5.5.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第2課時(shí)）(人教A高中數(shù)學(xué)必修第一冊第五章)深圳高級中學(xué)東校區(qū)李邁一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握兩角和與差的正弦、正切公式的推導(dǎo)，并進(jìn)行簡單的化簡求值2.掌握兩角和與差的正弦、正切公式的變形推導(dǎo)，及相關(guān)的應(yīng)用二、教學(xué)重難點(diǎn)1.兩角和與差的正弦、正切公式的推導(dǎo)、逆用、變形及其應(yīng)用2.兩角和與差的正弦、正切公式的應(yīng)用三、教學(xué)過程1.正弦公式正切公式的形成問題1：兩角和與差的正弦根據(jù)兩角和與差的余弦公式可推出兩角和與差的正弦公式：Sα＋β：sin(α＋β)＝Sα－β：sin(α－β)＝【預(yù)設(shè)的答案】證明：由誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的余弦公式可知：而且：==【預(yù)設(shè)的答案】【對點(diǎn)快練】1．sin75°＝____________.2．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝____________.【預(yù)設(shè)的答案】1.2+√64【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正弦公式是可以由余弦公式推導(dǎo)的，用實(shí)際案例讓學(xué)生感受該公式的應(yīng)用，用變式訓(xùn)練讓學(xué)生快速掌握公式的應(yīng)用。2.具體感知，理性分析例1.(1)sin21°cos39°＋cos21°sin39°等于()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．1(2)已知eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，0＜β＜eq\f(π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π＋β))＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．【預(yù)設(shè)的答案】1.C2.63【變式練習(xí)】已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))且sin(α＋β)＝eq\f(33,65)，cosβ＝－eq\f(5,13)，求sinα.【預(yù)設(shè)的答案】3【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正弦公式的基本應(yīng)用，字母轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)。【預(yù)設(shè)的答案】(?3.輔助角公式的形成由例4可以看出，當(dāng)都是不為零的常數(shù)時(shí)，為了求出函數(shù)這就是說，滿足（1）式的和一定存在，因此【設(shè)計(jì)意圖】輔助角公式的推導(dǎo)證明。【變式練習(xí)1】將下列各式寫成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)eq\r(3)sinx－cosx；(2)eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)).【預(yù)設(shè)的答案】解(1)eq\r(3)sinx－cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx－\f(1,2)cosx))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)sinx－sin\f(π,6)cosx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6))).(2)eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋eq\f(\r(6),4)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＋cos\f(π,6)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x－\f(π,6)))＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－x))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12))).【變式練習(xí)2】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝eq\f(1,3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x))的值為()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)【預(yù)設(shè)的答案】B【設(shè)計(jì)意圖】輔助角公式的應(yīng)用。4.正切公式的形成問題2：兩角和與差的正切一般地，可以證明如下地兩角和與差地正切公式：事實(shí)上，因?yàn)椤緦c(diǎn)快練】1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，則tan(α－β)等于()A．eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C．3 D．－32．tan75°＝____________.【預(yù)設(shè)的答案】（1）A（2）2+√3【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正切公式是可以由正弦與余弦公式推導(dǎo)的，用實(shí)際案例讓學(xué)生感受該公式的應(yīng)用，用變式訓(xùn)練讓學(xué)生快速掌握公式的應(yīng)用。例6.求下列各式的值。【預(yù)設(shè)的答案】【變式練習(xí)1】已知sinα＝eq\f(1,2)，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－eq\r(3)，則tanβ的值為()A．－eq\r(3) B．eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),3)【變式練習(xí)2】若α＋β＝eq\f(3π,4)，則(1－tanα)(1－tanβ)等于()A．1 B．－1C．2 D．－2【預(yù)設(shè)的答案】C；C【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正切公式的基本應(yīng)用，字母轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)。5.綜合應(yīng)用例7.已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x.(1)求f(x)的最大值，以及取得最大值時(shí)x的取值集合；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．【預(yù)設(shè)的答案】解f(x)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，(1)當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時(shí)，函數(shù)取到最大值是2，此時(shí)x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以x的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).(2)由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)得kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))k∈Z.【變式練習(xí)1】本例中，若加條件“x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))”，再求函數(shù)f(x)的最小值．【變式練習(xí)2】函數(shù)f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a