矩陣可逆性在機器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用摘要：矩陣是代數(shù)學(xué)中的一個極其重要并且應(yīng)用廣泛的概念，其中可逆矩陣在矩陣的理論和應(yīng)用中有著重要的地位，它已成為代數(shù)領(lǐng)域的主要研究對象。本文在前人研究的基礎(chǔ)上繼續(xù)探索矩陣的可逆性，達(dá)到對同一個矩陣用多種方法去判斷它的可逆性，或者選擇最簡單快捷的方法去判斷它的可逆性。本文給出了對角矩陣法、向量組秩法、矩陣分塊判別法、行(列)最簡形矩陣判別法、特征多項式法及矩陣秩法等11種判別法.0前言 2 31.1伴隨矩陣的定義 3 3 3 3 3 4 4 41.9可逆矩陣和伴隨矩陣的性質(zhì) 41.10行最簡形矩陣 4 4 52.1定義法 5 6 82.4矩陣分塊判別法 92.5對角矩陣法 2成部分，但是高等代數(shù)教材中只是從理論層面闡述了求逆矩陣的方法，并且方法陣基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)和對矩陣可逆的若干判定方法的研究的層面，有必要對逆矩陣做進一步的理解和認(rèn)識，從而掌握可逆矩陣的本質(zhì).1.預(yù)備知識1.1伴隨矩陣的定義設(shè)A是矩陣中元素a,的代數(shù)余子式，矩陣稱為A的伴隨矩陣.1.2行列式定義把n階矩陣的唯一n階子叫做矩陣A的行列式，記作detA.1.4矩陣的秩把一個矩陣A進行初等行變換，這無疑地傳達(dá)出將矩陣變?yōu)樾须A梯型矩陣后，行階梯型矩陣的非零行就是這個矩陣的秩，記為秩A或r(A).1.5特征多項式川設(shè)B=(b,)是數(shù)域F上一個m階矩陣，λ∈1.6哈密頓凱萊定理!1設(shè)B是數(shù)域F上一個n×n矩陣，f(λ)=|2E-B|是B的特征多項式，則f(B)=0.1.7嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣設(shè)A=La;],如果則稱A為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣.1.8特征值性質(zhì)設(shè)n階方陣的特征值為λ,2,…,入n,則有，1.9可逆矩陣和伴隨矩陣的性質(zhì)①若B,C為同階方陣，且均可逆，則AB也可逆，即(BC)?1=C?1B-1.②若B可逆，則B也可逆，且(B)1=(B-).③若B可逆，數(shù)k≠0,則kB可逆，且④若B可逆，則B亦可逆，且(B)1=(B1).⑤伴隨矩陣的行列式等于n-1個該矩陣行列式的乘積，即|B'=|B”?.1.10行最簡形矩陣在一個矩陣中，這在某種程度上體現(xiàn)了若非零行的第一個非零元素均為1,并且這些非零元素所在的列的其它元素都為0,那么該矩陣稱為行最簡形1.11列最簡形矩陣在一個矩陣中，若非零列的第一個非零元素均為1,并且這些非零元素所在的列的其它元素都為0,這在某種意義上表明了那么該矩陣稱為列最簡形矩2.矩陣可逆的判定方法若存在n矩陣D使得DB=I(或BD=I),則n階矩陣B可逆.證明設(shè)B=(b;)xn為n階非奇異方陣.I是n階單位方陣，因為BI=B,記B表示的解則則則可得B1=D,因此，在此類情況下當(dāng)題目中沒有給出矩陣的具體元，而是給出矩陣若一個n階矩陣B的秩等于n,則矩陣B可逆.證明我們只用說明若|B|=0,則B的秩小于n,換言之，若B的秩等于n,則|B≠0.由行列式判別法可知B可逆.當(dāng)n=1時，若|B|=0可知B只有一個元素且為零，在這樣的環(huán)境中因此，B的秩為查看B的第一列元素b?,b21…b,若第一列元素全為零，則B中含有零向量，則r(B)<n,若這n個元素中含有一個不為零的元素，假設(shè)b?≠0,在本文的研究語境里這種情況被賦予了重要意義則從第二行起依次就去第也就是不全為零，因而向量組β,β?…β,線性相先將矩陣A化為階梯型矩陣求出r(A),再與矩陣A的階數(shù)做比較后得出結(jié)論(張奇博、此時r(A)=3=矩陣的階數(shù)，所以此矩陣是可逆的.已知n階矩陣B的特征多項式是f(a)=|E-B|=2"+b?2-1+…+b?2+b,則B(B”?1+b?B”?-2+…+b?1)=-b,E,則例3設(shè)求B?1.f(B)=B?-6B3-7B2+14B-24E=0,則B(B3-6B2-7B+14E)=24E,故運算，所以此方法適用于特征多項式容易求得并且矩陣引理12]如果方陣A、D可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為引理221如果方陣B、C可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為定理121如果矩陣B、C可逆，那么分塊矩可逆，且其逆矩陣為把(4)代入(c)得定理412設(shè)方陣B、C可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為設(shè)n矩陣其中R為r階子塊，P為s階子塊，且r+S=n,若R?1與P-TR-1s存在，則分塊矩陣Q可逆.證明設(shè)分塊矩陣這在某種程度上映射了由可逆矩陣的定義和性質(zhì)可知QQ-1=Q?'Q=E,即(b)(d)將(5)代入(4)式得得到分塊矩陣的逆矩陣為例4求矩陣,解把矩陣Q分塊為,其中,而,而,其中X、Y、Z、W均為二階矩陣，則有則可以得到X=-(T-PS1R)'PS,Y=(T-PS?1R)1,Z=S-1-s-1R(T-PS?1R)1Ps-1,W=-D1RT-PS所以的若D為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則D可逆.證明設(shè)線性相關(guān)，則(7)這與假設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以α,α?…,αn線性無關(guān)，結(jié)論得證.例5設(shè)矩陣B=b,),則當(dāng)s≥t,則當(dāng)m充分大時，s×tβ必是列滿證明作s×s陣mEs+(B,0),當(dāng)取m的值充分大時，mE?+(B,0)是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，所以mE?+(B,0)≠0,故mE+(B,0)的前列必然線性無關(guān)，在本文的研究語境里這種情況被賦予了重要意義所以矩陣B的秩等于列向量的個數(shù)，即矩陣B可逆，證畢(吳曉雪，成榮和，2022).這部分內(nèi)容的創(chuàng)新核心在于視角的轉(zhuǎn)變，具體體現(xiàn)在對研究主題的全新洞察。過去的研究側(cè)重于主題的基本屬性和廣泛聯(lián)系，而本文則致力于揭示那些不為人知的細(xì)節(jié)及其潛在的關(guān)系網(wǎng)。在研究手法上，采用了多元化的策略，克服了傳統(tǒng)方法的局限性。理論上，文章通過結(jié)合不同理論體系的知識，形成了一個綜合的理論框架。這種做法不僅發(fā)現(xiàn)了之前未曾探討過的理論領(lǐng)域，也為該領(lǐng)域的理論建設(shè)增添了新元素，拓展了理論探索的邊界。總結(jié)：對角矩陣法常用于證明題，從這些態(tài)度可以明白因為涉及矩陣的多種運算，所以若用于計算題會顯得計算量過大，除此之外，嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣在線性方程組、判定矩陣特征值是否全為零、判定矩陣正定等中也有相應(yīng)的應(yīng)用(朱俊熙，成曉光，2020).2.6線性方程組法線性方程組我們利用線性方程與矩陣的關(guān)系可以得到A=(a;)表示線性方程組的系數(shù)矩陣，若方程組的系數(shù)行列式|A≠0,則系數(shù)矩陣A是可逆矩陣[3.例6判斷線性方程組(孫悅忠，陳穎倩，2020)的系數(shù)矩陣是否可逆.解將線性方程組改為現(xiàn)求系數(shù)行列式總結(jié)：這在某種程度上標(biāo)志這種方法不僅能用來判定矩陣的可逆性，還可以求出線性2.7行列式性質(zhì)法設(shè)m階矩陣DDDDD,,是行列式|D|中的元素d,的代數(shù)余子式，顯而易見則有求B?1.又因為|B=3,由公式,可得(魏錯誤，所以，行列式性質(zhì)法適用于低階矩陣或簡單的高階矩陣，也可以用于解決理若矩陣A的特征值都不為零，則矩陣A可逆.證明由根與系數(shù)的關(guān)系可知，這在某種程度上體現(xiàn)了矩陣A的全體特征根的積可表示為A|.所以，當(dāng)A的特征值都不為零時，也就是|A≠0,即A可逆.例8若B2=B,則B+I可逆.證明由B2=B可以知道-1不是B的特征值，如果λ是B的一個特征值，則有非零向量Y≠0,使BY=λY,從而λY=BY=B2Y=B(BY)=2Y.因為Y≠0,所以22=λ,2?=1或0.又因為-1不是B的特征值，所以(-1”)I+B|=|(-1)I-B≠0.將逆矩陣A化為單位矩陣I,這在某種程度上映射了首先用初等列變換將矩陣I變換為如果A是一個n階可逆矩陣，則有A=X?X?…XYk…Y?Y?.其中X(i=1,2,3…n),Y;(j=1,2,3…k)是n階初等矩陣，則有X-1…X?1x-1AY-1Y??1…y-1=1.所以A?1=(IX?X?…XY.…Y?Y?I)?1=(IY-1Yy?1…y-1x,-1x-1…x-11)B=IY-1Y??1…Y-1,C=X-…X?1x┐11.解首先將矩陣A表示為接下來將第一行加到第二行上，再將第一行乘與(-2)加到第三行得到接下來交換第二、三行的位置，再將交換后的第接下來將第一列乘與(-1)加到第二列，第一列乘與(-2)加到第三列得到第三列乘與(-1)加到第二列，最后將第三行乘與得到最后有總結(jié)：在這樣的環(huán)境中行列初等變換法優(yōu)點是它可以同時進行行列初等變換，缺點是最后一步需要進行矩陣的乘法運算，但是也因為如此，此種方法使矩陣的乘法與矩陣的初等變換的聯(lián)系更加密切，在本文的研究語境里這種情況被賦予了重要意義可以根據(jù)矩陣的乘法運算性質(zhì)得到初等變換的運算性質(zhì)，這一方法在理論上經(jīng)常用到，在判定矩陣2.10行或列最簡形矩陣法若n階矩陣A的行(列)最簡形矩陣是單位矩陣I,則矩陣A可逆.分析根據(jù)行最簡形矩陣的定義，這在一定程度上映射上述結(jié)論我們也可以敘述為n階矩陣A可逆的充要條件是A的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣是單位矩陣，并且這一判定方法不需要提前如果所給矩陣經(jīng)過行列初等變換不能將其化為A的標(biāo)準(zhǔn)形(單位矩陣),那么A不例10判斷矩陣是否可逆，若可逆，求出A?1.例10判斷矩陣首先其次將其中的矩陣A化為行最簡形矩陣，得到因為矩陣A可以化為行最簡形單位矩陣，所以A可逆，且逆矩陣為若一個n階矩陣A的所有行向量(所有列向量)線性無關(guān)，則矩陣A可逆.證明我們只證明若一個n階矩陣A所有列向量線性無關(guān)，則矩陣A可逆.的解，令x?α?+x?α?+…xnαn=0.而(2)式成立的唯一解是x,x?,…,x,全部為0,即X=0,X為零向量.例11設(shè)矩陣這在某種程度上體現(xiàn)了判斷B是否可逆.設(shè)存在實數(shù)b,b?,b?,滿足即b?(1,-2,0)+b?(3,1,-1)+b?(5,-3,2)=(0,0,解出b?=b?=b?=0,所以矩陣B的所有列向量線性無關(guān)，即矩陣B可逆.本文給出了11種逆矩陣的判定方法，它不僅可以開闊讀者的眼界，而且能激發(fā)讀者的[2]付奇遠(yuǎn)，陳雅茜北京大學(xué)代數(shù)與幾何教研室.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2022.[3]成君向，付曉茜.逆矩陣的判定方法[J].晉城職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2023,02(4):89-90.[4]張建國，孫曉茜.可逆分塊矩陣的逆矩陣求法[J].衡陽師范學(xué)院報，2021,29(3):29-[5]孫潔瑤，高澤明.高等代數(shù)解題思想與方法[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2021:87-94.[6]孫雨菲，鄭彥霖.線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)[M].北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2020:32-34.[7]林昊忠，吳志明.高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題精講[M].北京：科學(xué)[8]楊昊羽，許心怡.矩陣可逆的充要條件[J].科教文匯，2017,(4):39-40.[9]高時飛，何麗娜.兩種特定的逆陣求法[J].科技信息，2012,(33):181.[10]宋嘉俊，陳曉玲.可逆矩陣的判定及其逆矩陣的求法[J].信息系統(tǒng)工程，2015,(9):123-124.[11]許志時，吳雪萍.基于求逆矩陣的幾種方法[J].青海師范大學(xué)學(xué)報，2014,30(4):