PAGEPAGE5第1講隨機抽樣基礎學問整合1．簡潔隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中eq\o(□,\s\up5(01))逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機會eq\o(□,\s\up5(02))都相等，就把這種抽樣方法叫做簡潔隨機抽樣．(2)最常用的簡潔隨機抽樣的方法：eq\o(□,\s\up5(03))抽簽法和eq\o(□,\s\up5(04))隨機數(shù)法．(3)抽簽法與隨機數(shù)法的區(qū)分與聯(lián)系抽簽法和隨機數(shù)法都是簡潔隨機抽樣的方法，但是抽簽法適合在總體和樣本都較少，簡潔攪拌勻稱時運用，而隨機數(shù)法除了適合總體和樣本都較少的狀況外，還適用于總體較多但是須要的樣本較少的狀況，這時利用隨機數(shù)法能夠快速地完成抽樣．2．系統(tǒng)抽樣的步驟假設要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本．(1)先將總體的N個個體eq\o(□,\s\up5(05))編號．(2)確定eq\o(□,\s\up5(06))分段間隔k，對編號進行eq\o(□,\s\up5(07))分段，當eq\f(N,n)是整數(shù)時，取k＝eq\f(N,n).(3)在第1段用eq\o(□,\s\up5(08))簡潔隨機抽樣確定第一個個體編號l(l≤k)．(4)依據(jù)肯定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號eq\o(□,\s\up5(09))(l＋k)，再加k得到第3個個體編號eq\o(□,\s\up5(10))(l＋2k)，依次進行下去，直到獲得整個樣本．3．分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成eq\o(□,\s\up5(11))互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的eq\o(□,\s\up5(12))比例，從各層獨立地抽取肯定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣．(2)分層抽樣的應用范圍：當總體是由eq\o(□,\s\up5(13))差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣．1．不論哪種抽樣方法，總體中的每一個個體入樣的概率是相同的．2．系統(tǒng)抽樣是等距抽樣，入樣個體的編號相差eq\f(N,n)的整數(shù)倍．3．分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個體數(shù)為該層的個體數(shù)乘以抽樣比．1．對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則()A．p1＝p2<p3 B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2 D．p1＝p2＝p3答案D解析隨機抽樣包括：簡潔隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣．隨機抽樣的特點就是每個個體被抽到的概率都相等．故選D.2．(2024·?？谡{(diào)研)某校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進行調(diào)查，若抽到的最小編號為3，則抽取的最大編號為()A．15B．18C．21D．22答案C解析系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為eq\f(24,4)＝6，若抽到的最小編號為3，則抽取到的最大編號為6×3＋3＝21.故選C.3．(2024·蘭州檢測)某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工的身體狀況，現(xiàn)采納分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本的老年職工抽取人數(shù)為()A．9B．18C．27D．36答案B解析設老年職工人數(shù)為x，中年職工人數(shù)為2x，所以160＋x＋2x＝430，解得x＝90.由題意，老年職工抽取人數(shù)為eq\f(90×32,160)＝18，故選B.4．用系統(tǒng)抽樣法從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生隨機地按1～160編號，按編號依次平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組抽出的號碼為125，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是________．答案5解析設第1組抽取的號碼為x，則第n組抽取的號碼為8(n－1)＋x，于是有8×(16－1)＋x＝125，解得x＝5，故第1組抽取的號碼為5.5．(2024·西安模擬)從某地區(qū)15000位老人中隨機抽取500人，其生活能否自理的狀況如表中所示：則該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性約多________人．答案60解析設該地區(qū)生活不能自理的老人中男性比女性多x人，由表得eq\f(23－21,500)＝eq\f(x,15000)，解得x＝60.核心考向突破考向一簡潔隨機抽樣例1(1)“七樂彩”的中獎號碼是從分別標有1,2，…，30的30個小球中逐個不放回地搖出7個小球來按規(guī)則確定中獎狀況，這種從30個號碼中選7個號碼的抽樣方法是()A．系統(tǒng)抽樣法 B．抽簽法C．隨機數(shù)法 D．其他抽樣方法答案B解析30個小球相當于號簽，攪拌勻稱后逐個不放回地抽取，是典型的抽簽法．故選B.(2)(2024·江西名校模擬)總體由編號為01,02，…，19,20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字起先由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()A．08B．07C．02D．01答案D解析選出來的5個個體的編號依次是08,02,14,07,01，故選D.觸類旁通1簡潔隨機抽樣需滿意：①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限；②逐個抽??；③是不放回抽??；④是等可能抽取.2簡潔隨機抽樣常有抽簽法適用于總體中個體數(shù)較少的狀況、隨機數(shù)法適用于個體數(shù)較多的狀況.即時訓練1.某中學開學后從高一年級的學生中隨機抽取90名學生進行家庭狀況調(diào)查，經(jīng)過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學生進行學情調(diào)查，發(fā)覺有20名同學上次被抽到過，估計這個學校高一年級的學生人數(shù)為()A．180B．400C．450D．2000答案C解析eq\f(90,x)＝eq\f(20,100)，∴x＝450.故選C.2．福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼可從編號為01,02，…，33的33個數(shù)中隨機選取，某彩民利用下面的隨機數(shù)表選取6個數(shù)作為6個紅色球的號碼，選取方法是從下列隨機數(shù)表中第1行第6列的數(shù)字起先由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出來的第6個紅色球的號碼為()A．23B．09C．02D．17答案C解析從隨機數(shù)表第1行第6列的數(shù)字起先由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選出的6個紅色球的號碼依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個紅色球的號碼為02.故選C.考向二分層抽樣例2(1)(2024·臨川模擬)某學校有體育特長生25人，美術(shù)特長生35人，音樂特長生40人，用分層抽樣的方法從中抽取40人，則抽取的體育特長生、美術(shù)特長生、音樂特長生的人數(shù)分別為()A．10,14,16 B．9,13,18C．8,14,18 D．9,14,17答案A解析抽取的體育特長生、美術(shù)特長生、音樂特長生的人數(shù)分別為eq\f(25,25＋35＋40)×40＝10，eq\f(35,25＋35＋40)×40＝14，eq\f(40,25＋35＋40)×40＝16.故選A.(2)某咖啡連鎖店為了了解各地連鎖店的銷售狀況，把36個連鎖店按地區(qū)分成甲、乙、丙三組，其中甲、乙兩組中連鎖店的個數(shù)分別為4和12，若用分層抽樣法從這36個連鎖店中抽取9個進行調(diào)查，則丙組中應抽取的連鎖店的個數(shù)為________．答案5解析丙組中應抽取的連鎖店的個數(shù)為eq\f(9,36)×(36－4－12)＝5.觸類旁通分層抽樣的步驟(1)將總體按肯定標準分層．2計算各層的個體數(shù)與總體數(shù)的比，按各層個體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層應抽取的樣本容量.eq\a\vs4\al(3在每一層進行抽樣可用簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.)即時訓練3.某市電視臺為調(diào)查節(jié)目收視率，從全市3個區(qū)用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本，已知3個區(qū)人口數(shù)之比為2∶3∶5，假如從人口最多的一個區(qū)抽出60人，那么這個樣本的容量等于()A．96B．120C．180D．240答案B解析因為3個區(qū)人口數(shù)之比為2∶3∶5，所以第三個區(qū)所抽取的人口數(shù)最多，所占比例為50%.又因為從今區(qū)抽出60人，所以三個區(qū)所抽取的總?cè)丝跀?shù)為60÷50%＝120，即這個樣本的容量等于120.故選B.4．(2024·江蘇高考)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部的產(chǎn)品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取________件．答案18解析∵eq\f(樣本容量,總體個數(shù))＝eq\f(60,200＋400＋300＋100)＝eq\f(3,50)，∴應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取eq\f(3,50)×300＝18(件)．考向三系統(tǒng)抽樣例3(1)(2024·石家莊二中模擬)某校為了解1000名高一新生的身體發(fā)育狀況，用系統(tǒng)抽樣法(按等距的規(guī)則)抽取40名同學進行檢查，將學生從1～1000進行編號，現(xiàn)已知第18組抽取的號碼為443，則第一組用簡潔隨機抽樣抽取的號碼為()A．16B．17C．18D．19答案C解析系統(tǒng)抽樣的分段間隔為eq\f(1000,40)＝25，設第一組隨機抽取的號碼為x，則抽取的第18組的號碼為x＋17×25＝443，所以x＝18.故選C.(2)(2024·山東模擬)采納系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，…，960，分組后在第一組采納簡潔隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入?yún)^(qū)間[1,450]的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間[451,750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為()A．7B．9C．10D．15答案C解析抽樣間隔為30，所以第k組被抽中的號碼為9＋30(k－1)．令451≤9＋30(k－1)≤750,15eq\f(11,15)≤k≤25eq\f(7,10)，k∈N*，∴做B卷的人數(shù)為10人．觸類旁通系統(tǒng)抽樣的特點及抽樣技巧(1)系統(tǒng)抽樣的特點——機械抽樣，又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對應的號碼就是一個等差數(shù)列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數(shù)，依據(jù)等差數(shù)列的通項公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號碼．2系統(tǒng)抽樣時，假如總體中的個數(shù)不能被樣本容量整除時，可以先用簡潔隨機抽樣從總體中剔除幾個個體，然后再按系統(tǒng)抽樣進行.即時訓練5.某中學三個年級共有48個班，學校為了了解學生閱讀課外書籍的狀況，將每個班編號，依次為1到48，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取4個班進行調(diào)查．若抽到的4個編號之和為96，則抽到的最大編號為()A．44B．42C．40D．30答案B解析系統(tǒng)抽樣的分段間隔為eq\f(48,4)＝12.設抽到的最大編號為x，則x＋(x－12)＋(x－24)＋(x－36)＝96，解得x＝42.故選B.6．將參與夏令營的600名學生按001,002，…，600進行編號．采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003.這600名學生分別住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)依次為()