PAGEPAGE1專題18隨意角、弧度制及隨意角的三角函數最新考綱1.了解隨意角的概念和弧度制的概念.2.能進行弧度與角度的互化.3.理解隨意角三角函數(正弦、余弦、正切)的定義.基礎學問融會貫穿1．角的概念(1)隨意角：①定義：角可以看成平面內一條射線圍著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；②分類：角按旋轉方向分為正角、負角和零角．(2)全部與角α終邊相同的角，連同角α在內，構成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；假如角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．2．弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度．正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad,1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.(3)扇形的弧長公式：l＝|α|·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|·r2.3．隨意角的三角函數隨意角α的終邊與單位圓交于點P(x，y)時，則sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．三個三角函數的性質如下表：三角函數定義域第一象限符號其次象限符號第三象限符號第四象限符號sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}＋－＋－4.三角函數線如下圖，設角α的終邊與單位圓交于點P，過P作PM⊥x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與α的終邊或終邊的反向延長線相交于點T.【學問拓展】1．三角函數值的符號規律三角函數值在各象限內的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．隨意角的三角函數的定義(推廣)設P(x，y)是角α終邊上異于頂點的任一點，其到原點O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．重點難點突破【題型一】角及其表示【典型例題】已知集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，則角α的終邊落在陰影處（包括邊界）的區域是（）A． B． C． D．【解答】解：集合{α|2kπα≤2kπ，k∈Z}，表示第一象限的角，故選：B．【再練一題】直角坐標系內，β終邊過點P（sin2，cos2），則終邊與β重合的角可表示成（）A．2+2πk，k∈Z B．2+kπ，k∈Z C．2+2kπ，k∈z D．﹣2+2kπ，k∈Z【解答】解：∵β終邊過點P（sin2，cos2），即為（cos（2），sin（2））∴終邊與β重合的角可表示成2+2kπ，k∈Z，故選：A．

思維升華(1)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的全部角的集合，然后通過對集合中的參數k賦值來求得所需的角．(2)確定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的終邊位置的方法先寫出kα或eq\f(α,k)的范圍，然后依據k的可能取值確定kα或eq\f(α,k)的終邊所在位置．【題型二】弧度制【典型例題】已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，試求扇形的圓心角的弧度數（）A．1 B．4 C．1或4 D．1或2【解答】解：設扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm，則，解得α＝1或α＝4．故選：C．

【再練一題】將300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，則300°＝300．故答案為：．

思維升華應用弧度制解決問題的方法(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要留意角的單位必需是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．【題型三】三角函數的概念及應用命題點1三角函數定義的應用【典型例題】已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，若A（x，3）是角θ終邊上一點，且，則x＝（）A． B． C．1 D．﹣1【解答】解：角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸正半軸重合，若A（x，3）是角θ終邊上一點，且，則x＝﹣1，故選：D．

【再練一題】已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點A（2sinα，3），則cosα＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵由題意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故選：A．

命題點2三角函數線的應用【典型例題】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小關系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函數對應的三角函數線如圖：則AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，則sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，則a＞b＞c，故選：A．

【再練一題】已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：因為，所以cossin，tan1，所以b＜a＜c．故選：A．

思維升華(1)利用三角函數的定義，已知角α終邊上一點P的坐標可求α的三角函數值；已知角α的三角函數值，也可以求出點P的坐標．(2)利用三角函數線解不等式要留意邊界角的取舍，結合三角函數的周期性寫出角的范圍．基礎學問訓練1．【湖南省衡陽市第八中學2024-2025學年高一下學期期中考試】已知角的終邊經過點，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由隨意角的三角函數定義可知：本題正確選項：2．【甘肅省會寧縣第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試】函數的值域是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：角的終邊不能落在坐標軸上，當角終邊在第一象限時，當角終邊在其次象限時，當角終邊在第三象限時，當角終邊在第四象限時，因此函數的值域為，故選：C.3．【安徽省淮北師范高校附屬試驗中學2024-2025學年高一下學期其次次月考】已知角的終邊上一點的坐標為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：角α的終邊上一點的坐標為，它到原點的距離為r=1，由隨意角的三角函數定義知：，故選：B．4．【甘肅省寧縣其次中學2024-2025學年高一下學期期中考試】已知點P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，則在[0，2π）內α的取值范圍是（）A．（，）∪（，） B．（0，）∪（，）C．（，）∪（，2π） D．（，）∪（π，）【答案】C【解析】∵點P（sinα+cosα，tanα）在第四象限，∴，由sinα+cosαsin（α），得2kπ＜α2kπ+π，k∈Z，即2kπα＜2kππ，k∈Z．由tanα＜0，得kπα＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（，）∪（，2π）．故選：C．5．【安徽省示范中學2024-2025學年高一下學期第三次聯考】若角是第四象限角，則是（）A．第一象限角 B．其次象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】角是第四象限角.，則故是第三象限角.故選C.6．【河南省南陽市第一中學2024-2025學年高一下學期第四次月考】已知且，則下列不等式肯定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于且，故為其次象限角，故，故D選項肯定成立，故本小題選D.7．【寧夏石嘴山市第三中學2024-2025學年高一5月月考】半徑為1cm，中心角為150°的角所對的弧長為（）cm．A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，半徑，中心角，又由弧長公式，故選：D．8．【甘肅省會寧縣第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試】與終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】與角終邊相同的角為：，當時，．故選：C．9．【安徽省淮北師范高校附屬試驗中學2024-2025學年高一下學期其次次月考】下列說法正確的是（）A．鈍角是其次象限角 B．其次象限角比第一象限角大C．大于的角是鈍角 D．是其次象限角【答案】A【解析】解：鈍角的范圍為，鈍角是其次象限角，故A正確；﹣200°是其次象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B錯誤；由鈍角的范圍可知C錯誤；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D錯誤．故選：A．10．直角坐標系內，角的終邊過點，則終邊與角重合的角可表示成（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為點為第四象限內的點，角的終邊過點，所以為第四象限角，所以終邊與角重合的角也是第四象限角，而，均為第三象限角，為其次象限角，所以BCD解除，故選A11．【江蘇省南通市啟東中學2024-2025學年高二5月月考】給出下列命題：①其次象限角大于第一象限角；②三角形的內角是第一象限角或其次象限角；③不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所在半徑的大小無關；④若，則與的終邊相同；⑤若，則是其次或第三象限的角．其中正確的命題是______．（填序號）【答案】③【解析】①，則為其次象限角；，則為第一象限角，此時，可知①錯誤；②當三角形的一個內角為直角時，不屬于象限角，可知②錯誤；③由弧度角的定義可知，其大小與扇形半徑無關，可知③正確；④若，，此時，但終邊不同，可知④錯誤；⑤當時，，此時不屬于象限角，可知⑤錯誤．本題正確結果：③12．【甘肅省會寧縣第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試】與角終邊相同的最小正角是______【答案】【解析】解：，即與角終邊相同的最小正角是，故答案為：．13．【河南省平頂山市郟縣第一高級中學2024-2025學年高一下學期其次次5月月考】從到，分針轉了________（）．【答案】【解析】從到，過了45分鐘，時針走一圈是60分鐘，故分針是順時針旋轉，應為負角，故分針轉了.14．【2025屆四川省成都市石室中學高三二診模擬考試】已知角的始邊是軸非負半軸．其終邊經過點，則的值為__________．【答案】【解析】解：∵點P（1，2）在角α的終邊上，∴，將原式分子分母除以，則原式故答案為：5．16．【江蘇省漣水中學2024-2025學年高二5月月考】歐拉公式（為虛數單位）是由瑞士聞名數學家歐拉發覺的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有特別重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，依據歐拉公式可知，表示的復數在復平面中位于第_______象限.【答案】三【解析】由題e-3i＝cos3-isin3，又cos3<0,sin3>0,故表示的復數在復平面中位于第三象限.故答案為三17．【甘肅省會寧縣第一中學2024-2025學年高一下學期期中考試】（1）已知扇形的周長為8，面積是4，求扇形的圓心角．（2）已知扇形的周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形的面積最大？【答案】（1）2；（2）當半徑為10圓心角為2時，扇形的面積最大，最大值為100．【解析】（1）設扇形的圓心角大小為，半徑為，則由題意可得：．聯立解得：扇形的圓心角．（2）設扇形的半徑和弧長分別為和,由題意可得，∴扇形的面積．當時S取最大值，此時，此時圓心角為，∴當半徑為10圓心角為2時，扇形的面積最大，最大值為100．18．【上海市徐匯區2025屆高三上學期期末學習實力診斷】我國的“洋垃極禁止入境”政策已實施一年多某沿海地區的海岸線為一段圓弧AB，對應的圓心角，該地區為打擊洋垃圾走私，在海岸線外側20海里內的海疆ABCD對不明船只進行識別查證如圖：其中海疆與陸地近似看作在同一平面內在圓弧的兩端點A，B分別建有監測站，A與B之間的直線距離為100海里．求海疆ABCD的面積；現海上P點處有一艘不明船只，在A點測得其距A點40海里，在B點測得其距B點海里推斷這艘不明船只是否進入了海疆ABCD？請說明理由．【答案】（1）平方海里；（2）這艘不明船只沒進入了海疆ABCD．.【解析】，在海岸線外側20海里內的海疆ABCD，，，平方海里，由題意建立平面直角坐標系，如圖所示；由題意知，點P在圓B上，即，點P也在圓A上，即；由組成方程組，解得；又區域ABCD內的點滿意，由，不在區域ABCD內，由，也不在區域ABCD內；即這艘不明船只沒進入了海疆ABCD．19．已知角β的終邊在直線x－y＝0上.①寫出角β的集合S；②寫出S中適合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如圖，直線x－y＝0過原點，傾斜角為60°，在0°～360°范圍內，終邊落在射線OA上的角是60°，終邊落在射線OB上的角是240°，所以以射線OA、OB為終邊的角的集合為：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中適合不等式－360°≤β<720°的元素為：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如圖所示.(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合.(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合.【答案】(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.【解析】(1)終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由全部介于[－30°，135°]之間的角及終邊與它們相同的角組成的集合，故該區域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.實力提升訓練1．【安徽省蕪湖市2025屆高三模擬考試】如圖，點為單位圓上一點，，點沿單位圓逆時針方向旋轉角到點，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵點A為單位圓上一點，，點A沿單位圓逆時針方向旋轉角α到點，∴A（cos，sin），即A（），且cos（α），sin（α）．則sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故選：D．2．【黑龍江省大慶試驗中學2024-2025學年高一下學期期中考試】在中，若，那么是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．不能確定【答案】A【解析】∵在中，，∴，∴為銳角．又，∴，∴，∴為銳角，∴為銳角三角形．故選A．3．【河北省邯鄲市2024-2025學年高一下學期期中考試】已知，那么角是（）A．第一或其次象限角B．其次或第三象限角C．第三