn)就向后移幾位．【詳解】解：，用科學(xué)記數(shù)法表示為，則這個(gè)數(shù)有個(gè)整數(shù)位．故選：B．5．A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，方案一，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答；方案二，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則與所在直線的夾角為，方案一：測(cè)量出和的度數(shù)，則與所在直線的夾角，故方案一正確；方案二：測(cè)量出和的度數(shù)，可得，則與所在直線的夾角，故方案二正確；故選：A．6．D【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系．先設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，解這個(gè)方程，求出的值，再求得：，，從而可得，求出．【詳解】解：設(shè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，∵其中一根是另一根的3倍，∴設(shè)，，，解得：，，∴，，故選：D．7．D【分析】設(shè)共有x人，根據(jù)物價(jià)不變列方程；設(shè)物價(jià)是錢，根據(jù)人數(shù)不變即可列出一元一次方程；由此即可確定正確答案【詳解】解：設(shè)共有x人，則有8x-3=7x+4設(shè)物價(jià)是錢，則根據(jù)可得：故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，正確審題、發(fā)現(xiàn)隱藏的等量關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵．8．B【分析】此題考查了中位數(shù)和平均數(shù)．根據(jù)題意中位數(shù)和平均數(shù)的定義即可得到答案．【詳解】解：，正確的平均成績(jī)；原來的中位數(shù)是85分，將84分寫成74分，最中間的數(shù)還是85分，，故選：B．9．C【分析】本題考查分式有意義的條件、分式的化簡(jiǎn)、通過分式計(jì)算即可判斷A；根據(jù)分式有意義的條件可判斷B；通過不等式的性質(zhì)可判斷C，通過分式求值可判斷D．【詳解】解：，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，分式無意義，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不是正整數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．10．C【分析】本題圍繞平行四邊形，判斷四邊形是否為平行四邊形，需依據(jù)平行四邊形的判定定理（如兩組對(duì)邊分別相等、對(duì)角線互相平分等），結(jié)合已知條件對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一分析，本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及三角形全等、中位線定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定定理（如兩組對(duì)邊分別相等、對(duì)角線互相平分）是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，（），（）．，∴四邊形是平行四邊形，能判定四邊形是平行四邊形；的對(duì)角線交于點(diǎn)均經(jīng)過點(diǎn)．則四邊形是平行四邊形，能判定四邊形是平行四邊形；經(jīng)過點(diǎn)，，的位置未知，故不能判定四邊形是平行四邊形；點(diǎn)分別為各自所在邊的中點(diǎn)，則據(jù)中位線定理可判定四邊形是平行四邊形，故選：．11．B【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，整式加減的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是理解新定義運(yùn)算．根據(jù)“漂亮數(shù)列”意義直接解可以判斷①；根據(jù)“漂亮數(shù)列”意義列出式子求得可以判斷②；根據(jù)“漂亮數(shù)列”意義列，由得出，代入，求出可以判斷③．【詳解】解：①由題意得：；②數(shù)列是“漂亮數(shù)列”，，不論取何值，數(shù)列都是“漂亮數(shù)列”，，解得：，；③數(shù)列是“漂亮數(shù)列”，，∴，，解得：或?2．∴正確的是①②，故選：B．12．B【分析】先利用矩形紙片的性質(zhì)得出，再軸對(duì)稱的性質(zhì)得出垂直平分，接著根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出，結(jié)合，可證明是等這三角形，進(jìn)而求得，再分“點(diǎn)在上方”、“點(diǎn)在下方”兩種情況分別求得．【詳解】解：∵矩形紙片中，∴，，．連接，點(diǎn)E，F(xiàn)關(guān)于對(duì)稱，垂直平分，，∵，∴是等邊三角形，．，當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖1，，，當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖2，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)證明相應(yīng)的量相等13．0【分析】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，分別求出和，然后相加即可得出答案．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)上，∴，故答案為：014．【分析】本題考查了用不等式表示，解題的關(guān)鍵在于用代數(shù)式表示出糖水中含糖的濃度．根據(jù)題意分別表示出原糖水的濃度與加入克糖后糖水濃度，再結(jié)合題意列出不等式即可．【詳解】解：由題知，原糖水的濃度為，加入克糖后糖水濃度為：，糖水變甜了，即糖水的濃度變大了，．故答案為：．15．40【分析】本題考查了數(shù)軸與刻度尺，根據(jù)刻度“”和“”分別與數(shù)軸上表示的數(shù)0和的點(diǎn)重合，可求出數(shù)軸上一個(gè)單位是，再根據(jù)向右平移5個(gè)單位得出點(diǎn)表示的數(shù)，就可求出刻度尺的長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是求出一個(gè)單位長(zhǎng)度代表多少厘米．【詳解】解：∵刻度“”和“”分別與數(shù)軸上表示數(shù)0和的點(diǎn)重合，∴數(shù)軸上一個(gè)單位長(zhǎng)度為，將該刻度尺沿?cái)?shù)軸向右平移5個(gè)單位，如圖2，使刻度尺的左端點(diǎn)A與數(shù)軸上表示的數(shù)1重合，原點(diǎn)A表示的數(shù)是，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為，刻度尺長(zhǎng)為，故答案為：40．16．【分析】本題主要考查正多邊形和圓，點(diǎn)的軌跡以及線段的最值，作出圖形得出的長(zhǎng)度為點(diǎn)P，O之間距離的最大值，求出，可得的最大值為．【詳解】解：點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示的虛線部分，延長(zhǎng)交軌跡于點(diǎn)（位置不只是一種），此時(shí)的長(zhǎng)度為點(diǎn)P，O之間距離的最大值，∵點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)外，其他各點(diǎn)均在軸上方，∴，又，∴，過點(diǎn)E作于點(diǎn)，則，∴，∴，的最大值為．故答案為：．17．(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算、有理數(shù)的大小比較，能熟記有理數(shù)的大小比較法則是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則：異號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負(fù)，根據(jù)“正數(shù)大于負(fù)數(shù)”，同號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對(duì)值，特別是兩個(gè)負(fù)數(shù)大小比較，先各自求出它們的絕對(duì)值，然后依法則：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小，比較絕對(duì)值大小后，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)有理數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：．（2）解：根據(jù)（1）可知，，．18．(1)①；②(2)【分析】（）①把代入，再利用完全平方公式因式分解即可；②根據(jù)整式的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可；（）把代入，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后根據(jù)結(jié)果是非負(fù)數(shù)列出不等式求出的取值范圍即可；本題考查了因式分解，整式的加減運(yùn)算，解一元一次不等式，掌握整式的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，；②；（2）解：當(dāng)時(shí)，，的結(jié)果是非負(fù)數(shù)，，解得．19．(1)(2)【分析】本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)的意義，通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是常用的方法，也是基本的方法．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，的高度由下降時(shí)，可求得，從而可求出減少的度數(shù)；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別求出和即可．【詳解】（1）解：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形．，，在中，，，，同理可得：的高度由下降時(shí)，．減少的度數(shù)．（2）解：如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，．在中，．．．．∴點(diǎn)到底座的距離為．20．(1)；(2)；．【分析】本題主要考查了概率公式、畫樹狀圖或列表法求概率．解決本題的關(guān)鍵是用列表法把方塊、的所有可能性表示出來，再找出符合要求的位置出現(xiàn)的次數(shù)．固定方塊??在??位置上，隨機(jī)移動(dòng)方塊??，共有四個(gè)位置可放，其中使個(gè)涂色方塊組成軸對(duì)稱圖形的位置有位置和，所以組成軸對(duì)稱圖形的概率是；列表把所有的情況都表示出來，共有個(gè)等可能結(jié)果，其中結(jié)果為軸對(duì)稱圖形的結(jié)果共種結(jié)果，所以概率為；其中結(jié)果既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的結(jié)果有種，所以概率是.【詳解】（1）解：固定方塊??在??位置上，隨機(jī)移動(dòng)方塊??，共有四個(gè)位置可放，其中使個(gè)涂色方塊組成軸對(duì)稱圖形的位置有位置和，成軸對(duì)稱圖；（2）解：同時(shí)移動(dòng)方塊、方塊，列表表示移動(dòng)結(jié)果如下：1234由表可知，共有個(gè)等可能結(jié)果，其中結(jié)果為軸對(duì)稱圖形的結(jié)果是：，，，，，共種結(jié)果，成軸對(duì)稱圖形，其中結(jié)果既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的結(jié)果是和既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．21．(1)①見解析；②見解析(2)【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖—作垂線，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵：（1）①以為圓心，取與能有交點(diǎn)的長(zhǎng)為半徑，畫弧，交于兩點(diǎn)，以這兩點(diǎn)為圓心，大于這兩點(diǎn)間的距離為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，連接與該點(diǎn)的直線，交于點(diǎn)，即可；②等積法結(jié)合菱形的性質(zhì)，即可得證；（2）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．證明，推出，證明，列出比例式求解即可．【詳解】（1）解：①如圖，即為所求；②∵菱形，∴，，∴，∵，；（2）如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于．四邊形是菱形，，．是邊的中點(diǎn)，，．．，，，．．，．，．．，．22．基礎(chǔ)應(yīng)用：該商品打8折；函數(shù)建模：（1）；（2）該商品的原價(jià)為元或350元；方案決策：【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，包括折扣計(jì)算、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及方案選擇中的等式建立，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)和實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵。基礎(chǔ)應(yīng)用：根據(jù)折扣的計(jì)算方法，用折后價(jià)除以原價(jià)得到折扣數(shù)，進(jìn)而確定幾折。函數(shù)建模（1）因?yàn)闀r(shí)與是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，利用已知的兩組、值，通過待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式。函數(shù)建模（2）已知花費(fèi)元，需分和兩種情況，分別代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式求解原價(jià)。方案決策：分別計(jì)算出商品原價(jià)元時(shí)方案一和方案二的優(yōu)惠后價(jià)格，再根據(jù)二者價(jià)格相同建立等式，得出與的關(guān)系。【詳解】解：基礎(chǔ)應(yīng)用∴該商品打8折．函數(shù)建模：（1）設(shè)當(dāng)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，解得．．（2）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)小麗在該商場(chǎng)購買了一件商品，共花費(fèi)240元，則該商品的原價(jià)為元或350元．方案決策：按照方案一：元；按照方案二：（）元；若某商品原價(jià)為600元，按方案一和方案二折扣后價(jià)格相同，．23．(1)直線與相切，理由見解析(2)(3)的外心在內(nèi)部（包括邊界）時(shí)，的最小值為(4)【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，切線的判定、垂徑定理勾股定理及解三角形等，理解題意，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．（1）證明即可得出，由此即可證明結(jié)論；（2）由經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得的直徑為12，則．再由，求出，進(jìn)而可得圓心角，利用弧長(zhǎng)公式即可解題，（3）先確定的外心是的中點(diǎn)，再根據(jù)圖形可知當(dāng)點(diǎn)與AC的中點(diǎn)重合時(shí)，的外心在內(nèi)部（包括邊界）的取得題小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理可知，由即可求解；（4）當(dāng)與直線相切于點(diǎn)時(shí)，可得四邊形為正方形，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得，由，進(jìn)而可得．【詳解】（1）解：滿足時(shí)，直線與相切，理由如下：，∴，，．在矩形中，，∴，∴，．∵是半徑，直線與相切．（2）當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，如圖1的直徑為12，則．∵，∴．．．（3）的外心為的中點(diǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)與的中點(diǎn)重合時(shí)，的外心在內(nèi)部（包括邊界）的取得題小值，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，∴．．∵，∴又∵，∴，的外心在內(nèi)部（包括邊界）時(shí)，的最小