/貴州省黔西南州2023?2024學年高二下學期期末教學質量監測數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知變量和變量的3對隨機觀測數據為，則這組樣本數據的樣本相關系數為（

）A． B． C．1 D．2．五人站成一排拍照，其中甲?乙必須相鄰且兩人均不能站兩端，則不同的站法有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種3．黔西南州某中學為了了解2022級學生的課外活動情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從男生和女生兩層共抽取45名學生．已知該校2022級男生和女生分別有500人和400人，則不同的抽樣結果共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種4．的二項展開式中，當時，第項的值是，則（

）A．0 B．1 C．2 D．35．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知隨機變量的概率分布列為，其中是常數，則（

）A． B． C．2 D．7．甲和乙兩個箱子中各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球?5個白球，乙箱中有8個紅球?2個白球．擲一枚質地均勻的骰子，如果點數為1或2，從甲箱子中隨機摸出1個球；如果點數為，從乙箱子中隨機摸出1個球．則摸到紅球的概率為（

）A． B． C． D．8．設隨機變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當從0增大到1時，（

）012A．有最大值也有最小值 B．無最大值也無最小值C．無最大值但有最小值 D．有最大值但無最小值二、多選題（本大題共4小題）9．針對時下的“微短劇熱”，某文化公司對觀眾性別和喜歡微短劇是否有關聯進行了一次調查，收集整理數據后將所得結果填入相應的列聯表中，由列聯表中的數據計算得，參照附表，則下列結論正確的是（

）附表：0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.828A．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“觀眾性別和喜歡微短劇有關聯”B．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“觀眾性別和喜歡微短劇沒有關聯”C．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“觀眾性別和喜歡微短劇有關聯”D．根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“觀眾性別和喜歡微短劇沒有關聯”10．若隨機變量且，則下列選項正確的是（

）A． B．C．的最小值為18 D．11．下列判斷中正確的是（

）A．一組從小到大排列的數據，若去掉與不去掉，它們的分位數相等，則B．已知兩組數據與，設它們的平均數分別為與，將它們合并在一起，則總體的平均數為C．已知離散型隨機變量，則D．在線性回歸模型中，記樣本相關系數為，當的值越接近1時，這兩個變量的線性相關性越強12．某企業使用新技術對某款芯片制造工藝進行改進．部分芯片由智能檢測系統進行篩選，其中部分次品芯片會被淘汰，篩選后的芯片及未經篩選的芯片進入流水線由工人進行抽樣檢驗．記表示事件“某芯片通過智能檢測系統篩選”，表示事件“某芯片經人工抽檢后合格”．改進生產工藝后，該款芯片的某項質量指標服從正態分布，現從中隨機抽取個，這個芯片中恰有個的質量指標位于區間，則下列說法正確的是（

）（參考數據：若，則）A．B．C．D．取得最大值時，的估計值為53三、填空題（本大題共4小題）13．已知隨機變量，其中，若，則．14．一個袋中裝有4個小球，編號為，從中任取2個，用表示取出的2個球編號之和，則．15．已知多項式，則．16．泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值．若隨機變量服從二項分布，當很大且很小時，二項分布近似于泊松分布，其中，即．現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則抽到的次品的個數小于2的概率約為．（參考數據：）四、解答題（本大題共6小題）17．2024年5月1日至5日，“康養勝地·人文興義”黔西南州群眾文化展演在萬峰林舉行，共舉行了8場精彩的布依族刺繡節目，前5場的觀眾人數（單位：萬人）與場次的統計數據如下表所示：場次編號12345觀眾人數0.70.811.21.3(1)求與的相關系數（結果保留3位小數）；(2)已知可用線性回歸模型擬合與的關系，請建立關于的線性回歸方程．參考公式及參考數據：回歸方程中斜率與截距的最小二乘法估計公式分別為，，相關系數．18．每個國家對退休年齡的規定不盡相同，我國關于延遲退休的話題一直在網上熱議，為了了解市民對“延遲退休”的態度，現從某地市民中隨機選取100人進行調查，調查情況如下表：年齡段（單位：歲）被調查的人數101520255贊成的人數61213122已知從贊成“延遲退休”的人中任選1人，此人年齡在的概率為．(1)求出表格中的值；(2)若從年齡在的參與調查的市民中按照是否贊成“延遲退休”進行按比例分配的分層隨機抽樣，從中抽取10人參與某項調查，再從這10人中隨機抽取4人參加座談會，記這4人中贊成“延遲退休”的人數為，求的分布列及數學期望．19．觀察楊輝三角（如圖所示）的相鄰兩行，發現三角形的兩個腰都是由數字1組成的，其余的數都等于它肩上的兩個數相加，即．已知數列滿足．(1)求數列的通項公式；(2)請利用上述楊輝三角的性質求數列的前項和．20．今天，中國航天仍然邁著大步向浩瀚宇宙不斷探索，取得了舉世矚目的非凡成就.某學校為了解學生對航天知識的知曉情況，在全校學生中開展了航天知識測試（滿分100分），隨機抽取了100名學生的測試成績，按照，，，分組，得到如圖所示的樣本頻率分布直方圖：(1)根據頻率分布直方圖，估計該校學生測試成績的中位數；(2)從測試成績在的同學中再次選拔進入復賽的選手，一共有6道題，從中隨機挑選出4道題進行測試，至少答對3道題者才可以進入復賽.現有甲、乙兩人參加選拔，在這6道題中甲能答對4道，乙能答對3道，且甲、乙兩人各題是否答對相互獨立，記甲、乙兩人中進入復賽的人數為，求分布列及期望.21．已知函數（為自然對數的底數）.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)若有極小值且極小值不小于0，求實數的取值范圍.22．已知為拋物線的焦點，過點作拋物線的兩條相互垂直的弦．(1)求的值；(2)過定點任意作拋物線的一條弦，均有，求的值．

答案1．【正確答案】C【分析】作出散點圖，結合圖形即可得解.【詳解】作出散點圖，如圖：觀察圖形，得點在一條直線上，所以這組樣本數據的樣本相關系數為1.故選C.2．【正確答案】B【分析】相鄰問題利用捆綁法，首先將甲、乙兩人捆綁，再將捆綁后的甲、乙安排到中間2個位置中的一個，最后將其余人全排列.【詳解】由題意，首先將甲、乙兩人捆綁，有種方法，其次將捆綁后的甲、乙安排在中間2個位置，有種方法，最后將剩余3人全排列，有種方法，所以不同的站法有種.故選B.3．【正確答案】B【分析】由分層抽樣求得男生和女生分別抽取的人數，然后由組合知識及乘法原理計算．【詳解】設男生抽取人，則女生抽取人，由題意得，解得，，所以不同的抽樣結果數為，故選B.4．【正確答案】D【分析】由二項展開式通項公式寫出第項，再由已知條件求解．【詳解】由題意第項為，且，所以，顯然為奇數，則或，當時，；當時，；綜上，.故選D．5．【正確答案】A【分析】根據條件概率公式式計算．【詳解】由得，.故選A．6．【正確答案】C【分析】利用分布列的性質求出，再利用期望的定義及性質求解即得.【詳解】由，得，由，得，于是，所以.故選C.7．【正確答案】A【分析】分別計算出從甲箱中摸到紅球的概率和從乙箱中摸到紅球的概率，然后利用概率的加法公式即可得解.【詳解】從甲箱中摸紅球：擲到點數為1或2的概率為，再從甲箱中摸到紅球的概率為，因此從甲箱中摸到紅球的概率為；從乙箱中摸紅球：擲到點數為3，4，5，6的概率為，再從乙箱中摸到紅球的概率為，因此從乙箱中摸到紅球的概率為，所以摸到紅球的概率為.故選A.8．【正確答案】D【分析】根據給定的分布列求出期望，再由方差定義求出，結合二次函數性質判斷得解.【詳解】由分布列，得隨機變量的期望，則，由，得當時，取得最大值，無最小值.故選D.9．【正確答案】AD【分析】利用的觀測值，結合獨立性檢驗的思想判斷得解.【詳解】依題意，，根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“觀眾性別和喜歡微短劇有關聯”，A正確，B錯誤；根據小概率值的獨立性檢驗，分析認為“觀眾性別和喜歡微短劇沒有關聯”，C錯誤，D正確.故選AD.10．【正確答案】ACD【分析】利用正態分布的對稱性判斷AB；由對稱性求出，再求出最小值判斷C；利用期望的性質計算判斷D.【詳解】隨機變量，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由，得，即，則，當且僅當時取等號，C正確；對于D，，則，D正確.故選ACD.11．【正確答案】CD【分析】求出分位數判斷A；計算總體平均數判斷B；利用二項分布期望公式計算判斷C；利用線性相關系數的意義判斷D.【詳解】對于A，由，得原數據的分位數為，由，得去掉后的數據的分位數為10，因此，A錯誤；對于B，依題意，，則總體的平均數為，B錯誤；對于C，由，得，則，C正確；對于D，當的值越接近1時，這兩個變量的線性相關性越強，D正確.故選CD.12．【正確答案】ACD【分析】直接利用題意判斷A；利用條件概率、全概率公式等進行轉化判斷B；利用正態分布的性質判斷C；設，由函數的單調性判斷D.【詳解】對于A，依題意，經智能檢測系統篩選合格的條件下，通過人工抽檢合格的概率大于直接進入人工抽檢合格的概率，即，A正確；對于B，由，得，又，于是，即，因此，即，則，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，設，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值時，的估計值為53，D正確.故選ACD.【方法總結】關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法：①熟記，，的值;②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.13．【正確答案】【分析】由二項分布的方差公式求得，再由期望公式計算．【詳解】由題意，又，故解得，所以．故．14．【正確答案】5【分析】確定的可能值為，依次求出各概率，再由期望公式得期望值．【詳解】由題意的可能值分別為，從4個球中任取2個的總方法為，和分別為的方法數依次為，，，，，，所以，故5.15．【正確答案】【分析】用賦值法求解：分別令和代入后可得．【詳解】令即得（1），令即得（2），（1）（2）得，所以，故．16．【正確答案】0.74/【分析】根據給定公式計算．【詳解】由已知，，，所以抽到的次品的個數小于2的概率為，故0.74/.17．【正確答案】(1)0.993(2)【分析】（1）根據相關系數公式計算；（2）由已知公式求出回歸方程中的系數得回歸方程．【詳解】（1）由已知，，，，，所以；（2）由已知，，所以回歸直線方程為.18．【正確答案】(1)；(2)分布列見解析，數學期望為.【分析】（1）的值等于總人數減去其余各組人數的和，利用的概率為求出的值；（2）利用分層抽樣的比例可以求出10人中，贊成的有8人，不贊成的有2人，而表示從10人中抽取的4人中贊成“延遲退休”的人數，所以的可能取值為2，3，4，然后求出其對應的概率，就可完成的分布列.【詳解】（1）由抽取的總人數為100人，得，由從贊成“延遲退休”的人中任選1人，其年齡在的概率為，解得，所以.（2）從年齡在中按分層抽樣抽取10人，贊成的抽取人，不贊成的抽取2人，再從這10人中隨機抽取4人，則隨機變量的可能取值為2，3，4，則，，，所以的分布列為：234數學期望.19．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據給定的遞推公式，構造常數列求出通項.（2）利用楊輝三角的性質可得，再結合裂項相消法求和即得.【詳解】（1）數列中，由，得，因此數列是常數列，而，則，解得，所以數列的通項公式是.（2）由（1）知，，而，即當時，，令數列的前項和為，則，顯然當時，滿足上式，所以數列的前項和.20．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）計算出成績落在各組的頻率，得到該校學生測試成績的中位數落在，設出中位數，得到方程，求出答案；（2）先得到甲乙分別能進行復賽的概率，進而得到的可能取值及對應的概率，得到分布列，求出數學期望.【詳解】（1）成績落在內的頻率為，成績落在內的頻率為，成績落在內的頻率為，由于，，故該校學生測試成績的中位數落在內，設中位數為，則，解得，故估計該校學生測試成績的中位數為（2）從6道題中選4道共有種選擇，因為甲能答對其中的4道，故甲能進行復賽的情況有種，故甲能進行復賽的概率為，不能進復賽的概率為，因為乙能答對其中的3道，故乙能進行復賽的情況有種，故乙能進行復賽的概率為，不能進復賽的概率為，的可能取值為，，，，故分布列如下：012數學期望為.21．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）由導數的幾何意義求切線方程；（2）由有解得出的范圍，并驗證此解為極小值點，求出極小值，再判斷出極小值不小于0時的參數范圍.【詳解】（1），則，，顯然是增函數，又，所以，，切線方程為，即；（2）由已知，有極小值，則有解，由，得，設的解為，時，，遞減，時，，遞增，因此為的極小值，由得，極小值，記，易知函數是減函數，，當時，，當時，，所以當時，，當時，，當時，，而的極小值不小于0，所以的取值范圍是.22．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）求出拋物線焦點坐標，設出直線方程并與拋物線方程聯立，