/廣東省廣東五校聯考2024?2025學年高一下學期5月第一次聯合考試數學試題一、單選題1．已知，則z的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知向量，若，則（

）A．3 B．4 C． D．3．下列命題中為真命題的是（

）A．圓臺的側面展開圖是一個扇形B．用任意一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺C．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體是棱柱D．五棱錐共有6個頂點，11條棱4．若銳角，滿足，則（

）A．1 B． C．2 D．5．已知向量，若向量滿足，則可以是（

）A． B． C． D．6．如圖，某校高一幾位同學測量平地上某建筑物CP的高度，從地面上一點A觀察建筑物頂部P的仰角為，朝建筑物方向向前20m到達點B，從點B觀察P的仰角為，則建筑物CP的高度為（

）A． B． C． D．7．用斜二測畫法畫出的直觀圖如圖所示，在中，內角，，的對邊分別為，，，滿足，且，則中AB邊上的高為（

）A． B． C． D．8．現有一塊棱長為2的正四面體木料，用平行于該木料底面的一個平面將木料截成兩部分，若這兩部分的表面積相等，則該平面在木料上的截面面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知圓錐的底面半徑，母線長，設該圓錐的側面展開圖為扇形AOB，O為扇形圓心，則（

）A．扇形AOB的圓心角為B．圓錐的高h為C．圓錐的表面積為D．從點繞圓錐側面一周回到點的最短距離為10．定義復數運算：，已知復數，w滿足，則（

）A．w可以是 B．的最小值為C．在復平面內對應的點不可能位于第二象限 D．的實部是511．記是的外接圓，且，，，則（

）A． B．C．的面積為 D．圓O的周長為三、填空題12．已知為純虛數，則實數．13．．14．已知函數，若，且，則的取值范圍為．四、解答題15．已知在正方形ABCD中，，．（1）設，，用，表示；（2）若AC上一點R滿足，求的值．16．如圖，已知圓錐OP的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，點C是底面圓周上異于A，B的一點，D是PB的中點，空間中一點Q滿足．（1）證明：平面PQC；（2）設球M與圓錐的側面和底面均相切，求球M的半徑；（3）證明：“平面ABC”是“”的充要條件．17．已知在面積為S的中．（1）證明：；（2）若，求S的最大值．18．設函數，其部分圖象與坐標軸交點如圖所示．（1）若，，，求；（2）在中，記內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（ⅰ）證明：是等腰三角形；（ⅱ）若，求當的最小正周期為多少時，的中線BD能取得最大值．19．設的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，且內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，定義的值為的“徑比”．（1）若為等腰直角三角形，求的徑比f；（2）證明：；（3）若，求f的最值．

答案1．【正確答案】A【詳解】依題意，，所以z的虛部為.故選A2．【正確答案】D【詳解】因為，所以，解得.故選D.3．【正確答案】C【詳解】對于A，圓臺的側面展開圖是一個扇環的一部分，A錯誤；對于B，用平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分為棱臺，B錯誤；對于C，由棱柱的定義知，C正確；對于D，五棱錐共有6個頂點，10條棱，D錯誤.故選C4．【正確答案】B【詳解】由題意設，因為，所以，所以，.故選B.5．【正確答案】A【詳解】設，又，所以因為所以，即，所以，對于A，，滿足，故A正確；對于B，，不滿足，故B不正確；對于C，，不滿足，故C不正確；對于D，，不滿足，故D不正確；故選A6．【正確答案】A【詳解】設建筑物高度為，點到建筑物底部的水平距離點到的水平距離，由題意可知，米，且，因此，三角恒等變換得：，化簡得：，即，則.故選A7．【正確答案】C【詳解】已知在中，，移項可得.根據余弦定理，將代入可得：.因為，所以.已知，即，那么中邊上的高.根據斜二測畫法的性質，在斜二測畫法中，平行于軸的線段長度變為原來的一半，那么原三角形中邊上的高.將代入可得.所以中邊上的高為.故選C.8．【正確答案】D【詳解】由正四面體木料知，底面為邊長為2的正三角形，故底面面積為，因為平面平行于該木料底面，故該平面在木料上的截面也為正三角形，設該正三角形與底面的相似比為k，則該平面在木料上的截面面積為，截下部分一部分為小四面體，一部分為正三棱臺，其中小四面體部分的表面積即，正三棱臺表面積為，故，解得，所以該平面在木料上的截面面積為.故選D．9．【正確答案】BCD【詳解】對于A中，設圓錐的側面展開圖所得扇形的圓心角為，可得，即，解得，所以A錯誤；對于B中，圓錐的高為，所以B正確；對于C中，由圓錐的側面積為，底面積為，所以圓錐的表面積為，所以C正確；對于D中，如圖所示，圓錐的側面展開圖中，可得，即從點繞圓錐側面一周回到點的最短距離為，所以D正確.故選BCD.10．【正確答案】BCD【詳解】設，則，整理得，故即，對于A，若，則，故A錯誤；對于B，，當且僅當時等號成立，故的最小值為，故B成立；對于C，若在復平面內對應的點位于第二象限，則，此時不成立，故在復平面內對應的點不可能位于第二象限，故C正確；對于D，，故的實部是5，故D正確.故選BCD.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，因為是的外接圓，所以是的外心，在的中垂線上，若符合，則也應在的中垂線上，因為，故A錯誤；對于B，因為是的外心，所以在的中垂線上，所以，故B正確；對于C，對等式兩邊同時乘以，則，所以，解得，故，，所以的面積為，故C正確；對于D，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，，所以圓的半徑為，其周長為，故D正確，故選BCD12．【正確答案】3【詳解】由為純虛數，得，所以.13．【正確答案】【詳解】.14．【正確答案】【詳解】由題意等價于，所以或，解得，或，所以，，故所求范圍為.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1），（2）由題意，設，因為不共線，從而，解得.16．【正確答案】（1）見詳解；（2）；（3）見詳解.【詳解】（1）依題意，是的中點，而D是PB的中點，則，而，因此，而平面，平面，所以平面.（2）由球M與圓錐的側面和底面均相切，得圓錐軸截面等腰內切圓是球M的截面大圓，圓錐的母線，設球M的半徑為，由，得，所以球M的半徑是.（3）由，得點四點共面，平面平面，由平面，平面，得，因此四邊形是平行四邊形，則；反之，由，，得四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，因此平面，所以“平面”是“”的充要條件17．【正確答案】（1）見詳解；（2）.【詳解】（1）在中，由余弦定理，得，由，得,所以.（2）由（1）知，，當且僅當時取等號，顯然為銳角，則，當且僅當，即時取等號，所以S的最大值為.18．【正確答案】（1）（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）最小正周期，BD取得最大值為.【詳解】（1）已知，當時，，所以.令，即，則（為整數）.解得.當，，得；當，，得.，.根據公式.（2）（ⅰ）由，代入得：，化簡得.若，則，與圖知條件矛盾，所以.所以是等腰三角形；（ⅱ），兩邊平方.因為，，由正弦定理可得：，.代入得.設，則，當，即時取等號.此時，周期，BD最大值為.19．【正確答案】（1）（2）見詳解（3）最小值為，無最大值.【詳解】（1）由為等腰直角三角形，設直角邊長為，則斜邊長為，所以外接圓的半徑為，且的周長為，