四川省成都市成華區某校2024-2025學年高三下學期4月三診模擬數學試題1．已知集合A=x?1≤x?1<2，集合B=xA．x0≤x<2 B．x0≤x≤2 C．x1<x<32．某中學隨機抽取了60名學生，統計了他們某天學習數學的時間，數據如下表，則該組數據的第75百分位數是（）學習時間／分鐘60708090100110120人數9101412852A．75分鐘 B．90分鐘 C．95分鐘 D．100分鐘3．已知平面向量m=1,?2,n=A．2,?4 B．?2,4 C．?35,?4．已知角α的頂點為坐標原點，始邊為x軸非負半軸，若角α的終邊過點P?32A．?3 B．?32 C．?5．甲?乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲?乙兩人恰好選擇同一崗位的選擇方法有（）種.A．18 B．27 C．36 D．726．已知拋物線C:y2=2pxp>0，點A0,4，直線l:x?2y?2=0，記A關于l的對稱點為B，且BA．x=?4 B．x=?1 C．x=?3 D．x=?27．已知函數fx的定義域為R，且fx+2?2為奇函數，f3x+1為偶函數，A．4036 B．4040 C．4044 D．40488．在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左焦點為F1，過F1的直線lA．355 B．455 C．9．若8?7A．n=5B．展開式中只有第三項的二項式系數最大C．展開式中x4D．展開式中系數為有理數的項共有2項10．已知函數fxA．函數fx的值域為B．若函數fx關于x=π12對稱，則C．若函數fx在π6,πD．若ω=1，當x∈0,2π時，函數fx11．法國天文學家喬凡尼?多美尼科?卡西尼在研究土星及其衛星的運動規律時，發現了平面內到兩個定點的距離之積為常數的點的軌跡，并稱之為卡西尼卵形線（CassiniOval）．已知在平面直角坐標系xOy中，M?1,0，N1,0，動點P滿足PM?A．曲線C關于y軸對稱B．原點始終在曲線C的內部C．當t=2時，△PMN面積的最大值為D．C在第一象限的點的縱坐標的最大值為t12．復數z滿足z+6i=z（i為虛數單位），則z的虛部為13．在平行四邊形ABCD中，AB=1,?AD=3，AC與BD交于點O，∠AOD=2π3，則該平行四邊形ABCD14．在三棱錐P?ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2．若M為該三棱錐外接球上的一動點，則MB?MC的最小值為15．2023年5月15日至21日是第二個全國家庭教育宣傳周，為進一步促進家校共育，某校舉行“家教伴成長，協同育新人”主題活動，最終評出了8位“最美家長”，其中有6位媽媽，2位爸爸，學校準備從這8位“最美家長”中每次隨機選出一人做家庭教育經驗分享．（1）若每位“最美家長”最多做一次家庭教育經驗分享，記第一次抽到媽媽為事件A，第二次抽到爸爸為事件B，求PA和P（2）現需要每天從這8位“最美家長”中隨機選1人，連續4天分別為低年級、中年級、高年級和全體教師各做1場經驗分享，1天只做1場，且人選可以重復，記這4天中爸爸做經驗分享的天數為X，求X的分布列和數學期望．16．如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，△BFC是等邊三角形，EF//AB，EF=12AB，且平面FBC⊥（1）求證：EF⊥BF；（2）求直線BF與平面ADE所成角的余弦值.17．已知數列an滿足a1=5，an+1?2（1）求證：bn（2）設cn=2n+1bn，數列cn的前n項和為Sn18．已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸，y軸，且過0,?1,（1）求E的方程；（2）過點?4,0，斜率不為0的直線l與橢圓交于A,B兩點，點C?1,1，直線AC與x軸交于P，與y軸交于M，直線BC與x軸交于Q，與y軸交于N．若3S△CMN19．定義：若函數fx與gx在公共定義域內存在x使得fx+gx（1）判斷函數fx=e（2）若函數fx=lnx?1和gx（3）若函數fx=1mex+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：易知集合A={x|0≤x<3}，

要使函數y=2?x有意義，則x≤2，即集合B={x|x≤2}則A∩B=x故答案為：B.【分析】解不等式先求集合A，B，再利用集合的交集的定義求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：60×75%=45，則第75百分位數是所有數據從小到大排列的第45項和第46項的平均數，由表中數據可知，第45項為90，第46項為100，故第75百分位數是90+1002故答案為：C.【分析】利用百分位數定義求解即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：向量m=(1,?2),則n在m方向上的投影向量坐標為m→故答案為：B.【分析】利用投影向量的定義運算求解即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：若角α的終邊過點P?32則tan2α=故答案為：A.【分析】根據任意角三角函數的定義求tanα5．【答案】C【解析】【解答】解：將甲?乙等5名學生分組為3:1:1或2:2:1，

當甲?乙兩人恰選擇同一崗位且人數配比為3:1:1時，有C3當甲?乙兩人恰選擇同一崗位且人數配比為2:2:1時，有C3則共有18+18=36種不同安排方法.故答案為：C.【分析】將甲?乙等5名學生分組為3:1:1或2:2:1兩種情況，再利用分組、分配求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：設點Bx0,y0，

因為直線l:x?2y?2=0的斜率為1則直線AB的方程為y=?2x+4，設直線AB與直線l的交點為M，聯立y=?2x+4x?2y?2=0，解得M則0+x02=2,4+y02=0，解得B4,?4，

將B的坐標代入故答案為：B.【分析】利用點關于直線對稱得出對稱點B4,?4，再把點代入拋物線求出p=27．【答案】D【解析】【解答】解：因為fx+2?2為奇函數，所以fx+2?2+f?x+2?2=0，

則又因為f3x+1為偶函數，所以f?3x+1=f3x+1，則函數所以fx+2=f?x=?f?x+2，從而得f因為f1=0，所以f1因為fx關于直線x=1對稱，所以f又因為fx關于點2,2對稱，所以f又因為f4=f?2=f0，f則k=12024故答案為：D.【分析】根據fx+2?2為奇函數，f3x+18．【答案】C【解析】【解答】解：設雙曲線的右焦點為F2，連接PF2，過O作OQ⊥MN，垂足為Q則OM=ON=a因為F1M=PN，所以F1因為O為F1F2的中點，所以OQ//PF2設MN=2m，則F1M=PN=m，PF在△MOQ中，由勾股定理得OQ2+MQ解得m=45a，所以OQ在△F1OQ中，由勾股定理得OQ2+F1Q2=O故答案為：C．【分析】過O作OQ⊥MN，設MN=2m，利用幾何關系計算得出m=459．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、由題意可得：2n=32，解得B、當n=5時，8?7x5即展開式的第三項和第四項的二項式系數最大，故B錯誤；C、8?7x5令r=4，則?1rC5r?D、8?7x5若r2∈Z，則r=0,2,4，對應的項為則展開式中系數為有理數的項共有3項，故D錯誤.故答案為：AC.【分析】由題設得2n=32求解n，即可判斷A；由n=5得二項式系數最大的是C52=10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：函數fx=sinωxcosωx+3A、易知?1≤sin?2ωx+π3≤1，則函數B、由函數fx關于x=π12解得ω=1+6k,k∈Z，因為ω>0，所以ω的最小值為1，故B正確；C、若函數fx在π6,π2解得ω≥?52+3kω≤1D、若ω=1，則fx令fx=0，即當x∈0,2π時，則2x+2x則x1=π故答案為：ABD．【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式結合輔助角公式化簡可得fx=sin2ωx+π3+311．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、設Px,y，

由PM?PN將?x,y代入上式，等式仍成立，則曲線C關于y軸對稱，故A正確；B、當t=1時，將0,0代入等式成立，知原點在曲線上，故B錯誤；C、當t=2時，方程整理得x令x2=ss≥0若方程有兩個負根，則Δ≥0s1+由Δ≥0得y2≤12，D、由x+12+y令u=4x2+t即ymax2=故答案為：ACD．【分析】設Px,y，由題意求得軌跡方程，將?x,y代入方程即可判斷A；當t=1時，將0,0代入方程計算即可判斷B；令x2=ss≥0，則s2+212．【答案】?3【解析】【解答】解：設復數z=a+bia,b∈R，則z=a?bi，

則a+bi+6i=a?bi，即6i=?2bi，解得b=?3，故z的虛部為故答案為：?3.【分析】設復數z=a+bi，求其共軛復數，利用已知式子化簡求得b值，得復數，再利用復數的概念判斷即可.13．【答案】3【解析】【解答】解：如圖所示：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以OB=OD，

設OA=a,OB=OD=b，在△AOD中，∠AOD=2π3，AD=3，

由余弦定理可得：在△AOB中，∠AOB=π?2π3=π3，AB=1，①②兩式相減可得，ab=1，則S故答案為：3.【分析】由題意，利用余弦定理和三角形面積公式求解疾控科.14．【答案】2?2【解析】【解答】解：三棱錐P?ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，將三棱錐放置在正方體中，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，球心為正方體對角線的交點，以P為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：則P0,0,0設三棱錐外接球的半徑即正方體外接球半徑為R，則R=2故MO2故OB+由向量模長公式得OB+MB?設θ=OB由數量積的定義得OB+則MB?MC=2+2MB?MC取得最小值故答案為：2?23【分析】將三棱錐放入正方體中建立空間直角坐標系，表示出相關點的坐標，再結合空間向量的線性運算將MB?15．【答案】（1）解：由題意可得：PAPB（2）解：由題意可知：爸爸做經驗分享的天數X的所有可能取值為0，1，2，3，4，

且X服從二項分布，X～B4,PX=0=C403441故X的分布列為：X01234P81272731EX【解析】【分析】（1）由題可得PA，再由全概率公式求P（2）由題意可得，爸爸做經驗分享的天數X的所有可能取值，且X服從二項分布，X～B4,14（1）根據題意可知，PAPB（2）爸爸做經驗分享的天數X的所有可能取值為0，1，2，3，4，且X～B4,故PX=0=C403441故X的分布列為：X01234P81272731根據二項分布的期望公式可知，EX16．【答案】（1）證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以AB⊥BC，又因為平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面FBC，又因為FB?平面FBC，所以AB⊥FB，又因為EF//AB，所以EF⊥BF；（2）解：在平面FBC內過B作Bz⊥BC，由平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，得Bz⊥平面ABCD，以B為坐標原點，建立空間直角坐標系B?xyz，如圖所示：則A0,2,0、D2,2,0、F1,0,AD=2,0,0，AE=設平面ADE的法向量為n=x,y,z，則n?AD=2x=0設直線BF與平面ADE所成角為θ，sinθ=cos則直線BF與平面ADE所成角的余弦值為cosθ=1?【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質可得出AB⊥平面FBC，可得出AB⊥FB，再結合EF//AB證明即可；（2）在平面FBC內過B作Bz⊥BC，推導出Bz⊥平面ABCD，以點B為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.（1）因為四邊形ABCD是正方形，則AB⊥BC，而平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，則AB⊥平面FBC，又FB?平面FBC，于是AB⊥FB，又EF//AB，所以EF⊥BF.（2）解法一：在平面FBC內過B作Bz⊥BC，由平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，得Bz⊥平面ABCD，以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B?xyz，則A0,2,0、D2,2,0、F1,0,AD=2,0,0，AE=設平面ADE的法向量為n=x,y,z，則令z=1，得n=設直線BF與平面ADE所成角為θ，sinθ=cos直線BF與平面ADE所成角的余弦值為cosθ=1?解法二：取AB中點M，連接EM，因為AB⊥平面BFC，BF?平面BFC，則AB⊥BF，因為EF=12AB，EF//AB，則EF=BM，EF//BM則EM=BF=2且EM⊥AB，EM//BF，則AE=A取BC的中點P，CD的中點Q，連接FP、FQ.因為△BCF為等邊三角形，P為BC的中點，則PF⊥BC，則PF=P因為平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC∩平面ABCD=BC，PF?平面PBC，所以，PF⊥平面ABCD，且PQ=P因為PQ?平面ABCD，所以，PF⊥PQ，則FQ=P直線BF與平面ADE所成的角即為直線EM與平面ADE所成的角.因為EF//AB，EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，則EF//平面ABCD，故點E到平面ABCD的距離等于PF=3，設M點到平面ADE的距離為d由VM?ADE=V因為EF//AB，AB//CD，則EF//CD，且EF=12AB=12且S△ADM在△ADE中，AE=DE=5，AD=2，取AD的中點N，連接EN，則EN⊥AD所以，EN=AE2則d=S△ADM?直線BF與平面ADE所成角的余弦值為cosθ=1?17．【答案】（1）證明：由an+1?2an=3n，可得a又因為a1=5，所以則數列bn中任意一項不為0，b故數列bn是首項為2，公比為2的等比數列，b（2）解：由第（1）可得：bn則cn=2n+12n，設數列c則Sn=12S①-②可得：12解得Sn由?1nλ<Sn+當n為奇數時，有?λ<51?12而5×12n當n為偶數時，有λ<51?而5?5×12n綜上，λ的取值范圍為?5【解析】【分析】（1）證明bn+1bn為常數即可證明b（2）先求出cn，根據cn通項公式的特征，采用錯位相減法求其前n項和Sn，題設化簡為?1（1）由已知，∵a∴an+1=3n又∵a1=5∴數列bn中任意一項不為0，b∴數列bn是首項為2，公比為2的等比數列，b（2）由第（1）問知，bn則cn=2n+12n，設數列c所以Sn=12S所以①-②可得：12所以Sn由?1nλ<S化簡得?1n當n為奇數時，有?λ<51?12而5×12n當n為偶數時，有λ<51?而5?5×12n綜上，λ的取值范圍為?518．【答案】（1）解：由題意，設橢圓E的方程為mx2+n因為橢圓過點0,?1,3,12則E的方程為x2（2）解：設直線l:x=ty?4,Ax聯立x=ty?4x2+4y2則Δ=(?8t)2?48t2直線AC:y?1=y1?1令x=0，則M0,令y=0，則P?由3S△CMN=S△CPQ整理得3t?3因為t2>12，所以3t則直線l的斜率為27【解析】【分析】（1）由題意，設橢圓E的方程為mx2+n（2）設直線l:x=ty?4,Ax1,y1,Bx2,（1）設E的方程為mx2+n將0,?1,3,12故E的方程為x2（2）依題意，設直線l:x=ty?4,Ax聯立x=ty?4x2+4y2則Δ=(?8t)2?48t2直線AC:y?1=y1?1令x=0，則M0,令y=0，則P?由3S△CMN=S△CPQ整理得3t?3因為t2>12，所以3t所以直線l的斜率為2719．【答案】（1）解：若函數fx與gx為“契合函數”，則fx+gx=0在公共定義域內有解，

因為fx=e2x?2e2,gx（2）解：令φx=fx+gx=lnx?ax?x2,x∈0,+∞，因為fx與gx不為“契合函數，

又因為又φx為0,+∞上的連續函數，

所以φx在0,+∞上無零點，即恒為負或恒為正，

若φx>0在0,+∞上恒成立，取x=1，則φ1=?a?1>0，即a<?1，

又當a<?1時，φ1?a=ln1?a?a1?a?(1?a)2=ln1?a?1?a，

令ux=lnx?x，所以u'x=1x?1=1?xx，

令u'x>0，解得0<x<1，令u'x<0，解得x>1，

所以ux在0,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，所以ux≤u1=?1<0，

所以φ1?a<0，與假設矛盾，（3）解：令Hx=fx+gx，則Hx=xex+msinxmx，因為fx與gx在0,π上為“契合函數”，

所以Hx在0,π上存在零點，

即?x=xex+msinx在0,π上存在零點．又因為?'x=x+1ex+mcosx，

當?1≤m<0且x∈0,π時，因為