2025屆甘肅省高三下學(xué)期3月（一模）數(shù)學(xué)試卷1．若復(fù)數(shù)?1+1?a2A．a(chǎn)>?1 B．a(chǎn)<?1或a>1C．?1<a<1 D．a(chǎn)<12．設(shè)集合A=x|y=31?xA．R B．?1,0,1,2 C．?1,0,1 D．?1,23．某班研究性小組的同學(xué)為了研究活性碳對污水中某種污染物的吸附能力，設(shè)計(jì)了一種活性碳污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為W0（單位：mgL），測得污水通過長度為l（單位：m）的凈化裝置后污染物的含量l0123WW0.50.250.125研究小組的同學(xué)根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了W關(guān)于l的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是（）A．W=W0+0.5lC．W=0.5W0l D．4．高一年級400名學(xué)生參加數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識競賽活動，答題后隨機(jī)抽取22名男生和18名女生，計(jì)算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計(jì)本次比賽高一年級的總體均分為（）A．81.8 B．81.5 C．81.1 D．80.85．從1-9這9個數(shù)字中任意取出3個數(shù)，組成一個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個位數(shù)字依次增大，則滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)是（）A．84 B．120 C．504 D．7206．若α∈0,π4，sinA．210 B．?210 C．77．已知梯形ABCD中，AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4，點(diǎn)M為邊CD上的動點(diǎn)，若∠AMB=α，則cosα的范圍是（）A．0,17 B．?17,1 8．已知A是拋物線y2=16x上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線x4+yb=1與y軸交于點(diǎn)P，PFA．b24+b2 B．b216+9．已知雙曲線方程為x2A．雙曲線的漸近線方程為y=±B．雙曲線的離心率是7C．雙曲線的虛軸長是8D．雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為610．函數(shù)fxA．fx的最小正周期是B．fx的值域是C．fx的圖象是軸對稱圖形，其中一條對稱軸是D．fx的零點(diǎn)是11．若自變量x表示時間，在長為定值T的時間周期u,u+T中，函數(shù)y=fx的增長率為gA．若fx=3x,x∈0,+B．若fx=3C．若fx=3xD．若fx=lnx,x∈1,+12．用一個平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是.13．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S5=20，S7=56，則數(shù)列S14．如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內(nèi)、外弧線為兩個同心圓的14圓周，內(nèi)弧半徑為12米，路寬為3米，兩人均從外弧A點(diǎn)處跑入該路段，甲沿內(nèi)弧切線方向跑至切點(diǎn)C，又沿內(nèi)弧CB跑至點(diǎn)B處后跑出該路段，乙沿內(nèi)弧切線方向直接跑至外弧上D點(diǎn)處，再沿外弧DE跑至點(diǎn)E處后跑出該路段，則在該路段跑動距離更短的是（填“甲”或“乙”），兩人跑動距離之差的絕對值約為米.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin37°15．為了解高一學(xué)生整理數(shù)學(xué)錯題與提高數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，某小組通過隨機(jī)抽樣，獲得了每天整理錯題和未每天整理錯題的各20名學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的總體均分為115分.（1）依據(jù)頻率分布直方圖，完成以下2×2列聯(lián)表：成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯題未每天整理錯題合計(jì)（2）依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績不低于總體均分是否與每天整理數(shù)學(xué)錯題有關(guān).附:α0.100.010.001χ2.7066.63510.82816．正四面體P?ABC的三條棱PA,PB,PC是圓錐PO的三條母線，點(diǎn)A,B,C在圓錐PO的底面內(nèi)，過PA且與圓錐PO底面垂直的平面與圓錐側(cè)面交于PD（不同于PA）.（1）求證：BC⊥平面PAD；（2）求平面PBD與平面PAB所成角的余弦值.17．?dāng)?shù)列an滿足an+12=1（1）求證：數(shù)列bn（2）若數(shù)列cn滿足cn=lnan,Sn是數(shù)列18．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P2,4，A、B為橢圓x24（1）證明：向量m=1,4是直線（2）若線段OP與橢圓交于點(diǎn)Q，求△ABQ面積的最大值.19．函數(shù)fx=(1+x)（1）r≠1時，判斷fx（2）若θ∈0,π2，判斷2cos2θ與（3）證明：對于任意的n∈N?,θ∈

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)?1+1?a2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(?1,1?a2)故答案為：C.【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合題意，從而列出不等式，進(jìn)而解不等式得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.2．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=31?x中，x∈R，

所以集合A=R，

又因?yàn)樗訟∩B=?1,0,1,2故答案為：B.【分析】利用奇次根式函數(shù)求定義域的方法，從而求出集合A，再利用已知條件和交集的運(yùn)算法則，從而得出集合A∩B.3．【答案】D【解析】【解答】解：由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：

第一，定義域?yàn)?,3；第二，在定義域單調(diào)遞減且單位減少率變慢；第三，函數(shù)圖象過0,W則函數(shù)W=0.5W0l和W=W0因?yàn)楹瘮?shù)W=W因?yàn)閃=W故答案為：D.【分析】先分析表中數(shù)據(jù)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象過點(diǎn)的性質(zhì)，從而判斷出最符合實(shí)際的函數(shù)模型．4．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閤=2240×82+18故答案為：C.【分析】利用分層抽樣的均值公式，從而估計(jì)出本次比賽高一年級的總體均分.5．【答案】A【解析】【解答】解：從9個數(shù)字中選擇3個不同的數(shù)，無需再排序，

所以C9故答案為：A.【分析】從9個數(shù)字中選擇3個不同的數(shù)，只需選出，無需排序，再利用組合數(shù)公式得出滿足條件的三位數(shù)的個數(shù).6．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)棣痢?,π4又因?yàn)閟inα+π4則cos=3故答案為：C.【分析】先根據(jù)α的范圍確定α+π4的范圍，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosα+7．【答案】D【解析】【解答】解：如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，則A?2,0,B2,0設(shè)Mx,3?1≤x≤1，

則AM所以cosα=x令x2?1=t，則則cosα=t可得cosα∈?故答案為：D.

【分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)Mx,3?1≤x≤1，從而得出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值的坐標(biāo)表示結(jié)合換元法，令x2?1=t，則?1≤t≤08．【答案】B【解析】【解答】解：依題意，可知F4,0,P0,b，

設(shè)A則PA=∴PF?PA則Ab∴PB∥x軸，

∴∠BPF=∠PFO，

因?yàn)椤螦PB+∠BPF=90∴cos∠APB=sin∠PFO=OP故答案為：B.【分析】利用點(diǎn)參法，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，再利用PF?PA=0得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再利用轉(zhuǎn)化的思想，將∠APB轉(zhuǎn)化為∠PFO9．【答案】C,D【解析】【解答】解：因?yàn)殡p曲線x29?y2對于A：因?yàn)閎a=4對于B：因?yàn)殡x心率為e=c對于C：因?yàn)殡p曲線的虛軸長是2b=8，故C正確；對于D：因?yàn)殡p曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為2a=6，故D正確.故答案為：CD.

【分析】先根據(jù)題意結(jié)合雙曲線方程和雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，從而求出a、b、c的值，再利用雙曲線的漸近線方程、離心率公式、虛軸長、兩點(diǎn)距離公式，從而逐項(xiàng)判斷找出正確的選項(xiàng).10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：對于A：因?yàn)閒x+2π=2cosx+2顯然，沒有比2π更小的正周期，

所以f(x)的最小正周期為2對于B：考慮到f(x)的最小正周期為2π，

故只需考慮f(x)在[則fx=2cosx+sin2x，x∈[π6,13π則f'因?yàn)閟inx∈[?1,1]則當(dāng)x∈(π6,5π6)時，sinx>當(dāng)x∈(5π6,13π6)時，sinx又因?yàn)閒π6=2f13π6=2cos13π對于C：因?yàn)閒f則fπ6+x?fπ則x=π6不是對于D：令fx=0，則2cosx+sin2x=0則cosx=0或sinx=?1，

解得x=kπ+又因?yàn)閧x|x=2kπ?π2，k∈Z}?{x|x=kπ故答案為：ABD.

【分析】檢驗(yàn)fx+2π=f(x)，則可判斷選項(xiàng)A；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的值域，則判斷出選項(xiàng)B；檢驗(yàn)fπ611．【答案】A,D【解析】【解答】解：對于函數(shù)fx因?yàn)門為正常數(shù)，

所以gu為0,+對于函數(shù)fx因?yàn)門為正常數(shù)，

所以gu對于函數(shù)fx則gu因?yàn)門為正常數(shù)，

所以gu對于函數(shù)fx∴g令?x=xlnx，

則?'x=1+lnx，

因?yàn)門為正常數(shù)，

所以ulnu?u+T則g'u<0，

故答案為：AD.

【分析】將四個選項(xiàng)中的函數(shù)代入gu=f12．【答案】1:1【解析】【解答】解：如圖所示，

在正方體ABCD?A1E,F,G,H,I,J分別是AB,BC,CC連接EFGHIJ，

則六邊形EFGHIJ是正六邊形，根據(jù)對稱性可知，截出的兩部分幾何體的體積之比是1:1.故答案為：1:1.【分析】先畫出正六邊形截面，再根據(jù)圖形的對稱性得出截出的兩部分幾何體的體積比.13．【答案】n【解析】【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，

則S5=5a1所以，Sn=na1+所以，Sn+1n+1?Sn所以，Tn故答案為：n2?5n.

【分析】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)已知條件可得關(guān)于a1、d的方程組，從而解出這兩個量的值，進(jìn)而可得Sn的表達(dá)式，則可得Snn14．【答案】甲；2.4【解析】【解答】解：連接OC、OD，可知OC⊥AD，OA=OD，

則∠AOC=∠DOC，AC=CD，

在Rt△AOC中，cos∠AOC=所以，sin∠AOC=所以，∠AOC≈37°，所以，BC=12×90?37π180≈因?yàn)锳D=2AC=18，DE=15×90?2×37π180≈4所以甲跑動的距離更短，少跑22?19.6=2.4米.故答案為：甲；2.4.

【分析】連接OC、OD，求出∠AOC的值，從而求出BC、DE的長，進(jìn)而求出甲、乙兩人的跑動的距離，則得出在該路段跑動距離更短的人；再結(jié)合作差法得出兩人跑動距離之差的絕對值.15．【答案】（1）解：根據(jù)頻率分布直方圖，可得：成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計(jì)192140（2）解：假設(shè)H0計(jì)算可得χ2根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷H0即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績不低于總體均分與每天整理錯題有關(guān).【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)表分析計(jì)算，從而完善2×2列聯(lián)表.（2）利用卡方計(jì)算公式和與表中數(shù)據(jù)比較，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)思想，從而認(rèn)為數(shù)學(xué)成績不低于總體均分與每天整理錯題有關(guān).（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯題14620未每天整理錯題51520合計(jì)192140（2）假設(shè)H0計(jì)算可得χ根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷H0即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績不低于總體均分與每天整理錯題有關(guān).16．【答案】（1）證明：∵平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，∴PO?平面PAD，且O∈AD，又∵BC?平面ABC,∴PO⊥BC，∵?ABC為正三角形，∴O為△ABC中心，

∴AO⊥BC，

∴AD⊥BC，∵PO?平面PAD,AD?平面PAD，PO∩AD=O，∴BC⊥平面PAD.（2）解：設(shè)AD∩BC=M，則M是BC的中點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的平行線為x軸，AD為y軸，OP為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正四面體的棱長為1，

則A0,?33,0，B設(shè)平面PAB的法向量為m=x1,y則m→取平面PAB的一個法向量為m=設(shè)平面PBD的法向量為n=x2,y則n→取平面PBD的一個法向量為n=設(shè)平面PAB與平面PBD所成角為θ，∴cosθ=m則平面PAB與平面PBD所成角的余弦值為3333【解析】【分析】（1）先根據(jù)平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，從而得到PO?平面PAD且O∈AD，再由?ABC為等邊三角形得到O為其中心，則AO⊥BC，所以AD⊥BC，再利用PO⊥平面ABC得出PO⊥BC，再根據(jù)線面垂直的判定定理證出BC⊥平面PAD.（2）先利用已知條件和中點(diǎn)的性質(zhì)，從而建立空間直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合兩向量垂直數(shù)量積為0的等價關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而求出兩個平面PAB和平面PBD的法向量，再利用數(shù)量積求向量夾角公式得出平面PBD與平面PAB所成角的余弦值.（1）∵平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC，P∈平面PAD，∴PO?平面PAD，且O∈AD.又∵BC?平面ABC,∴PO⊥BC，∵△ABC為正三角形，∴O為△ABC中心，∴AO⊥BC，∴AD⊥BC，∵PO?平面PAD,AD?平面PAD，PO∩AD=O，∴BC⊥平面PAD.（2）設(shè)AD∩BC=M，則M是BC的中點(diǎn).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的平行線為x軸，AD為y軸，OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體的棱長為1，則A0,?B12,設(shè)平面PAB的法向量為m=x1則m→取平面PAB的一個法向量為m=設(shè)平面PBD的法向量為n=x2則n→取平面PBD的一個法向量為n=設(shè)平面PAB與平面PBD所成角為θ，∴cosθ=m即平面PAB與平面PBD所成角的余弦值為333317．【答案】（1）證明：∵an+12∴l(xiāng)na∴數(shù)列l(wèi)nan是以ln2為首項(xiàng)，∴l(xiāng)na∴l(xiāng)na∴bn+1bn=∴數(shù)列bn是以ln2為首項(xiàng)，1∴b（2）解：由（1）可知，cn∴S∴S因?yàn)閷?n∈N所以k≥2【解析】【分析】（1）利用已知條件和等比數(shù)列定義以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，從而證出數(shù)列bn（2）利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則，再結(jié)合不等式恒成立問題求解方法，從而計(jì)算得出實(shí)數(shù)k的取值范圍.（1）∵an+12∴l(xiāng)na∴數(shù)列l(wèi)nan是以ln2為首項(xiàng)，∴l(xiāng)na∴l(xiāng)na∴bn+1b∴數(shù)列bn是以ln2為首項(xiàng)，1∴b（2）由（1）可知，cn∴S∴S由于對?n∈N所以k≥218．【答案】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)P2,4在橢圓外，A、B為橢圓上的兩個動點(diǎn)，

設(shè)Ax1則OP=λ則x12+2y12=4①x則y1?y2x1?所以直線AB的斜率為y1?y2x1?所以m=1,4為直線（2）解：由x2+2y2=4y=2xx>0，

由（1）可知，直線AB的斜率為?14，

設(shè)直線AB方程為y=?14若m=0，則直線AB過原點(diǎn)，

則OA+OB=0，

則與由x2+2y2=4y=?14x+m，

得9x2由韋達(dá)定理可得x1+x所以，AB=2因?yàn)辄c(diǎn)Q到直線AB的距離d=2所以S△ABQ令t=3?2m∈0,3∪3,6令ft=t36?t當(dāng)t∈0,3∪3,92時，f't所以，函數(shù)ft在0,3、3,92所以，當(dāng)t=92時，即當(dāng)m=?34時，【解析】【分析】（1）設(shè)Ax1,y1、Bx2（2）先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，設(shè)直線AB方程為y=?14x+mm≠0，再將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理表達(dá)式，再利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，從而求出AB以及點(diǎn)Q到直線（1）由于點(diǎn)P2,4在橢圓外，A、B為橢圓上的兩個動點(diǎn)，設(shè)Ax1OP=λ則x12+2y12=4即y1?y2x所以直線AB的斜率為y1?y2x從而m=1,4為直線（2）由x2+2y2=4由（1）可知，直線AB的斜率為?14，設(shè)直線AB方程為若m=0，則直線AB過原點(diǎn)，則OA+OB=0，從而與由x2+2y則Δ=64m2?4×9×16m2由韋達(dá)定理可得x1+x所以，AB=2由于Q到直線AB的距離d=2所以S△ABQ令t=3?2m∈0,3∪3,6令ft=t當(dāng)t∈0,3∪3,92時，f所以，函數(shù)ft在0,3、3,92所以，當(dāng)t=92時，即當(dāng)m=?34時，19．【答案】（1）解：因?yàn)閒當(dāng)r>1,x∈?1,0時，f'x則當(dāng)r>1時，函數(shù)在?1,0為減函數(shù)，在0,+∞同理可得，當(dāng)0<r<1時，函數(shù)在?1,0為增函數(shù)，在0,+∞（2）解：由（1）可知，當(dāng)0<r<1時，fx≤0，

則(1+x)r≤rx+1，