PAGEPAGE1課時作業53古典概型[基礎達標]一、選擇題1．同時拋擲兩個骰子，則向上的點數之差的肯定值為4的概率是()A.eq\f(1,18)B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,9)D.eq\f(1,6)解析：同時拋擲兩個骰子，基本領件總數為36，記“向上的點數之差的肯定值為4”為事務A，則事務A包含的基本領件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4個，故P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).答案：C2．[2024·廣東茂名一模]在{1,3,5}和{2,4}兩個集合中各取一個數組成一個兩位數，則這個數能被4整除的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,4)解析：全部的兩位數為12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45，共12個，能被4整除的數為12,32,52，共3個，故所求概率P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).故選D.答案：D3．[2024·全國卷Ⅰ]為美化環境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)解析：從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，共有6種選法．紅色和紫色的花不在同一花壇的有4種選法，依據古典概型的概率計算公式，所求的概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，故選C.答案：C4．[2024·武漢市中學調研]從裝有3雙不同鞋的柜子里，隨機取2只，則取出的2只鞋不成對的概率為()A.eq\f(14,15)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(1,5)解析：設這3雙鞋分別為A1A2，B1B2，C1C2，則隨機取出2只的基本領件有A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共15個，其中取出的2只鞋不成雙的基本領件有12個，所以所求概率P＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5)，故選B.答案：B5．[2024·武漢市中學調研測試]一張儲蓄卡的密碼共有6位數字組成，每位數字都可以是0～9中的隨意一個．某人在銀行自動取款機上取錢時，遺忘了密碼的最終一位數字，假如隨意按最終一位數字，不超過2次就按對的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,10)解析：依題意知，最終一位數字是0～9這10個數字中的隨意一個，則按1次按對的概率為eq\f(1,10)；按2次按對的概率為eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).由互斥事務的概率計算公式得所求的概率P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝eq\f(1,5)，故選C.答案：C二、填空題6．[2024·重慶適應性測試]從2,3,4,5,6這5個數字中任取3個，則所取3個數之和為偶數的概率為________.解析：依題意，從2,3,4,5,6這5個數字中任取3個，共有10種不同的取法，其中所取3個數之和為偶數的取法共有1＋3＝4種(包含兩種情形：一種情形是所取的3個數均為偶數，有1種取法；另一種情形是所取的3個數中2個是奇數，另一個是偶數，有3種取法)，因此所求的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)7．某校有三個愛好小組，甲、乙兩名學生每人選擇其中一個參與，且每人參與每個愛好小組的可能性相同，則甲、乙不在同一個愛好小組的概率為________．解析：本題考查古典概型．甲、乙兩名學生參與愛好小組的結果共有9種，其中甲、乙不在同一個愛好小組的結果有6種，故所求的概率為eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．[2024·太原市高三模擬]某人在微信群中發了一個7元的“拼手氣”紅包，被甲、乙、丙三人搶完，若三人均領到整數元，且每人至少領到1元，則甲領到的錢數不少于乙、丙分別領到的錢數的概率是________．解析：利用隔板法將7元分成3個紅包，共有Ceq\o\al(2,6)＝15種領法．甲領3元不少于乙、丙分別領到的錢數的分法有3元，3元，1元與3元，2元，2元兩種狀況，共有Aeq\o\al(2,2)＋1＝3種領法；甲領4元不少于乙、丙分別領到的錢數的分法有4元，2元，1元一種狀況，共有Aeq\o\al(2,2)＝2種領法；甲領5元不少于乙、丙分別領到的錢數的分法有5元，1元，1元一種狀況，共有1種領法，所以甲領到的錢數不少于乙、丙分別領到的錢數的概率是eq\f(3＋2＋1,15)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)三、解答題9．[2024·陜西西安八校聯考]某市為了解社區群眾體育活動的開展狀況，擬采納分層抽樣的方法從A，B，C三個行政區抽出6個社區進行調查，已知A，B，C三個行政區中分別有12,18,6個社區．(1)求從A，B，C三個行政區中分別抽取的社區個數；(2)若從抽得的6個社區中隨機地抽取2個進行調查結果的對比，求抽取的2個社區中至少有1個來自A行政區的概率．解析：(1)社區總數為12＋18＋6＝36個，樣本容量與總體的個體數之比為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).所以從A，B，C三個行政區中應分別抽取的社區個數為2,3,1.(2)設A1，A2為在A行政區中抽得的2個社區，B1，B2，B3為在B行政區中抽得的3個社區，c為在C行政區中抽得的1個社區，在這6個社區中隨機抽取2個，全部可能的結果有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，c)，(B2，B3)，(B2，c)，(B3，c)，共15種．設事務X為“抽取的2個社區中至少有1個來自A行政區”，則事務X所包含的全部可能的結果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，c)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，c)，共9種．所以P(X)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).10．一個袋中裝有四個形態大小完全相同的球，球的編號分別為1,2,3,4.(1)從袋中隨機取兩個球，求取出的球的編號之和不大于4的概率；(2)先從袋中隨機取一個球，該球的編號為m，將球放回袋中，然后再從袋中隨機取一個球，該球的編號為n，求n<m＋2的概率．解析：(1)從袋中隨機取兩個球，其一切可能的結果組成的基本領件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個．從袋中取出的球的編號之和不大于4的事務共有1和2,1和3兩個．因此所求事務的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先從袋中隨機取一個球，登記編號為m，放回后，再從袋中隨機取一個球，登記編號為n，對一切可能的結果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個.又滿意條件n≥m＋2的事務為(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3個，所以滿意條件n≥m＋2的事務的概率為P1＝eq\f(3,16).故滿意條件n<m＋2的事務的概率為1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).[實力挑戰]11．[2024·益陽市，湘潭市高三調研]已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，則函數f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數的概率是()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)解析：函數f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數，則a2－2<0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1滿意題意，又b∈{3,5}，所以函數f(x)＝(a2－2)ex＋b為減函數的概率是eq\f(2×2,5×2)＝eq\f(2,5).故選C.答案：C12．[2024·福州市綜合質量檢測]從集合M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}中隨機取一個點P(x，y)，若xy≥k(k>0)的概率為eq\f(6,25)，則k的最大值是________．解析：因為M＝{(x，y)|(|x|－1)2＋(|y|－1)2<4，x，y∈Z}，所以M＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，所以集合M中元素的個數為5×5＝25.因為xy＝1的狀況有2種，xy＝2的狀況有4種，xy＝4的狀況有2種，所以要使xy≥k(k>0)的概率為eq\f(6,25)，需1<k≤2，所以k的最大值為2.答案：213．[2024·宿遷市模擬]已知k∈Z，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up10(→))＝(2,4)，若|eq\o(AB,\s\up10(→))|≤4，則△ABC是直角三角形的概率是________．解析：因為|eq\o(AB,\s\up10(→))|＝eq\r(k2＋1)≤4，所以－eq\r(15)≤k≤eq\r(15)，因為k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，當△ABC為直角三角形時，應有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(AC,\s\up10(→))＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因為eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))